第五章連續(xù)交通流模型

1、第五章連續(xù)交通流模型 1、守恒方程、守恒方程 2、動態(tài)模型、動態(tài)模型 3、交通波理論、交通波理論 4、小結(jié)、小結(jié) 第五章連續(xù)交通流模型 一、守恒方程的建立一、守恒方程的建立 考察一個單向連續(xù)路段，考察一個單向連續(xù)路段， 在該路段上選擇兩個交通在該路段上選擇兩個交通 記數(shù)站，如圖所示，該站記數(shù)站，如圖所示，該站 點之間沒有入口和出口。點之間沒有入口和出口。 Ni：為：為t時間內(nèi)通過時間內(nèi)通過i站的車輛數(shù)；站的車輛數(shù)； qi：是通過站：是通過站i的的流量；的的流量； t：1、2站同時開始記數(shù)所持續(xù)的時間。站同時開始記數(shù)所持續(xù)的時間。 N： N =N2-N1 有如下公式：有如下公式： 11 /qtN

2、 22 /qtN qtN/ 第五章連續(xù)交通流模型 如果如果x足夠短，使得該路段內(nèi)的密度足夠短，使得該路段內(nèi)的密度k保持一致，那么密度增量保持一致，那么密度增量k可表示為：可表示為： 負號：如果（負號：如果（N N2 2-N-N1 100），說明兩站之間的車輛數(shù)減少，即密度減小。），說明兩站之間的車輛數(shù)減少，即密度減小。 根據(jù)上公式可得到：根據(jù)上公式可得到： 根據(jù)流量關(guān)系有：根據(jù)流量關(guān)系有： 可以推導出：可以推導出： x NN k )( 12 Nxk Ntq xktq 第五章連續(xù)交通流模型 進一步推導出：進一步推導出： 假設(shè)兩站間車流連續(xù)：假設(shè)兩站間車流連續(xù)： 該式描述了交通流的守恒定律，即守恒

3、方程或連續(xù)方程。該式描述了交通流的守恒定律，即守恒方程或連續(xù)方程。 0 t k x q 0 t k x q 第五章連續(xù)交通流模型 如果路段上有交通的產(chǎn)生或離去，那么守恒方程采用如下的形式：如果路段上有交通的產(chǎn)生或離去，那么守恒方程采用如下的形式： 指車輛的產(chǎn)生（或）離去率，即單位長度、單位時間內(nèi)車輛的產(chǎn)指車輛的產(chǎn)生（或）離去率，即單位長度、單位時間內(nèi)車輛的產(chǎn) 生或離去數(shù)。生或離去數(shù)。 ),(txg t k x q ),(txg 第五章連續(xù)交通流模型 二、守恒方程的解析解法二、守恒方程的解析解法 為了對方程進行求解，把流率為了對方程進行求解，把流率q當作密度當作密度k的函數(shù)：的函數(shù)：q=g(k)

4、，速度，速度u=f(k) 在平衡態(tài)時候可以有上面的假設(shè)。在平衡態(tài)時候可以有上面的假設(shè)。 根據(jù)公式：根據(jù)公式： 則守恒方程就可以變成只有一個未知量的方程，可以對其求解。而且為了簡則守恒方程就可以變成只有一個未知量的方程，可以對其求解。而且為了簡 化只考慮沒有交通量產(chǎn)生和離去的影響，可以得到如下的公式：化只考慮沒有交通量產(chǎn)生和離去的影響，可以得到如下的公式： kuq t k kkf xt k ku x )()( 0)( t k x k dk df k x k kf 第五章連續(xù)交通流模型 f(k)為任意函數(shù)，可用格林希爾治速度為任意函數(shù)，可用格林希爾治速度密度線性模型密度線性模型 代入上式可以得到：

5、代入上式可以得到： 一階線性微分方程，可以通過特征曲線方法求其解析解。一階線性微分方程，可以通過特征曲線方法求其解析解。 0)( t k x k dk df kkf )/1 ( jf kkuu 0)2( t k x k k k uu j ff 第五章連續(xù)交通流模型 一、交通流觀測中的加速度一、交通流觀測中的加速度 守恒方程里面：把速度看作是密度的函數(shù)守恒方程里面：把速度看作是密度的函數(shù) 實際中，交通流的平均速度不能瞬時地跟隨密度發(fā)生變化，而駕駛員總是根實際中，交通流的平均速度不能瞬時地跟隨密度發(fā)生變化，而駕駛員總是根 據(jù)前方密度來調(diào)整車速。據(jù)前方密度來調(diào)整車速。 設(shè)交通流的速度為設(shè)交通流的速度

