小學(xué)奧數(shù)5 5 5同余問題專項(xiàng)練習(xí)及答案解析

1、5-5-3.同余問題11-5-3.同余問題.題庫教師版P age of 61.2.【例1】【解析】教學(xué)目標(biāo)學(xué)習(xí)同余的性質(zhì)利用整除性質(zhì)判別余數(shù)知識(shí)點(diǎn)撥同余定理1、 定義：若兩個(gè)整數(shù)a、b被自然數(shù)m除有相同的余數(shù)，那么稱 a、b對(duì)于模m同余，用式子表示為: =b ( mod m)，左邊的式子叫做同余式。同余式讀作：a同余于b,模m2、重要性質(zhì)及推論：(1) 若兩個(gè)數(shù)a, b除以同一個(gè)數(shù) m得到的余數(shù)相同，則 a, b的差一定能被 m整除例如：17與11除以3的余數(shù)都是2，所以(1711)能被3整除.(2) 用式子表示為：如果有 a三b ( mod m)，那么一定有 a-b= mkk是整數(shù)，即 m(

2、 a- b)3、余數(shù)判別法當(dāng)一個(gè)數(shù)不能被另一個(gè)數(shù)整除時(shí)，雖然可以用長(zhǎng)除法去求得余數(shù)，但當(dāng)被除位數(shù)較多時(shí)，計(jì)算是很 麻煩的.建立余數(shù)判別法的基本思想是： 使得：N與R對(duì)于除數(shù)m同余由于 被m除的余數(shù).整數(shù)整數(shù)整數(shù)整數(shù) 整數(shù)先適當(dāng)為了求出“ N被m除的余數(shù)”，我們希望找到一個(gè)較簡(jiǎn)單的數(shù)R是一個(gè)較簡(jiǎn)單的數(shù)，所以可以通過計(jì)算R被m除的余數(shù)來求得N的個(gè)位數(shù)被2或5除的余數(shù)；N的末兩位數(shù)被4或25除的余數(shù);N被2或5除的余數(shù)等于N被4或25除的余數(shù)等于N被8或125除的余數(shù)等于 N的末三位數(shù)被8或125除的余數(shù)；N被3或9除的余數(shù)等于其各位數(shù)字之和被3或9除的余數(shù)；N被11除的余數(shù)等于N的奇數(shù)位數(shù)之和與偶

3、數(shù)位數(shù)之和的差被11除的余數(shù)；(不夠減的話加11的倍數(shù)再減)； 整數(shù)N被7, 11或13除的余數(shù)等于先將整數(shù)N從個(gè)位起從右往左每三位分一節(jié)，奇數(shù)節(jié)的數(shù)之和與偶數(shù)節(jié)的數(shù)之和的差被 7, 11或13除的余數(shù)就是原數(shù)被 7, 11或13除的余數(shù).模塊一、兩個(gè)數(shù)的同余問題有一個(gè)整數(shù)，除39,51,147所得的余數(shù)都是3,求這個(gè)數(shù).【考點(diǎn)】?jī)蓚€(gè)數(shù)的同余問題(法 1) 39 -3 =36，51-3=48，147 -3 =144，(36,144)=12，12 的約數(shù)是 1,2,3,4,6,12，因?yàn)橛?數(shù)為3要小于除數(shù)，這個(gè)數(shù)是4,6,12 ；(法2)由于所得的余數(shù)相同，得到這個(gè)數(shù)一定能整除這三個(gè)數(shù)中的任意

4、兩數(shù)的差，也就是說它是任意兩數(shù)差的公約數(shù).51 -39 =12 , 147 -39 =108 , (12,108)=12，所以這個(gè)數(shù)是 4,6,12 .【答案】4,6,12【難度】1星【題型】解答【例2】某個(gè)兩位數(shù)加上 3后被3除余1,加上4后被4除余1，加上5后被5除余1,這個(gè)兩位數(shù)是【考點(diǎn)】?jī)蓚€(gè)數(shù)的同余問題【難度】2星【題型】填空【關(guān)鍵詞】人大附中，分班考試【解析】“加上3后被3除余1”其實(shí)原數(shù)還是余1,同理這個(gè)兩位數(shù)除以 4、5都余1，這樣，這個(gè)數(shù)【例3】【解析】【例4】【解析】【例5】【解析】【例6】【解析】【例7】【解析】就是3、4、5+1=60+1=61?！敬鸢浮?1有一個(gè)自然數(shù)，

