北師大版數(shù)學初二上冊全部資料

1、第一章勾股定理 知識導學： 勾股定理：在任何一個直角三角形中，兩條直角邊的平方之和一定等于斜邊的平方。這個定理在中國又稱為“商高定理”，在外國稱為“畢達哥拉斯定理”。運用勾股定理進行有關(guān)的計算和證明，在有關(guān)直角三角形求邊的計算中，只要分析出兩個條件。（其中至少一邊）就能解。要注意有時要利用邊與邊之間的關(guān)系，設(shè)未知數(shù)通過列方程來解幾何題。在運用勾股定理進行證明時，要結(jié)合已知條件和所學過的各種圖形的性質(zhì)適當添加輔助線構(gòu)成直角三角形，同時要加強分析。 典型例題： 例1. 如圖在 中， 的平分線AD交BC于D，求證：。 證明： 平分 在 中， 例2. 作長為 的線段。 分析： 故只須先作出長為 的線段

2、。 作法： (1)作直角邊長為1（單位長）的等腰直角三角形。 (2)以斜邊AB為一直角邊，作另一直角邊長為3的RtABD ,則線段BD的長為所求。 例3. 如圖， 中， 分別為BC的高和中線，求DE的長。 解：設(shè) 又 在 中， 在 中， 即 解得： 例4. 如圖：正方形ABCD中，E是DC中點，F(xiàn)是EC中點。 求證：。 分析：要證 ，一般方法是在 中取一個角使之等于 ，再證明另一個角也等于， 另一種方法是把小角擴大一倍，看它是否等于較大的角。 證明：取BC中點G，連結(jié)AG并延長交DC延長線于H。 ABG= HCG, BG=CG ,AGB= HGC 又 在 中，設(shè)，由勾股定理得： 又 課后練習：

3、 1. 如圖， 中，D為BC的中點。 求證：。 2. 如圖 中，求AC的長及 的面積。 3. 如圖 中，AD為 的平分線交BC于D，求AC的長。 4. 如圖， 中，求BC的長。 5. 如圖 中，D為AB的中點，E、F分別在AC、BC上，且， 求證：。 答案： 1.證明： 2. 解：作AB的垂直平分線DE交AB于D，交AC于E 連結(jié)BE，則 在 中， 3. 解：作 交AB于E 平分 在 和 中， 在 中， 又 4. 解：作 于D 由 知 又 在 中， （負值舍去） 5. 證明：延長FD到G使 連結(jié)AG、EG，則EF=EG 趣話勾股定理 1955年希臘發(fā)行了一張郵票，圖案是由三個棋盤排列而成。這張

4、郵票是紀念二千五百年前希臘的一個學派和宗教團體 畢達哥拉斯學派，它的成立以及在文化上的貢獻。郵票上的圖案是對數(shù)學上一個非常重要定理的說明。它是初等幾何中最精彩的，也是最著名和最有用的定理。在我國，人們稱它為勾股定理或商高定理；在歐洲，人們稱它為畢達哥拉斯定理。 勾股定理斷言：直角三角形的斜邊的平方等于其它二邊的平方的和。如果我們要找一個定理，它的出現(xiàn)稱得上是數(shù)學發(fā)展史上的里程碑，那么勾股定理稱得上是最佳選擇。但是，如果人們要考究這個定理的起源，則常常會感到迷惑。因為在歐洲，人們都把這個定理的證明歸功于畢達哥拉斯；但通過二十世紀對在美索不達米亞出土的楔形文字泥版書進行的研究，人們發(fā)現(xiàn)早在畢達哥拉

5、斯以前一千多年，古代巴比倫人就已經(jīng)知道這個定理。在我國西漢或更早時期的天文歷算著作周髀算經(jīng)中，第一章記述了西周開國時期（約公元前1000年）商高和周公姬旦的問答。周公問商高：“天不可階而升，地不可將盡寸而度?！碧斓母叨群偷孛娴囊恍y量的數(shù)字是怎么樣得到的呢？商高回答：“故折矩以為勾廣三，股修四，徑隅五。”即我們常說的勾三、股四、弦五。周髀算經(jīng)里還這樣記載：周髀長八尺，夏至之日晷一尺六寸。髀者，股也，正晷者，勾也。正南千里，勾一尺五寸，正北千里，勾一尺七寸。日益表南，晷日益長。候勾六尺，即取竹，空經(jīng)一寸，長八尺，捕影而觀之，室正掩日，而日應空之孔。由此觀之，率八十寸而得徑寸，故此勾為首，以髀為股

