(西工大)大學(xué)物理課件：剛體力學(xué)

1、第5章 剛體力學(xué)初步 前前4章給出了質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)變化的有關(guān)規(guī)章給出了質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)變化的有關(guān)規(guī) 律律. . 本章介紹具有一定本章介紹具有一定形狀形狀和和大小大小物體的機(jī)械物體的機(jī)械 運(yùn)動(dòng)規(guī)律運(yùn)動(dòng)規(guī)律. . 既然既然任何物體可看成是由大量質(zhì)點(diǎn)組成的任何物體可看成是由大量質(zhì)點(diǎn)組成的, 那么前面的理論在本章中依然有效那么前面的理論在本章中依然有效. . 5.1 剛體運(yùn)動(dòng)學(xué)剛體運(yùn)動(dòng)學(xué) 5.2 剛體平動(dòng)動(dòng)力學(xué)剛體平動(dòng)動(dòng)力學(xué) 5.3 質(zhì)心與質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定律質(zhì)心與質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定律 5.4 剛體繞定軸的轉(zhuǎn)動(dòng)剛體繞定軸的轉(zhuǎn)動(dòng) 5.5 角動(dòng)量定理與角動(dòng)量守恒定律角動(dòng)量定理與角動(dòng)量守恒定律 5.6 定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理定軸轉(zhuǎn)動(dòng)

2、的動(dòng)能定理 與機(jī)械能守恒定律與機(jī)械能守恒定律 1. 剛體剛體 物理模型物理模型: 物體物體在相互作用及運(yùn)動(dòng)過(guò)程中在相互作用及運(yùn)動(dòng)過(guò)程中, 其其 大小和形狀均不發(fā)生變化大小和形狀均不發(fā)生變化. 推論推論: 剛體內(nèi)任意兩點(diǎn)間的距離不變剛體內(nèi)任意兩點(diǎn)間的距離不變. 2. 剛體的運(yùn)動(dòng)剛體的運(yùn)動(dòng) 5.1 剛體運(yùn)動(dòng)學(xué)剛體運(yùn)動(dòng)學(xué) 剛體的一般運(yùn)動(dòng)剛體的一般運(yùn)動(dòng)=平動(dòng)平動(dòng)+定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定軸轉(zhuǎn)動(dòng) 平動(dòng)平動(dòng): 剛體運(yùn)動(dòng)過(guò)程中剛體運(yùn)動(dòng)過(guò)程中, 通過(guò)其通過(guò)其內(nèi)任一條直線的內(nèi)任一條直線的 方位始終保持不變方位始終保持不變. 特點(diǎn)特點(diǎn): 剛體平動(dòng)時(shí)剛體平動(dòng)時(shí), 內(nèi)部各點(diǎn)運(yùn)動(dòng)規(guī)律完全相同內(nèi)部各點(diǎn)運(yùn)動(dòng)規(guī)律完全相同. 因此因此, 描

3、述質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的物理量描述質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的物理量(如位移如位移、速速 度和加速度度和加速度)均可用來(lái)描述剛體的運(yùn)動(dòng)均可用來(lái)描述剛體的運(yùn)動(dòng). 剛體內(nèi)任意質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)可代表整個(gè)剛體的平動(dòng)剛體內(nèi)任意質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)可代表整個(gè)剛體的平動(dòng). 轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)動(dòng): 剛體轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)剛體轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí), 各個(gè)質(zhì)點(diǎn)都繞同一直線各個(gè)質(zhì)點(diǎn)都繞同一直線(轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)軸) 作同角速度的圓周運(yùn)動(dòng)作同角速度的圓周運(yùn)動(dòng). 定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定軸轉(zhuǎn)動(dòng): 轉(zhuǎn)動(dòng)過(guò)程中轉(zhuǎn)軸固定不動(dòng)轉(zhuǎn)動(dòng)過(guò)程中轉(zhuǎn)軸固定不動(dòng). 質(zhì)心軸質(zhì)心軸: 通過(guò)通過(guò)質(zhì)心質(zhì)心(質(zhì)量中心質(zhì)量中心)的轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)軸. v 特點(diǎn)特點(diǎn): : 定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí), , 剛體轉(zhuǎn)軸上各點(diǎn)保持不動(dòng)剛體轉(zhuǎn)軸上各點(diǎn)保持不動(dòng). . 雖雖 然軸外各點(diǎn)

