（北京專用）2020屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第五章 平面向量 5.2 平面向量的數(shù)量積及其應(yīng)用課件

1、5.2平面向量的數(shù)量積及其應(yīng)用 高考數(shù)學(xué)高考數(shù)學(xué) (北京專用) A A組自主命題組自主命題北京卷題組北京卷題組 五年高考 考點(diǎn)一數(shù)量積的定義及模、夾角運(yùn)算考點(diǎn)一數(shù)量積的定義及模、夾角運(yùn)算 1.(2016北京,4,5分)設(shè)a,b是向量.則“|a|=|b|”是“|a+b|=|a-b|”的() A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件 C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件 答案答案D當(dāng)|a|=|b|=0時(shí),|a|=|b|a+b|=|a-b|. 當(dāng)|a|=|b|0時(shí),|a+b|=|a-b|(a+b)2=(a-b)2ab=0ab,推不出|a|=|b|.同樣,由|a|=|b|也不能推出 ab.故選D.

2、 解后反思解后反思由向量加、減法的幾何意義知:當(dāng)a、b不共線,且|a|=|b|時(shí),a+b與a-b垂直;當(dāng)ab時(shí),| a+b|=|a-b|. 評(píng)析評(píng)析本題考查向量的模及運(yùn)算性質(zhì),屬容易題. 2.(2018北京文,9,5分)設(shè)向量a=(1,0),b=(-1,m).若a(ma-b),則m=. 答案答案-1 解析解析本題主要考查平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算. a=(1,0),b=(-1,m),a2=1,ab=-1, 由a(ma-b)得a(ma-b)=0,即ma2-ab=0, 即m-(-1)=0,m=-1. 3.(2016北京文,9,5分)已知向量a=(1,),b=(,1),則a與b夾角的大小為. 33 答

3、案答案 6 解析解析cos=, a與b夾角的大小為. | | a b ab 133 1 2 2 3 2 6 考點(diǎn)二數(shù)量積的綜合應(yīng)用考點(diǎn)二數(shù)量積的綜合應(yīng)用 1.(2017北京文,12,5分)已知點(diǎn)P在圓x2+y2=1上,點(diǎn)A的坐標(biāo)為(-2,0),O為原點(diǎn),則的最大值 為. AO AP 答案答案6 解析解析解法一:表示在方向上的投影與|的乘積,當(dāng)P在B點(diǎn)時(shí),有最大 值,此時(shí)=23=6. 解法二:設(shè)P(x,y),則=(2,0)(x+2,y)=2x+4,由題意知-1x1,x=1時(shí),取最大值6, 的最大值為6. AO AP AP AO AO AO AP AO AP AO AP AO AP AO AP 2

4、.(2012北京,13,5分)已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1,點(diǎn)E是AB邊上的動(dòng)點(diǎn),則的值為 ;的最大值為. DE CB DE DC 答案答案1;1 解析解析如圖所示: 以A點(diǎn)為原點(diǎn),AB邊所在直線為x軸,AD邊所在直線為y軸建立直角坐標(biāo)系,則正方形各頂點(diǎn)坐 標(biāo)分別為A(0,0),B(1,0),C(1,1),D(0,1),設(shè)E(a,0),0a1. =(a,-1)(0,-1)=a0+(-1)(-1)=1. =(a,-1)(1,0)=a+(-1)0=a1,故的最大值為1. DE CB DE DC DE DC B B組統(tǒng)一命題組統(tǒng)一命題省省( (區(qū)、市區(qū)、市) )卷題組卷題組 考點(diǎn)一數(shù)量積的定義及模、

5、夾角運(yùn)算考點(diǎn)一數(shù)量積的定義及模、夾角運(yùn)算 1.(2019課標(biāo)全國文,3,5分)已知向量a=(2,3),b=(3,2),則|a-b|=() A.B.2C.5D.50 22 答案答案A本題主要考查平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算以及向量模的計(jì)算;考查數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng). a=(2,3),b=(3,2),a-b=(-1,1),|a-b|=,故選A. 22 ( 1)12 一題多解一題多解a=(2,3),b=(3,2),|a|2=13,|b|2=13,ab=12,則|a-b|= .故選A. 22 2aa bb 132 1213 2 2.(2019課標(biāo)全國理,3,5分)已知=(2,3),=(3,t),|=1,則=()

6、A.-3B.-2C.2D.3 AB AC BC AB BC 答案答案C本題考查了平面向量的坐標(biāo)表示以及數(shù)量積和模的求解;通過模的運(yùn)算,考查了方 程的思想方法.考查的核心素養(yǎng)為數(shù)學(xué)運(yùn)算. =-=(1,t-3), |=1,t=3, =(2,3)(1,0)=2. BC AC AB BC 22 1(3)t AB BC 思路分析思路分析先利用|=1求出t的值,再利用數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算求出數(shù)量積.BC 3.(2019課標(biāo)全國理,7,5分)已知非零向量a,b滿足|a|=2|b|,且(a-b)b,則a與b的夾角為() A.B.C.D. 6 3 2 3 5 6 答案答案B本題考查向量的運(yùn)算及向量的夾角;考查學(xué)生的