6、，從髀至日下六萬里而髀無影，從此以上至日，則八萬里。這段文字描述了中國古代人民如何利用勾股定理在科學上進行實踐。錢偉長教授對這段文字作了詳細的說明：“商高，陳子等利用立竿（即周髀）測定日影，再用勾股法推算日高的方法。周髀高八尺，在鎬京（今西安附近）一帶，夏至日太陽影長一尺六寸，再正南千里，影長一尺五寸。正北千里，影長一尺七寸。祖先天才地用測量日影的辦法，推算了夏至日太陽離地的斜高，用同理測定了冬至日的太陽斜高。又取中空竹管，徑一寸長八尺，用來觀測太陽，我們的祖先發(fā)現(xiàn)太陽圓影恰好充滿竹管的視線，於是用太陽的斜高和勾股的原則，推算太陽的直徑。這些測定的數(shù)據(jù)雖然非常粗略，和實際相差很遠，但在三千年前

7、那樣早的年代，有這樣天才的創(chuàng)造和實踐的觀測精神，是我們應該學習的。”由此，中國人把這個定理稱為勾股定理或商高定理是完全有道理的。但是，歐洲人稱這個定理為畢達哥拉斯定理，也有他們的說法。因為是畢達哥拉斯本人，至少是畢達哥拉斯學派的某一成員首先給出了對這個定理符合邏輯的證明。雖然，畢達哥拉斯有不少杰出的證明，如利用反證法證明2不是有理數(shù)，但最著名的就是證明勾股定理了。傳說當他得到了這個定理時，非常的高興，殺了一頭牛作為犧牲獻給天神。也有些歷史學家說是一百頭牛，這個代價可太大了！ 勾股定理是數(shù)學上有證明方法最多的定理有四百多種說明！希臘郵票上所示的證明方法，最初記載在歐幾里得的幾何原本里。漢朝的數(shù)學

8、家趙君卿，在注釋周髀算經(jīng)時，附了一個圖來證明勾股定理。這個證明是四百多種勾股定理的說明中最簡單和最巧妙的。您能想出趙老先生是怎樣證明這個定理的嗎？（提示：考慮黑邊框正方形的面積計算） 勾股定理及其逆定理 一、知識要點 1.掌握直角三角形的性質(zhì)。 如圖，直角ABC的性質(zhì) （1）勾股定理:C=90，則有 c2=a2+b2 另外還有: （2）C=90，則有A+B=90,（3）C=90，則有ca, cb。 （4）補充定理：在直角三角形中，如果有一個銳角等于30度，則這個角所對的直角邊等于斜邊的一半。 如圖： C=90且A=30，則有BC=AB (或者AB=2BC) 2.掌握勾股定理的逆定理： 勾股定理

9、是直角三角形的性質(zhì)定理，而勾股定理的逆定理為直角三角形的判定定理。 即在ABC中，若a2+b2=c2，則ABC為Rt。其中c是三角形中最長的邊。 3.注意事項: (1) 注意勾股定理只適用于直角三角形，一般的非直角三角形就不存在這種關(guān)系。 (2) 理解勾股定理的一些變式 c2=a2+b2, a2=c2-b2，b2=c2-a2 c2=(a+b)2-2ab, 2ab=(a+b+c)(a+b-c) (3) 在理解的基礎(chǔ)上熟悉下列勾股數(shù)。 滿足不定方程x2+y2=z2的三個正整數(shù)，稱為勾股數(shù)（又稱為高數(shù)或畢達哥拉斯數(shù)），顯然，以x,y,z為三邊長的三角形一定是直角三角形。 熟悉下列勾股數(shù)，對解題是會有

10、幫助的： (3,4,5),(6,8,10),(5,12,13),(7,24,25),(8,15,17) 如果(a,b,c)是勾股數(shù)，當t0時，以at,bt,ct為三角形的三邊長，此三角形必為直角三角形。 二、例題精講: 例1、已知如圖，在ABC中，ACB=90，AB=5cm, BC=3cm, CDAB于D，求CD的長。分析：本題考查勾股定理的應用，解題思路為先用勾股定理求AC，再運用三角形的面積公式得到SABC=BCAC=ABCD，于是不難求CD。 解：因為ABC是直角三角形，AB=5，BC=3，由勾股定理有AC2=AB2-BC2=25-9=16，故AC=4。 又SABC=BCAC=ABCD