4、在同一時(shí)間然軸外各點(diǎn)在同一時(shí)間 dt 內(nèi)內(nèi)移動(dòng)的弧長(zhǎng)不移動(dòng)的弧長(zhǎng)不 同同, , 但其角位移但其角位移 d 卻相等卻相等. . 因此因此, 描述剛體描述剛體 定軸轉(zhuǎn)動(dòng)可采用定軸轉(zhuǎn)動(dòng)可采用角位移角位移、角速度角速度、角加速角加速 度度等物理量等物理量. . 3. 描述剛體轉(zhuǎn)動(dòng)的物理量描述剛體轉(zhuǎn)動(dòng)的物理量 角位移角位移: : 在時(shí)間間隔在時(shí)間間隔 t 內(nèi)內(nèi), , 剛體中任一點(diǎn)相對(duì)于剛體中任一點(diǎn)相對(duì)于 某一特定轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)過(guò)的角度為某一特定轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)過(guò)的角度為 . . z x o 特征特征: (1)角位移角位移 是相對(duì)于某一特定轉(zhuǎn)軸而言是相對(duì)于某一特定轉(zhuǎn)軸而言 的的. (2) 瞬時(shí)角位移瞬時(shí)角位移 d 符合矢量

5、運(yùn)算法則符合矢量運(yùn)算法則. d x y z o 角速度角速度: 大小為在某一時(shí)刻大小為在某一時(shí)刻 t 附附 近的單位時(shí)間間隔內(nèi)近的單位時(shí)間間隔內(nèi), 剛體上任剛體上任 一點(diǎn)角位移的大小一點(diǎn)角位移的大小; 其方向在轉(zhuǎn)其方向在轉(zhuǎn) 軸方位軸方位, 可用右手螺旋法則確定可用右手螺旋法則確定. 0 d lim d t kk tt 特征特征: (1) 角速度是矢量角速度是矢量, 它反映了剛體轉(zhuǎn)動(dòng)過(guò)程它反映了剛體轉(zhuǎn)動(dòng)過(guò)程 中角位移隨時(shí)間變化的規(guī)律中角位移隨時(shí)間變化的規(guī)律. (2) 定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)轉(zhuǎn)軸方向確定定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)轉(zhuǎn)軸方向確定, 角速度的方角速度的方 向可用正負(fù)表示向可用正負(fù)表示, 即滿足標(biāo)量運(yùn)算法則即滿足標(biāo)量

6、運(yùn)算法則. 角加速角加速度度: 角速度的時(shí)間變化率角速度的時(shí)間變化率, 即即 0 d lim d t tt 2 2 ddddd dtdtddtd 對(duì)定軸轉(zhuǎn)動(dòng)有對(duì)定軸轉(zhuǎn)動(dòng)有 速度和角速度的關(guān)系速度和角速度的關(guān)系: O r R O v v P , 以轉(zhuǎn)軸上某點(diǎn)以轉(zhuǎn)軸上某點(diǎn) O 為參考點(diǎn)為參考點(diǎn) vr sinR vrr 2 dd () dd dd () dd RnRt ar tt r rrr tt R eRa ea e v e 加速度和加速度和角速度角速度、角加速度的關(guān)系角加速度的關(guān)系: dd R dtR dt 1 v v2 2 d d t n aR t aR R v v 對(duì)定軸轉(zhuǎn)動(dòng)有對(duì)定軸轉(zhuǎn)動(dòng)有