6、為u（是時間和地點的函數(shù)），由微分知識得到下面的式子：（是時間和地點的函數(shù)），由微分知識得到下面的式子： )(kfu dx x u dt t u du u x u t u dt du dt du t u 觀測車隨交通觀測車隨交通 流行駛的加速流行駛的加速 度度 觀測者在路邊觀測者在路邊 固定點所觀測固定點所觀測 到的加速度到的加速度 第五章連續(xù)交通流模型 假設(shè)假設(shè) 則有：則有： 則有：則有： x k dk du x u t k dk du t u )(kuu x k dk du u t k dk du dt du u x u t u dt du 第五章連續(xù)交通流模型 由于：由于： 根據(jù)守恒方程

7、：根據(jù)守恒方程： 可以得到：可以得到： 0 t k x q x k u x q t k w )()(kqkkukuq x k u x k dk dq x q w uw是交通波 的速度 x k dk du u t k dk du dt du x k dk du u x k u dk du dt du w )()(uu x k dk du w 第五章連續(xù)交通流模型 交通波速度：交通波速度： dk du kuku dk d dk dq uw)( x k dk du k dt du 2 )( 代入上式代入上式 第五章連續(xù)交通流模型 觀測者在路邊固定點所觀測到的交通流的加速度公式可以寫成：觀測者在路邊固

8、定點所觀測到的交通流的加速度公式可以寫成： x k dk du u t k dk du t u w 可以正、負或零 x k u x q t k w t k dk du t u 第五章連續(xù)交通流模型 二、速度動態(tài)模型二、速度動態(tài)模型 對于速度的調(diào)整，駕駛員要有一個反應過程，車輛本身的動力、傳動裝對于速度的調(diào)整，駕駛員要有一個反應過程，車輛本身的動力、傳動裝 置都要有一個調(diào)整時間，車速的變化比前方置都要有一個調(diào)整時間，車速的變化比前方 x 處密度的變化滯后一個時處密度的變化滯后一個時 間間 ，于是以有公式：，于是以有公式： 上式左側(cè)對上式左側(cè)對，右側(cè)對，右側(cè)對x進行泰勒級數(shù)展開，并略去高階項得到：

9、進行泰勒級數(shù)展開，并略去高階項得到： ),(),(txxkutxu x x k dk txkdu txku dt txdu txu ),( ),( ),( ),( 第五章連續(xù)交通流模型 x的取值為：的取值為： 令：令： 同時：同時： 代入前面公式，可得：代入前面公式，可得： k sx 1 dk du u x u t u dt du )( 1 x k k uku x u u t u 連續(xù)形式的速度動態(tài)模型連續(xù)形式的速度動態(tài)模型 dt txdu txu ),( ),( x x k dk txkdu txku ),( ),( 第五章連續(xù)交通流模型 對上面的公式進行差分處理（空間離散化），可以得到：對

10、上面的公式進行差分處理（空間離散化），可以得到： 為調(diào)整系數(shù)為調(diào)整系數(shù) 進一步進行時間離散化，可以得到：進一步進行時間離散化，可以得到： i ii ii i ii k kk i uu i u ukuu 1 1 )()( 1 )( )()( )()()()()()() 1( 1 1 jk jkjk i T jujuju i T jujku T juju i i iiiiiii 實用的速度動態(tài)模型實用的速度動態(tài)模型 道路交通流空間平均速道路交通流空間平均速 度的動態(tài)變化度的動態(tài)變化 第五章連續(xù)交通流模型 上述模型對于車道數(shù)目單一，出入匝道無太大進出流量沖擊的公路，能夠上述模型對于車道數(shù)目單一，出入

11、匝道無太大進出流量沖擊的公路，能夠 較精確描述各種不同交通狀況以及相互間的轉(zhuǎn)變過程、常發(fā)性與偶發(fā)性交較精確描述各種不同交通狀況以及相互間的轉(zhuǎn)變過程、常發(fā)性與偶發(fā)性交 通擁擠現(xiàn)象的出現(xiàn)及消除過程。通擁擠現(xiàn)象的出現(xiàn)及消除過程。 但是在車道數(shù)有所改變或匝道流量較大情況下，需要對模型進行修正。但是在車道數(shù)有所改變或匝道流量較大情況下，需要對模型進行修正。 第五章連續(xù)交通流模型 （1 1）瓶頸處的交通波現(xiàn)象）瓶頸處的交通波現(xiàn)象 第五章連續(xù)交通流模型 一、交通波模型一、交通波模型 一條公路上兩個相鄰的一條公路上兩個相鄰的 不同交通流密度區(qū)域不同交通流密度區(qū)域A 和和B，其分界線為，其分界線為S， S稱為波