11、CD=， CD的長是2.4cm。 解題規(guī)律： （1）勾股定理的一個重要應用就是已知直角三角形的兩邊可以求出第三條邊。因此，熟記一些平方數(shù)為勾股定理的運用提供便利。 （2）本題的解題關(guān)鍵是先用勾股定理求AC，再用“面積法”求CD。 例2、試判斷：三邊長分別為2n2+2n,2n+1,2n2+2n+1 (n0)的三角形是否是直角三角形。 分析：條件中給出的是三邊的長，要判斷三角形是否為直角三角形,應考察三邊的關(guān)系是否滿足a2+b2=c2,但是要找出最大的邊。 解： (2n2+2n+1)-(2n2+2n)=10, (2n2+2n+1)-(2n+1)=2n20(n0), 2n2+2n+1為三角形中最大邊

12、。 又 (2n2+2n+1)2=4n4+8n3+8n2+4n+1, (2n2+2n)2+(2n+1)2=4n4+8n3+8n2+4n+1, (2n2+2n+1)2=(2n2+2n)2+(2n+1)2 根據(jù)勾股定理的逆定理可知，此三角形為直角三角形。 解題規(guī)律： 如何判定一個三角形是否是直角三角形。 首先判定出最大邊（如c）； 驗證：c2與a2+b2是否具有相等關(guān)系： 若a2+b2=c2，則ABC是以C為直角的直角三角形。 若a2+b2c2，則ABC不是直角三角形。 例3、如果ABC的三邊分別為a、b、c，且滿足a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，判斷ABC的形狀。 分析：要判斷ABC的

13、形狀，需要找到a、b、c的關(guān)系，而題目中只有條件a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，故只有從該條件入手，解決問題。 解：由a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，得 a2-6a+9+b2-8b+16+c2-10c+25=0, (a-3)2+(b-4)2+(c-5)2=0。 (a-3)20, (b-4)20, (c-5)20。 a=3，b=4，c=5。 32+42=52, a2+b2=c2。 由勾股定理的逆定理，得ABC是直角三角形。 評注：勾股定理的逆定理是通過數(shù)量關(guān)系來研究圖形的位置關(guān)系的,在證明中也常要用到。 例4、已知：如圖，折疊長方形（四個角都是直角，對邊相等）的一邊AD，

14、使點D落在BC邊的點F處，已知AB=8cm, BC=10cm，求EC的長。 分析:容易知道三角形AEFAED，則AF=AD=BC=10，易求得BF、CF，在RtEFC中，滿足EF2=CE2+CF2。 解：設(shè)CE=x, 則DE=8-x, 由條件知：AEFAED，AF=AD=10， EF=DE=8-x, 在ABF中，BF2=AF2-AB2=102-82=62, BF=6, FC=4, 在RtEFC中：EF2=CE2+CF2， (8-x)2=x2+42, 即 64-16x+x2=16+x2, 16x=48, x=3, 答：EC的長為3cm。 解題規(guī)律：1.題目中有多個直角三角形，可以多次使用勾股定理

15、；2.利用解方程的思想來解決幾何問題是今后我們常用到的數(shù)學方法。 例5.如圖正方形ABCD，E為BC中點，F(xiàn)為AB上一點，且BF=AB。請問FE與DE是否垂直?請說明。 分析：題目中給出的是一些線段之間的關(guān)系,如何利用線段關(guān)系來考察直線垂直呢?連接DF,我們發(fā)現(xiàn)考察FE與DE是否垂直,實際上就是考察三角形DEF是否為直角三角形。 答：DEEF。 設(shè)BF=a，則BE=EC=2a, AF=3a，AB=4a, EF2=BF2+BE2=a2+4a2=5a2； DE2=CE2+CD2=4a2+16a2=20a2。 連接DF（如圖） DF2=AF2+AD2=9a2+16a2=25a2。 DF2=EF2+D

16、E2, FEDE。 解題思路: （1）要正確區(qū)別與運用勾股定理和它的逆定理； （2）用計算的方法來說明三角形是直角三角形也是常用的方法；（3）還可以設(shè)AB=a,有興趣的同學試試看；（4）在以后的學習中還可以看到此題有更多和更好的證明方法。 例6、（上海市中考題）如圖，公路MN和公路PQ在點P處交匯，且QPN=30，點A處有一所中學，AP=160m。假設(shè)拖拉機行駛時，周圍100m以內(nèi)會受到噪音的影響，那么拖拉機在公路MN上沿PN方向行駛時，學校是否會受到噪聲影響？請說明理由，如果受影響，已知拖拉機的速度為18km/h，那么學校受影響的時間為多少秒？ 分析：（1）要判斷拖拉機的噪音是否影響學校A，

