高一秋季第13講.三角恒等變換三大問題.初稿.目標班

1、113.1二角公式靈活運用4.二倍角公式$sin2 ： =2sin -：cos 二.2 2 2 2C2 -.：cos2： =cos、丄 sin 2cos、丄 1 =1-2sin :.T2 .:tan2，2tan 21 ta n :www.speiycnj.cDmX理稠郢學而思三角函數8級 三角恒等變換三大問題三角函數9級 解三角形知識點睛1. 兩角和與差的余弦公式C ：. ： cos : - -二 cos 二I cos，sin : sin !：:-2. 兩角和與差的正弦公式S_：si n : - - -si n : coscos: si nF；3. 兩角和與差的正切公式tant 亠 tan -

2、： tan :me1 -tana 伽 P滿分晉級三角函數7級 和差角公式和二倍角公式: cos :- 二cos: cosl sin、sinlS.： sin :- -sin : cost、cos: sinl-tan : - tan -Ttan(卩嚴玄manB 第13講三角恒等變換三大問題學B PTST學而電：教師備案 三角變換中常用的數學思想方法技巧有：角的變換：30* 比如：15 =45 -30 =60 _45 =2:=:= 2 2,z - ? - -.2 : 一 ： = : 一 ： =2- 2 IU ij_aI 7ta + -ot2 K+ct f+ I w4-4=CL (P CC )nn1=

3、 ：-|-r - -U 1= - +a + 一0( !=-八4 八4 八3 八6 )2-1 3 n -：7tn1=1 +a3-3常數代換：在三角函數運算、求值、證明中，有時需要將常數轉化為三角函數值,三角變形中，常常需要變函數名稱為同名函數，在三角函數中正余弦函數名稱的變換:是基礎，通?；袨橄?，變異名為同名;例如：1 =sin2:亠cos2 ： =sin n = tann= 2sin n= .2sin ;2464幕的變換：降幕是三角變換時常用的方法，常用的降幕公式有:21 cos221cos2 .工1 .cos, sin, sin 二 cos sin 2 二2 2 2但降幕并非絕對，有時也需

4、要對某些式子進行升幕處理，比如:2 2 . 21+cos2a=2cos a, 1-cos2a =2sin a ; 1 sin R=(sinacosa);公式變形：三角公式是變換的依據，應熟練掌握三角公式的順用，逆用及變形應用, 例如：tan鳥；.tan ：二tan(、.二 I，) (1 一tan : tanF).考點1 ：給值求角問題教師備案 對于給值求角問題，一般的做法是求出這個角的正弦、余弦或者正切的某個值，然后判斷 該角所在的范圍，求出角.有時候呢，角度所在范圍如果比較大，或者難以求出時，就需 要考慮縮小角的范圍再做.【鋪墊】已知：是三角形的內角，且 sin，則等于()A .n3 nB.

5、C.n._p- 3 n 或一5 n D .44446已知:-，:均為銳角，且sin :丄=cos P :53_二一j=，則 G + 0 =10已知二，:均為銳角，且tan 二=-,tan ： =7，則=【解析】C3www. speiyou .com上4法一:由已知得 cosa =丄,si n B , sin (a+p)=s in a cos0+cosa si n 0 =空,寸5102n-4cos n34210二 cos 卜, 0 :n,) -k tan(x T )1 -ktan(: - ) tanC -) tan(： ：)tan(：冷Jan(a B) 法二：由已知得k=tan心)，代入右邊1伙

6、=tan儀哉)1 kta n(aP)tan(卅亠 I )要求tan (: J ta n(- J，又有兩種不同的方法：tan (a +B) ta n(a 0) tan(:：) tan(:- -) _ tan(:-:- - )1 -tan(:：)tan(:-)tan(用、I ) tan(:- -) tanC- - :-)1 tan(:：)tan(:- -)tan 2：= cosC：亠，)cos(: - -) -sin(二亠，)sin(:-)M4 -www.s peiiyoucom【解析】【備選】【解析】ncos -.-,則 s6 5分析：對已知等式左邊若用公式 C :，則有cos :，n =6宀（