7、運(yùn)算求解能力;考查了數(shù)形結(jié)合思 想;考查的核心素養(yǎng)是數(shù)學(xué)建模和數(shù)學(xué)運(yùn)算. 解法一:因?yàn)?a-b)b,所以(a-b)b=ab-|b|2=0,又因?yàn)閨a|=2|b|,所以2|b|2cos-|b|2=0,即cos =,又知0,所以=,故選B. 解法二:如圖,令=a,=b,則=-=a-b,因?yàn)?a-b)b,所以O(shè)BA=90,又|a|=2|b|,所以 AOB=,即=.故選B. 1 23 OA OB BA OA OB 3 3 思路分析思路分析本題可由兩向量垂直的充要條件建立方程求解;也可以將兩向量放在直角三角形 中,由題設(shè)直接得到兩向量的夾角. 4.(2018課標(biāo),4,5分)已知向量a,b滿足|a|=1,

8、ab=-1,則a(2a-b)=() A.4B.3C.2D.0 答案答案B因?yàn)閨a|=1,ab=-1,所以a(2a-b)=2|a|2-ab=212-(-1)=3.故選B. 5.(2016課標(biāo),3,5分)已知向量=,=,則ABC=() A.30B.45C.60D.120 BA 13 , 22 BC 3 1 , 22 答案答案AcosABC=,所以ABC=30,故選A. | | BA BC BABC 3 2 思路分析思路分析由向量的夾角公式可求得cosABC的值,進(jìn)而得ABC的大小. 6.(2016山東,8,5分)已知非零向量m,n滿足4|m|=3|n|,cos=.若n(tm+n),則實(shí)數(shù)t的值為

9、() A.4B.-4 C.D.- 1 3 9 4 9 4 答案答案B因?yàn)閚(tm+n),所以tmn+n2=0,所以mn=-,又4|m|=3|n|,所以cos= =-=,所以t=-4.故選B. 2 n t| | m n mn 2 4 3| m n n 4 3t 1 3 7.(2019課標(biāo)全國文,13,5分)已知向量a=(2,2),b=(-8,6),則cos=. 答案答案- 2 10 解析解析本題考查平面向量夾角的計(jì)算,通過向量的坐標(biāo)運(yùn)算考查學(xué)生的運(yùn)算求解能力,體現(xiàn)運(yùn) 算法則與運(yùn)算方法的素養(yǎng)要素. 由題意知cos=-. | | a b ab 2222 2 ( 8)2 6 22( 8)6 2 10

10、8.(2019課標(biāo)全國理,13,5分)已知a,b為單位向量,且ab=0,若c=2a-b,則cos=. 5 答案答案 2 3 解析解析本題主要考查平面向量的數(shù)量積、模長(zhǎng)及平面向量夾角的計(jì)算;通過向量的數(shù)量積、 夾角的求解考查學(xué)生運(yùn)算求解的能力,體現(xiàn)了數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng). |a|=|b|=1,ab=0, ac=a(2a-b)=2a2-ab=2, |c|=|2a-b|=3. cos=. 55 5 2 (25 )ab 22 4a5b4 5a b | a c a c 2 3 小題巧解小題巧解不妨設(shè)a=(1,0),b=(0,1),則c=2(1,0)-(0,1)=(2,-),cos=.55 2 1 3 2

11、3 方法總結(jié)方法總結(jié)利用數(shù)量積求解向量模的處理方法: a2=aa=|a|2或|a|=; |ab|=. a a 2 ()ab 9.(2017課標(biāo)全國文,13,5分)已知向量a=(-1,2),b=(m,1).若向量a+b與a垂直,則m=. 答案答案7 解析解析解法一:a=(-1,2),b=(m,1), a+b=(m-1,3),(a+b)a, (a+b)a=-(m-1)+6=0,解得m=7. 解法二:由已知可得(a+b)a=aa+ba=1+4-m+2=0,解得m=7. 解法三:如圖,設(shè)a=,b=,a+b=,由于向量a+b與a垂直,可知COB為直角三角形,故|a|2+|a +b|2=|b|2,即1+4

12、+(m-1)2+32=m2+1,解得m=7. OB OA OC 10.(2017山東,12,5分)已知e1,e2是互相垂直的單位向量.若e1-e2與e1+e2的夾角為60,則實(shí)數(shù) 的值是. 3 答案答案 3 3 解析解析由題意不妨設(shè)e1=(1,0),e2=(0,1),則e1-e2=(,-1),e1+e2=(1,).根據(jù)向量的夾角公式得 cos60=,所以-=,解得=. 33 2 ( 3, 1) (1, ) 2 1 2 3 2 1 1 2 3 2 1 3 3 疑難突破疑難突破根據(jù)“e1,e2是互相垂直的單位向量”將原問題轉(zhuǎn)化為向量的坐標(biāo)運(yùn)算是解決本題 的突破口. 易錯(cuò)警示易錯(cuò)警示對(duì)向量的夾角公式

13、掌握不牢而致錯(cuò). 11.(2016山東,13,5分)已知向量a=(1,-1),b=(6,-4).若a(ta+b),則實(shí)數(shù)t的值為. 答案答案-5 解析解析因?yàn)閍(ta+b),所以a(ta+b)=0,即ta2+ab=0,又因?yàn)閍=(1,-1),b=(6,-4),所以|a|=,ab=16 +(-1)(-4)=10,因此可得2t+10=0,解得t=-5. 2 方法總結(jié)方法總結(jié)正確利用兩向量垂直的充要條件是構(gòu)造關(guān)于t的方程的前提.兩非零向量a=(x1,y1) 與b=(x2,y2)垂直的充要條件為x1x2+y1y2=0. 評(píng)析評(píng)析本題主要考查向量的數(shù)量積運(yùn)算,向量的模以及兩向量垂直的充要條件等基礎(chǔ)知識(shí),

14、考 查學(xué)生的運(yùn)算求解能力以及方程思想的應(yīng)用. 12.(2015浙江,13,4分)已知e1,e2是平面單位向量,且e1e2=.若平面向量b滿足be1=be2=1,則|b|= . 1 2 答案答案 2 3 3 解析解析令e1與e2的夾角為,e1e2=|e1|e2|cos=cos=,又0180,=60.因?yàn)閎(e1-e2)=0, 所以b與e1、e2的夾角均為30,從而|b|=. 1 2 1 cos30 2 3 3 考點(diǎn)二數(shù)量積的綜合應(yīng)用考點(diǎn)二數(shù)量積的綜合應(yīng)用 1.(2018天津文,8,5分)在如圖的平面圖形中,已知OM=1,ON=2,MON=120,=2,=2 ,則的值為() A.-15B.-9C.