7、定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定軸轉(zhuǎn)動(dòng) 直線運(yùn)動(dòng)直線運(yùn)動(dòng) 角位移角位移 位移位移 x 角速度角速度 速度速度v 角加速度角加速度 加速度加速度 a 對(duì)應(yīng)關(guān)系對(duì)應(yīng)關(guān)系 = =常數(shù)常數(shù) a = =常數(shù)常數(shù) 勻加速定軸轉(zhuǎn)動(dòng)勻加速定軸轉(zhuǎn)動(dòng) 勻加速直線運(yùn)動(dòng)勻加速直線運(yùn)動(dòng) 22 0000 00 2222 00 11 22 22 ttxxtat tat ax v vv vv 5.2 剛體平動(dòng)動(dòng)力學(xué) 剛體剛體: 質(zhì)點(diǎn)間距離保持不變的質(zhì)點(diǎn)系質(zhì)點(diǎn)間距離保持不變的質(zhì)點(diǎn)系. 質(zhì)量元質(zhì)量元 mi : 在在剛體內(nèi)任取一質(zhì)量元?jiǎng)傮w內(nèi)任取一質(zhì)量元 mi 視為視為 質(zhì)點(diǎn)質(zhì)點(diǎn). 質(zhì)量元外力質(zhì)量元外力F i: 其它物體施于質(zhì)量元其它物體施于質(zhì)量元 mi

8、 的作的作 用力用力. 質(zhì)量元內(nèi)力質(zhì)量元內(nèi)力f i: 剛體內(nèi)其它部分施于質(zhì)量元?jiǎng)傮w內(nèi)其它部分施于質(zhì)量元 mi 的作用力的作用力. iii Ffma i 由牛頓力學(xué)有由牛頓力學(xué)有 iii Ffm a i iii 對(duì)所有質(zhì)量元求和有對(duì)所有質(zhì)量元求和有 12i a = aa = a 且平動(dòng)時(shí)有且平動(dòng)時(shí)有 考慮到考慮到 0 i f i ()Fm am a iii iii 所以所以 Fma 平動(dòng)運(yùn)動(dòng)定律平動(dòng)運(yùn)動(dòng)定律: 剛體平動(dòng)時(shí)剛體平動(dòng)時(shí), 其運(yùn)動(dòng)規(guī)律與同質(zhì)其運(yùn)動(dòng)規(guī)律與同質(zhì) 量的質(zhì)點(diǎn)相同量的質(zhì)點(diǎn)相同. () ii ii Fm a 5.3 質(zhì)心與質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定律 對(duì)剛體的任意運(yùn)動(dòng)對(duì)剛體的任意運(yùn)動(dòng), , 由牛頓

9、第二定律有由牛頓第二定律有 iii ii Fm a 剛體任意運(yùn)動(dòng)時(shí)剛體任意運(yùn)動(dòng)時(shí), , 作用在剛體上的合外力等于各作用在剛體上的合外力等于各 個(gè)質(zhì)量元的加速度與其質(zhì)量乘積的矢量和個(gè)質(zhì)量元的加速度與其質(zhì)量乘積的矢量和. . 剛體任意運(yùn)動(dòng)剛體任意運(yùn)動(dòng)時(shí)時(shí), 每一質(zhì)量元的加速度不一定相每一質(zhì)量元的加速度不一定相 同同, 故上式無(wú)法確定每一質(zhì)量元的加速度故上式無(wú)法確定每一質(zhì)量元的加速度. 但卻可但卻可 以確定剛體中一特殊點(diǎn)以確定剛體中一特殊點(diǎn)(質(zhì)心質(zhì)心)的加速度的加速度. 1. . 剛體的質(zhì)心與質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定律剛體的質(zhì)心與質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定律 2 2 2 2 2 2 d d d d i ixiixi iii i

10、iyiiyi iii i iziizi iii x Fm am t y Fm am t d z Fm am dt 將上式寫成直角坐標(biāo)分量的形式將上式寫成直角坐標(biāo)分量的形式 2 2 2 2 2 2 d d d ii i ix i ii i iy i ii i iz i m x m Fm dt m y m Fm dt m z m Fm dt 變形為變形為 這三個(gè)量所確定的點(diǎn)這三個(gè)量所確定的點(diǎn) c (xc, yc, zc), 稱為剛體的稱為剛體的 質(zhì)量中心質(zhì)量中心, 簡(jiǎn)稱簡(jiǎn)稱質(zhì)心質(zhì)心. ii c ii c ii c m x x m m y y m m z z m i i i 若令若令 c c c x

