帶有不同余項泰勒公式的應(yīng)用

1、畢業(yè)論文題 目帶有不同余項泰勒公式的應(yīng)用學(xué)生姓名學(xué)號所在院（系）數(shù)學(xué)與計算機(jī)科學(xué)學(xué)院專業(yè)班級數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè) 2010級數(shù)教 1班指導(dǎo)教師完成地點陜西理工學(xué)院2014年5月9日陜西理工學(xué)院畢業(yè)論文帶有不同余項泰勒公式的應(yīng)用柴書雅(陜西理工學(xué)院數(shù)計學(xué)院數(shù)教101，陜西 漢中723000)指導(dǎo)老師：李金龍【摘要】數(shù)學(xué)中的著名的公式都是一古典的數(shù)學(xué)問題，它們在數(shù)學(xué)，化學(xué)與物理領(lǐng)域都有很廣泛的運用.在現(xiàn)代數(shù)學(xué)中Taylor公式有著重要地位，它對計算極限，斂散性的判斷，不等式的證明、中值問題及高階導(dǎo)的計算以 及近似值的計算等方面都有很大的作用.在本文中，我將談到關(guān)于公式的幾種形式及進(jìn)一步的運用?！娟P(guān)鍵

2、詞】泰勒公式佩亞諾余項拉格朗日余項應(yīng)用1引言泰勒公式是數(shù)學(xué)分析的一個重要內(nèi)容，在了解泰勒公式后我們主要是能將其應(yīng)用。首先給出幾種不同余項的泰勒公式，然后重點是根據(jù)這幾種不同泰勒公式求極限、高階導(dǎo)數(shù)、判斷斂散性、證明中值定理、證明不等式、求近似值和誤差估計、研究函數(shù)極值.2常見幾種Taylor公式2.1佩皮亞諾型余項的Taylor公式【2】若函數(shù)f在點Xo存在直至n階導(dǎo)數(shù)，則有f (x) =Tn(x) :(x - )門，即f(X)= f (Xo)f(Xo)(X-Xo)-如(X-Xo)2 2!-血(X-Xo)n ：(X-Xo)n).n!其中(x)是由這些導(dǎo)數(shù)構(gòu)造的一個 n次多項式，Tn(x)二 f

3、(X。) f(x)(x - Xo) f (Xo)(x _Xo)2 - 嚴(yán)(X-Xo)n(3)2!n!f (k) (x )稱為函數(shù)f在點Xo處的Taylor多項式，Tn (x)的各項系數(shù)-(k =1,2,，n)稱為Taylor系k!第9頁共10頁數(shù).從上易知f(x)與其Taylor多項式Tn(x)在點x0有相同的函數(shù)值和相同的直至n階導(dǎo)數(shù)值，即嚴(yán)紙)=tT(x。)，k =1,2,，n.(4)(n 1)4(xn!(n 1)!(X0)(XX0)n1(1)2.2其次是帶有拉格朗日型余項的Taylor公式【2】若函數(shù)f在a,b上存在直至n階的連續(xù)導(dǎo)函數(shù)，在(a,b)內(nèi)存在(n1)階導(dǎo)函數(shù)，則對任意給定的

4、x，a,b，至少存在一點三(a, b)，使得2! (Xf (x) =f(X。) f(Xo)(X-X。) f (Xo)【2】2.3柯西型Taylor公式若函數(shù)f在a,b上存在直至n階的連續(xù)導(dǎo)函數(shù)，在(a,b)內(nèi)存在(n1)階導(dǎo)函數(shù)，則對任意給定的x , & a,b，使得f (x )f(x)二f(X0) f(x)(X-X0)=2(X _ X0 )-.-兇(X-X0)n尺(x)( 5)n!其中Rn(x)丄n!5仏0 FX-X)(1 -汙(X-”2.4積分型Taylor公式【2】如果函數(shù)f(X)在含有Xo的某個開區(qū)間(a,b)內(nèi)具有直到(n T)的導(dǎo)數(shù)，則當(dāng)x在(a,b)內(nèi)時,f (x)可表示為(x

5、-xj的一個n次多項式與一個余項R(x)之和:f (x)二 f(X。)f (Xo)(X - Xo)號(XX)2 (X0)n - Rn(x)其中XX,冷.1 1 1 fRn(x)=xx xo(n 1(Xn 1)dXn 1dX2dX13 Taylor公式的應(yīng)用:3.1求極限1例1求極限lim(24)Xxt sin x2 2解: xsin-l21 cos 2 x又sin2x二一，將cos2x用Taylor公式展開,24：(x4)小 c . 4x 16x Cos2x =14!x2 -sin2xx44(x)小結(jié)：本題用洛必達(dá)法則求解比較復(fù)雜,13在這里我選用的是帶有佩亞諾型的泰勒公式進(jìn)行求解。2!3.2

