高等幾何試題及答案

1、試卷類型：A 高等兒何 使用專業(yè)年級(jí) 考試方式：開卷（）閉卷（J）共6頁題號(hào)一一二四五六合計(jì)得分填空題（每小題4分，共20分）1、設(shè)A（l）, 4（-1）, Pj（8）為共線三點(diǎn)，則2、寫出徳薩格定理的對(duì)偶命題:3、若共點(diǎn)四直線a,b,c,d的交比為（ab, cd）=-b則交比（ad, bc） =4、平面上4個(gè)變換群，射影群，仿射群，相似群，正交群的大小關(guān)系為:5、二次曲線的點(diǎn)坐標(biāo)方程為4X內(nèi)-卅=0,則其線坐標(biāo)方程為選擇題（每小題2分，共10分）1.下列哪個(gè)圖形是仿射不變圖形（A圓 B直角三角形C矩形D平行四邊形2. M +2嘰-8諺=0表示（A.以-1/4為方向的無窮遠(yuǎn)點(diǎn)和以1/2為方向的

2、無窮遠(yuǎn)點(diǎn)B. 以-4為方向的無窮遠(yuǎn)點(diǎn)和以2為方向的無窮遠(yuǎn)點(diǎn)C. 以4為方向的無窮遠(yuǎn)點(diǎn)和以-2為方向的無窮遠(yuǎn)點(diǎn)D. 以1/4為方向的無窮遠(yuǎn)點(diǎn)和以-1/2為方向的無窮遠(yuǎn)點(diǎn) 3兩個(gè)不共底且不成透視的射影點(diǎn)列至少可以由兒次透視對(duì)應(yīng)組成（A. 一次B兩次C三次D四次4. 下而的名稱或定理分別不于仿射兒何學(xué)有（B.梯形A.三角形的垂心C.在平面內(nèi)無三線共點(diǎn)的四條直線有六個(gè)交點(diǎn)D橢圓5. 二次曲線按射影分類總共可分為（三、判斷題（每小題2分，共10分） 1.仿射對(duì)應(yīng)不一定保持二直線的平行性。（） 2兩直線能把射影平面分成兩個(gè)區(qū)域。（） 3當(dāng)正負(fù)號(hào)任意選取時(shí)，齊次坐標(biāo)（hhl）表示兩個(gè)相異的點(diǎn)。（） 4.在一

3、維射影變換中，若己知一對(duì)對(duì)應(yīng)元素（非H對(duì)應(yīng)元素）符合對(duì)合條件，則射影變換一定是對(duì)合。（） 5配極變換是一種非奇線性對(duì)應(yīng)。（）四、作圖題（8分）己知線束中三直線a, be,求作直線d,使（aU cd）=-lo （畫圖，寫出作法過程和根據(jù)）五、證明題（10分）如圖，設(shè)FGH是完全四點(diǎn)形ABCD對(duì)邊三點(diǎn)形，過F的兩直線TQ與SP分別交AB, BC, CD, DA FT, S, Q,匕試?yán)脧运_格定理（或逆定理）證明：TS與QP的交點(diǎn)M在直線GH上。A.計(jì)算題（42分） 1（6分）平面上經(jīng)過A （-3, 2）和B （6, 1）兩點(diǎn)的直線被直線x+3y-6=0截 fP點(diǎn)，求單比（ABP）2. （6分）已