15、-6D.0 BM MA CN NA BC OM 答案答案C解法一:連接OA.=-=3-3=3(-)-3(-)=3(-), =3(-)=3(-|2)=3(21cos120-12)=3(-2)=-6.故選C. 解法二:在ABC中,不妨設(shè)A=90,取特殊情況ONAC,以A為坐標(biāo)原點(diǎn),AB,AC所在直線分 別為x軸,y軸建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系,因?yàn)镸ON=120,ON=2,OM=1,所以O(shè),C ,M,B. 故=-=-6.故選C. BC AC AB AN AM ON OA OM OA ON OM BC OM ON OM OM ON OM OM 3 2, 2 3 3 0, 2 5 ,0 2 15 ,

16、0 2 BC OM 15 3 3 , 22 13 , 22 15 4 9 4 2.(2018天津,8,5分)如圖,在平面四邊形ABCD中,ABBC,ADCD,BAD=120,AB=AD=1.若 點(diǎn)E為邊CD上的動(dòng)點(diǎn),則的最小值為() A.B.C.D.3 AE BE 21 16 3 2 25 16 答案答案A本題主要考查數(shù)量積的綜合應(yīng)用. 解法一:如圖,以D為原點(diǎn),DA所在直線為x軸,DC所在直線為y軸,建立平面直角坐標(biāo)系,則A(1,0), B,C(0,),令E(0,t),t0,=(-1,t)=t2-t+,t0,當(dāng)t =-=時(shí),取得最小值,()min=-+=.故選A. 解法二:令=(01),由已

17、知可得DC=, =+,=+=+, =(+)(+) =+|2+2|2 =32-+. 33 , 22 33AE BE 33 , 22 t 3 2 3 2 3 3 2 2 1 3 4 AE BE AE BE 3 16 3 2 3 4 3 2 21 16 DE DC 3 AE AD DC BE BA AE BA AD DC AE BE AD DC BA AD DC AD BA AD DC BA DC 3 2 3 2 當(dāng)=-=時(shí),取得最小值.故選A. 3 2 2 3 1 4 AE BE 21 16 方法總結(jié)方法總結(jié)向量的最值問題常用數(shù)形結(jié)合的方法和函數(shù)的思想方法求解,建立函數(shù)關(guān)系時(shí),可 用平面向量基本定

18、理,也可利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算. 3.(2017課標(biāo),12,5分)已知ABC是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形,P為平面ABC內(nèi)一點(diǎn),則(+ )的最小值是() A.-2B.-C.-D.-1 PA PB PC 3 2 4 3 答案答案B設(shè)BC的中點(diǎn)為D,AD的中點(diǎn)為E, 則有+=2, 則(+)=2 =2(+)(-)=2(-). 而=, 當(dāng)P與E重合時(shí),有最小值0,故此時(shí)(+)取最小值,最小值為-2=-2=-. PB PC PD PA PB PC PA PD PE EA PE EA 2 PE 2 EA 2 AE 2 3 2 3 4 2 PE PA PB PC 2 EA 3 4 3 2 方法總結(jié)方法總結(jié)在求向量數(shù)量

19、積的最值時(shí),常用取中點(diǎn)的方法,如本題中利用=-可 快速求出最值. PA PD 2 PE 2 EA 3 13 , 22 PA PB PC PA PD 13 , 22 xy 13 (1) 22 xxyy 2 2 133 444 xy 1 4 3 4 PA PB PC 3 4 3 2 一題多解一題多解以AB所在直線為x軸,AB的中點(diǎn)為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系,如圖, 則A(-1,0),B(1,0),C(0,),設(shè)P(x,y),取BC的中點(diǎn)D,則D.(+)=2=2(-1-x,-y) =2=2. 因此,當(dāng)x=-,y=時(shí),(+)取得最小值,為2=-,故選B. 4.(2016天津,7,5分)已知ABC是邊長(zhǎng)為

20、1的等邊三角形,點(diǎn)D,E分別是邊AB,BC的中點(diǎn),連接DE 并延長(zhǎng)到點(diǎn)F,使得DE=2EF,則的值為() A.-B.C.D. AF BC 5 8 1 8 1 4 11 8 答案答案B建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系. 則B,C,A,所以=(1,0). 易知DE=AC,FEC=ACE=60,則EF=AC=, 所以點(diǎn)F的坐標(biāo)為, 所以=, 所以=(1,0)=. 1 ,0 2 1 ,0 2 3 0, 2 BC 1 2 1 4 1 4 13 , 88 AF 15 3 , 88 AF BC 15 3 , 88 1 8 疑難突破疑難突破利用公式ab=|a|b|cos求解十分困難,可以考慮建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)