7、目標班專用）（2012江蘇11）若：.是銳角,cos：2-sin ： = 1 -cos :-,若注意已知條件中的角:.-12n ncos sin - sin ,6 6需解一個關于cos的無理方程，所以此法不妥.nn和欲求值的角之間有關系-式C_._：求解.nnn 2 n-0 ，二2663n，就可以運用公1 -1212 ( n1 - cos I61313:-n -n =cos :6 631215.3 122132 一 26二、卩：=n , n ,: 展亠 P Win,12丿cos:-二 cos|ot. nsin6=5132n ,.sin :- -、1 -cos2 :=15T,冗n, n 2:：:

8、 2 n, sin2 用2二 sin : - -sin |2.z - :- -12-.1 - cos 2 -13上 1_衛(wèi)2-5誦ta nJ；-2:- -ta n 2: - - - -ta n:-134134tan.-s ：i tan：I；1 tan : tan -l-：,-521217.2 ；50 ； ( cos I 2j.亠2：371sin 12: 上 二sin l2_：-12:是銳角，可得n45,333n n 一 ： 一，所以 sin I 2二32（二 sin 12二2425-n3cos cosl2: 4371.n 17 2 in4503n=_210，x n4求sin x的值； 求 si

9、n 2x nI 3丿解法一：已知cos的值.www, speiyOLj .corri*理iprsr學而滴三訂 n 1421 cos I X I 4丿7、222-4=X i X =5n_ f n nx44 2in二 sin x -l4丿因為xn,3n(24丿i .i / nsin x =si n x 吐4丿4丿解法二：由題設得 2 cosx 2 sinx 2，即 cosx sinx 二1 .2 2 10 5，所以是 sin x -=v 4丿q10cos cos x -n4.4sin n410 2102又 sin2 x cos2 x = 1，從而 25sin2x_5sin x _12 = 0 ,解

10、得sinx 上或sinxd55因為xn,3n(24丿因為xn, 3 n124丿，所以皿435,故 cosx = - 1 -sin2x =24 21sin 2x =2sin xcosx, cos2x =2cos x -1 =25 25n 241.33 一 50nnn所以 sin I2xsin 2xcos cos2xsin 二l3.丿7t13.2輔助角公式的應用考點3 :輔助角公式知識點睛不能引入教師備案 在求y =sinx cosx的最大值時，我們遇到很大的困難，因為sinx和cosx相互關聯,把兩者的最大值簡單相加.我們希望能夠把它化簡成y=Asin（cox+）的形式，因此,輔助角公式.輔助角

11、公式:I L.y =asi n = bcos，a2 b2 si門2亠門1,其中tan二一，所在的象限由a, b的符號確定.a運逅（教師備案 對于求式子y-sin-cos的最大值，我們可以快速簡便的化簡成y=sin :22I因為這是一個特殊角.但是對于形如y=asin_：:bcos二的式子，a,b本身沒有關系，無法直接化簡此時，延續(xù)之前的思路，我們便構造出:，逆用兩角和與差的公式，把 :,兩個角變成一個角，就方便處理了.具體方法是：三事暫ST ST會而律_22y = . a ba丄bF= sina += cosal寸a +bVa +b可令cos=一 a : sin二 bJa2 +b2Ja2 +b

12、2如右圖所示，點P a,b滿足要求，J F_ =2tan二一，所在象限由點 a, b決定.如果a,b都是負數，此時是第是第一象限角，所以對于輔助角【鋪墊】【解析】【例4】13r5, (sin、* -cos:-= sin In= sin 1 z22I3I3 .1fnfsin 二cos,z=cos 1、一 fz二sin t 亠22I3Iyyn ；3 ；n.6丿這是最一般的情況，但是我們使用起來并不方便，比如， 三象限角.而我們從三角函數誘導公式開始，就習慣于 公式，在運用時，我們會做小小的變形，盡量讓是第一象限角.觀察以下兩個例子：由此可見，輔助角公式得到的結果并不唯一，只是我們通常選擇化為自己熟