11、dmxdV x = mm ydmydV y = mm zdmzdV z = mm 若質(zhì)量連續(xù)分布若質(zhì)量連續(xù)分布, 則有則有 其中其中 dV 為質(zhì)量元為質(zhì)量元 dm 的的體積體積, 為剛體的體密度為剛體的體密度. 質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定律質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定律: 剛體任意運(yùn)動(dòng)時(shí)剛體任意運(yùn)動(dòng)時(shí), 作用在剛體上作用在剛體上 的合外力等于剛體質(zhì)量與質(zhì)心加速度的乘積的合外力等于剛體質(zhì)量與質(zhì)心加速度的乘積. 代入分量式可得代入分量式可得 ic i Fma 2 2 22 2 2 22 2 2 2 ii ic ixcx i ii ic iycy i ii ic izcz i m x d d xm Fmmma dtdt m y d

12、d ym Fmmma dtdt m z d d zm Fmmma mdt 2. 剛體的重力勢(shì)能剛體的重力勢(shì)能 piii = Em gh ppiii ii ii i = = = c EEm gh m h mg m mgh hc為剛體質(zhì)心的高度為剛體質(zhì)心的高度, 剛體的重力勢(shì)能取決于其剛體的重力勢(shì)能取決于其 質(zhì)心的高度質(zhì)心的高度. 對(duì)任一質(zhì)量元對(duì)任一質(zhì)量元 對(duì)整個(gè)剛體對(duì)整個(gè)剛體 5.4 剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng) 1. 1. 轉(zhuǎn)動(dòng)定律轉(zhuǎn)動(dòng)定律 剛體繞過(guò)剛體繞過(guò)O點(diǎn)且與投影面點(diǎn)且與投影面 垂直的固定軸轉(zhuǎn)動(dòng)垂直的固定軸轉(zhuǎn)動(dòng) 僅考慮所受的力與轉(zhuǎn)軸垂直的情形僅考慮所受的力與轉(zhuǎn)軸垂直的情形. . i m

13、剛體中任一質(zhì)量元?jiǎng)傮w中任一質(zhì)量元 i F 該質(zhì)量元所受合外力該質(zhì)量元所受合外力 f i 該質(zhì)量元所受合內(nèi)力該質(zhì)量元所受合內(nèi)力 o i m i r i F i f i i 由牛頓第二定律由牛頓第二定律: iiii F + f = m a 寫成分量形式寫成分量形式: 2 coscos (1) sinsin (2) iiiiiini i iiiiiiti i F + f=ma =mr F + f=ma =mr (2)式乘以式乘以ri 有有 2 sinsin i iii iii iiti i Frf rmramr 2 sinsin i iii iii i iii Frf rmr 對(duì)對(duì) i 求和有求和有

14、 2 sinsin i iii iii i iii Frf rm r sin0 i ii i f r= 2 sin i iii i Frm r ii sin ii ii M = Fr i i MI 由內(nèi)力的特性知由內(nèi)力的特性知 故有故有 稱為外力稱為外力Fi 對(duì)轉(zhuǎn)軸的對(duì)轉(zhuǎn)軸的力矩力矩 稱為剛體對(duì)該轉(zhuǎn)軸的稱為剛體對(duì)該轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 2 i i i I =mr 所以所以 2 2 dd dd MIII tt 定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律: 剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí), 作用在剛體作用在剛體 上的合外力矩等于剛體對(duì)該轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量與角上的合外力矩等于剛體對(duì)該轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量與角 加速度的乘積加

15、速度的乘積. i i MMI 以以 表示合外力矩表示合外力矩, 則有則有 MI i rF ii ii MM 2 i i Imr i 以矢量形式表示以矢量形式表示 其中合外力矩其中合外力矩 轉(zhuǎn)動(dòng)慣量轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 力矩指向位于轉(zhuǎn)軸方位力矩指向位于轉(zhuǎn)軸方位 2. 力矩力矩 rF M o r F sinF cosF sinR r 定義定義: 力對(duì)某轉(zhuǎn)軸的力矩等力對(duì)某轉(zhuǎn)軸的力矩等 于于轉(zhuǎn)軸到轉(zhuǎn)軸到力作用點(diǎn)的矢徑與力作用點(diǎn)的矢徑與 作用力的叉積作用力的叉積. sinM = rF= FR 特性特性: 力矩是矢量力矩是矢量. 大小大小 方向方向: 由由 和和 的右手螺旋法則確定的右手螺旋法則確定. r F 3.