21、系, 利用坐標(biāo)運(yùn)算求解.確定點(diǎn)F的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵. 評(píng)析評(píng)析本題考查了向量的坐標(biāo)運(yùn)算和向量的數(shù)量積,考查運(yùn)算求解能力和數(shù)形結(jié)合思想. 5.(2015福建,9,5分)已知,|=,|=t.若點(diǎn)P是ABC所在平面內(nèi)的一點(diǎn),且= +,則的最大值等于() A.13B.15C.19D.21 AB AC AB 1 t AC AP | AB AB 4 | AC AC PB PC 答案答案A以A為原點(diǎn),AB所在直線為x軸,AC所在直線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系,則B(t 0),C(0,t),P(1,4),=(-1,t-4)=17-17-22=13,故 的最大值為13,故選A. 1,0 t PB PC 1 1,

22、4 t 1 4t t 1 ,“ ” 2 t 當(dāng)且僅當(dāng)時(shí) 取 PB PC 6.(2019江蘇,12,5分)如圖,在ABC中,D是BC的中點(diǎn),E在邊AB上,BE=2EA,AD與CE交于點(diǎn)O.若 =6,則的值是. AB AC AO EC AB AC 答案答案 3 解析解析本題考查平面向量基本定理、向量的線性運(yùn)算、平面向量的數(shù)量積等有關(guān)知識(shí),考查 學(xué)生的抽象概括能力和運(yùn)算求解能力,考查的核心素養(yǎng)為數(shù)學(xué)運(yùn)算. 過D作DFEC,交AB于F. D為BC的中點(diǎn),F為BE的中點(diǎn), 又BE=2EA,EF=EA, 又DFEO,AO=AD, =(+). =(+) =. 1 2 AO 1 2 AD 1 2 1 2 AB

23、 AC AO EC 1 4 AB AC 1 3 ACAB 1 4 22 21 33 ACAB ACAB =6, =-+, =3,|=|, =. AB AC AO EC AB AC 3 2 2 AC 1 2 2 AB AB AC 2 AB 2 AC AB 3 AC AB AC 3 一題多解一題多解由于題目中對(duì)BAC沒有限制,所以不妨設(shè)BAC=90,AB=c,AC=b,建立如圖所示 的平面直角坐標(biāo)系. 則E,D, 易得lAD:y=x,lEC:+=1, 聯(lián)立得解得則O. 由=6得6=0, 0, 3 c , 2 2 b c c b x b 3 y c , 1, 3 c yx b xy c b , 4

24、, 4 b x c y , 4 4 b c AB AC AO EC , 4 4 b c , 3 c b c2=3b2,c=b,=. 3 AB AC 3 7.(2019天津理,14,5分)在四邊形ABCD中,ADBC,AB=2,AD=5,A=30,點(diǎn)E在線段CB的延 長(zhǎng)線上,且AE=BE,則=. 3 BD AE 答案答案-1 解析解析本題主要考查平面幾何知識(shí)的應(yīng)用、解三角形、向量的坐標(biāo)運(yùn)算及數(shù)量積的求解;考 查學(xué)生數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用以及運(yùn)算求解能力;通過向量的不同表現(xiàn)形式更全面地考查了學(xué) 生邏輯推理、直觀想象及數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng). 解法一:BAD=30,ADBC,ABE=30, 又EA=EB,E

25、AB=30, 在EAB中,AB=2,EA=EB=2. 以A為坐標(biāo)原點(diǎn),AD所在直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系,如圖所示. 3 則A(0,0),D(5,0),E(1,),B(3,), =(2,-),=(1,), =(2,-)(1,)=-1. 33 BD 3AE 3 BD AE 33 解法二:同解法一,得AB=2, 以,為一組基底, 則=-,=+=-, =(-) =-+- =- =52-12-25=-1. 3 AB AD BD AD AB AE AB BE AB 2 5 AD BD AE AD AB 2 5 ABAD AD AB 2 AB 2 5 AB AD 2 5 2 AD 7 5 AB AD 2

26、 AB 2 5 2 AD 7 5 3 3 2 2 5 8.(2017天津,13,5分)在ABC中,A=60,AB=3,AC=2.若=2,=-(R),且 =-4,則的值為. BD DC AE AC AB AD AE 答案答案 3 11 解析解析本題主要考查平面向量的線性運(yùn)算以及數(shù)量積. 如圖,由=2得=+, 所以=(-)=-+-, 又=32cos60=3,=9,=4, 所以=-3+-2=-5=-4,解得=. BD DC AD 1 3 AB 2 3 AC AD AE 12 33 ABAC AC AB 1 3 AB AC 1 3 2 AB 2 3 2 AC 2 3 AB AC AB AC 2 AB

27、2 AC AD AE 8 3 11 3 3 11 思路分析思路分析根據(jù)=2得=+,利用=-4以及向量的數(shù)量積建立關(guān)于的 方程,從而求得的值. BD DC AD 1 3 AB 2 3 AC AD AE 一題多解一題多解以A為原點(diǎn),AB所在的直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系,如圖,因?yàn)锳B=3,AC=2, BAC=60,所以B(3,0),C(1,),又=2,所以D,所以=,而=-= (1,)-(3,0)=(-3,),因此=(-3)+=-5=-4, 解得=. 3BD DC 5 2 3 , 33 AD 5 2 3 , 33 AE AC AB 33AD AE 5 3 2 3 3 3 11 3 3 11 9.