17、實質(zhì)上是看A到公路的距離是否小于100m, 小于100m則受影響，大于100m則不受影響，故作垂線段AB并計算其長度。 （2）要求出學校受影響的時間，實質(zhì)是要求拖拉機對學校A的影響所行駛的路程。因此必須找到拖拉機行至哪一點開始影響學校，行至哪一點后結(jié)束影響學校。 解：作ABMN，垂足為B。 在RtABP中，ABP=90，APB=30， AP=160， AB=AP=80。 （在直角三角形中，30所對的直角邊等于斜邊的一半） 點A到直線MN的距離小于100m,這所中學會受到噪聲的影響。 如圖，假設(shè)拖拉機在公路MN上沿PN方向行駛到點C處學校開始受到影響，那么AC=100(m)，由勾股定理得：BC2

18、=1002-802=3600, BC=60。 同理，拖拉機行駛到點D處學校開始脫離影響，那么，AD=100(m)，BD=60(m),CD=120(m)。 拖拉機行駛的速度為: 18km/h=5m/s t=120m5m/s=24s。 答略。 小結(jié):勾股定理是求線段的長度的很重要的方法,若圖形缺少直角條件,則可以通過做輔助垂線的方法,構(gòu)造直角三角形以便利用勾股定理。 例7.CD是ABC的高，試判斷：“CA2-CB2=AB(DA-DB)”是否成立？ 分析： (1)作出三角形的高以后,可以出現(xiàn)兩個直角三角形； (2)由于三角形的高有不同情況，高可能在三角形內(nèi)部,可能在三角形外部,因而要考慮分類討論；

19、(3)根據(jù)問題需要，可考慮應用勾股定理進行試探。 答：（1）當CD在ABC形內(nèi)時（如圖）： CA2-CB2=AD2-DB2=(AD+DB)(AD-DB)=AB(AD-DB) （2）當CD在ABC形外時（如圖）： CA2-CB2=AD2-DB2=(AD+DB)(AD-DB)=AB(AD+DB) 所以，當高在三角形內(nèi)部時成立，在三角形外時不成立。 解題思路: （1）有直角時，出現(xiàn)線段平方的關(guān)系常常會涉及到勾股定理； （2）當可能性不唯一時，要分類討論。 練習: 1.填空題目: （1）直角三角形的周長為12cm，斜邊的長為5cm，則其面積為_； 答：6。 詳解：設(shè)兩直角邊分別為a和b，則有：a+b=

20、7, 將a+b=7兩邊平方得： a2+2ab+b2=49而a2+b2=52=25, 2ab=24, ab=6。 （2）如果一個直角三角形的一條直角邊是另一條直角邊的2倍，斜邊長是5cm，那么這個直角三角形的面積為_。 答：5 詳解：設(shè)一條直角邊為a，另一條直角邊為2a，則S=a2a=a2, 而a2+(2a)2=25, a2=5，S=a2=5。 (3)若三角形的三邊為n+1, n+2,n+3，當n=_時，這個三角形是直角三角形。 答：2。 詳解：n+3是最大邊，當(n+1)2+(n+2)2=(n+3)2時，即n=2時，這個三角形是直角三角形。 (4)如圖，ADCD，AB=13，BC=12，CD=

21、4，AD=3，若CAB=55，則B=_。 答：35。 解：在直角三角形ADC中，求得AC=5,由此可證得：ABC為Rt。則有B=90-CAB=35 (5)如果梯子的底端離建筑物9m，那么15m長的梯子可以到達建筑物的高度是_。 答：12m。點撥：設(shè)到達的高度為x，則有x2=152-92=144。 x=12。 2.選擇題: (1)如圖，有一塊直角三角形紙片，兩直角邊AC=6cm, BC=8cm，現(xiàn)將直角邊AC沿直線AD折疊，使它落在斜邊AB上，且與AE重合，則CD等于（ ）。 A、2cmB、3cmC、4cmD、5cm 答：B。 詳解：AB2=62+82=100,所以AB=10。 依題意有：ACD

22、AED。 設(shè)CD=x, 則DE=x, BD=8-x, BE=10-6=4。 在RtDEB中：x2+42=(8-x)2, x=3cm。 （2）如果線段a,b,c能組成直角三角形，則它們的比可以是（ ） A、124 B、135 C、347 D、51213 答：D。 設(shè)三邊分別為5m, 12m, 13m。三邊滿足勾股數(shù)。 （3）下列敘述中，正確的是（ ）。 A、直角三角形中，兩條邊的平方和等于第三邊的平方。 B、如果一個三角形中兩邊的平方和等于第三邊的平方，那么這個三角形是直角三角形 C、ABC中，A、B、C的對邊分別是a,b,c，若a2+b2=c2，則A=90 D、ABC中，A、B、C的對邊分別是

