人教版八年級上冊數(shù)學PPT課件 第14章 整式的乘法與因式分解14.2.2完全平方公式

1、 八年級數(shù)學八年級數(shù)學上上 新課標新課標 人人 學習新知學習新知 檢測反饋檢測反饋 第十四章第十四章 整式的乘法與因式分解整式的乘法與因式分解 高菲同學做作業(yè)時,把一滴墨水滴 在一道數(shù)學題上,題目變成了x2 x+1,看 不清x前面的數(shù)字是什么,只知道這個二 次三項式能寫成一個整式的平方,急得她 抓耳撓腮,你能幫助她嗎? 學學 習習 新新 知知 計算(x+a)(x+b). 一、公式的推導 解:(x+a)(x+b) =x2+bx+ax+ab =x2+(a+b)x+ab 1.在(x+a)(x+b)中,若a=b,那么上述 式子將會成為怎樣的式子?計算結 果是什么? 變?yōu)?x+a)(x+a),計算結果是

2、 x 2+2ax+a2,即(a+b)2=a2+2ab+b2. 2.這個公式的左邊和右邊各有什么特點? 3.(a+b)2 =a 2 +b 2對嗎?為什么? 兩數(shù)和的平方,結果應該是三項式. 4.你會用(a+b)2 =a 2 +2ab+b 2 計算(a-b)2嗎? 將“-b”看作一個數(shù),將(a-b)2化為 a+(-b)2=a2+2a(-b)+(-b)2 =a2-2ab+b2. (a-b)2=a2 -2ab+b2 5.你能用圖形驗證:(a+b)2 =a 2 +2ab+b 2, (a-b)2=a 2 -2ab+b 2嗎? 在左圖中,大正方形的面積是(a+b)2,它由兩個 小正方形和兩個相同的長方形組成

3、,兩個小正方形 的面積分別是a 2,b 2,長方形的面積是ab.所以有等式 (a+b)2 =a 2 +2ab+b 2. a+b a+b a b a b a-b a-b a a b b a+b a+b a b a b = (a+b) 2 = a2 + 2ab + + b2+ a-b a-b a a b b = (a-b) 2 =a2 - 2ab - + b2+ 6.比較(a+b)2=a 2+2ab+b 2及(a-b)2 =a 2 -2ab+b 2這兩個公式.它們有什么不同?有 什么聯(lián)系? (a+b)2 =a 2 +2ab+b 2 兩數(shù)和的平方,等于它們的平方和加上 這兩數(shù)積的2倍. (1)運用完

4、全平方公式的關 鍵在于明確公式的特征:公式的 左邊是兩數(shù)和(或差)的平方,公 式的右邊是一個三項式,是左 邊兩數(shù)的平方和加上(或減去) 左邊兩數(shù)積的2倍. (2)公式中字母的含義:公式中 字母a和b可以是具體的數(shù),也可以 是整式(單項式或多項式).利用 完全平方公式計算多項式的乘法, 最容易漏寫2ab項,實際運算中要 特別注意.完全平方公式與平方 差公式聯(lián)合使用,要嚴格分清公式 的各自特點,以防混淆. (3)逆用完全平方公式為: a2 +2ab+b2=(a+b)2 , a2-2ab+b2=(a-b)2,把三項式 寫成了積的形式,這是后面要 學習的因式分解. 例例1 運用完全平方公式計算運用完全

5、平方公式計算. (1)(4m+n)2; 2 1 (2) 2 y 解解:(1)(4m+n)2=(4m)2+2(4m)n+n2 =16m2 +8mn+n2. 2 2 2 2 1 (2) 2 11 2 22 1 . 4 y yy yy 例2 運用完全平方公式計算. (1)1022 ;(2)992 . (2)992=(100-1)2 =1002 -21001+12 =10000-200+1=9801. (1)1022=(100+2)2 =1002 +21002+22 =10000+400+4=10404. 現(xiàn)有下圖所示三種規(guī)格的卡片各若干張現(xiàn)有下圖所示三種規(guī)格的卡片各若干張, ,請請 你根據(jù)二次三項式

6、你根據(jù)二次三項式a2 +2ab+b2, ,選取相應種類選取相應種類 和數(shù)量的卡片和數(shù)量的卡片, ,嘗試拼成一個正方形嘗試拼成一個正方形, ,并討并討 論該正方形的代數(shù)意義論該正方形的代數(shù)意義. . (a+b)2與(-a-b)2相等嗎?(a-b)2與(b-a)2相 等嗎?(a-b)2與a 2-b 2相等嗎?為什么? 運用乘法公式計算,有時要在式子中添 括號,在第二章中,我們學過去括號法則,即 a+(b+c)=a+b+c;a-(b+c)=a-b-c. 反過來,就得到添括號法 則:a+b+c=a+(b+c);a-b-c=a-(b+c). 添添括號時括號時, ,如果括號前面是正號如果括號前面是正號,