13、悉的形式. 如果不是特殊角，如 y =3sin二:，4cos.i，我們也可以得利用輔助角公式得到：J3 i .4y =5 sin cos:55金mJ，其中cos_5sin4，tan3.經典精講（2010西城一模理2）函數y =cosx亠cos I x n的最小值和最小正周期分別是（I 3丿C.- 3 , nB .3 , 2nD.3 , ny = 3 cosx sin x = 3 cos 2X _6 .臨函數f（x） =sin2x層nxcosx在區(qū)間寸,n上的最大值是（臨函數13B.2f n)f x =2cos x cos ,I 4丿ID. 13C.-2I ./3 sin2x的最小值和最小正周期

14、分別是（B .-2 , 2 nf宀（目標班專用）已知 cos-nI 6x4C.- 2 , nsin ： =4-3，貝U sin5).D. -2, n f + 7n I 6的值為【解析】f (x)cos2x + Jsin 2x =sin 2x -lcos2x + 丄=sin 2x一-n22222 I由-n，1 ,1 , sin 2x -, I 6丿2函數f（X）的最大值為2 .2f x =2cos亠 ”3sin2x= sin i 2x 上 .3I 2jnsin 2x =cos2x 3sin 2x =2sin i 2x .I 6丿丿5(n cos 、II 6丿cos ： - nI 6丿.(+“ s

15、in :4.3cos:sint -sin： = ,1cos3sin：2 2 2 27 n)(ni( na= sin :n=-sin :I 6 ，1 I6I 6丿45又sin【例5】 臨已知函數f（x）二as in 2x cos2x的圖象關于x= n對稱，則a =6：（2013新課標全國）設當x-v時，函數f （x） =sin x _2cosx取得最大值,貝U COST1* （目標班專用） 已知函數f x二a si nx _bcosx （ a , b為常數，a嚴0,得最小值.，則函數f nx【解析】f = a2 1sin x：；W,圖象關于可知n - =6nb二一 k n k Z , tan :

16、2a| n丄二 tan kn13ta貝 U a = 32 .5_ 5；L2 5f x = 5sin x-：?,其中 sin 二、, 5由題意，當X時，函數取得最大值，此時則 co=co+n2kn丁 - ，n 2k n k Z ,2.2.5-sin-2cosxf (x)二asinx -bcosx - a2 b2sin(x) = f(x)mi - a2 b2 ,【例6】【解析】【例7】【解析】www.s peiyou. coma2b2 = -2由題意知：nn.7t .7ta sin b cos=I 33二 f (x) =3sin x - cosx - -2sin ! x 亠2= 一 3b =17t

17、I 6丿小.i 717t ；.i 7t-2sinx2sinx2 6 丿23_X-2cos x.(201 天津理 17)已知函數 f x = 2 3sin xcosx 2cos2x_1 x R求函數f(x)的最小正周期及在區(qū)間,上的最大值和最小值；IL 26 n n右f x, x 4,-由 f (x) =2 . 3sin xcosx 亠2cos2 x1，得-H-2，求C0S2x的值.f(x)二 弋：3 (2sin xcosx)+(2cos2 x -1 )=s/3sin 2x + cos2x =2sin | 2x +所以函數f (x)的最小正周期為n因為f(x) =2sin 2x - n在區(qū)間I

18、6丿2fn0，上為增函數，在區(qū)間；，；上為減函數，又所以函數f(x)在區(qū)間 ,n上的最大值為2,最小值為-1IL 2.fn)由可知 f x =2sin 2x - n ,I6丿6f又因為f x ，所以sin 2x - n5、365，由 x n,n ,得 2x -8 7nH-42-2x n2x 6所以 cos2x 二 cos 2x0 n二 cosl2x0 -L 66.67t 7t從而cos6_3 6=1 _sin2 2x n = -4 ,YI 6丿 5fn:cos sin 2x63 4 J 3sin6 6 10(2012 北京理 15)已知函數 f x 二 sinxcosxsin2x sin x求