6、求高階導(dǎo)數(shù)3例 2 設(shè) y = arc cot x，求 y(0).分析：這道題若直接求高階導(dǎo)數(shù)比較困難,因此我們考慮在x二0處的麥克勞林展開式.解: y = (arc cotx)=11 x2)x : 1( 10)1315y - -x x x35,1315-x x x35冷/川（-1）# 干一山一“&嚴(yán)川x ：1x2n1 71又f （x）在x =0處的麥克勞林展開式為y= f(x)J 5n=0n!（11）比較（10）（ 11）中xn的系數(shù)可得,(2k) (0) = 0，(_1)k 卅心(0)=(2k 1)!右=“伽!由Taylor展開的唯一性，并有 Taylor公式的各項系數(shù)ak(k)/、f(X

7、。)（k = 1,2,川）貝何得 k!到高階導(dǎo)數(shù) f（k）（x。），即 f（k）（x。）=k!ak （k =1,2川1）.小結(jié)：在高階倒數(shù)的求解中能更加直接的借助Taylor公式的特殊形式更快更直接的對其進(jìn)行展開，再對展開的各項進(jìn)行最基本的導(dǎo)數(shù)求解使計算更加的簡潔方便3.3判斷斂散性1例34討論級數(shù) 送e-ln1 + -np, p 0的斂散性.n =11解：e-ln1nnn1 =e - expnln1n111= e-expn乂t)n2nn11= e1 -exp()2n1- e：()，n：:n 2nUA于是當(dāng)p .1時，級數(shù)a e-ln1 -np收斂，當(dāng)0： p乞1時，級數(shù)發(fā)散.n例5討論無窮積

8、分: 1(ex-丄- 1)dx的斂散性.x解：f (x) = e1丄丄.x因為x- xP1=lim x L :1 1-2心)x12x1=，而 P = 21,由無窮積分的斂散性判別定理知Hoc -.(exa-1)dx收斂.對于Taylor公式在判斷數(shù)學(xué)積分問題中收斂性起到的作用通過以上例子有了具體的說明學(xué)中的斂散性根據(jù)不同的積分形式有不同的方法判斷,而Taylor公式在很多的積分都有其運用其主要原因就是其能使得式子在經(jīng)過展開后變成簡單的式子更加直觀方便的計算3.4證明中值定理5例6設(shè)函數(shù)f(x)在a,b上三階可導(dǎo).證明存在一點C (a,b), 使得a + b1f(b)二 f(a) (b-a)f

9、() f (c)( 1)212證明：設(shè)存在一個常數(shù) k，使得 f (b) - f(a)-(b-a)f(a b) 丄 k(b - a) = 0(2) 2 12III 這時，我們的問題歸為證明：c (a,b)，使得k= f (c) (3)人a +x13令 g(x) = f (x) - f (a)-(x-a) f () k(x-a)(4)2 12則g(a)二 g(b) =0.根據(jù)Rolle定理可知，至少存在一點-三(a,b)，使得 g().即a 1“a亠- 12f ( )-f ()-二(-a)f ()-：k(x-a)2=0(5)2224這是關(guān)于k的方程，注意到f(J在點-處的泰勒公式：2-a “a2

10、 ) 2 f ( 21 - a 2)2 f (c)( 2 ) ( 6)其中c - (a,b). 比較(5)( 6)可得到(3)式.即得證小結(jié)：本題是對帶有拉格朗日型余項的泰勒公式的應(yīng)用，其中還應(yīng)用到了中值定理。3.5利用Taylor證明不等式a0 f(x)dx_af3.5.1證明積分不等式例&設(shè)f (x)是0, a上的連續(xù)正值函數(shù)，且f (x) _0 , a 0，證:a證明:將f(x)在x=2點展開為一階Tay|or展式f (x)a a a七分匚)j-a)22!-f 母遲(x，2)aa.0 f (x)dx 一 f( ) f ( )(x )dx* =af (令.0 27小結(jié)：本題是利用了積分型泰

11、勒公式，重點是將其放縮3.5.2證明導(dǎo)數(shù)不等式例9、設(shè)函數(shù)f (x)在0,1上次可微，且f (0) = f (1) = 0 , min f (x) - -1，試證存在一點0空(0,1)使 f( ) _8.分析：函數(shù)f(x)在0,1上二次可微，且最小值一1 = 0，所以在(0,1)內(nèi)一定存在極值點，該點的導(dǎo)數(shù)為0，題中可知f (x)二次可微，我們可以想到 Taylor展式，并且是在最小值點x0處展開解：不妨設(shè)在x(0,1)為f (x)在0,1上的最小值點，貝Uf(x0) = -1， f(x00，f (x)在x處的Taylor展開得：2!00)2 ,2!是介于x與之間的某個數(shù),f (x)工 f(G