7、,括括 到括號里的各項都不變符號到括號里的各項都不變符號; ;如果括號如果括號 前面是負號前面是負號, ,括到括號里的各項都改變括到括號里的各項都改變 符號符號. . 說明 (1)添括號法則與去括號法則是一致 的,添括號正確與否,可用去括號進行 檢驗. (2)添括號時,如果括號前面是負號,那 么括到括號里的各項都改變符號,不 能只改變部分項的符號. 知識拓展 解解:(1)(x+2y-3)(x-2y+3)=x+(2y-3)x-(2y-3) =x2 -(2y-3)2=x2-(4y2 -12y+9)=x2-4y2+12y-9. (2)(a+b+c)2=(a+b)+c2=(a+b)2+2(a+b)c+

8、c2 =a2 +2ab+b2 +2ac+2bc+c2 =a2 +b2 +c2 +2ab+2ac+2bc. 例3.運用乘法公式計算. (1)(x+2y-3)(x-2y+3); (2)(a+b+c)2. 一些本來不是二項式的式子的平方 也可以利用完全平方公式來計算,關鍵是 使其轉化為二項式的平方,如計算 (a+b+c)2,可以把這個代數(shù)式轉化為 a+(b+c)2或(a+b)+c2,把b+c或a+b看 做是一個整體(一個字母),也可以把這個 式子轉化為(a+c)+b2.實際操作時要看 怎樣做最有利于計算. 完全平方公式是進行整式乘法的重要 工具,它的結構形式具有對稱性,兩個公式都 叫做完全平方公式,

9、前面的一個叫做和的完 全平方公式,后面的一個叫做差的完全平方 公式.判斷一個式子能不能用完全平方公式 展開,主要看它的結構形式是否符合公式要 求,習慣上把(ab)2 中的a叫做前項,b叫做后 項,記憶時巧記為“首平方,末平方,首末兩倍 中間放”. 知識小結 2.添括號 添括號時,如果括號前面是正號, 括到括號里的各項都不變符號;如果括 號前面是負號,括到括號里的各項都改 變符號. 應用時,主要關注兩點:一是關注括 號前面的符號是正號還是負號;二是對 照添括號前和后符號該不該改變. 3.運用完全平方公式還應注意以下幾點運用完全平方公式還應注意以下幾點: 切勿把完全平方公式與公式切勿把完全平方公式

10、與公式(ab)2 =a2b2 相混淆相混淆,或隨意寫成或隨意寫成(a+b)2 =a2 +b2; 切勿把切勿把“乘積項乘積項”2ab中的中的2丟掉丟掉; 計算時計算時,要先觀察題目特點要先觀察題目特點,看是否符合看是否符合 公式的條件公式的條件,若不符合若不符合,應先變形為符合公應先變形為符合公 式的形式式的形式,再利用公式進行計算再利用公式進行計算,若不能變若不能變 為符合公式的形式為符合公式的形式,則應運用乘法法則則應運用乘法法則進進 行行計算計算. 1.下列計算正確的是() A.(x+y)2=x2+y2 B.(x-y)2=x2-2xy-y2 C.(x+2y)(x-2y)=x2-2y2 D.

11、(-x+y)2=x2-2xy+y2 檢測反饋檢測反饋 解析:A.(x+y)2=x2+2xy+y2,故本選項錯誤; B.(x-y)2=x2-2xy+y2,故本選項錯誤; C.(x+2y)(x-2y)=x2- 4y2,故本選項錯誤; D.(-x+y)2=(x-y)2=x2-2xy+y2,故本選項正確. D D2.在下列各式中,與(a-b)2一定相等的是 () A.a2+2ab+b2 B.a2-b2 C.a2+b2 D.a2-2ab+b2 解析:(a-b)2=a2-2ab+b2. 3.(x+y+z)2=()2+2y()+y2,兩個括 號內應填 () A.x+yB.y+z C.x+zD.x+y+z 解

12、析:(x+y+z)2=(x+z)2+2y(x+z) +y2. C 4.計算. (1)(a+6)2; (2)(b-5)2; (3)(-2a+5)2; (4)(ab+1)(ab-1); (5)(2a-3b)(3b+2a); (6)(-2b-5)(2b-5); (7)(2a+5b)2; (8)(4a-3b)2; (9)(-2a-1)2. 解析: (1)(7)(9) 根據(jù)和的完全 平方公式可得 答案;(2)(3)(8) 根據(jù)差的平方 等于平方和減 積的二倍可得 答案;(4)(5)(6) 根據(jù)平方差公 式可得答案. 解: (1)原式=a2+12a+36. (2)原式=b2-10b+25. (3)原式=4a2-20a+25. (4)原式=(ab)2-1=a2b2-1. (5)原式=(2a)2-(3b)2=4a2-9b2. (6)原式=(-5)2-(2b)2=25