28、(2015安徽,15,5分)ABC是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形,已知向量a,b滿足=2a,=2a+b,則下 列結(jié)論中正確的是.(寫出所有正確結(jié)論的編號(hào)) a為單位向量;b為單位向量;ab; b;(4a+b). AB AC BC BC 答案答案 解析解析=2a,|=2,2|a|=2,|a|=1,故正確. 由=-=2a+b-2a=b,知正確, 又|b|=|=2,故不正確. 由ab=22=-1,知不正確. 由(4a+b)=(2+)=2+=222+4=0,知正確.綜上,結(jié)論正確的是 . AB AB BC AC AB BC 1 2 AB BC 1 2 1 2 BC AB BC BC AB BC 2 BC 1

29、2 C C組教師專用題組組教師專用題組 考點(diǎn)一數(shù)量積的定義及模、夾角運(yùn)算考點(diǎn)一數(shù)量積的定義及模、夾角運(yùn)算 1.(2015重慶,7,5分)已知非零向量a,b滿足|b|=4|a|,且a(2a+b),則a與b的夾角為() A.B.C.D. 3 2 2 3 5 6 答案答案C因?yàn)閍(2a+b),所以a(2a+b)=0, 得到ab=-2|a|2,設(shè)a與b的夾角為,則cos=-,又0,所以=,故選C. | a b a b 2 2 2| 4| a a 1 2 2 3 2.(2015陜西,8,5分)對(duì)任意平面向量a,b,下列關(guān)系式中的是() A.|ab|a|b|B.|a-b|a|-|b| C.(a+b)2=|

30、a+b|2D.(a+b)(a-b)=a2-b2 不恒成立 答案答案B設(shè)向量a,b的夾角為,因?yàn)閍b=|a|b|cos,所以|ab|=|a|b|cos|a|b|,A成立;由向量 的運(yùn)算律易知C,D成立.故選B. 3.(2015湖北,11,5分)已知向量,|=3,則=. OA AB OA OA OB 答案答案9 解析解析,=0, 即(-)=0, =9. OA AB OA AB OA OB OA OA OB 2 OA 4.(2015天津,14,5分)在等腰梯形ABCD中,已知ABDC,AB=2,BC=1,ABC=60.動(dòng)點(diǎn)E和F分別 在線段BC和DC上,且=,=,則的最小值為. BE BC DF 1

31、 9 DC AE AF 答案答案 29 18 解析解析如圖,以A為原點(diǎn),AB所在直線為x軸建立直角坐標(biāo)系,則B(2,0),C,D. 由=得E, 由=得F. 從而=+2=當(dāng)且僅當(dāng)=時(shí),取等號(hào). 33 , 22 13 , 22 BE BC 3 2, 22 DF 1 9 DC 113 , 292 AE AF 3 2, 22 113 , 292 17 18 2 92 17 18 1 3 29 18 2 3 考點(diǎn)二數(shù)量積的綜合應(yīng)用考點(diǎn)二數(shù)量積的綜合應(yīng)用 1.(2018浙江,9,4分)已知a,b,e是平面向量,e是單位向量.若非零向量a與e的夾角為,向量b滿足 b2-4eb+3=0,則|a-b|的最小值是

32、() A.-1B.+1C.2D.2- 3 333 答案答案A本小題考查平面向量的數(shù)量積、坐標(biāo)運(yùn)算、向量模的最值和點(diǎn)到直線的距離. 設(shè)=a,=b,=e,以O(shè)為原點(diǎn),的方向?yàn)閤軸正方向建立平面直角坐標(biāo)系,則E(1,0).不妨 設(shè)A點(diǎn)在第一象限,a與e的夾角為,點(diǎn)A在從原點(diǎn)出發(fā),傾斜角為,且在第一象限內(nèi)的射 線上.設(shè)B(x,y),由b2-4eb+3=0,得x2+y2-4x+3=0,即(x-2)2+y2=1,即點(diǎn)B在圓(x-2)2+y2=1上運(yùn)動(dòng).而= a-b,|a-b|的最小值即為點(diǎn)B到射線OA的距離的最小值,即為圓心(2,0)到射線y=x(x0)的距 離減去圓的半徑,|a-b|min=-1.選A.

33、 OA OB OE OE 3 3 BA 3 3 一題多解一題多解將b2-4eb+3=0轉(zhuǎn)化為b2-4eb+3e2=0, 即(b-e)(b-3e)=0,(b-e)(b-3e). 設(shè)=e,=a,=b,=3e,=2e,則, 點(diǎn)B在以M為圓心,1為半徑的圓上運(yùn)動(dòng),如圖. |a-b|=|,|a-b|的最小值即為點(diǎn)B到射線OA的距離的最小值,即為圓心M到射線OA的距離 減去圓的半徑. |=2,AOM=,|a-b|min=2sin-1=-1. OE OA OB ON OM EB NB BA OM 3 3 3 2.(2015四川,7,5分)設(shè)四邊形ABCD為平行四邊形,|=6,|=4.若點(diǎn)M,N滿足=3,=

34、2,則=() A.20B.15C.9D.6 AB AD BM MC DN NC AM NM 答案答案C依題意有=+=+,=+=-=-,所以 =-=9.故選C. AM AB BM AB 3 4 BC NM NC CM 1 3 DC 1 4 BC 1 3 AB 1 4 BC AM NM 3 4 ABBC 11 34 ABBC 1 3 2 AB 3 16 2 BC 3.(2017江蘇,12,5分)如圖,在同一個(gè)平面內(nèi),向量,的模分別為1,1,與的夾角 為,且tan=7,與的夾角為45.若=m+n(m,nR),則m+n=. OA OB OC 2 OA OC OB OC OC OA OB 答案答案3 解