12、當(dāng) x =0 時，f(0)=_1 U)x02 =0,即卩 f( J 二二 2!1x02當(dāng) x =1 時，f(1)- -1f ( )(1X。)2 =0,即卩 f( 2)- 2 .2!(1-X。)1 2 所以，當(dāng) X。 (0,-)時，f( J 二-82x當(dāng) X。 (1,1)時，f ( 2)2 2-8.2(1-x)終上所述，存在一點(0,1)使f() _8.小結(jié)：利用Taylor公式證明函數(shù)不等式步驟：(1)、構(gòu)造一個函數(shù)f (x)，選一個展開點X0，然后寫出f(x)在x0處的帶有拉格朗日余項的Taylor公式；那么我們該選擇哪個點處展開呢？函數(shù)在一個區(qū)間性質(zhì)常?？捎蓞^(qū)間中的一些特殊點來反映，如端點

13、、分點、零點、極值點、最值點、拐點等此外，區(qū)間中的任意點也是分析函數(shù)性質(zhì)不可或缺的點，運用Taylor時，就是將這些點中導(dǎo)數(shù)信息相對較充分的點選作展開中心.陜西理工學(xué)院畢業(yè)論文-(a,b)進(jìn)行放縮.(2)根據(jù)所給的最高階導(dǎo)數(shù)的大小，函數(shù)的界或三角形不等式對3.6求近似值誤差估計例10、計算e的值，使其誤差不超過10-6.解：由公式得1 1 1e0e = 1 1(0 ： v ： 1)2! 3! n! (n +1)!故尺(1)=0e(n 1)!3(n 1)!336R9(1)1010!3628800略去尺求得e的近似解為111e：1 12.7182852!3!9!3.7研究函數(shù)的極值9例 11、 求

14、函數(shù) f(x,y)=x4+y4-x2-2xy-y2的極值.解 fx(x,y)=4x3-2x-2y=0, fy(x,y)=4y3-2x-2y=0,得駐點(1, 1), (-1 , -1 ), (0, 0).判斷：求二階偏導(dǎo)fxx(x,y)=12x2-2, fxy(x,y)=-2, fyy(x,y)=12y2-2在點(1, 1)處，A=fxx(1,1)=10, B=fxy(1,1)=-2, C=fyy(1,1)=10.因B2- AC0,故f(1,1)= -2為極小值.類似可得f(-1,-1)= -2為極小值.在點(0, 0)處，A=B=C= -2 , B2-AC=0,此時應(yīng)用極值定義判斷f(0,0

15、)=0是否為極值.對足夠小的正數(shù)，有f(；, 0)= 2 ( 2-1 ) 0這說明在點(0, 0)的任一鄰域內(nèi)，既有函數(shù)值大于f(0,0)的點，又有函數(shù)值小于 f(0 , 0)的點，故【參考文獻(xiàn)】1 劉玉璉傅沛仁編.數(shù)學(xué)分析講義（第四版）P233-P234.高等教育出版社，2003年6月.2 華東師范數(shù)學(xué)系編著.數(shù)學(xué)分析（下冊）（第四版）P137.高等教育出版社，2010年7月.3 周運明 尚德生主編.數(shù)學(xué)分析（上冊）（第一版）.科學(xué)出版社，2008年9月.4 常庚哲，史濟(jì)懷編.數(shù)學(xué)分析教程（上冊）（第一版）.高等教育出版社，2003年5月.5 B.A.卓里奇著，王昆揚，周美珂等譯.數(shù)學(xué)分析（

16、第一卷）（第四版）.高等教育岀版社，2006年6月.胡格吉樂吐.對泰勒公式的理解及泰勒公式的應(yīng)用J.內(nèi)蒙古科技與經(jīng)濟(jì)，2009，12（24）.7 齊成輝.泰勒公式的應(yīng)用J.陜西師范大學(xué)學(xué)報，2003，31（z1）.8 嚴(yán)振祥，沈家驊.泰勒公式在函數(shù)凹凸性及拐點判斷中的應(yīng)用J.重慶交通大學(xué)學(xué)報，2007，26（4）.9 劉瑜，陳美燕，于超，馮濤.泰勒公式在n階行列式計算中的應(yīng)用J.內(nèi)江師范學(xué)院學(xué)報，2008, 23（z1）.More than with different applications ofTaylors FormulaShuya Chai(Grade10,Class1,Major

17、In mathematics and applied mathematicsnstitute of mathematics and computerscie nee，Shaa nxi Uni versity of Tech no logy ， Hanzhong 723000， Shaa nxi) ”Tutor: Jinlon gLiAbstract: Well known in mathematical formula is the classical mathematical problems, their application is very extensive in math, chemical and physical. Taylor formula has an important position in modern mathematics. It has a big role in to calculate the li