23、a,b,c，若c2-a2=b2，那么B=90 答：B。分析：A錯，直角三角形中兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方。 （4）直角三角形有一條直角邊的長為11，另外兩邊的長也是自然數(shù)，那么它的周長是（ ）。 A、132 B、121 C、120 D、以上答案都不對 答：A。 詳解：設(shè)另兩邊為x,y (xy)，則有x2-y2=112=121，由平方差公式得(x+y)(x-y)=121， x+yx-y。 x+y=121且x-y=1, 周長為121+11=132。 3.如圖，從電線桿離地面6m處向地拉一條長10m的纜繩，這條纜繩在地面的固定點距離電線桿底部有多遠？ 依題意：AC=6，AB=10，如圖，在Rt

24、ACB中，BC=8(m)。故這條纜繩在地面的固定點距離電線桿底部有8m。 4.在一根長為24個單位的繩子上，分別標出A、B、C、D四個點，它們將繩子分成長為6個單位、8個單位和10個單位的三條線段。一手將繩子的兩個端點握在一起（A點和D點），兩名同伴分別握住B點和C點，一起將繩子拉直，會得到一個什么形狀的三角形？為什么？ 答：得到一個直角三角形，因為62+82=102。所以，所得三角形為Rt。 5.已知：如圖，在ABC中，A=90，DE為BC的垂直平分線。求證：BE2=AC2+AE2。 答：連CE，則BE=CE， A=90， AE2+AC2=EC2，（勾股定理） AE2+AC2=BE2，即 B

25、E2=AC2+AE2。 第一章檢測題 一、選擇題 1、若把直角三角形的三邊都增加同樣的長度，則新三角形是（ ）。A、銳角三角形B、直角三角形C、鈍角三角形D、不能確定 2、下列各組數(shù)分別是三角形三條邊的長，能構(gòu)成直角三角形的邊的是（ ）。 A、5，13，13B、1，C、1，3D、1.5，2.5，3.5 3、正方形ACEF的邊AC是正方形ABCD的對角線，則正方形ABCD與正方形ACEF的面積比是（ ）。A、2B、1C、12D、41 4、已知三角形兩邊分別是5和12，若這兩邊的夾角是30，則其面積是（ ）。A、30B、15C、45D、60 5、已知等邊三角形的面積為cm2，那么它的高是（ ）。A

26、、cmB、cmC、cmD、cm 二、填空題 6、如圖1，CE、CD分別是RtABC斜邊上的高和中線，那么圖中所有的直角三角形分別是_，圖中所有的等腰三角形是_，其中相等的線段是_=_=_。 7、如圖2，在ABC中，ADBC，DEAB，EFAC交AD于G，那么圖中所有直角三角形分別是_，DAC是Rt_與Rt_的公共角，C=_=_；若BAD=42，CAD=15，則GDE=_度，DGE=_度，DEG=_度。 8、在ABC中，A的對邊為a，B的對邊為b，C的對邊為c，C=90。 若a=5，b=12，c=_。 若b=5，c=7，則a=_。 若c=30，ab=34，則a=_，b=_。 若a=m，A=30，

27、則b=_，c=_。 若b=m，A=30，則a=_，c =_。 若a=b，c=m，則a=_，SABC=_。 若a=b=m，則c=_，SABC=_。 9、在RtABC中，C=90，a=6，b=8，則c=_，斜邊上的高等于_。 10、正方形的面積為acm2，則以這個正方形的對角線為邊的正三角形的面積是_。 11、在ABC中，BC=n2-1，AC=2n，AB=n2+1，則A+B=_。12、直角三角形的兩直角邊長分別是3cm和4cm，則斜邊上的高是_cm。 13、已知等邊三角形的邊長為6，則它的高是_，面積是_。 14、在ABC中，ACBC，以AC和BC為邊向形外作等邊三角形的面積為3cm2和4cm2，