4、知仿射平面上直線1的非齊次坐標(biāo)方程為x-2y+l=0,求（1）1的齊次坐標(biāo)方程;（2）1上無窮遠(yuǎn)點(diǎn)的坐標(biāo);（3）1上無窮遠(yuǎn)點(diǎn)的方程。3. （8分）在直線上取笛氏坐標(biāo)為2, 0, 3的三點(diǎn)作為射影坐標(biāo)系的P*,P0,E, （i）求此直線上任一點(diǎn)P的笛氏坐標(biāo)X與射影坐標(biāo)A的關(guān)系；（ii）問有沒有一點(diǎn)，它的兩種坐標(biāo)相等4. （8分）求點(diǎn)列上的射影變換，它將參數(shù)為1,2,3的點(diǎn)分別變?yōu)閰?shù)為1,3,2的點(diǎn)，并求出此射影變換的自對(duì)應(yīng)元素的參數(shù)。5. （6分）求由兩個(gè)射影線束龍廠加3=,勺-心=0, 34才=0所構(gòu)成的二階曲線 的方程。6. （8分）試求二次曲線+佔(zhàn)勺+ 3球+2x1x3-4x2x3二0的

5、中心與漸近線。填空題（每小題4分，共20分）1 (4 分)如果兩個(gè)三線形對(duì)應(yīng)邊的交點(diǎn)在一條直線上，則對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的連線交于一點(diǎn)。（4分）2 (4 分)射影群包含仿射群，仿射群包含相似群，相似群包含正交群（4分）選擇題（每小題2分，共10分）1. ( D),2(0,3. (B), 4. ( A), 5. ( B)判斷題（每小題2分，共W分）1. ( X),2. ( 7),3. ( X),4(V),5. ( 7)作圖題（8分）第1頁共45作法過程:K設(shè)a, b, c交于點(diǎn)A,在c上任取一點(diǎn)C, （2分）2、過C點(diǎn)作兩直線分別與a交于B、E,與b交于F, D, （2分）3. BD與EF交于G,4、AG即

6、為所求的d。（2分）根據(jù)：完全四點(diǎn)形的調(diào)和共覘性（2分）證明題（10分）證明：在三點(diǎn)形BTS與三點(diǎn)形DQP中（4分）對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的連線BD, TQ, SP三線共點(diǎn)，（2分）由徳薩格定理的逆定理知，（2分）對(duì)應(yīng)邊的交點(diǎn)BT與DQ的交點(diǎn)G, TS與QP的交點(diǎn)M以及BS與DP的交點(diǎn)H三點(diǎn)共線，即TS與QP的交點(diǎn)M在直線GH上。（2分）六、計(jì)算題（42分）（6分）解J設(shè)P點(diǎn)的坐標(biāo)為（xO, yo）BP PB （分割比）,（2分）且P在直線x+3y-6=0上,解得入=1,（2分）即P是AB中點(diǎn)，且（ABP） =-1（2分）（6分）(1) x,-2x,+x,=O（2分）(2) (1, 1/2, 0)（2分）(

7、3) 5+uJ/2 = 0（2分）（8分）解：笛氏坐標(biāo)0射影坐標(biāo):P*P0（1）由定義入=(P*PO, EP)=(20, 3x)(3-2)(/-0)_ X二 Cy-2)(3-0) = 3x-6=6工0（4分）3x-6 ,即 3x2 X =（ii）若有一點(diǎn)它的兩種坐標(biāo)相等，即X二入則有 7x=07/.當(dāng)x=0及x=3時(shí)兩種坐標(biāo)相等。（8分）設(shè)射影變換的方程為：a/t/T + bQ + M + d =0由題意知：a+b + e + d=O,6t/ + 2/7 + 3c+t/=O , 6a+3b+2c+d=0得到：:C: M = 3: 5 : -5 :7故射影變換方程為：3/1/1-52-5/1+7 = 0二重元素滿足：3才-102 + 7 = 0得2二7/3或幾=1（4分）（2分）（4分）（2分）（6分） 3Axy = 0（2分）由上式得： 坯馮（2分）故所求方程即為3也-3產(chǎn)0（2分）6. (8 分)解：二次曲線的齊次方程為:xl2+3xlx2-4x22+2xlx310x2x3=0設(shè)中心則中心為總-4 -5-5 0=-36工0二次曲線為常態(tài)的,2625（4分）求漸近線方程：allX2+2al2XY+a22Y2=0, X二x &