12、陣面，其速度為稱為波陣面，其速度為uw 假設(shè)假設(shè)A區(qū)域密度：區(qū)域密度：k1 B區(qū)域密度：區(qū)域密度：k2 u1區(qū)域區(qū)域A的交通流速度的交通流速度 u2區(qū)域區(qū)域B的交通流速度的交通流速度 ur1=u1-uw 區(qū)域區(qū)域A的車輛相對于的車輛相對于S的速度的速度 ur2=u2-uw 區(qū)域區(qū)域B的車輛相對于的車輛相對于S的速度的速度 第五章連續(xù)交通流模型 根據(jù)守恒理論可根據(jù)守恒理論可 以得到：以得到： 時間時間t內(nèi)通過界面內(nèi)通過界面S的的 車輛數(shù)目假設(shè)為車輛數(shù)目假設(shè)為N則有：則有： 進而可以得到：進而可以得到： tkutkuN rr2211 2211 )()(kuukuu ww )( 121122 kku

13、kuku w 第五章連續(xù)交通流模型 根據(jù)流量基本公式根據(jù)流量基本公式: 可以得到：可以得到： kuq 111 ukq 222 ukq )( 121122 kkukuku w 12 12 kk qq u w k q u w dk dq u w 如果交通流率和密度變化很小如果交通流率和密度變化很小 波速的計算公式波速的計算公式 第五章連續(xù)交通流模型 一般情況，在移動線一般情況，在移動線S兩側(cè)的密度差別不是無限小，方程可以寫成如下形式：兩側(cè)的密度差別不是無限小，方程可以寫成如下形式： 該式說明速度該式說明速度uw在流量在流量-密度曲線上是站密度曲線上是站1與站與站2之間弦的斜率。之間弦的斜率。 )/

14、()( 121122 kkkukuuw 第五章連續(xù)交通流模型 二、交通波模型的意義二、交通波模型的意義 交通波描述了兩種交通狀態(tài)的轉(zhuǎn)化過程，交通波描述了兩種交通狀態(tài)的轉(zhuǎn)化過程，uw代表了轉(zhuǎn)化的方向和進程。代表了轉(zhuǎn)化的方向和進程。 uw0表示波面的運動方向與交通流的運動方向相同；表示波面的運動方向與交通流的運動方向相同； uw=0表示波面維持在原地不動；表示波面維持在原地不動； uwk1且且q2q1 此時傳播的波為壓縮波，由于此時傳播的波為壓縮波，由于 u uw w0 0 其傳播方向由后向前。其傳播方向由后向前。 波傳過后，車隊中的車輛獲得了一個與原行駛方向相同的附加速度。波傳過后，車隊中的車輛

15、獲得了一個與原行駛方向相同的附加速度。 這相當于以較大的間距行駛的車隊，后車催促前車依次不斷加速逐步縮小這相當于以較大的間距行駛的車隊，后車催促前車依次不斷加速逐步縮小 間距的情況。間距的情況。 在實際的交通流中并不常見。在實際的交通流中并不常見。 第五章連續(xù)交通流模型 2、k2k1且且q2q1 此時傳播的波也是壓縮波，但由于此時傳播的波也是壓縮波，但由于u uw w00，其傳播方向自前向后。，其傳播方向自前向后。 波傳過后，車隊中的車輛獲得了一個與原行駛方向相反附加速度波傳過后，車隊中的車輛獲得了一個與原行駛方向相反附加速度( (與波傳與波傳 播方向相同播方向相同) )。 這相當于車隊中的頭

16、車減速或剎車，跟隨車輛依次采取同樣的行為，如車這相當于車隊中的頭車減速或剎車，跟隨車輛依次采取同樣的行為，如車 隊駛近信號燈控制的交叉口紅燈啟亮的情況，隊駛近信號燈控制的交叉口紅燈啟亮的情況， 在實際的交通流中很常見。在實際的交通流中很常見。 第五章連續(xù)交通流模型 3、k2q1 此時傳播的波稱為稀疏波，由于此時傳播的波稱為稀疏波，由于u uw w00，其傳播方向自前向后。，其傳播方向自前向后。 波傳過后，車隊中的車輛獲得了一個與波的傳播方向相反的附加速度。波傳過后，車隊中的車輛獲得了一個與波的傳播方向相反的附加速度。 這相當于緩慢行駛的車隊逐漸啟動的情況。這相當于緩慢行駛的車隊逐漸啟動的情況。