5、除 345和543所得的余數(shù)相同，且商相差33求這個(gè)數(shù)是多少？【考點(diǎn)】?jī)蓚€(gè)數(shù)的同余問題【難度】3星【題型】解答由于這個(gè)數(shù)除345和543的余數(shù)相同，那么它可能整除543-345，并且得到的商為33.所以所 求的數(shù)為(543 -345)子33 =6 .【答案】6一個(gè)大于10的自然數(shù)去除90、164后所得的兩個(gè)余數(shù)的和等于這個(gè)自然數(shù)去除220后所得的余數(shù)，則這個(gè)自然數(shù)是多少？【考點(diǎn)】?jī)蓚€(gè)數(shù)的同余問題【難度】3星【題型】解答這個(gè)自然數(shù)去除 90、164后所得的兩個(gè)余數(shù)的和等于這個(gè)自然數(shù)去除 余數(shù)，所以254和220除以這個(gè)自然數(shù)后所得的余數(shù)相同，因此這個(gè)自然數(shù)是 又大于10,這個(gè)自然數(shù)只能是90+1

6、64=254后所得的254-220 =34 的約數(shù)，17或者是34.如果這個(gè)數(shù)是 34,那么它去除90、164、220后所得的余數(shù)分別是 22、28、 這個(gè)數(shù)是17,那么它去除90、164、220后所得的余數(shù)分別是然數(shù)是17.【答案】175、 11、 16,16,符合題目條件，所以這個(gè)自不符合題目條件；如果兩位自然數(shù)ab與ba除以7都余1，并且a b，求ab x ba .【考點(diǎn)】?jī)蓚€(gè)數(shù)的同余問題【難度】3星【題型】解答ab -ba能被7整除，即(10a+b) (10b+a)=9 ( ab)能被7整除.所以只能有 ab=7,那么ab可能為92和81,驗(yàn)算可得當(dāng)ab =92時(shí)，ba =29滿足題目

7、要求，abxba =92x29 =2668 【答案】2668現(xiàn)有糖果254粒，餅干210塊和桔子186個(gè).某幼兒園大班人數(shù)超過果，一樣多的餅干，也分得一樣多的桔子。余下的糖果、餅干和桔子的數(shù)量的比是：有名小朋友，每人分得糖果 粒，餅干 塊，桔子 個(gè)?！究键c(diǎn)】?jī)蓚€(gè)數(shù)的同余問題【難度】3星【題型】解答【關(guān)鍵詞】南京市，興趣杯設(shè)大班共有a名小朋友。由于余下的糖果、餅干和桔子的數(shù)量之比是桔子數(shù)目的和正好等于余下的餅干數(shù)，從而254+186-210 一定是a的倍數(shù)，230=10X 23=2X 5X 23 是 a 的倍數(shù)。同樣，2X 254-186=322=23 X 14=23X 14=23X 2X 7

8、也一定是 a 的倍 數(shù)。所以，a 只能是 23X 2 的因數(shù)。但 a 40,所以 a=46。此時(shí) 254=46 X 5+24，210=46X 3+72，186=46 X 3+48。故大班有小朋友 46名，每人分得糖果 5粒，餅干3塊，桔子3個(gè)?！敬鸢浮啃∨笥?6名，每人分得糖果 5粒，餅干3塊，桔子3個(gè)模塊二、三個(gè)數(shù)的同余問題40.每人分得一樣多的糖1: 3: 2，這個(gè)大班1:3:2，所以余下的糖果、即 254+186-210=230=1 X曰有一個(gè)大于1的整數(shù)，除45,59,101所得的余數(shù)相同，求這個(gè)數(shù).【考點(diǎn)】三個(gè)數(shù)的同余問題【難度】3星 【題型】解答這三個(gè)數(shù)除以這個(gè)數(shù)的余數(shù)分別是多少，

9、但是由于所得的余數(shù)相同，根這個(gè)數(shù)一定能整除這三個(gè)數(shù)中的任意兩數(shù)的差，也就是說它是任意兩數(shù)差這個(gè)題沒有告訴我們, 據(jù)同余定理，我們可以得到： 的公約數(shù).101 45 =56 ,【答案】2,7,1459 45 =14 , (56,14)=14 , 14 的約數(shù)有 1,2,7,14，所以這個(gè)數(shù)可能為 2,7,14 ?！眷柟獭坑幸粋€(gè)整數(shù)，除 【考點(diǎn)】三個(gè)數(shù)的同余問題 【關(guān)鍵詞】華杯賽，初賽，第300、262、205得到相同的余數(shù)。問這個(gè)整數(shù)是幾【難度】3星【題型】填空9題【解析】這個(gè)數(shù)除300、262,得到相同的余數(shù)， 所以這個(gè)數(shù)整除300- 262= 38，同理，這個(gè)數(shù)整除262 205= 57,因

