競賽講座1整數(shù)問題知識內(nèi)容質(zhì)數(shù)合數(shù)奇數(shù)偶數(shù)整數(shù)整除的概念

1、競賽講座 1：整數(shù)問題 知識內(nèi)容：質(zhì)數(shù)、合數(shù)、奇數(shù)、偶數(shù)、整數(shù)整除的概念和性質(zhì)。 思想方法：因數(shù)分解法、奇偶分析法、分類討論等 一質(zhì)數(shù)、合數(shù)1、p 是質(zhì)數(shù)，并且 p6+3 也是質(zhì)數(shù)，則 p11-52=.2 2 2 2 2 2 2 22、若 a、b、c、d 為整數(shù)，且 (a b )(c d ) =1997，則 a2+b2+c2+d2=23、已知 a是質(zhì)數(shù)， b是奇數(shù)，且 a2 b 2001 ，則 a+b= _.8594334、超級計算機曾找到的最大質(zhì)數(shù)是2859433 1，這個質(zhì)數(shù)的末尾數(shù)字是()A1B 3C7D95、若正整數(shù) a、 b、 c滿足 a2 b2 c 2 ， a為質(zhì)數(shù)，那么 b、c

2、兩數(shù)()A同為奇數(shù) B同為偶數(shù)C一奇一偶D 同為合數(shù)6、若質(zhì)數(shù) m、 n 滿足 5m+7n=129 ，則 m+n=.7、已知三個質(zhì)數(shù) m、n、p 的積等于這三個質(zhì)數(shù)的和的 5倍，則 m2 n2 p2 =8、已知三個不同的質(zhì)數(shù) a、b、c滿足 abbc a 2000 ，那么 a+b+c=.9、一個兩位質(zhì)數(shù)，將它的十位數(shù)字與個位數(shù)字對調(diào)后仍是一個兩位質(zhì)數(shù)，我們稱它為“無暇質(zhì)數(shù)”，則所有“無瑕質(zhì)數(shù)”之和等于 .10、求這樣的質(zhì)數(shù)，當(dāng)它加上 10和 14時，仍為質(zhì)數(shù)。11、已知：正整數(shù) p、 q都是質(zhì)數(shù)，且 7p+q與 pq+11，也都是質(zhì)數(shù)，試求 pq qp的值。12、用正方形的地磚不重疊、無縫隙地

3、鋪滿一塊地，選用邊長為xcm 規(guī)格的地磚，恰用 n塊；若選用邊長為 ycm 規(guī)格的地磚，則比前一種剛好多用 124 塊。已知 x、 y、n 都是正整數(shù)，且 (x,y) 1, 試問這塊地有多少平方米？二奇數(shù)、偶數(shù)1、三個質(zhì)數(shù)之和為 86，那么這三個質(zhì)數(shù)是 .2、如果 x、y、z是三個任意整數(shù)，那么 x y,x z, y z( ) 222A都不是整數(shù) B 至少有兩個整數(shù) C 至少有一個整數(shù) D 都是整數(shù)3、的前 24 位數(shù)值為 3.14159265358979323846264 ，在這 24 個數(shù)字中，隨意地逐個抽取 1 個數(shù)字，并依次記作： a1,a2, ,a24 ，則 (a1 a2)(a3 a

4、4)(a23 a24)為()A奇數(shù)B 偶數(shù) C 奇數(shù)或偶數(shù) D 質(zhì)數(shù)4、在 1，2，3， 2010中的每一個數(shù)的前面，任意添上一個“+”或“ -”，那么最后運算的結(jié)果是奇數(shù)還是偶數(shù)？5、設(shè) 1，2，3， 9的任一排列為 a1，a2，a9.求證：(a1-1)(a 2-2) (a 9-9)是一個偶數(shù)6、有 n 個數(shù) x1， x2， xn，它們中的每一個數(shù)或者為1，或者為 -1如果x1x2+x2x3+ +xn-1xn+xnx1=0，求證： n 是 4 的倍數(shù)7、設(shè) a， b是自然數(shù)，且滿足關(guān)系式 (11111+a)(11111 -b)=123456789 求證： a-b 是 4 的倍數(shù)8、某次數(shù)學(xué)競

5、賽， 共有 40 道選擇題， 規(guī)定答對一題得 5分，不答得 1 分，答錯倒扣 1分證 明：不論有多少人參賽，全體學(xué)生的得分總和一定是偶數(shù)9、試說明 15塊 41的矩形骨牌和 1塊22的正方形骨牌不能蓋住 88的正方形 .亂 這610、在 6 張紙片的正面分別寫上整數(shù) 1，2，3，4， 5，6，打 次序后，將紙片翻過來，在它們的反面也隨意分別寫上16得出 6個數(shù)，請你證明： 所得個數(shù)， 然后計算每張紙片正面與反面所寫數(shù)字之差的絕對值， 的 6 個數(shù)中至少有兩個是相同的。11、有 2009 枚硬幣，其中 1000 枚國徽朝上， 1009 枚國徽朝下?，F(xiàn)要求每一次翻轉(zhuǎn)其中任 意 6 枚，使它們的國徽