17、 在實際交通流中很常見。在實際交通流中很常見。 4、k2k1且且q200，其傳播方向自后向前。，其傳播方向自后向前。 波傳過后，車隊中的車輛獲得了一個與原行駛方向相反波傳過后，車隊中的車輛獲得了一個與原行駛方向相反( (與波的傳播方向與波的傳播方向 也相反也相反) )的附加速度。的附加速度。 這相當于以一個較小間距行駛的車隊，從隊尾起各車輛依次減速，逐漸拉這相當于以一個較小間距行駛的車隊，從隊尾起各車輛依次減速，逐漸拉 大距離的情況。大距離的情況。 在實際交通流中并不常見。在實際交通流中并不常見。 第五章連續(xù)交通流模型 三、停車波和啟動波三、停車波和啟動波 1、模型的變化、模型的變化 格林希爾

18、治速度格林希爾治速度密度模型：密度模型： 密度標準化：密度標準化： 則有：則有： 由于交通波速度為：由于交通波速度為： )/1 ( jifi kkuu jii kk / )1 ( 11 f uu)1 ( 22 f uu 12 12 kk qq u w 第五章連續(xù)交通流模型 交通波速度公式變?yōu)椋航煌úㄋ俣裙阶優(yōu)椋?進一步換算為：進一步換算為： 21 2211 )1 ()1 ( kk ukuk u ff w )(1 21 fw uu 第五章連續(xù)交通流模型 2、停車波、停車波 車隊以車隊以u1速度行駛，遇到紅燈停車，則此時速度行駛，遇到紅燈停車，則此時k2=kj，則有：，則有： 交通波速度為負，向

19、后傳播交通波速度為負，向后傳播 時間時間t后車輛排隊長度為：后車輛排隊長度為： 11 )1(1 ffw uuu 1 2 tu f1 第五章連續(xù)交通流模型 3、啟動波、啟動波 車輛啟動，車輛啟動， 則：則： 則有：則有： 則啟動波速為：則啟動波速為： j kk 1 1 1 )1 ( 212 uu )(1 2 2 f u u 格林希爾治速度格林希爾治速度密度模型密度模型 )1 (1 2 fw uu 2 f u )( 2 uu f 第五章連續(xù)交通流模型 由于由于u2較小，通較小，通uf相比可忽略不計，則排隊等待車輛從開始啟動就產(chǎn)生了啟相比可忽略不計，則排隊等待車輛從開始啟動就產(chǎn)生了啟 動波，而且該波

20、以接近動波，而且該波以接近uf的速度向后傳播。的速度向后傳播。 第五章連續(xù)交通流模型 四、交通波理論的擴展應用四、交通波理論的擴展應用 考慮三個相鄰的交叉口信號對交通流的影響?？紤]三個相鄰的交叉口信號對交通流的影響。 設(shè)三個交叉口的初始信息：設(shè)三個交叉口的初始信息： 信號的綠信比相同信號的綠信比相同 紅燈時長均為紅燈時長均為t tr r 忽略綠燈間隔時間忽略綠燈間隔時間 周期長均為周期長均為c c 綠燈起步時差為綠燈起步時差為t t0 0 交叉口交叉口n n與與n-1n-1間距離為間距離為x x1 1 交叉口交叉口n n與與n+1n+1間的距離為間的距離為x x2 2 交通流初始平均速度為交通

21、流初始平均速度為u u0 0 排隊車輛的起動速度為排隊車輛的起動速度為u u 初始時刻路段上的交通流處于平衡狀態(tài)初始時刻路段上的交通流處于平衡狀態(tài) 度度f f（x x）=k=k0 0設(shè)為常數(shù)，設(shè)為常數(shù)， 交又口交又口n n停車線位于停車線位于x0 x0處，處， t=0t=0時刻信號由綠燈變?yōu)榧t燈時刻信號由綠燈變?yōu)榧t燈 第五章連續(xù)交通流模型 1、交叉口車輛運行狀況分析、交叉口車輛運行狀況分析 （1）車輛排隊過程（）車輛排隊過程（研究交叉口研究交叉口n n） t=0t=0，k(x,0)=f(x)=k0k(x,0)=f(x)=k0，路段上各處密度相等，為稀疏流。，路段上各處密度相等，為稀疏流。 當交

