2015年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試(文科)

1、普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試（天津卷）（文科）本試卷分第I卷（選擇題）和第n卷（非選擇題）兩部分，共150分，考試時(shí)間120分鐘.第I卷一、選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1 已知全集 U = 1 , 2, 3, 4, 5, 6,集合 A= 2 , 3, 5,集合 B= 1 , 3, 4, 6, 則集合AQ?uB=（）A 3B 2 , 5C. 1 , 4, 6D 2 , 3, 5x - 2 0,2. 設(shè)變量x, y滿足約束條件x 2y0,則目標(biāo)函數(shù)z= 3x + y的最大值為（）.x + 2y 80A . 7 B. 8C. 9

2、D. 143. 閱讀下面的程序框圖，運(yùn)行相應(yīng)的程序，則輸出i的值為（）A . 2B. 3C. 4D. 54. 設(shè) x R ,貝U “12”是 x- 2|0, b0)的一個(gè)焦點(diǎn)為F(2, 0),且雙曲線的漸近線與圓(x a b2)2 + y2= 3 相切，則雙曲線的方程為()2 2Ax 仝1A. 9132C5 -卜 12 2B法 11392D . x2 乞=136.如圖，在圓0中，M , N是弦AB的三等分點(diǎn)，弦CD , CE分別經(jīng)過點(diǎn) M , N.若CM=2，MD = 4, CN= 3,則線段NE的長(zhǎng)為()8A.3 B. 3105C亍 D.27.已知定義在R上的函數(shù)f(x) = 2|x m 1

3、(m為實(shí)數(shù))為偶函數(shù)，記a = f(log.53), b =f(log25), c= f(2m),貝y a, b, c 的大小關(guān)系為()A. abc B. cabC. acb D. cb2,點(diǎn)個(gè)數(shù)為()A . 2 B. 3C. 4 D. 5第n卷二、填空題(本大題共6小題，每小題5分，共30分把答案填在題中橫線上)1 2i9. i是虛數(shù)單位，計(jì)算的結(jié)果為.2 + i310. 一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示(單位：m),則該幾何體的體積為 m .FTF11. 已知函數(shù)f(x)= axln x, x (0, + ),其中a為實(shí)數(shù)，fx)為f(x)的導(dǎo)函數(shù).若f (1)=3,則a的值為12 .已知a0,

4、 b0, ab = 8,則當(dāng)a的值為時(shí)，Iog2a log2(2b)取得最大值.13. 在等腰梯形 ABCD 中，已知 AB / DC, AB = 2, BC= 1 , / ABC = 60 :點(diǎn) E 和 F 分 別在線段BC和DC上，且14. 已知函數(shù) f(x) = sin 3x+ cos 3x(30), x R若函數(shù)f(x)在區(qū)間(一3, 3)內(nèi)單調(diào)遞 增，且函數(shù)y= f(x)的圖象關(guān)于直線x= 3對(duì)稱，貝U 3的值為.三、解答題(本大題共6小題，共80分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟)15. (本小題滿分13分)設(shè)甲、乙、丙三個(gè)乒乓球協(xié)會(huì)的運(yùn)動(dòng)員人數(shù)分別為27, 9, 18.現(xiàn)

5、采用分層抽樣的方法從這三個(gè)協(xié)會(huì)中抽取6名運(yùn)動(dòng)員組隊(duì)參加比賽.(1) 求應(yīng)從這三個(gè)協(xié)會(huì)中分別抽取的運(yùn)動(dòng)員的人數(shù).將抽取的6名運(yùn)動(dòng)員進(jìn)行編號(hào)，編號(hào)分別為A1, A2, A3, A4, A5, A6.現(xiàn)從這6名運(yùn)動(dòng)員中隨機(jī)抽取 2人參加雙打比賽. 用所給編號(hào)列出所有可能的結(jié)果； 設(shè)A為事件 編號(hào)為A5和A6的兩名運(yùn)動(dòng)員中至少有 1人被抽到”求事件A發(fā)生的概率.16. (本小題滿分13分)在厶ABC中，內(nèi)角A, B, C所對(duì)的邊分別為 a, b, c.已知 ABC 的面積為 3寸15, b c= 2, cos A=- 14(1) 求a和sin C的值；(2) 求 cos?A +1的值.17. （本小題

6、滿分 13分）如圖，已知AA1丄平面 ABC, BB1 / AA1, AB = AC = 3, BC =2.5, AAi= . 7, BBi = 2 7，點(diǎn)E和F分別為BC和AiC的中點(diǎn).(1)求證：EF /平面 AiBiBA;求證：平面 AEAi丄平面BCBi；(3) 求直線Ai Bi與平面BCBi所成角的大小.18. (本小題滿分i3分)已知an是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，bn是等差數(shù)列，且ai =bi = i, b?+ b3= 2a3, a5 3b? = 7.(i)求an和bn的通項(xiàng)公式；設(shè)Cn= anbn, n N ,求數(shù)列 Cn的前n項(xiàng)和.2 219. (本小題滿分i4分)已知橢圓j+