10、此，它是 38、57的公約數(shù)19。【答案】19【鞏固】在除13511, 13903及14589時(shí)能剩下相同余數(shù)的最大整數(shù)是 .【考點(diǎn)】三個(gè)數(shù)的同余問題【難度】3星【題型】填空【關(guān)鍵詞】小學(xué)數(shù)學(xué)奧林匹克【解析】因?yàn)?1390313511 =392 , 14589 13903 =686 ,由于 13511 , 13903, 14589 要被同一個(gè)數(shù)除時(shí), 余數(shù)相同，那么，它們兩兩之差必能被同一個(gè)數(shù)整除.（392,686） =98，所以所求的最大整數(shù)是98.【答案】98【鞏固】140，225，293被某大于 1的自然數(shù)除，所得余數(shù)都相同。2002除以這個(gè)自然數(shù)的余數(shù)【解析】是 .【考點(diǎn)】三個(gè)數(shù)的同余

11、問題【難度】3星【題型】填空【關(guān)鍵詞】三帆中學(xué)，入學(xué)測(cè)試這樣我們用總結(jié)的知識(shí)點(diǎn)可知：任意兩數(shù)的差肯定余225-140=85 的約數(shù)，數(shù)，又是13?！敬鸢浮?3【鞏固】三個(gè)數(shù)：23, 51,0。那么這個(gè)自然數(shù)是293-225=68的約因此就是 68、85的公約數(shù)，所以這個(gè)自然數(shù)是 17。所以2002除以17余72,各除以大于1的同一個(gè)自然數(shù)，得到同一個(gè)余數(shù)，則這個(gè)除【解析】【難度】3星【題型】填空4題，6分（28, 21） =7,所以這個(gè)除數(shù)是 7?！纠?】【解析】學(xué)校新買來118個(gè)乒乓球，班級(jí)，那么這三種物品剩下的數(shù)量相同請(qǐng)問學(xué)校共有多少個(gè)班？ 【考點(diǎn)】三個(gè)數(shù)的同余問題【難度】3星【題型】解答

12、所求班級(jí)數(shù)是除以118,67,33余數(shù)相同的數(shù)那么可知該數(shù)應(yīng)該為118 -67 =51和67 -33=34的公約數(shù)，所求答案為17.【答案】1767個(gè)乒乓球拍和33個(gè)乒乓球網(wǎng)，如果將這三種物品平分給每個(gè)數(shù)是【考點(diǎn)】三個(gè)數(shù)的同余問題【關(guān)鍵詞】希望杯，五年級(jí)，初賽，第51 -23 =28，72 -51 =21，【答案】7【例9】若2836, 4582 , 5164, 6522四個(gè)自然數(shù)都被同一個(gè)自然數(shù)相除，所得余數(shù)相同且為兩位數(shù)， 除數(shù)和余數(shù)的和為.【考點(diǎn)】三個(gè)數(shù)的同余問題【難度】3星【題型】填空【關(guān)鍵詞】小學(xué)數(shù)學(xué)奧林匹克【解析】設(shè)除數(shù)為 A.因?yàn)?836, 4582, 5164, 6522除以A

13、的余數(shù)相同，所以他們兩兩之差必能被A整除.又 因?yàn)橛鄶?shù)是兩位數(shù)，所以 A至少是兩位數(shù).4582-2836=1746 ,5164-4582=582 ,6522 5164 =1358，因?yàn)椋?82,1358） =194，所以A是194的大于10的約數(shù).194的大于10的約數(shù)只有 97和194.如果A =194 , 2386-194 =14川120，余數(shù)不是兩位數(shù)，與題意不符.如果A =97，經(jīng)檢驗(yàn)，余數(shù)都是23,除數(shù)+余數(shù)=97 + 23 =120 .【答案】120【例10】一個(gè)大于1的數(shù)去除290，235,200時(shí)，得余數(shù)分別為a，a+2，a+5，則這個(gè)【解析】自然數(shù)是多少？【考點(diǎn)】三個(gè)數(shù)的同余