16、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 222 dd i i i ImrrmrV 定義定義: 特性特性: (1) 轉(zhuǎn)動(dòng)慣量是標(biāo)量轉(zhuǎn)動(dòng)慣量是標(biāo)量, , 它是反映剛體轉(zhuǎn)動(dòng)它是反映剛體轉(zhuǎn)動(dòng) 慣性大小的物理量慣性大小的物理量. (2) 它是相對(duì)于某一特定轉(zhuǎn)軸而言的它是相對(duì)于某一特定轉(zhuǎn)軸而言的. 轉(zhuǎn)轉(zhuǎn) 軸不同軸不同, 同一物體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量則不同同一物體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量則不同. (3) 它與剛體的質(zhì)量和質(zhì)量分布有關(guān)它與剛體的質(zhì)量和質(zhì)量分布有關(guān). (4) 它符合加法結(jié)合律和交換律它符合加法結(jié)合律和交換律和的轉(zhuǎn)動(dòng)慣和的轉(zhuǎn)動(dòng)慣 量等于轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的和量等于轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的和. (5) 轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的平行軸定律平行軸定律: 2 c IImd (6

17、) 規(guī)則剛體相對(duì)于對(duì)稱軸的規(guī)則剛體相對(duì)于對(duì)稱軸的轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)動(dòng) 慣量可直接計(jì)算求得慣量可直接計(jì)算求得, 其它不規(guī)則其它不規(guī)則 剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量一般由實(shí)驗(yàn)測(cè)定剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量一般由實(shí)驗(yàn)測(cè)定. d m IIc 4. . 轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的計(jì)算轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的計(jì)算 x dx xo (1) 垂直于細(xì)棒且通過(guò)質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量垂直于細(xì)棒且通過(guò)質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量. 已知已知: 棒長(zhǎng)棒長(zhǎng) l , 總質(zhì)量總質(zhì)量 m . 2 Ix dm m l設(shè)棒的線密度為設(shè)棒的線密度為 2 22 2 2 232 0 11 2 1212 l l l Ix dmxdx x dxlml 則有則有 (2) 均勻細(xì)圓環(huán)繞其對(duì)稱軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量均勻細(xì)圓環(huán)繞其對(duì)稱軸的轉(zhuǎn)

18、動(dòng)慣量. 已知已知: 半徑半徑 R, 總質(zhì)量總質(zhì)量 m . dm R 22 2 IR dmRdm mR (3) 空心圓柱繞其對(duì)稱軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量空心圓柱繞其對(duì)稱軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量. 已知已知: 內(nèi)半徑內(nèi)半徑 R1, 外半徑外半徑 R2 , 高高 l , 總質(zhì)量總質(zhì)量 m . 22 21 m l RR （） r dr R1 R2 o l dd2dmVrl r 2 1 2 344 21 22 12 d 2d() 2 1 () 2 R R Irm l lrrRR m RR 該式同樣適用于薄圓盤該式同樣適用于薄圓盤 設(shè)其密度為設(shè)其密度為 在半徑為在半徑為 r 處處, 取厚度為取厚度為 dr 的薄層為質(zhì)量元薄層為

19、質(zhì)量元 計(jì)算轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的一般步驟計(jì)算轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的一般步驟 m V ddmV dV 2 ( , )d d d V Irx y zx y z 43 sind dd V Ir r 質(zhì)量密度為質(zhì)量密度為 取體積元取體積元 則質(zhì)量元?jiǎng)t質(zhì)量元 直角坐標(biāo)系直角坐標(biāo)系 球坐標(biāo)系球坐標(biāo)系 轉(zhuǎn)動(dòng)慣量轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 22 Ir dmr dV 常見規(guī)則剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量常見規(guī)則剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 薄圓盤薄圓盤 2 1 2 Imr r R1 R2 l 圓柱圓柱 22 12 1 () 2 Im RR 細(xì)棒細(xì)棒 2 1 3 Iml 細(xì)棒細(xì)棒 2 1 12 Iml 例例1. 求半經(jīng)為求半經(jīng)為 R 、質(zhì)量為質(zhì)量為 m 的均勻圓環(huán)的均勻圓環(huán), 對(duì)