7、詁=i(ab0)的上頂點(diǎn)為B,左焦點(diǎn)為F ,離心率 為込5 .(1) 求直線BF的斜率；(2) 設(shè)直線BF與橢圓交于點(diǎn)P(P異于點(diǎn)B),過點(diǎn)B且垂直于BP的直線與橢圓交于點(diǎn) Q(Q異于點(diǎn)B),直線PQ與y軸交于點(diǎn) M , |PM|=開MQ|. 求入的值； 若|PM |sin / BQP = 于,求橢圓的方程.20. (本小題滿分14分)已知函數(shù)f(x) = 4x x4, x R.(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間；設(shè)曲線y= f(x)與x軸正半軸的交點(diǎn)為 P,曲線在點(diǎn)P處的切線方程為y = g(x),求證： 對(duì)于任意的實(shí)數(shù) x,都有f(x)再(x);1(3) 若方程f(x)= a(a為實(shí)數(shù))有兩個(gè)實(shí)數(shù)

8、根xi, X2,且xiX2,求證：x2 xi ； + 43.天津卷(文科)參考答案與詳解本試卷分第I卷(選擇題)和第n卷(非選擇題)兩部分，共150分，考試時(shí)間120分鐘.一、選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1. 解析：選 B ?uB = 2 , 5 , AA?uB= 2 , 3, 5 n 2 5 = 2 , 5.2.、*-2=0解析：選C 作出不等式組表示的平面區(qū)域，如圖陰影部分所示.作直線3x+ y= 0,向右上方平移，過點(diǎn)A時(shí)z= 3x+ y取得最大值.x 2= 0,由x+ 2y 8 = 0,x= 2,得冷-zmax =

9、3 疋+ 3= 9.y= 3,2. 解析：選 C S= 10, i = 0,i = i + 1 = 1,S= Si = 10 1 = 9,不滿足 SW;i = i + 1 = 2,S= Si = 9 2= 7,不滿足 SW;i = i + 1 = 3,S= Si = 7 3= 4,不滿足 SW;i = i + 1 = 4,S= Si = 4 4= 0,滿足 SW1,輸出i = 4.3. 解析：選 A |x 2|1? 1x3.由于x|1x2是x|1x3的真子集,所以1x2”是|x 2|1”的充分而不必要條件.5.解析：選D由雙曲線的漸近線y= bx與圓故所求雙曲線的方程為22 y .x- 3 =

10、匸c= 2,3，又 a2+ b2= c2,解得嚴(yán)1，JD=羽.6. 解析：選A 由題意可設(shè) AM = MN = NB = x,CM MID = AM MB ,由圓的相交弦定理得CN NE = AN NB,12 X4= x 2x,8即解得x= 2, NE = 8.3 NE = 2x x,37. 解析：選B由f(x)= 2|X m| 1是偶函數(shù)可知 m= 0,所以f(x) = 2|x| 1.所以 a= f(log 0.53) = 2|logo.53| 1 = 2log 23 1 = 2,b= f(log25) = 2|log25| 1 = 2log25 1 = 4,c= f(0) = 2|01 1

11、 = 0,所以 ca2 時(shí)，g(x) = x 1, f(x) = (x 2)；當(dāng) 0纟2 時(shí)，g(x) = 3 x, f(x) = 2 x;當(dāng) x2時(shí)，方程f(x) g(x)= 0可化為x 5x+ 5= 0,其根為x=才或x=(舍去)；當(dāng)0纟2時(shí)，方程f(x) g(x) = 0可化為2 x= 3 x,無解;當(dāng) x2 + nX12X2= 8n. 答案:I n11.解析:f x)= aIn x+ x =a(1+ In x).由于 f(特a(1 + In 1) = a,又 f (1)3,所以 a= 3.答案：3812. 解析：由于 a0, b0, ab= 8,所以 b =.a所以 Iog2a Iog

12、2(2b) = Iog2a Iog2 = Iog2a (4 Iog2a) = (log2a 2)2+ 4,當(dāng)且僅當(dāng)Iog2a= 2,即a= 4時(shí)，Iog2a log2(2b)取得最大值4.答案：413.解析：取HA.liC為一組握底* 則莊=區(qū)-麗=訐?-麗.AF=AB + BC += - M + BC + 備 BA =-總麗:.AI-： 八F=(比一山人)(一吉肌4 +打) |BA|-|BA BC+-|BC|37 2512=石“花疋羽夯+ 329n，18.14. 解析：f(x) = sin 3x+ cos wx= . 2sin因?yàn)閒(x)在區(qū)間(一3, 3)內(nèi)單調(diào)遞增，且函數(shù)圖象關(guān)于直線x=