22、叉口當交叉口n n信號變?yōu)榧t燈時，車隊在交叉口信號變?yōu)榧t燈時，車隊在交叉口n n形成停車波，其波陣面記為形成停車波，其波陣面記為S S1 1， 而已經(jīng)駛出停車線的車輛繼續(xù)以原有速度而已經(jīng)駛出停車線的車輛繼續(xù)以原有速度u u0 0行駛。行駛。 在在t=tt=tr r時刻，一列長度為時刻，一列長度為x=ux=uf fVt Vt r r的車隊停在的車隊停在x x0 0之后形成排隊，如圖所示。之后形成排隊，如圖所示。 第五章連續(xù)交通流模型 （2）車隊的消散過程（）車隊的消散過程（研究交叉口研究交叉口n n） 在在t tr rtctc時刻，交叉口時刻，交叉口n n信號變?yōu)榫G燈，交叉口信號變?yōu)榫G燈，交叉口

23、n n排隊車輛啟動，形成啟動排隊車輛啟動，形成啟動 波，其波陣面記為波，其波陣面記為s s2 2。 起動波起動波S S2 2以速度以速度u uf f沿交叉口沿交叉口n n排隊車輛從前向后傳播，排隊車輛以排隊車輛從前向后傳播，排隊車輛以u u的速度的速度 通過交叉口通過交叉口n n 波傳過后車隊密度記為波傳過后車隊密度記為k k1 1, ,，設(shè)，設(shè)T Td d為排隊車輛完全消散時間為排隊車輛完全消散時間( (即車隊開始起即車隊開始起 動動),),車隊完全消散：啟動波追上停車波車隊完全消散：啟動波追上停車波 dfrdf TutTu )( 1 1 1 1 r d t T 第五章連續(xù)交通流模型 若若

24、T Td d c-t c-tr r 則排隊車輛在一個周期內(nèi)可以完全消散，否則 則排隊車輛在一個周期內(nèi)可以完全消散，否則 車隊在一個周期內(nèi)將無法完全消散，記車隊在一個周期內(nèi)將無法完全消散，記T Ta a為排隊車輛完全通為排隊車輛完全通 過交叉口過交叉口n n的時間，則有：的時間，則有： u tTu T rdf a )( 1 排隊車隊排隊車隊 排隊車輛通過交叉口的速度 第五章連續(xù)交通流模型 若若T Ta ac-tc-tr r 則排隊車輛在一個周期內(nèi)可以完全通過交叉口則排隊車輛在一個周期內(nèi)可以完全通過交叉口n n，否則排隊車輛，否則排隊車輛 將在交叉口將在交叉口n n處形成二次排隊，此時該周期內(nèi)可通

25、過的車輛數(shù)為：處形成二次排隊，此時該周期內(nèi)可通過的車輛數(shù)為： 滯留車輛數(shù)為：滯留車輛數(shù)為： 滯留車輛必須等待下一周期通過交叉口，若滯留車輛必須等待下一周期通過交叉口，若x x1 1足夠長，排隊車輛可能出現(xiàn)足夠長，排隊車輛可能出現(xiàn) 三，四次排隊。三，四次排隊。 )( 1r tcuk )( 11rrfj tcuktuk 第五章連續(xù)交通流模型 2、上游交叉口對下游交叉口的影響、上游交叉口對下游交叉口的影響 研究交叉口研究交叉口n和和n1 0tt0，交叉口，交叉口n1信號為綠燈，此時交叉口信號為綠燈，此時交叉口n為紅燈信號，從為紅燈信號，從n交叉口駛交叉口駛 出的車輛以速度出的車輛以速度u0駛向駛向n1交叉口交叉口 t0tt0+tr時，交叉口時，交叉口n1信號變?yōu)榧t燈，交叉口信號變?yōu)榧t燈，交叉口n變?yōu)榫G燈的時間為變?yōu)榫G燈的時間為t0 若若x2= u0t0，則駛出交叉口，則駛出交叉口n的車輛將在下游交叉口的車輛將在下游交叉口n1處形成排隊，而處形成排隊，而 且且0排隊長度為：排隊長度為： j kktux/)( 0002 根據(jù)密度公式可以得到根據(jù)密度公式可以得到 第五章連續(xù)交通流模型 交叉口交叉口n1排隊車輛消散時間可計算如下：排隊車輛消散時間可計算如下： 1 0002 )( df j Tu k kt