28、則以斜邊AB為邊向形外所作等邊三角形的面積是_。 15、已知直角三角形的兩條直角邊是6cm和8cm，則斜邊上的中線長是_。 16、若直角三角形的兩直角邊滿足a+b=，斜邊c=2，則SABC=_。 三、解答題 17、在ABC中，C=90，AB=m2+n2，BC=m2-n2 (mn0)，求AC。 18、直角三角形斜邊上的中線比一直角邊短1cm。如果斜邊長為10cm，求兩條直角邊的長和面積。 19、如圖3，在ABC中，ABAC，AD是中線，AE是高。求證：AB2-AC2=2BCDE。 20、如圖4，水池中離岸邊D點1.5m的C處，直立長著一根蘆葦，出水部分BC的長是0.5m，把蘆葦拉到岸邊，它的頂端

29、B恰好在D點。求：水的深度AC。 21、沙漠探險隊的A組由駐地出發(fā)，以12公里/小時的速度向東南方向搜索前進，同時，B組也由駐地出發(fā)，以9公里/小時的速度向東北方向搜索前進，求2個小時后，A、B兩組之間的距離。 第一章檢測題答案： 一、1.A2.B 3.C4.B5.C 二、6. ABC、AEC、BEC、DEC； ADC、BDC； AD，DC，DB 7、ADB、ADC、DEB、DEA、AEF、AGF； ADC，AFG;AGF，EGD； 48，75，57 8、 13 18，24 ，2m 9、10，4.8 （提示：利用直角三角形的兩個面積公式，得到方程即ab=ch，得到,其中a,b,為直角邊，c為斜

30、邊，h為斜邊上的高.） 10、 11、90（提示：滿足BC2AC2=AB2，所以三角形ABC是以頂點C為直角的RT。） 12、13、 14、7cm2 （提示：等邊三角形的面積公式為，其中a為等邊三角形的邊長。這個公式記住直接用會很快。設(shè)RT三邊為a，b，c，則。） 15、5cm 16、。(提示：a+b=，則(a+b)2=6，a2+b2+2ab=c2+2ab=6，所以2ab=6-22=2，直角三角形的面積為)三、17、2mn18、6cm，8cm，24cm2。 19、證明：AB2-AC2 =(BE2+AE2)-(EC2+AE2) =BE2-EC2 =(BE+EC)(BE-EC) =BC(BE-EC

31、) BD=DC， BE=BC-EC=2DC-EC。 AB2-AC2=BC(2DC-2EC)=2BCDE。 20、如圖，依題意AB=AD，ABCD，設(shè)AC長度為x，由題意得CD=1.5，AB=x+0.5=AD，所以：x2+1.52=(x+0.5)2，解得x=2。 答：水的深度為2米。 21、2小時后，A組走的路程為：122=24，B組走的路為：92=18。 因兩組前進的方向是直角，所以兩組之間的距離是： =30（公里）。 答：2小時后，兩組之間的距離是30公里。 第二章實數(shù)平方根和立方根 一、知識要點： 1、平方根的意義：如果一個數(shù)的平方等于a，這個數(shù)就叫做a的平方根（或二次方根）。注意：這樣的

32、數(shù)常常有兩個。 2、平方根的性質(zhì)：(1)一個正數(shù)有兩個平方根,它們互為相反數(shù);如9的平方根是3。 (2)0的平方根是0本身；(3)負數(shù)沒有平方根。 3.平方根的表示方法: 正數(shù)a的平方根表示為“” 4.算術(shù)平方根:正數(shù)a的正的平方根也叫做a的算術(shù)平方根。記作。0的平方根0,也叫做0的算術(shù)平方根。 5.0（當 a0時, 無意義）。 到此為止,我們已學完三個非負數(shù):|a|、a2和(a0)。 6.立方根和開立方同平方根開平方的概念類似。 二.易犯錯誤： 1.算術(shù)平方根與平方根混淆，例如出現(xiàn)100的平方根等于10的錯誤 2.表示的正數(shù)a的算術(shù)平方根。蘊含條件a0。 三.例題分析: 例1.求下列各數(shù)的平

33、方根,算術(shù)平方根:(1)121(2)0.0049(3)(4)4(5)|a|2 解: (1)(11)2=121 121的平方根是11,算術(shù)平方根是11； 即=11, =11。 (2)(0.07)2=0.0049 0.0049的平方根是0.07,算術(shù)平方根是0.07, 即,=0.07, =0.07。 (3)()2= 的平方根是,算術(shù)平方根是, 即=,=。 (4)要先把帶分數(shù)化成假分數(shù),即4 ()2= 4的平方根為，算術(shù)平方根為。 即,。 (5) (|a|)2=|a|2,而|a|=a。 |a|2的平方根是a,算術(shù)平方根為|a|。 說明:通過例1,我們看到必須熟記1-20的平方數(shù),和1-10的立方數(shù),