13、 3對(duì)稱，所以f( 3)必為一個(gè)周期上的最大值,所以有3 + ；= 2k計(jì)n, k Z,所以32 = ；+十，3口口2 n 才、2 n2kn, k 乙又 3 ( 3)2sin A cos A1617.al解：證明：如圖，連接AiB.在厶AiBC中，因?yàn)镋和F分別是BC和AiC的中點(diǎn)，所以 EF / BA1.又因?yàn)镋F?平面AiBiBA,所以EF /平面AiBiBA.(2)證明：因?yàn)锳B= AC, E為BC的中點(diǎn)，所以AE丄bc.因?yàn)锳Ai丄平面 ABC, BB! / AAj所以BB0.2q2- 3d= 2,由已知，有 q4 3d= 10,消去d,整理得q4 2q2 8 = 0,解得q2= 4.

14、又因?yàn)閝0,所以q= 2,所以d= 2.所以數(shù)列 an的通項(xiàng)公式為an= 2n 1, n N ;數(shù)列bn的通項(xiàng)公式為bn= 2n 1, n N*.(2)由(1)有 cn= (2n 1)2n 1,設(shè)cn的前n項(xiàng)和為Sn,則 Sn= 1X2 + 3X21 + 5X22+ + (2n 3) 2n2+ (2n 1) 2n 1,2sn= 1 X21 + 3X22+ 5X23+ + (2n 3) 2n1 + (2n 1) Xn,上述兩式相減，得&= 1 + 22 + 23 + + 2n (2n 1) Xn= 2n+1 3 (2n 1) 2n= (2n 3) 2n 3,所以，Sn= (2n 3) 2n +

15、3, n N*.19. 解：(1)設(shè) F( c, 0).由已知離心率c= 5及a2= b2+ c2,a 5可得 a=-J5c, b = 2c.又因?yàn)?B(0, b), F( c, 0),所以直線BF的斜率k=0一 =空=2.0( c)c設(shè)點(diǎn) P(xp, yp), Q(xq, ya), M(xm, yM).2 2由(1)可得橢圓的方程為5x2+ 42= 1,直線BF的方程為y= 2x+ 2c.將直線方程與橢圓方程聯(lián)立，消去y,整理得3x2 + 5cx= 0,解得xp= 嚴(yán).1因?yàn)锽Q _LBP,所以直線BQ的方程為y= qx + 2c,與橢圓方程聯(lián)立，消去y,整理得21x2 40cx= 0,解得

16、Xq=器 又因?yàn)閄=冊(cè)及Xm = 0，可得；= =險(xiǎn)!= 7|xq Xm|xq|8由有E= 7,所以誌7 + 8 15,15 即 |PQ|= 7|PM|.又因?yàn)?|PM|sin / BQP =乙5 所以 |BP|= |PQ|sinZ BQP =字|PM |sinZ BQP =乎4又因?yàn)?yp= 2xp+2c= 3c,3所以陽(yáng)=7 勢(shì)+gc+霍=喺， 因此c=守,得c= 1.2 2所以橢圓的方程為 -+ y = 1.5420. 解：(1)由 f(x) = 4x x4 ,可得 fx)= 4 4x3.當(dāng)f x)0 ,即x1時(shí)，函數(shù)f(x)單調(diào)遞增;當(dāng)fx)1時(shí)，函數(shù)f(x)單調(diào)遞減.所以，f(x)的

17、單調(diào)遞增區(qū)間為(一g, 1),單調(diào)遞減區(qū)間為(1, +).證明：設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(X0, 0),1則 X0= 43, f x6) = 12.曲線y = f(x)在點(diǎn)P處的切線方程為y= fx6)(x xo),即 g(x) = fx6)(x xo).令函數(shù) F(x)= f(x) g(x).即 F(x)= f(x) fx0)(x xo),則 F x( fx) fx0).由于fx) = 4x + 4在(一, +上單調(diào)遞減，故F x)在(, +上單調(diào)遞減.又因?yàn)镕x0)= 0,所以當(dāng) x ( , xo)時(shí)，F(xiàn) x)0;當(dāng) x (xo, +時(shí),F x(0,所以F(x)在(, xo)上單調(diào)遞增，在(xo, +上單調(diào)遞減，所以對(duì)于任意的實(shí)數(shù)x, F(x) F(xo) = o,即對(duì)于任意的實(shí)數(shù) x,都有f(x)豈(x).(3)證明：由(2)知 g(x)=12(厶1：設(shè)方程g(x) = a的根為X2；可得x2 = 誇+ 43.因?yàn)間(x)在(, +上單調(diào)遞減，又由 知 g(X2)芳(X2)= a= g(x2 ,)因此 X2Wx2