35、析解析解法一:tan=7,0, cos=,sin=, 與的夾角為, =, =m+n,|=|=1,|=, =, 又與的夾角為45, =, 又cosAOB=cos(45+)=coscos45-sinsin45 =-=-, =|cosAOB=-, 2 10 7 2 10 OA OC 2 10 | OA OC OA OC OC OA OB OA OB OC 2 2 10 2 mnOA OB OB OC 2 2 | OB OC OB OC 2 mOA OB n 2 10 2 2 7 2 10 2 2 3 5 OA OB OA OB 3 5 將其代入得m-n=, -m+n=1, 兩式相加得m+n=, 所以

36、m+n=3. 解法二:過C作CMOB,CNOA,分別交線段OA,OB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M,N, 則=m,=n, 由正弦定理得=, |=,由解法一知,sin=,cos=, |=, |=, 又=m+n=+,|=|=1, 3 5 1 5 3 5 2 5 2 5 6 5 OM OA ON OB | sin45 OM | sin(135) OC | sin ON OC 2 7 2 10 2 10 OM 2sin45 sin(135) 1 sin(45) 5 4 ON 2sin sin(135) 7 2 2 10 sin(45) 7 4 OC OA OB OM ON OA OB m=,n=,m+n=3. 5 4

37、 7 4 4.(2016浙江,15,4分)已知向量a,b,|a|=1,|b|=2.若對(duì)任意單位向量e,均有|ae|+|be|,則ab的最 大值是. 6 答案答案 1 2 解析解析對(duì)任意單位向量e,均有|ae|+|be|ae+be|=|(a+b)e|, |a+b|,當(dāng)且僅當(dāng)a+b與e共線時(shí),等號(hào)成立. a2+2ab+b26,又|a|=1,|b|=2, ab,即ab的最大值為. 6 6 1 2 1 2 5.(2014江蘇,12,5分)如圖,在平行四邊形ABCD中,已知AB=8,AD=5,=3,=2,則 的值是. CP PD AP BP AB AD 答案答案22 解析解析=(+)(+) = =-+

38、=25-64-=13-=2, 故=22. AP BP AD DP BC CP 1 4 ADAB 3 4 ADAB 2 AD 3 16 2 AB 13 44 AB AD 3 16 1 2 AB AD 1 2 AB AD AB AD 三年模擬 A A組組 20172019 20172019年高考模擬年高考模擬考點(diǎn)基礎(chǔ)題考點(diǎn)基礎(chǔ)題組組 考點(diǎn)一數(shù)量積的定義及模、夾角運(yùn)算考點(diǎn)一數(shù)量積的定義及模、夾角運(yùn)算 1.(2018北京朝陽一模,4)已知a,b為非零向量,則“ab0”是“a與b的夾角為銳角”的() A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件 答案答案Ba,b為非

39、零向量, ab0cos0, 而a,b的夾角為銳角, 又, 故選B. 0, 2 0, 2 0, 2 0, 2 2.(2017北京豐臺(tái)二模,5)已知向量a=,b=(,-1),則a,b的夾角為() A.B.C.D. 3 1 , 22 3 4 3 2 2 3 答案答案B由題意可得cos=,a,b的夾角為,故選B. | a b a b 31 3( 1) 22 31 3 1 44 31 22 1 2 1 23 3.(2018北京順義二模文,7)向量a,b在正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示,則ab等于() A.B.1C.-1D.-2 1 2 答案答案D由題圖可知,a=(-1,1),b=(-1,-3), 則ab=1

40、-3=-2,故選D. 4.(2019北京朝陽二模文,5)已知平面向量a,b的夾角為,且|a|=1,|b|=2,則|a+b|=() A.3B.C.7D. 2 3 37 答案答案B|a+b|=.故選B. 2 ()ab 22 2aa bb 22 2 12 1 2cos2 3 3 5.(2019北京豐臺(tái)二模文,9)已知平面向量a,b,|a|=1,|b|=2,ab=1,則向量a,b的夾角為. 答案答案 3 解析解析ab=|a|b|cos=2cos=1,所以cos=,所以向量a與b的夾角為. 1 23 易錯(cuò)警示易錯(cuò)警示運(yùn)用平面向量數(shù)量積的定義并注意向量夾角的范圍是0,. 6.(2019北京西城一模文,9)

41、設(shè)向量a,b滿足|a|=2,|b|=3,=60,則a(a+b)=. 答案答案7 解析解析a(a+b)=aa+ab=|a|2+|a|b|cos=4+23=7. 1 2 7.(2019北京東城一模,12)已知向量a=(1,),向量b為單位向量,且ab=1,則2b-a與2b的夾角為 . 3 答案答案 3 解析解析由題意得,|a|=2,|b|=1,ab=1, 而|2b-a|=2, cos=. 則2b-a與2b的夾角為. 2 (2)ba 22 4|4|ba ba 2 4|2 |2| |2 | ba b bab 1 2 3 8.(2018北京海淀二模,11)已知平面向量a,b的夾角為,且滿足|a|=2,|

42、b|=1,則ab=,|a+2 b|=. 3 答案答案1;2 3 解析解析ab=|a|b|cos=21=1,|a+2b|=2. 1 2 2 (2 )ab 22 |44|aa bb 44 14 1 3 考點(diǎn)二數(shù)量積的綜合應(yīng)用考點(diǎn)二數(shù)量積的綜合應(yīng)用 1.(2018北京西城期末,6)設(shè)a,b是非零向量,且a,b不共線.則“|a|=|b|”是“|a+2b|=|2a+b|”的 () A.充分不必要條件B.必要不充分條件 C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件 答案答案C由|a+2b|=|2a+b|,兩邊平方得, |a+2b|2=|2a+b|2, 即|a|2+4ab+4|b|2=4|a|2+4ab+|b|