34、才能很好地做這部分習題。 例2. 求下列各式的值: 解: (1)3=3= (2)= (3)=8 (4)= (5)-(帶分數(shù)要先化成假分數(shù)) (6)3=37=21 (7) (8)0.6+0.9=0.3+0.3=0.6 (9)(ab)=a0 原式= （2）bc, bd；原式=3a+2c+d+2(b-c)+b-d =3a+2c+d+2b-2c+b-d =3a+3b=3a-3a=0 例5. 求下列各式中的x: (1)49x2=169 解: x2= x=x=。 (2) 9(3x-2)2=(-7)2 分析:先求出3x-2的值,再進一步求x的值。 解: (3x-2)2= 3x-2=3x-2=接下來需分類討論

35、。 當3x-2=時,3x=+2, x=。 當3x-2=-時, 3x=-+2, x=-。 x=或x=-。 (3)=11 解:兩邊平方得x=121。 (4) 27(x-3)3=-64 解:(x-3)3=-x-3= x-3=-x= (5) (5x+2)3-125=0 解:(5x+2)3=1255x+2= 5x+2=5 x= (6) =2 解:x-1=23x-1=8x=9 例6.若(x-y+5)2與互為相反數(shù),求x,y的值。 解: (x-y+5)2與互為相反數(shù)。 (x-y+5)2+=0 (x-y+5)20, 0, 解這個方程組得 x=-且y=。 說明:在這里用到幾個非負數(shù)的和為零,只有這幾個非負數(shù)分別

36、是零,才符合要求這一性質(zhì)。 四.練習: 1.判斷正誤: (1)的平方根是3。 （ ） (2)=。 （ ） (3)16的平方根是4。 （ ） (4)任何數(shù)的算術(shù)平方根都是正數(shù)。 （ ） (5)是3的算術(shù)平方根。 （ ） (6)若a2=b2,則a=b。 （ ） (7)若a=b,則a2=b2。 （ ） (8)729的立方根是9。 （ ） (9)-8的立方根是-2。 （ ） (10)的平方根是。 （ ） (11)-沒有立方根。 （ ） (12)0的平方根和立方根都是0。 （ ） 2.填空: (1)(-3)2的平方根是_,算術(shù)平方根是_。 (2)169的算術(shù)平方根的平方根是_。 (3)的負的平方根是_。

37、 (4)-是_的一個平方根,(-)2的算術(shù)平方根是_。 (5)當m=_時, 有意義；當m=_時, 值為0。 (6)當a為_時,式子有意義。 (7)是4的_,一個數(shù)的立方根是-4,這個數(shù)是_。 (8)當x為_時, 有意義。 (9)已知x2=11,則x=_。 (10)當a0時,= _。 3.選擇題:(單選) (1)在實數(shù)運算中,可進行開平方運算的是( )。 (A)負實數(shù) (B)正數(shù)和零 (C)整數(shù) (D)實數(shù) (2)若=5,則x=( ) (A)0 (B)10 (C)20 (D)30 (3)下列各式中無意義的是( )。(A)-(B)(C)(D) (4)下列運算正確的是( ) (A)-=13(B)=-

38、6(C)-=-5(D)= (5)如果a0，則= ，即求負數(shù)的立方根，可以先求出這個負數(shù)的絕對值的立方根，然后再取它的相反數(shù)。 中考典例(湖南長沙)8的立方根與4的算術(shù)平方根的和是( )A、0B、4C、4D、0或4 考點：算術(shù)平方根、立方根。 評析：根據(jù)立方根，算術(shù)平方根的意義，先分別求出8的立方根為2，4的算術(shù)平方根為2，最后求和即2+2=0故選A。 真題專練1、(杭州市)下列各組數(shù)中，互為相反數(shù)的是( ) A、0B、|2|與2C、2與D、2與 2、(河北省)在下列式子中，正確的是( )A、=B、=0.6C、D、 答案：1、C；2、A 課外拓展、平方根近似值的一種求法 在不少場合，我們需要求出

39、某個正數(shù)平方根的近似值，那么，通常采用什么方法呢？教科書中介紹了查表的方法，使用計算器的方法和筆算開平方法，這些都是十分實用的。下面我們介紹另一種實用的方法。 假定我們要求的近似值。因為32=9，42=16，據(jù)此知道比3大比4小，設(shè)=3+b，b是一個正的純小數(shù)，兩邊平方得到13=9+6b+b2 因為b2是一個比b還小得多的正純小數(shù)，舍去b2得到13=9+6b， 于是得到的一個近似值為3.67。 若我們要得到更好的近似值，那么，可以以第一次得到的近似值為基礎(chǔ)，設(shè)=, c是一個絕對值較小的正數(shù)或負數(shù)。兩邊平方得, 舍去c2，得到,。 于是就有=3.670.06=3.61，即得到的第二次近似值為3.