6、朝向相反， 問能否經(jīng)過有限次翻轉(zhuǎn)之后， 使所有硬幣的國徽都朝上？ 給出你的結(jié)論，并給予證明。12、對一個正整數(shù)作如下操作：如果是偶數(shù)則除以2，如果是奇數(shù)則加 1，如此進行到 1 時操作停止，求經(jīng)過 10 次操作變?yōu)?1 的數(shù)有多少？三整數(shù)的整除性1、如果五位數(shù) 12a34是 3 的倍數(shù)，那么 a是.2、在 1，2，3，2000這2000個自然數(shù)中，有 個自然數(shù)能同時被 2和 3整除，而且不能被 5 整除。3、一個自然數(shù)與 13 的和是 5 的倍數(shù)，與 13 的差是 6 的倍數(shù)，則滿足條件的最小自然數(shù)是 4、設(shè) m 和 n 為大于 0 的整數(shù)，且 3m+2n=225. 如果 m 和 n 的最大公

7、約數(shù)為 15， 求 m+n 的值5、有若干蘋果，兩個一堆多一個， 3 個一堆多一個， 4 個一堆多一個， 5 個一堆多一個， 6個一堆多一個，問這堆蘋果最少有多少個？6、自然數(shù) a1，a2，a3， a9， a10的和 1001 等于，設(shè) d 為 a1， 公約數(shù)，試求 d 的最大值。a2， a3， a9，a10 的最大從 0001 到 9999 號，如如號碼 0734，因 0+7=3+4 ，所有幸運券的號碼之和能8、在 1，2，3，1995 這 1995 個數(shù)中，找出所有滿足條件的數(shù)來：(1995+a) 能整除 1995 a7、某商場向顧客發(fā)放 9999 張購物券，每張購物券上印有四位數(shù)碼， 果

8、號碼的前兩位之和等于后前兩位之和， 則這張購物券為幸運券， 所以這個號碼的購物券為幸運券。 證明： 這個商場所發(fā)購物券中， 被 101 整除。a 19911991 199110、已知：1991個1991，問 a 除以 13，所得余數(shù)是幾？11、n 是正偶數(shù)， a1,a2,an 除以 n，所得的余數(shù)互不相同； b1,b2,bn除以 n，所得的余數(shù) 也互不相同。證明 a1+b1，a2+b2， an+b n除以 n，所得的余數(shù)必有相同的。12、十進制中， 44444444 的數(shù)字和為 A，A的數(shù)字和為 B，B的數(shù)字和為 C，求 C四數(shù)字問題：1、有一列數(shù)： 2，22，222，2222，把它們的前 2

9、7 個數(shù)相加，則它們的和的十位數(shù) 字是 ()A、9B、 7C、5D、32、19932002+19952002 的末位數(shù)字是 ()A、6B、 4C、5D、33、若自然數(shù) n 使得作豎式加法 n+(n+1)+(n+2) 時均不產(chǎn)生進位現(xiàn)象，便稱 n 為“連綿數(shù)” 。 如因為 12+13+14 不產(chǎn)生進位現(xiàn)象，所以 12 是“連綿數(shù)” ；但 13+14+15 產(chǎn)生進位現(xiàn)象，所 以 13 不是“連綿數(shù)” ，則不超過 100 的“連綿數(shù)”共有 () 個A、9B、 11C、12D、154、有一個四位數(shù)，已知其十位數(shù)字減去2 等于個位數(shù)字，其個位數(shù)字加上2 等于其百位數(shù)字，把這個四位數(shù)的四個數(shù)字反著次序排列

10、所成的數(shù)與原數(shù)之和等于9988，求這個四位數(shù)。5、一個正整數(shù) N 的各位數(shù)字不全相等， 如果將 N 的各位數(shù)字重新排列， 必可得到一個最大 數(shù)和一個最小數(shù)，若最大數(shù)與最小數(shù)的差正好等于原來的數(shù)N，則稱 N 為“新生數(shù)” ，試求所有的三位“新生數(shù)” 。6、從 1 到 1999 ，其中有多少個整數(shù)，它的數(shù)字和被4 整除？7、圓上有 9 個數(shù)碼， 已知從某一位起把這些數(shù)碼按順時針方向記下，得到的是一個 9 位數(shù)并且能被 27 整除。證明：如果從任何一位起把這些數(shù)碼按順時針方向記下的話，那么所得 的一個 9 位數(shù)也能被 27 整除。8、證明： 111111+112112+113113能被 10 整除9、設(shè) P (m) 表示自然數(shù) m 的末位數(shù)，2an P n2 P n求 a1 a2 a1995 的值。11111110、已知： ？ ？ ？ ？ ？ ？ 1 請找出 6 個不同的自然數(shù)，分別填入 6 個問號中，使這個等式成立。11、 如圖，在一個正方體的八個頂點處填上1 到 9這些數(shù)碼中的 8 個，每個頂點處只填一abc。并請這個人算出 5 個數(shù) acb、個數(shù)