19、f x的定義域及最小正周期;求f x的單調遞增區(qū)間.由sin x嚴得x嚴k n k Z ,故f x的定義域為fx 二R x = kn, k 二Z二因為(sin x -cosx pin 2xf x2cos x sinx cosxv fsin x所以函數=2 sin 12x - nI 4丿f x的最小正周期T = 3 = n=sin 2x -cos2x -1-1 x n, k 三 Zy =sin x的單調遞增區(qū)間為nn知一y2kn+0 Z),nnn由 2kn 2x 2kn , x k n k Z ,242n3 n”得 k n x k n ,x = k n k ：= Z ,88所以f x的單調遞增區(qū)

20、間為 kn-上，kn83 n和 1 kn，kn8k .二 Z教師備案 該模塊不是高考要求， 個別公立學校會講， 我們安排在這里供目標班選講，學生版不出現.積化和差公式的引入16世紀前半葉，歐洲人熱衷于地理探險和海洋貿易，需要更為準確的天文知識，而天文學 的研究中，需要大量煩瑣的計算，特別是三角函數的連乘，天文學家們苦不堪言德國數 學家約翰 維爾納首先推出了三角函數的積化和差公式，即1 _sin -sincos ：- -cos ：-,1 一cos.icoscos很亠卩亠cosi： I i .這大大簡化了三角函數連乘的計算.比如，計算sin67 34 sin9 3，可以從三角函數表查出sin 67

21、 34 = 0.92432418，sin 9 3二0.15729632 但隨后的乘法的計算十分煩瑣，且容易出錯.（請你不用計算器，手算一下0.92432418 0.15729632 =?，記住還要驗算一遍，以保證計算正確哦！）用維爾納的三角函數積化和差公式：sin 67 它4 sin 9 3 - $（67它49它）cos（67 它4乜 它）_ cos（583） cos（7637 ）_ 2 - 2 ，計算就大大簡便了 ，只需要查三角函數表得到這兩個的值，做個減法就得到答案. 積化和差公式可以將兩個三角函數值的積化為另兩個三角函數值的和或減乘以常數的形 式，所以使用積化和差公式可以達到降次的效果.

22、www.s peiyou. com知識點睛1 _1. 積化和差公式：COS1COSCOS：亠卩廠COS|；-sin : sin - - -；|cos :- -cosi；-1 _sin : cos sin 以亠卩亠sin :- cos: sin ：=丄！.2 -x+ycosxy22x y . sinx -y22x yx ysinx - sin y =2coscos2 2教師備案 積化和差公式的證明可以直接將右邊展開得到左邊.cos x cos y2.和差化積公式：sinxsin y =2sincosx-cosy=-2sinUsinx-y2教師備案 和差化積公式推導，可以將左邊的x與y分別寫成x=

23、T寧r冗，再展開合并即得到右邊的式子. 講完這些公式就可以讓學生做鋪墊, 然后，老師再給學生講例題.簡單練習一下，可以幫助大家熟悉公式的形式.經典精講【解析】【鋪墊】計算： COS105 -COS15 : sin75 sin15 . 一上2【例題】計算:cos210cos2 50 sin 40 sin80 .已知:-+ P =3 n,求 cos2 a +cos2 P +（2 cosct cos P 的值.4設:-1，又M是sin：亠sin :的最大值，m是sin、；- sin樸的最大值，求 Mm已知atan 2 二一，求 sin2（r ： ；） -sin 2二 sin2 :的值.- 3【解析】

24、原式12原式1*U1 cos20 1 cos100cos40cos120+ 2 2 21=-1 1-刁(cos20 coslOO )-cos40 1 33( 2cos60 cos40 cos40 )-2 24二士 寧 2 1cosJ 8()cos2很亠cos2. 2q. 3 n I cos(: - cos . 丁4/ C0S2： 亠C0S2 ： =2C0S： 亠:i C0Sj：21：-上式 =1 cos(、 I) cosC - -) cosC _ ) _3 nfy v2a 11=1 cos cos(: - ) cos(:-4 222 t . -1門11、- sin :： 亠sin ： =sin