14、問題【難度】4星根據(jù)題意可知，這個(gè)自然數(shù)去除290,【題型】解答233，195時(shí)，得到相同的余數(shù)（都為 a ）.【鞏固】【解析】【例11】【解析】【例12】【解析】【例13】【解析】【例14】既然余數(shù)相同，我們可以利用余數(shù)定理，可知其中任意兩數(shù)的差除以這個(gè)數(shù)肯定余0那么這個(gè)自然數(shù)是290 _233 =57的約數(shù)，又是233 _195 =38的約數(shù)，因此就是 57和38的公約數(shù)，因?yàn)?7和38的公約 數(shù)只有19和1,而這個(gè)數(shù)大于1,所以這個(gè)自然數(shù)是 19.【答案】19有3個(gè)吉利數(shù)888, 518, 666,用它們分別除以同一個(gè)自然數(shù)，所得的余數(shù)依次為 a, a+7, a+10,則這個(gè)自然數(shù)是.【

15、考點(diǎn)】三個(gè)數(shù)的同余問題【難度】4星【關(guān)鍵詞】清華附中，入學(xué)測(cè)試 處理成余數(shù)相同的，則888、518-7、【題型】填空666-10的余數(shù)相同，這樣我們可以轉(zhuǎn)化成同余問題。這0。那么這個(gè)自然數(shù)是 888-656=232的約數(shù)，也是樣我們用總結(jié)的知識(shí)點(diǎn)可知：任意兩數(shù)的差肯定余 656-511=145的約數(shù)，因此就是 232、145的公約數(shù)，所以這個(gè)自然數(shù)是 29。【答案】的值.【考點(diǎn)】29一個(gè)自然數(shù)除429、791、500所得的余數(shù)分別是a+5、2a、三個(gè)數(shù)的同余問題【難度】4星將這些數(shù)轉(zhuǎn)化成被該自然數(shù)除后余數(shù)為 樣這些數(shù)被這個(gè)自然數(shù)除所得的余數(shù)都是 2a , 將這三個(gè)數(shù)相減，得到【題型】解答2a

16、的數(shù)：(429 -5)x2 =848 , 故同余.848 -791 =57、1000 -848 =152，所求的自然數(shù)一定是(57,152 )=19，所以這個(gè)自然數(shù)是 個(gè)自然數(shù)是19時(shí)，除429、791、19 , a =6.【答案】6a,求這個(gè)自然數(shù)和a791、500x2=1000 ,這57和152的公約數(shù)，而19.經(jīng)過驗(yàn)證，當(dāng)這19的約數(shù)，顯然1是不符合條件的，那么只能是500所得的余數(shù)分別為11、12、6 , a =6時(shí)成立，所以這個(gè)自然數(shù)是603，939，393 .某數(shù)A除甲數(shù)所得余數(shù)是 A除乙數(shù)所得余數(shù)的2倍,甲、乙、丙三數(shù)分別為A除乙數(shù)所得余數(shù)是 A除丙數(shù)所得余數(shù)的2倍.求A等于多少

17、？【考點(diǎn)】三個(gè)數(shù)的同余問題【難度】4星【題型】解答根據(jù)題意，這三個(gè)數(shù)除以A都有余數(shù)，則可以用帶余除法的形式將它們表示出來：,939 -A=K2HIHIr2 , 393 - A |川 由于 r, =22 , q =23，要消去余數(shù), q , 2,使得被除數(shù)和余603衲=切|川|1603補(bǔ)=5|川113,我們只能先把余數(shù)處理成相同的，再兩數(shù)相減.這樣我們先把第二個(gè)式子乘以數(shù)都擴(kuò)大2倍，同理，第三個(gè)式子乘以4 .于是我們可以得到下面的式子：(939咒2尸A =2K2 M1122 (393戶A = 2心山山43這樣余數(shù)就處理成相同的.最后兩兩相減消去余數(shù)，意味著能被 A整除.939x2 603 =12

18、75 , 393x4603=969 , (1275,969 ) = 51 =3X17 . 51 的約數(shù) 有1、3、17、51,其中1、3顯然不滿足，檢驗(yàn) 17和51可知17滿足，所以 A等于17.【答案】【考點(diǎn)】17已知60, 154, 200被某自然數(shù)除所得的余數(shù)分別是a-1 , a2 , a3 -1，求該自然數(shù)的值.三個(gè)數(shù)的同余問題【難度】5星【題型】解答根據(jù)題意可知，自然數(shù) 61, 154, 201被該數(shù)除所得余數(shù)分別是=axa，所以自然數(shù)612=3721與154同余；由于，所以6154 =9394與201同余, (3567,9193) =29 ,由于a2所以除數(shù)是3721 _154 =