20、于沿直對(duì)于沿直 徑轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量徑轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量. R d dmr 解解: 圓環(huán)的線密度為圓環(huán)的線密度為 2 m R 在環(huán)上取長(zhǎng)度元在環(huán)上取長(zhǎng)度元 dS, 相應(yīng)的相應(yīng)的 質(zhì)量元質(zhì)量元 dm , dm 距轉(zhuǎn)軸距轉(zhuǎn)軸 r, 則 dm = dS = Rd cosrR 2 2 22 2 32 d 2cosd 1 2 Irm R R RmR 例例4. 在半徑分別為在半徑分別為 R1 和和 R2 的階梯形滑輪上反向的階梯形滑輪上反向 繞有兩根輕繩繞有兩根輕繩, 分別懸掛質(zhì)量為分別懸掛質(zhì)量為m1、m2的物體的物體. 如如 滑輪與軸間摩擦不計(jì)滑輪與軸間摩擦不計(jì), 滑輪轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為滑輪轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為I. 求滑輪的求滑

21、輪的 角加速度角加速度 及兩繩中的張力及兩繩中的張力T1與與T2. 1 m 2 m 1 R 2 R 2 T 1 T y 1 m g 1 T 1 m 2 m g 2 T 2 m 解解: 取向取向下為坐標(biāo)軸正方向下為坐標(biāo)軸正方向, 相應(yīng)地相應(yīng)地順時(shí)針順時(shí)針向亦向亦 為為正正. 隔離體受力分析如圖隔離體受力分析如圖. 由牛頓定律和轉(zhuǎn)動(dòng)定律列方程如下由牛頓定律和轉(zhuǎn)動(dòng)定律列方程如下 1111 2222 1122 m gTm a m gTm a T RT RI 11 22 aR aR 且線量與角量之間的關(guān)系為且線量與角量之間的關(guān)系為 1 m 2 m 1 R 2 R y 2 22212 11 22 1122

22、 I +m R +m R R T =m g I +m R +m R 2 11112 22 22 1122 I +m R +m R R T =m g I +m R +m R 1122 22 1122 m R -m R =g I +m R +m R 聯(lián)立求解得聯(lián)立求解得 例例5. 物體物體 A、B 質(zhì)量分別為質(zhì)量分別為 m1和和 m2 , 用一輕繩相用一輕繩相 連連, 繩子跨過(guò)質(zhì)量為繩子跨過(guò)質(zhì)量為 M、半徑為半徑為 R 的勻質(zhì)定滑輪的勻質(zhì)定滑輪 C. 如如A下降下降, B 與水平桌面間的滑動(dòng)摩擦系數(shù)為與水平桌面間的滑動(dòng)摩擦系數(shù)為 , 且繩與滑輪之間無(wú)相對(duì)滑動(dòng)且繩與滑輪之間無(wú)相對(duì)滑動(dòng), 求系統(tǒng)的加速

23、度及求系統(tǒng)的加速度及 繩中的張力繩中的張力 T1 和和 T2 . A BC y x o 解解: 建立如圖坐標(biāo)系建立如圖坐標(biāo)系, 并取并取順時(shí)針順時(shí)針向?yàn)橄驗(yàn)檎较蛘较? 隔離隔離 體受力分析如下圖體受力分析如下圖. 由牛頓定律和轉(zhuǎn)動(dòng)定律列出動(dòng)由牛頓定律和轉(zhuǎn)動(dòng)定律列出動(dòng) 力學(xué)方程力學(xué)方程: N f 2 m g 2 T B A 1 m g 1 T 2 T 1 T 111 1 m gTma 222 2 0 Tfm a m gN fN 12 2 / 2 TRT RI IMR x y 12 aaaR 2222 111 1 2 1 122 Tm gm a m gTm a T RT RMR 整理以上方程有

