多元線性回歸模型公式

1、二、多元線性回歸模型在多要素的地理環(huán)境系統(tǒng)中，多個（多于兩個）要素之間也存在著相互影響、相互關(guān)聯(lián)的情況。因此，多元地理回歸模型更帶有普遍性的意義。（一）多元線性回歸模型的建立 假設(shè)某一因變量y受k個自變量X1,X2,.,Xk的影響，其n組觀測值為（ya,X1a,X2a,.,Xka），a 1,2,., n。那么，多元線性回歸模型的結(jié)構(gòu)形式為:Ya01X1a2X2akXka a （ S2*11）式中:k為待定參數(shù);a為隨機變量。如果b0,bi,.,bk分別為0, 1, 2., k的擬合值,則回歸方程為?=b0biX-ib2x2.bkXk（ 3.2.12）式中:bo為常數(shù);bi,b2,.,bk稱為偏

2、回歸系數(shù)。偏回歸系數(shù)bi（ i 1,2,.,k ）的意義是，當其他自變量 Xj（ j i）都固定時，自變量Xi每變化一個單位而使因變量y平均改變的數(shù)值。根據(jù)最小二乘法原理,（i0,1,2,.,k ）的估計值 bi（i 0,1,2,.,k ）應(yīng)該使nQYaYaa 1nYaa 1b0b1 x1ab2X2a2bk Xkamin （ 3.2.13）有求極值的必要條件得QbjQb0n2a 1n2 Yaa 1Ya0Ya Ya Xja（3.2.14 ）0（ j 1,2,., k）將方程組（3.2.14 ）式展開整理后得:11nb0n ( a n ( a1x1a )b0x2a)b0n( xka)b0a1n(a

3、n(a1nx1a)b1x12a )b1n(an(x1a x2a)b1a1n( x1a xka )b1 a1方程組（ 3.2.15 如果引入一下向量和矩陣：nx2a)b2 . ( xka )bk1 a 1na1x1a x2a)b2 . (x1a xka)bka1n1n2( x2a)b2 . ( a 1 an( x2axka )b2a1式，被稱為正規(guī)方程組。A XT Xyax2axka)bk1xk2a ) bk1nx1aya a1n( 3.2.15 )x2aya a1nxkayaa1b0y11x11x21. xk1b1y21x12x22. xk2b2 ,Y.2. , X1x13x23. xk 3.

4、yn. .bk1x1nx2n. xkn111. 11x11x21. xk1x11x12x13. x1n1x12x22. x k 2x21x22x23. x2n1x13x23. xk 3xk1xk2xk3. xkn1x1nx2n. xknnx1anx1aa1 na1n2x1aa1a1B X TYx2axkaa1nx2a a1 nx1ax2a1nnxka1x1axkax1ax2ax1a xka2a1x2 a xka111. 1y1x11x12x13.x1 ny2x21x22x23. x2 ny3xk1xk2xk3. xknyn則正規(guī)方程組（ 3.2.15 ）式可以進一步寫成矩陣形式a1nx2axk

5、a12xkanyaa1 nx1a yaa1nx2aya a1nxka yaa1Ab B (3.2.15 )求解（3.2.15 ）式可得:1B (XTX) 1XTY (3.2.16)如果引入記號:LijLji(XiaXi)(XjaXj)(i,j1,2,., k)1Liy(XiaXi)( yay)(i 1,2,.,k)則正規(guī)方程組也可以寫成:LudL12b2.L1kL1yL21b1L22b2.L2kL2yLk1b1Lk2b2. LkkhLkyd yb,X1b2X2.bkXk(3215 )（二）多元線性回歸模型的顯著性檢驗與一元線性回歸模型一樣，當多元線性回歸模型建立以后，也需要進行顯著性檢驗。 與

6、前面 的一元線性回歸分析一樣，因變量 y的觀測值y1, y2,.,yn之間的波動或差異，是由兩個因素引起的，一是由于自變量X1,x2,.,xk的取之不同，另一是受其他隨機因素的影響而引起的。為了從y的離差平方和中把它們區(qū)分開來，就需要對回歸模型進行方差分析，也就是將y的離差平方和St或（Lyy）分解成兩個部分，即回歸平方和U與剩余平方和 QStLyy U在多元線性回歸分析中, 按公式回歸平方和表示的是所有k個自變量對y的變差的總影響，它可以計算，而剩余平方和為nQ (yaa 12y)2ya)kbi Liyi 1Lyy U以上幾個公式與一元線性回歸分析中的有關(guān)公式完全相似。它們所代表的意義也相似，即回歸平方和越大，則剩余平方和Q就越小，回歸模型的效果就越好。不過，在多元線性回歸分 析中，各平方和的自由度略有不