19、3567和9394 _201 =9193的公約數(shù)，運(yùn)用輾轉(zhuǎn)相除法可得到 該除數(shù)為29.經(jīng)檢驗(yàn)成立.【答案】29有一個(gè)自然數(shù)，它除以15、17、19所得到的商( 1)與余數(shù)( 0)之和都相等，這樣的數(shù)最 小可能是多少.【考點(diǎn)】三個(gè)數(shù)的同余問題【難度】5星【題型】解答【解析】=aXa( =X -a)二 A=15a +(X -a) = 14a +X =bXb( =X -b)= A =17b +( X -b) =16b +X【答案】tA-15IA+17a+19.Xc( =X -0= A=19c +(X -c) = 18c +X14a =16b =18c= 72|a二 a 至少為 72，14a =16b

20、 =18c= 63|b= b 至少為 63，14a =16b =18c= 56|c= c至少為 56，最小為1081.1081A=15a+Xa =15咒 72 + Xa =1080 + XaA =17b+Xb =17x63+ Xb =1071+XbA =19c + Xc =19x56+ Xc =1064 +Xc【例15】三個(gè)不同的自然數(shù)的和為 2001,它們分別除以19,23,31所得的商相同，所得的余數(shù)也相同，這三個(gè)數(shù)是 , , ?！究键c(diǎn)】三個(gè)數(shù)的同余問題【難度】4星【題型】填空【關(guān)鍵詞】祖沖之杯【解析】可求得a【答案】設(shè)所得的商為 a ,除數(shù)為 b . (19a+b)+(23a+b)+(3

21、1a+b) =2001 , 73a + 3b=2001 ,由 b；19 , =27 , b =10 .所以，這三個(gè)數(shù)分別是19a+b =523 , 23a+b =631 , 31a+b =847。523, 631, 847模塊三、運(yùn)用同余進(jìn)行論證【例16】3個(gè)數(shù)加上相同的 為什么？在3X 3的方格表中已如右圖填入了 9個(gè)質(zhì)數(shù)。將表中同一行或同一列的 自然數(shù)稱為一次操作。問：你能通過若干次操作使得表中9個(gè)數(shù)都變?yōu)橄嗤臄?shù)嗎?23513111171923【解析】【考點(diǎn)】運(yùn)用同余進(jìn)行論證略【答案】因?yàn)楸碇?9個(gè)質(zhì)數(shù)之和恰為100，被3除余1,經(jīng)過每一次操作，總和增加 中9個(gè)數(shù)之和除以3總是余1。如果

22、表中9個(gè)數(shù)變?yōu)橄嗟?，那?這就得出矛盾！所以，無論經(jīng)過多少次操作，表中的數(shù)都不會(huì)變?yōu)椤倦y度】3星【題型】解答3的倍數(shù)，所以表9個(gè)數(shù)的總和應(yīng)能被 3整除,9個(gè)相同的數(shù)?！纠?7】一個(gè)三位數(shù)除以17和19都有余數(shù)，并且除以17后所得的商與余數(shù)的和等于它除【解析】以19后所得到的商與余數(shù)的和.那么這樣的三位數(shù)中最大數(shù)是多少，最小數(shù)是多少?【考點(diǎn)】運(yùn)用同余進(jìn)行論證【關(guān)鍵詞】仁華學(xué)校 設(shè)這個(gè)三位數(shù)為S =1 7a + m =1 9b + n根據(jù)題意可知 a +m =b + n，【難度】4星【題型】解答大為得到它除以17和19的商分別為a和b，余數(shù)分別為m和n，則所以 S - (a +m )=s -(b

23、+ n )，即 16a =18 b，得 8a =9b .所以 a是 9 的倍數(shù)，8 18的倍數(shù)此時(shí)，由a+m=b+n知n m=ab=a8a= a .由于s為三位數(shù)，最小為 100,最99999,所以 100 蘭 17a +m 蘭999，而 1 m 鄒 ，所以 17a+1 17a +m 999，100 蘭 17a +m E17a +16，5a58，而a是9的倍數(shù)，所以a最小為9,最大為54.當(dāng)a =54時(shí)，n-m=1a=6，而n 18 ,91m1，所以此時(shí)s最 9小為17X9+1 =154 .所以這樣的三位數(shù)中最大的是930，最小的是154.所以【答案】最大的是 930，最小的是154【例18】從1, 2, 3,n中，任取57個(gè)數(shù)，使這57個(gè)數(shù)必有兩個(gè)數(shù)的差為13，貝U n的最大值【解析】為多少？【考點(diǎn)】【關(guān)鍵詞】西城實(shí)驗(yàn)被13除的同余序列當(dāng)