勾股定理的證勾股定理的證明方法探究

1、勾股定理的證明方法探究 勾股定理又叫畢氏定理：在一個(gè)直角三角形中，斜邊邊長(zhǎng)的平方等于兩條直角邊 邊長(zhǎng)平方之和。 據(jù)考證，人類對(duì)這條定理的認(rèn)識(shí)，少說也超過 4000 年！又據(jù)記載，現(xiàn)時(shí)世上 一共有超過 300 個(gè)對(duì)這定理的證明！ 勾股定理是幾何學(xué)中的明珠，所以它充滿魅力，千百年來，人們對(duì)它的證明趨之 若鶩，其中有著名的數(shù)學(xué)家，也有業(yè)余數(shù)學(xué)愛好者，有普通的老百姓，也有尊貴 的政要權(quán)貴，甚至有國(guó)家總統(tǒng)。也許是因?yàn)楣垂啥ɡ砑戎匾趾?jiǎn)單， 更容易吸引 人，才使它成百次地反復(fù)被人炒作，反復(fù)被人論證。 1940 年出版過一本名為畢 達(dá)哥拉斯命題的勾股定理的證明專輯，其中收集了 367 種不同的證明方法。 實(shí)

2、際上還不止于此，有資料表明，關(guān)于勾股定理的證明方法已有 500 余種，僅 我國(guó)清末數(shù)學(xué)家華蘅芳就提供了二十多種精彩的證法。這是任何定理無法比擬 的。 勾股定理的證明：在這數(shù)百種證明方法中，有的十分精彩，有的十分簡(jiǎn)潔，有的 因?yàn)樽C明者身份的特殊而非常著名。 首先介紹勾股定理的兩個(gè)最為精彩的證明，據(jù)說分別來源于中國(guó)和希臘。 1 中國(guó)方法：畫兩個(gè)邊長(zhǎng)為（a+b）的正方形，如圖，其中a、b為直角邊，c為 斜邊。這兩個(gè)正方形全等，故面積相等。 左圖與右圖各有四個(gè)與原直角三角形全等的三角形， 左右四個(gè)三角形面積之和必 相等。從左右兩圖中都把四個(gè)三角形去掉， 圖形剩下部分的面積必相等。左圖剩 下兩個(gè)正方形，

3、分別以a、b為邊。右圖剩下以c為邊的正方形。于是 aA2+bA2=cA2 。 這就是我們幾何教科書中所介紹的方法。既直觀又簡(jiǎn)單，任何人都看得懂。 2希臘方法：直接在直角三角形三邊上畫正方形，如圖。 容易看出， ABAAAC。 過C向A引垂線，交AB于C ,交A于C。 ABA與正方形ACDA同底等高,前者面積為后者面積的一半， AA 與矩形 AA C同底等高，前者的面積也是后者的一半。由 ABAAAA知正方 形ACDA的面積等于矩形AA C的面積。同理可得正方形BB EC的面積等于 矩形B BC的面積。 于是，S正方形AA B正方形ACDA +S正方形BB EC 即 a2+b2=c2 。 至于三

4、角形面積是同底等高的矩形面積之半， 則可用割補(bǔ)法得到 （請(qǐng)讀者自己證 明）。這里只用到簡(jiǎn)單的面積關(guān)系，不涉及三角形和矩形的面積公式。 這就是希臘古代數(shù)學(xué)家歐幾里得在其幾何原本中的證法。 以上兩個(gè)證明方法之所以精彩， 是它們所用到的定理少， 都只用到面積的兩個(gè)基 本觀念： 全等形的面積相等； 一個(gè)圖形分割成幾部分，各部分面積之和等于原圖形的面積。 這是完全可以接受的樸素觀念，任何人都能理解。 我國(guó)歷代數(shù)學(xué)家關(guān)于勾股定理的論證方法有多種，為勾股定理作的圖注也不少， 其中較早的是趙爽（即趙君卿）在他附于周髀算經(jīng)之中的論文勾股圓方圖 注中的證明。采用的是割補(bǔ)法： 如圖，將圖中的四個(gè)直角三角形涂上朱色，