25、:：f 亠sin(1 - ?) =2sincos :221sin: si n ： =si n: si n(1 - : ) cos(2: -1)cos1 12sin M21 - cos1m2（以上兩式均當且僅當時等號成立）故Mlm.2 14sin 24(1-cos1)4丄(1-cos1) (1cos1)22 ；25-1-32tan= ,. tan (a 卩)=一 ,sin (ot P )234又 t sin2(* 亠 1-3 sin2二 sin 2 ：cos 2：丄亠,j9251 -1 cos 2 ： _ - sin2 :-925丄2 -cosp -cos|2：=- -；=：= sin 10 c

26、oslO：亠sin10 cos50 + =coslO cos50L 2coslO cos501 (cos60 cos40 )【解析】.3;法一:1cos50 cos101 1 1 cos10 (sin 60 -sin 40) cos10sin40 .32 =24cos10先os50 cos10 *cos50 411_1lcos(40 -30 ) sin40、： J3 cos30 cos40315j cos40cos 402 .法二：cos80 2cos40 ：亠 cos80 cos40 ：亠 2cos60 cos20原式=1-sin 40 sin80 sin80sin80_cos40 cos

27、20 _ 2cos30 cos10 _ .3cos10 _ 3 sin80 -.sin80sin80I： 13.3三角函數與二次函數復合考點 4:形女口 y =sin x亠psinx亠q （ y二cos x亠pcosx亠q ）型的函數知識點睛主要研究兩類與二次函數相關的函數形式，第一類如下：形如 y =sin2 x +psinx +q （或 y =cos2x + pcosx+q ） 型的函數;教師備案 這類問題通常是用配方法求最值，但要注意三角函數的取值限制，進行分類討論.【解析】yf psinxE號【推導】求y =sin2x psinx q的最大值和最小值（其中 p、q為常數）. .4q -

28、p2若-1 p 0 J -a 0一1, 01；由sin x =a可以取到知 _1 w a w 1 ;又y =(t a)2 1的最大值一定在端點處取到，而-1 w sin xw 1,故當且僅當_1 _a i T w (1_a)2 1，所給函數在sin x =1處取到最大值.解得a w 0 .綜上知a 丨_1, 0 .【備選】已知函數f(x)=sin2x 2cosx ,.若f(x)在區(qū)間|n, a上的最大值為1，則a若f(x)在區(qū)間一2IL 3n, a上的最小值為1 一一，貝y a的取值范圍為4【解析】f (x) =1cos2 x 亠2cosx = -(cosx -1)2 亠 2 ,2y - -(

29、t -1)2在(-:：，1上單調遞增；又當t= cosx單調遞增，且t w 1 ,3x三n, 0，有f (x)單調遞增.;2n時，cosx =0，此時 f (x) =1 ；2由函數f(x)在fn0上單調遞增知,a只能等于-；2一2.32_ n3x - 2冗時,3n,n,-IL 33cosx ： -1 時,2121f (x) ;當 x n時，f (x):434時，cosx 1, 1，此時 f (x)7t1f (x)的最小值將小于 -1，不符合題意,4冗,考點5:形如y =psin xcosx q sinx二cosx型的函數知識點睛 形女口 y =psinxcosx q sin x 二cosx 型

30、的函數.www.speiyou.cDm:倉理利ST事吊雇t 2 解決此類問題主要是利用公式sinx二cosx 1二2sin xcosx進行換元.【推導】 求 y =psinxcosx q sinx cosx2，【解析】令t =sin x cosx .二的最大值和最小值（其中 p、q為常數）. 2 1 .2 ，貝V t2 =1 2sin xcosx，從而 sin xcosx2 2p q2p從而y =p七1qt衛(wèi)t2222 I p與-2的大小關系.P要求這個函數的最值，需要討論【鋪墊】經典精講函數y =sinxcosx sinx cosx的最大值為多少?【解析】求函數 f(x) =sin x co

