梯度散度旋度的關(guān)系

1、梯度gradie nt設(shè)體系中某處的物理參數(shù)(如溫度、速度、濃度等)為w，在與其垂直距離的dy處該參數(shù)為w+dw，則稱為該物理參數(shù)的 梯度，也即該物理參數(shù)的 變化率。如果參數(shù)為速度、濃度或溫度，則分別稱為速度梯度、濃度梯度或溫度梯度。在向量微積分中，標(biāo)量場的梯度是一個 向量場。標(biāo)量場中某一點上的梯度指向標(biāo)量場增長最快的方向，梯度的長度是這個最大的變化率。更嚴 格的說，從歐氏空間Rn到R的函數(shù)的梯度是在Rn某一點最佳的線性近似。在這個意義上，梯度是雅戈比矩陣的一個特殊情況。在單變量的實值函數(shù)的情況，梯度只是 導(dǎo)數(shù)，或者，對于一個 線性函 數(shù)，也就是線的斜率。梯度一詞有時用于斜度，也就是一個曲面沿

2、著給定方向的傾斜程度。 可以通過取向量梯度和所研究的方向的點積來得到斜度。梯度的數(shù)值有時也被成為梯度。在二元函數(shù)的情形，設(shè)函數(shù)z=f(x,y)在平面區(qū)域D內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo) 數(shù)，則對于每一點 P(x,y) D，都可以定出一個向量(S f/x)*i+( S f/y)*這向量稱為函數(shù) z=f(x,y)在點P(x,y)的梯度，記作 gradf(x,y)類似的對三元函數(shù)也可以定義一個：(S f/x)*i+( S f/y)*j+( S f/記為gradf(x,y,z)梯度的漢語詞義，用法?，F(xiàn)代漢語詞典附：新詞新義梯度1.坡度。2. 單位時間或單位距離內(nèi)某種現(xiàn)象(如溫度、氣壓、密度、速度等) 變化的程度。

3、3. 依照一定次序分層次地：我國經(jīng)濟發(fā)展由東向西推進。難易有。4. 依照一定次序分出的層次：考試命題要講究題型有變化，散度散度(diverge nee )的概念：在矢量場F中的任一點 M處作一個包圍該點的任意閉合曲面S,當(dāng)S所限定的體積 V以任何方式趨近于 0時，則比值為F dS/ V的極限稱為矢 量場F在點M處的散度，并記作 div F由散度的定義可知，div F表示在點M處的單位體積內(nèi)散發(fā)出來的矢量F的通量，所以div F描述了通量源的密度。div F= F氣象學(xué)：散度指流體運動時單位體積的改變率。簡單地說，流體在運動中集中 的區(qū)域為輻合，運動中發(fā)散的區(qū)域為輻散。用以表示的量稱為散度，值為

4、 負時為輻合，此時有利于天氣系統(tǒng)的的發(fā)展和增強，為正時表示輻散，有 利于天氣系統(tǒng)的消散。表示輻合、輻散的物理量為散度。微積分學(xué)f多元微積分f多元函數(shù)積分：P、處div設(shè)某量場由 A(x,y,z) = P(x,y,z) i + Q(x.y,z) j + R(x,y,z) k 給出，其中 Q、R具有一階連續(xù) 偏導(dǎo)數(shù)，藝是場內(nèi)一有向曲面，n是2在點(x,y,z) 的單位法 向量，則/ATndS叫做向量場 A通過曲面 2向著指定側(cè)的通 量，而 S P/ S x + S Q/S y +即R做向量場A的散度，記作div A，即A=S P/ S x + S Q/ S y + R/ Sz上述式子中的 S為偏微

5、分(partial derivative )符號。散度(diverge nee)的運算法則：div ( a A +3 B= a div A+ 3 div B ( a ,為常數(shù))div (u A ) =u div A+ A grad u (u 為數(shù)性函數(shù))旋度設(shè)有向量場A(x,y,z)=P(x,y,z)i+Q(x,y,z)j+R(x,y,z)k在坐標(biāo)軸上的投影分別為S R/ Sy S Q/S z S P/ S-zS R/ S x S Q/S x S P/ S y的向量叫做向量場A的旋度，記作 rot A或curl A ，即rot A= ( S R/ S-y S Q/S z )i+( S P/ S

6、 R/ S x )j+( S Q S)P/ S y)k 式中的 S為偏微分(partial derivative )符號。行列式記號旋度rot A的表達式可以用行列式記號形式表示：若 A=Ax- i+Ay -j，貝U rotA=(dAy/dx)i-(dAx/dy)j若 A=Ax- i+Ay -j+Az -k貝U rotA=(dAz/dy-dAy/dz)i+(dAx/dz-dAz/dx)j+(dAy/dx-dAx/dy)k 為一向量。向量場A，數(shù)量場u稱為漢密爾頓算子，算法不表示了，符號打不出來。 = 2= ,稱為拉普拉斯算子。梯度 u散度 A 首先梯度和旋度是向量場，而散度是標(biāo)量。梯度針對一個

7、數(shù)量場(勢場)，衡量一個數(shù)量場的變化方向。梯度為 0 說明該勢場是個等勢場。散度針對一個向量場， 衡量一個向量場的單位體積內(nèi)的場強。 散度為 0說明這個場沒有源頭。旋度針對一個向量場， 衡量一個向量場的自旋。 旋度為 0 說明這個場 是個保守場(無旋場)，保守場一定是某個數(shù)量場的梯度場。三者的關(guān)系：注意各自針對的對象不同。1梯度的旋度* u=0 梯度場的旋度為 0，故梯度場是保守場。例如重力場。2.梯度的散度 %= u 3散度的梯度 ( A) 4旋度的散度 (A)=0 旋度場的散度為 0，故旋度場是無源場。例如磁場，磁場本身是其他 場的旋度場。5.旋度的旋度(A)=V( A)- 2A= ( A)- A旋度場的旋度 也要說明一下，勻強場是保守場，因此絕對的勻強磁場是不可能的， 磁場本身也是有旋場。1.已