5、 把中間小正方形涂上黃色， 叫做中黃 實(shí)，以弦為邊的正方形稱為弦實(shí)， 然后經(jīng)過拼補(bǔ)搭配， “令出入相補(bǔ)， 各從其類 ”， 他肯定了勾股弦三者的關(guān)系是符合勾股定理的。即 “勾股各自乘，并之為弦實(shí)， 開方除之，即弦也 ”。 趙爽對(duì)勾股定理的證明，顯示了我國(guó)數(shù)學(xué)家高超的證題思想，較為簡(jiǎn)明、直觀。 西方也有很多學(xué)者研究了勾股定理， 給出了很多證明方法， 其中有文字記載的最 早的證明是畢達(dá)哥拉斯給出的。 據(jù)說當(dāng)他證明了勾股定理以后， 欣喜若狂， 殺牛 百頭，以示慶賀。故西方亦稱勾股定理為 “百牛定理 ”。遺憾的是，畢達(dá)哥拉斯的 證明方法早已失傳，我們無從知道他的證法。 下面介紹的是美國(guó)第二十任總統(tǒng)伽菲爾

6、德對(duì)勾股定理的證明。 如圖， S 梯形 ABCD= (a+b)2 = (a2+2ab+b2) ， 又 S 梯形 ABCD=S AED+S EBC+S CED = ab+ ba+ c2 = (2ab+c2) 。 比較以上二式，便得 a2+b2=c2 。 這一證明由于用了梯形面積公式和三角形面積公式，從而使證明相當(dāng)簡(jiǎn)潔。 1876 年 4 月 1 日，伽菲爾德在新英格蘭教育日志上發(fā)表了他對(duì)勾股定理的 這一證明。 5 年后，伽菲爾德就任美國(guó)第二十任總統(tǒng)。后來，人們?yōu)榱思o(jì)念他對(duì) 勾股定理直觀、簡(jiǎn)捷、易懂、明了的證明，就把這一證法稱為勾股定理的 “總統(tǒng) 證法，這在數(shù)學(xué)史上被傳為佳話。 在學(xué)習(xí)了相似三角形

7、以后， 我們知道在直角三角形中， 斜邊上的高把這個(gè)直角三 角形所分成的兩個(gè)直角三角形與原三角形相似。 如圖，Rt ABC中，/ ACB=90。作CD丄BC，垂足為D。貝U BCDBAC , CAD BAC。 由厶 BCD sBAC 可得 BC2=BD ? BA , 由厶 CAD BAC 可得 AC2=AD ? AB。 我們發(fā)現(xiàn)，把、兩式相加可得 BC2+AC2=AB (AD+BD )， 而 AD+BD=AB ， 因此有 BC2+AC2=AB2 ，這就是 a2+b2=c2 。 這也是一種證明勾股定理的方法，而且也很簡(jiǎn)潔。它利用了相似三角形的知識(shí)。 在對(duì)勾股定理為數(shù)眾多的證明中， 人們也會(huì)犯一些錯(cuò)誤。 如有人給出了如下證明 勾股定理的方法： 設(shè)厶ABC中，/ C=90，由余弦定理 c2=a2+b2-2abcosC ， 因?yàn)? C=90，所以cosC=0。所以 a2+b2=c2 。 這一證法，看來正確，而且簡(jiǎn)單，實(shí)際上卻犯了循環(huán)證論的錯(cuò)誤。原因是余弦定 理的證明來自勾股定理。 人們對(duì)勾股定理感興趣的原因還在于它可以作推廣。 歐幾里得在他的幾何原本中給出了勾股定理的推廣定理： “直角三角形斜邊 上的一個(gè)直邊形，其面積為兩直角邊上兩個(gè)與之相似的直邊形面積之和 ”。 從上面這一定理可以推出下面的定理： “以直角三角形的三邊為直徑作圓，則以 斜邊為直徑所作圓的面積等于以兩直角邊為直徑