43、2, 所以3|a|2=3|b|2,即|a|=|b|, 所以“|a|=|b|”是“|a+2b|=|2a+b|”的充分必要條件,故選C. 2.(2018北京朝陽二模,5)如圖,角,均以O(shè)x為始邊,終邊與單位圓O分別交于點(diǎn)A,B,則= () A.sin(-)B.sin(+) C.cos(-)D.cos(+) OA OB 答案答案C解法一:=|cos=11cos(-)=cos(-)=cos(-).故選C. 解法二:由三角函數(shù)的定義得A(cos,sin),B(cos,sin),=(cos,sin)(cos,sin)= coscos+sinsin=cos(-). OA OB OA OB OA OB OA

44、OB 3.(2019北京門頭溝一模,5)已知向量a,b滿足|a|=|b|=1,且其夾角為,則“|a-b|1”是“ ”的() A.充分不必要條件B.必要不充分條件 C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件 , 3 答案答案C由題意|a-b|=1,得 2-2cos1,從而有cos,又由0,從而得1”是“”的充 分必要條件. 2 ()ab 22 |2|cos|aa bb 222 12 1 cos1 22cos 1 23 , 3 4.(2018北京海淀期末文,7)在ABC中,AB=AC=1,D是AC的中點(diǎn),則的取值范圍是() A.B. C.D. BD CD 3 1 , 4 4 1 , 4 3 , 4

45、1 3 , 4 4 答案答案A=(+)=+|2=+. 設(shè)BC=x,BCD=,則=-cos, 在ABC中,由余弦定理得cos=, 則=. 易知x(0,2),代入上式得到的取值范圍是.故選A. BD CD BC CD CD BC CD CD BC CD 1 4 BC CD 2 x 222 11 2 x x 2 x BD CD 2 1 4 x BD CD 3 1 , 4 4 方法點(diǎn)睛方法點(diǎn)睛本題考查向量基本定理的應(yīng)用,向量數(shù)量積運(yùn)算.解決向量的小題常用方法有:數(shù)形 結(jié)合法;向量的三角形法則,平行四邊形法則等;建立平面直角坐標(biāo)系將向量坐標(biāo)化;向量基底 化,選基底時(shí)一般選擇已知大小和方向的向量為基底.

46、5.(2019北京順義期末,6)設(shè)a,b是非零向量,則“ab”是“|a+2b|=|a-2b|”的() A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件 答案答案C|a+2b|=|a-2b|(a+2b)2=(a-2b)2ab=0,選C. 6.(2017北京東城期末,11)ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,若a=5,b=7,c=8,則等于 . AB AC 答案答案44 解析解析由a=5,b=7,c=8, 得cosA=. =bccosA=78=44. 222 2 bca bc 496425 2 7 8 11 14 AB AC 11 14 7.(2019北京海

47、淀一模,11)已知向量a=(1,-2),同時(shí)滿足條件:ab,|a+b|a|的一個(gè)向量b的坐 標(biāo)為. 答案答案(-1,2)(答案不唯一) 解析解析解法一:因?yàn)閍b,所以設(shè)b=a=(,-2), 又因?yàn)閨a+b|a|,所以|a+b|=, 解得-20,可取=-1,則b=(-1,2). 解法二:設(shè)b=a,當(dāng)0時(shí),顯然|a+b|a|,不滿足題意, 所以0,其中當(dāng)=-1時(shí),b=(-1,2),|a+b|=0|a|,滿足題意,此時(shí)兩向量互為相反向量. 解法三:設(shè)b=(x,y),ab,y=-2x, a+b=(x+1,y-2),|a+b|=. |a+b|a|,|a|=, ,(x+1)2+(y-2)25, (x+1)

48、2+(-2x-2)2=5(x+1)25,即(x+1)21, -2x0,取x=-1,則y=2,b=(-1,2).(答案不唯一) 22 (1)4(1)5 22 (1)(2)xy 5 22 (1)(2)xy5 方法總結(jié)方法總結(jié)第一種解法:把題目中的條件,運(yùn)用坐標(biāo)運(yùn)算,通過解不等式得到結(jié)果. 第二種解法:把題目條件構(gòu)建滿足題意的圖形找到極端情況,然后直接寫出一個(gè)滿足條件的向 量b即可. 第三種解法是在沒有技巧的情況下用的,是一種通法. B B組組2017201920172019年高考模擬年高考模擬專題綜合題組專題綜合題組 時(shí)間:30分鐘分值:50分 一、選擇題(每小題5分,共20分) 1.(2019北

49、京昌平期末,4)設(shè)a是單位向量,b是非零向量,則“ab”是“a(a+b)=1”的() A.充分不必要條件B.必要不充分條件 C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件 答案答案C若ab,則a(a+b)=aa+ab=1,所以充分性成立,若a(a+b)=1,則aa+ab=1+ab=1,所以 ab=0,即ab,所以必要性成立.故選C. 2.(2017北京西城二模,6)設(shè)a,b是平面上的兩個(gè)單位向量,ab=.若mR,則|a+mb|的最小值是 () A.B.C.D. 3 5 3 4 4 3 4 5 5 4 答案答案C由題意得|a+mb|2=a2+2mab+m2b2=1+m+m2=+,故當(dāng)m=-時(shí),|a+m

50、b|2取得 最小值,為,此時(shí)|a+mb|取得最小值,為,故選C. 6 5 2 3 5 m 16 25 3 5 16 25 4 5 3.(2019北京首師大附中一模,6)如圖,平面四邊形ABCD中,ABC=ADC=90,BC=CD=2,點(diǎn)E 在對(duì)角線AC上,AC=4,AE=1,則的值為() A.17B.13C.5D.1 EB ED 答案答案D由題意可知CE=3,BCE=60, EB=, cosBEC=, cosBED=2cos2BEC-1=. =EBEDcosBED=1. 故選D. 22 2cosBCCEBC CEBCE 22 232 2 3 cos60 7 222 2 EBCEBC EB CE