31、sx 亠3sin xcosx 的值域. 設 sin x cosx =t，貝U 1 2sin xcosx =t2 ,t2 _1_即 sinxcosx, |t |w . 2 .2 y1 t =丄住 1)2 -1 .2 2當t = 2時，有ymax21 _t貝U t =1 -2sin x cosx，得至U sinxcosx =1 -t23 2 3312 ,5f (x) =sin x -cosx 亠3sin xcosx =t 亠3t2ttI一+_2222332t =sinx -cosx = 2令 t =sinx -cosx，2sin x - , t -.2,2.415當 t 時，有 f(X)max ：

32、33 f (x)的值域為 -3 - 2 IL 2當 t - - 2 時，有 f (x)mimin【例9】齊已知x. o, n，求函數y =sin x cosx 2sin xcosx 1的最大值和最小值，并求出此時x的值.【解析】令 sin x cosx =t, 2sin xcosx =t2 T , 代入得 y 二t t21 =t2 t = t 丄I 2丿t訂，逅www.s peiyou. com于是當t =1時，有ymin =2，此時sin ! x - n 2 ,I 4丿2/ , .4，解得x=0或上;2當t = .2時,有 ymax =2 2，此時 sin !x -18【備選】若于n，則函數

33、y =cos r n - sin2r的最小值是(D .上2124-c. 98【解析】D ；y 2 cos v - sin v2sin vcos v，令 t =cos j - sin v，貝2sin vcos v -1 t2 ,代入得：y7t近 2(應)= t+1-t=- t2I 4丿 t =2cos 二 n - , -6I 4丿2263 -14 一 29+87t12 12于是當t -時，有ymin2 12 2 2華山論劍2 2亠sin x - cos x .n廠3丿 求函數f x的最小正周期及圖象的對稱軸方程； 設函數gx = fxj亠fx，求g x的值域.f x =cos2x3 sin 2x

34、 sin2 x - cos2 x2 2(2010宣武一模理15)已知函數f x二cos2x-二【解析】1 3ncos2x sin2x-cos2x=sin 2x2 2周期T = n,2由 2x -n = kn k Z ,6 2函數圖象的對稱軸方程為kn , n i得xk Z23kn丄冗八-_xx(k Z).23- 彳fg xx ：l f x =sin2 :當 sin 2x nI 6丿i(2n(2訃訂I 6丿I -時，g x取得最小值-1 ；當sin 12xn2462x n2x 6624 -=1時，g x取得最大值2.所以g x的值域為-；，2 .www.speiyoki.cciTi實戰(zhàn)演練【演練

35、1】已知，：均為銳角，且tan :-3 .1=一,tan ：=，貝卩二訐：=4 73 111一3 147，又 0 ya n, 0 P2:二故 o ：-：冗，從而:-=-. 22【演練2】已知,tan_n =1 ，貝U tan + ：144.4【解析】22- n，二 tan ：亠nI 4.丿42 1 22 1 225 41 - 311cos2x sin2xcos2x2 2 2 2【演練3】設函數f x = cos 2x -Jsin2 x .求函數f x的最大值和最小正周期.【解析】f x =cos2xcos - sin 2xs in n 1_C0Sx1sin2x2 2所以當2x七2kn,nxkn

36、 k Z時，f (x)取得最大值，4f (x)最13:大值2 nf(x)的最小正周期T = n,2故函數f(x)的最大值為，最小正周期為n.213【演練4】(2010崇文二模理15)如圖，在平面直角坐標系xOy中，以x軸為始邊作兩個銳角:, 它們的終邊分別與單位圓交于A , B兩點.已知A , B的橫坐標分別為 .510求tan亠L八|的值；求2*亠；1的值.【解析】由已知得：cos 5 ,cos ：=乙2 .510/ :-,：為銳角-www.s pejyou. com.tan(jU?匚旦_1 -tana tan P12 乙=3 .12 17 tan2：.二 2tan；1 -tan a431