40、61。 觀察上面的計算過程，就可發(fā)現(xiàn)，在式子=3+b和=+c中，或是接近于的一個有理數(shù)，b或c用分數(shù)表示時，它的分子是被開方數(shù)13與接近于的數(shù)的平方之差，分母是2倍的接近于的數(shù)，即有=3+，=。 由此我們可以看到，這其中隱藏著的某種規(guī)律性的東西，用式子表示出來就是 a+。 這一規(guī)律早在我國魏晉間杰出的數(shù)學家劉徽的九章算術(shù)注里（約公元263年前后）就已提及。不僅如此，書中還提到，在非平方數(shù)的場合，有另一近似表達式a+， 并指出平方根的值在兩個近似值之間： a+a+。 利用這些公式，在0|b|a2的情況下，我們就可以很方便地求出一個正數(shù)平方根的近似值。 例如 ，如果我們?nèi)=, b=-, 就可求出

41、古代巴比倫人給出的的近似值。 如果我們?nèi)=, b=, 就可以得到的第一次近似值, 從出發(fā)，就可求出的第二次近似值。這一結(jié)果是古希臘偉大數(shù)學家阿基米德在他的著作中給出的的一個近似值：與的差小于0.0000005。 如果我們?nèi)=3.5 ，b=0.25，就可迅速求出3.536，它與教科書上的筆算開平方得到的結(jié)果=3.54是一致的。 無理數(shù)的引入與確立 我們知道實數(shù)可分為有理數(shù)和無理數(shù)。有理數(shù)都可以用分數(shù)的形式來表示。當用小數(shù)的形式表示時，每個有理數(shù)都可寫成一個有限小數(shù)或一個無限循環(huán)小數(shù)。而無理數(shù)則只能用一個無限不循環(huán)小數(shù)來表示。 在古代由于日常生活中不僅要計算單個的對象，還要度量各種量，例如長度

42、、重量等，為了滿足這些簡單度量的需要，于是便引入了分數(shù)。古希臘的畢達哥拉斯學派認為度量就是一種量與量的比較，任何兩條線段之比，都可以用兩個整數(shù)的比來比較，也即一條線段的長度可以表示成某一適當長度單位的倍數(shù)，因此在畢達哥拉斯學派看來，世界上只存在整數(shù)和分數(shù)，除此以外，沒有別的什么數(shù)了。然而得到了公元前5世紀，畢達哥拉斯學派的一個成員依帕索在考慮單位正方形的對角線的長度時，發(fā)現(xiàn)了一個與該學派信念線段的長度總是可以表示成整數(shù)或整數(shù)的比相矛盾的結(jié)論。如果我們設(shè)單位正方形對角線的長能寫與整數(shù)或整數(shù)的比，即可設(shè)它為ab，其中a、b的最大公約數(shù)為1，那么根據(jù)勾股定理，易推得a、b滿足b2=2a2，因此b2也

43、即b必是偶數(shù)，這樣b就可寫成b2c，代入b2=2a2得a2=2c2，因此可得a2也即a必是偶數(shù)，于是a、b就存在一個公約數(shù)為2，這與假設(shè)a、b的最大公約數(shù)為1矛盾，所以單位正方形對角線的長不能用整數(shù)或整數(shù)的比表示。 這一發(fā)現(xiàn)非同尋常，使該學派感到十分震驚和困惑，它說明存在著一種不能用整數(shù)或整數(shù)的比表示的量，這直接違背了該學派的信念，純屬大逆不道。于是該學派按教規(guī)缺席審判要活埋依帕索，依帕索當時聽到風聲便逃走了。然而幾年之后，畢達哥拉斯學派的忠實門徒還是找到了依帕索，他們殘忍地將他扔進了地中海，害死了他。對于依帕索所發(fā)現(xiàn)的新數(shù)，古希臘數(shù)學家稱之為“ir-ratio-nal number”，意思是說“不成比（或不能表達）的數(shù)”，而實際上他們并不想將它看成一個數(shù)。到了1606年，我國明朝的徐光啟與意大利傳教士利瑪竇合譯歐幾里得原本