51、 222 ( 7)32 273 2 7 7 1 7 EB ED 77 1 7 思路分析思路分析利用余弦定理求出EB,cosBEC,再根據(jù)二倍角公式得出cosBED,從而可計(jì)算出 結(jié)果. 4.(2019北京西城二模文,5)設(shè)向量a,b滿足|a|=2,|b|=1,=60,則|a+2b|=() A.2B.2 C.D.12 23 10 答案答案B|a+2b|=2. 2 (2 )ab 22 4|cos,4aa ba bb 48cos6043 解后反思解后反思運(yùn)用|a|=與ab=|a|b|cos進(jìn)行求解. 2 a 5.(2018北京海淀一模,8)已知點(diǎn)M在圓C1:(x-1)2+(y-1)2=1上,點(diǎn)N在圓

52、C2:(x+1)2+(y+1)2=1上,則下 列說法錯(cuò)誤的是() A.的取值范圍為-3-2,0 B.|+|的取值范圍為0,2 C.|-|的取值范圍為2-2,2+2 D.若=,則實(shí)數(shù)的取值范圍為-3-2,-3+2 OM ON 2 OM ON 2 OM ON 22 OM ON 22 答案答案B解法一:如圖1,因?yàn)镸ON90,所以0, 因?yàn)閨OM|OC1|+|C1M|=1+, |ON|OC2|+|C2N|=1+, 所以=|OM|ON|cos-(+1)2=-3-2, 注意到當(dāng)M(1,0),N(0,-1)時(shí),=0, 當(dāng)M,N時(shí),=-(+1)2=-3-2.選項(xiàng)A正確. 圖1 如圖2,+=+=+,故|+|+

53、|=2,選項(xiàng)B錯(cuò)誤. OM ON 2 2 OM ON OM ON 22 OM ON 22 1,1 22 22 1, 1 22 OM ON 22 OM ON 1 OC 1 C M 2 OC 2 C N 1 C M 2 C N OM ON 1 C M 2 C N 圖2 如圖3,-=+, 故|-|=|+|+|=2+2, |-|=|-|+|-|=-2+2, 當(dāng)M,N時(shí),|=2+2; 當(dāng)M,N時(shí),|=-2+2. 選項(xiàng)C正確. 圖3 由題意0,且|=, OM ON NM 2 NC 21 C C 1 C M OM ON NM 2 NC 21 C C 1 C M 2 OM ON NM 2 NC 21 C C

54、1 C M 2 22 1,1 22 22 1, 1 22 NM 2 22 1,1 22 22 1, 1 22 NM 2 | | OM ON 注意到|OM|,|ON|-1,+1, 故|,故-3-2,-3+2,選項(xiàng)D正確. 解法二:如圖,設(shè)M(1+cos,1+sin),N(-1+cos,-1+sin),=,0,2, 則=|cos =cos, 當(dāng)=,=,=時(shí),取最小值,為-3-2, 當(dāng)=時(shí),取最大值,為0,選項(xiàng)A正確. 設(shè)M(1+cos,1+sin),N(-1+cos,-1+sin)(,0,2),則+=(cos+cos,sin+sin), 故|+|=0,2, 22 2121 , 2121 22 OM

55、 ON , 2 OM ON OM ON OM ON 32 2sin 4 32 2sin 4 4 5 4 OM ON 2 2 OM ON OM ON OM ON 22cos() 當(dāng)=時(shí),|+|取得最大值2, 當(dāng)-=時(shí),|+|取得最小值0, 選項(xiàng)B錯(cuò)誤. 選項(xiàng)C、D的判斷同解法一.故選B. OM ON OM ON 解題關(guān)鍵解題關(guān)鍵本題是一道綜合題,考查了數(shù)形結(jié)合的思想方法、轉(zhuǎn)化的思想方法、三角換元的 方法,靈活運(yùn)用上述思想方法是解本題的關(guān)鍵. 二、填空題(每小題5分,共25分) 6.(2017北京海淀一模,12)若非零向量a,b滿足a(a+b)=0,2|a|=|b|,則向量a,b的夾角為. 答案答

56、案 2 3 解析解析設(shè)a與b的夾角為,因?yàn)閍(a+b)=0,所以aa+ab=0|a|a|+|a|b|cos=0, 又因?yàn)?|a|=|b|0,所以|a|a|+2|a|a|cos=0,即1+2cos=0,所以cos=-,從而=. 1 2 2 3 7.(2017北京海淀二模,13)在四邊形ABCD中,AB=2.若=(+),則=. DA 1 2 CA CB AB DC 答案答案2 解析解析由題意可知=(+)= |AB|2=2. AB DC AB DA AC AB 1 () 2 ACCA CB AB 11 22 ACCB 1 2 AB AB 1 2 8.(2017北京朝陽一模,13)如圖,AB1C1,C1B2C2,C2B3C3是三個(gè)邊長(zhǎng)為2的等邊三角形,且有 一條邊在同一條直線上,邊B3C3上有2個(gè)不同的點(diǎn)P1,P2,則(+)=. 2 AB 1 AP 2 AP 答案答案36 解析解析如圖,延長(zhǎng)C3B3,與AB2的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)D,則,易知|=3,|=2, 所以=|cosDAP1=|=23=18,同理,=18, 所以(+)=+=36. AD 3DC AD 3 2AB