24、整理以上方程有: 又由運(yùn)動(dòng)之間的聯(lián)系可得又由運(yùn)動(dòng)之間的聯(lián)系可得: 2 11 12 2(1) 2() mM Tm g mmM 1 22 12 2(1) 2() mM Tm g mmM 聯(lián)立解得聯(lián)立解得: 12 12 2() 2() mm ag mmM 5.5 角動(dòng)量定理與角動(dòng)量定理與 角動(dòng)量守恒定律角動(dòng)量守恒定律 根據(jù)轉(zhuǎn)動(dòng)定律根據(jù)轉(zhuǎn)動(dòng)定律 dd () dd dL MIII ttdt 其中其中 為剛體對(duì)該轉(zhuǎn)軸的為剛體對(duì)該轉(zhuǎn)軸的角動(dòng)量角動(dòng)量或或 動(dòng)量矩動(dòng)量矩. LI ddM tL 0 0 0 dd tL L M tLLL 角動(dòng)量定理角動(dòng)量定理: 剛體在定軸轉(zhuǎn)動(dòng)過(guò)程中剛體在定軸轉(zhuǎn)動(dòng)過(guò)程中, 角動(dòng)量的角

25、動(dòng)量的 增量等于外力矩作用在剛體上的沖量矩增量等于外力矩作用在剛體上的沖量矩. 一般地一般地, 有有 d d L M t 0 0 dd tL L M tL 0 d t M t 稱為力矩對(duì)轉(zhuǎn)軸的稱為力矩對(duì)轉(zhuǎn)軸的沖量矩沖量矩 沖量矩沖量矩: 外力矩對(duì)時(shí)間的累積外力矩對(duì)時(shí)間的累積. 由角動(dòng)量定理由角動(dòng)量定理: 角動(dòng)量守恒定律角動(dòng)量守恒定律: 剛體在定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)剛體在定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí), 若受到的若受到的 合外力矩為零合外力矩為零, 則其角動(dòng)量保持不變則其角動(dòng)量保持不變. I1 1 F1 I2 2 F2 I1+ I2 0 0 d t M tLL 0 ,M若若 0 LL 恒矢量恒矢量 作用前角動(dòng)量作用前角動(dòng)量 作

26、用后角動(dòng)量作用后角動(dòng)量 0M 112212 = (+)I +I II 例例8. 在質(zhì)量為在質(zhì)量為 M、半徑為半徑為 R 的水平圓盤轉(zhuǎn)臺(tái)上的水平圓盤轉(zhuǎn)臺(tái)上, 兩兩 質(zhì)量均為質(zhì)量均為 m 的電動(dòng)汽車分別沿半徑為的電動(dòng)汽車分別沿半徑為 R 和和 r (Rr) 的圓形軌道轉(zhuǎn)動(dòng)圓形軌道轉(zhuǎn)動(dòng). 最初最初, 小車和轉(zhuǎn)臺(tái)都靜止不動(dòng)小車和轉(zhuǎn)臺(tái)都靜止不動(dòng). 若內(nèi)若內(nèi)、外軌道上的小車分別沿順時(shí)針和逆時(shí)針方外軌道上的小車分別沿順時(shí)針和逆時(shí)針方 向轉(zhuǎn)動(dòng)向轉(zhuǎn)動(dòng), 且相對(duì)轉(zhuǎn)臺(tái)的速率均為且相對(duì)轉(zhuǎn)臺(tái)的速率均為v. 求轉(zhuǎn)臺(tái)對(duì)地面求轉(zhuǎn)臺(tái)對(duì)地面 的角速度的角速度. r v R v B A 解解: 設(shè)順時(shí)針方向?yàn)檎O(shè)順時(shí)針方向?yàn)檎?

27、轉(zhuǎn)臺(tái)對(duì)地面的角速度為轉(zhuǎn)臺(tái)對(duì)地面的角速度為 . 由于運(yùn)動(dòng)過(guò)程中無(wú)外力矩作用由于運(yùn)動(dòng)過(guò)程中無(wú)外力矩作用, 所以系統(tǒng)的角動(dòng)所以系統(tǒng)的角動(dòng) 量守恒量守恒. 汽車汽車A相對(duì)于地面的角速度相對(duì)于地面的角速度 A Rv 汽車汽車B相對(duì)于地面的角速度相對(duì)于地面的角速度 B rv 由角動(dòng)量守恒由角動(dòng)量守恒 0 AABB I +I +I 其中其中 2 A ImR 2 B I = mr 2 2 MR I = 代入可得代入可得 2 22 0 2 MR mRmRmrmrvv 222 2() 2 () mRr m RrMR v 所以所以, 轉(zhuǎn)臺(tái)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)臺(tái)順時(shí)針旋轉(zhuǎn). 5.6 定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理 與機(jī)

28、械能守恒定律與機(jī)械能守恒定律 剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí), 距轉(zhuǎn)軸為距轉(zhuǎn)軸為 r 質(zhì)量元質(zhì)量元 dm 的線速度線速度 為為 v , 其動(dòng)能為其動(dòng)能為 o r v dm 222 11 ddd 22 k Emrmv 剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)的總剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)的總動(dòng)能為動(dòng)能為 22 222 1 dd 2 11 d 22 kk EErm rmI 1. 剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能 2. 剛體的重力勢(shì)能剛體的重力勢(shì)能 d pc h m Emgmgh m 3. 剛體的平動(dòng)動(dòng)能剛體的平動(dòng)動(dòng)能 2 1 2 k Em v 4. . 剛體的總機(jī)械能剛體的總機(jī)械能 22 11 22 kkp c EEEE Immgh v 5

29、. 剛體轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)外力矩所做的功剛體轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)外力矩所做的功 o i r i F it F in F d 剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)的微角位移為剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)的微角位移為 d , 相應(yīng)地相應(yīng)地力矩做功為力矩做功為 dddd iitit ii AFsF rM ddd ii ii AAM 22 11 ddd i i AAMM 某一力某一力 Fi 的元功為的元功為 所有外力的元功為所有外力的元功為 剛體由角剛體由角 1轉(zhuǎn)到角轉(zhuǎn)到角 2 過(guò)程中過(guò)程中, 外力矩所做的功為外力矩所做的功為 6. 剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理 由轉(zhuǎn)動(dòng)定律有由轉(zhuǎn)動(dòng)定律有 dddd dddd MIIII tt ddMI 22 11

30、 22 21 dd 11 22 MI II 2 1 d k AME 2 1 22 21 11 d 22 k AMIIE 動(dòng)能定動(dòng)能定理理: 剛體在定軸轉(zhuǎn)動(dòng)過(guò)程中剛體在定軸轉(zhuǎn)動(dòng)過(guò)程中, 合外力矩所合外力矩所 做的功等于轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能的增量做的功等于轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能的增量(力矩的力矩的 空間累積效應(yīng)空間累積效應(yīng)). 7. 剛體機(jī)械能守恒定律剛體機(jī)械能守恒定律 由剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理有由剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理有: 0kK EE 恒量 00kpKp EEEE 恒量 2 1 d0 k AME 當(dāng)當(dāng) 時(shí)時(shí) 0M 若存在重力若存在重力, ,且且 , 則則 0M 一般情況下一般情況下 000kpkKpk EEEEEE 恒量 0 F 若若 且有且有 0,M k E 為為平動(dòng)動(dòng)能平動(dòng)動(dòng)能 k E 為為轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能 例例1. 質(zhì)量為質(zhì)量為 m1 的小球的小球, 運(yùn)動(dòng)速度為運(yùn)動(dòng)速度為u, 與質(zhì)量為與質(zhì)量為 m2 、 長(zhǎng)為長(zhǎng)為 2l 的細(xì)棒作完全彈性碰撞的細(xì)棒作完全彈性碰撞, 棒繞通過(guò)其質(zhì)心棒繞通過(guò)其質(zhì)心 的水平轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)動(dòng)的水平轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)動(dòng)(如圖如圖). 求求: 小球的反彈速度小球的反彈速度v 和棒的角速度和棒的角速度 . 解解: 小球的重力與沖擊力相比可忽略小球的重力與沖擊力相比可忽略, 且選順時(shí)針且選順時(shí)針 轉(zhuǎn)向?yàn)檎较蜣D(zhuǎn)向?yàn)檎较? 設(shè)小球反彈速度為設(shè)小球反彈