偏導數(shù)的應用

1、、偏導數(shù)的幾何應用1空間曲線的切線和法平面設空間曲線L的參數(shù)方程為x 二 x(t)y 二 y(t)z 二 z(t)假定x(t), y(t),z(t)均可導,x(to), y(to),z(to)不同時為零，曲線上對應于t 及t = t譏 的點分別為 Mo(X0,yo,Z0)和M(xxy。：y,z。：z).割線MM的方程為x - xoy - y。z - z。x: y .: z當M沿著曲線L趨于M。時，割線的極限位置MoT是L在M。處的切線上式分母同除以t得x-x。y-y。z-z。lxcycz石石石當：t 0(即卩M M。)時，對上式取極限，即得曲線在 M。點的切線方程芻_乞 _y-y。_z-z。x

2、(to)y(t。)z(to)向量T =4億。)億。)乜化。)是切線MT的方向向量，稱為切線向量切線向量的方向 余弦即為切線的方向余弦通過點M。與切線垂直的平面稱為曲線在M。點的法平面它是通過點 Mo(Xo,yo,Zo),以切線向量T為法向量的平面因此,法平面方程為x(t)(xx。) y(t)(y - y。) z(t)(z z。)二?！纠?】求螺旋線x =cost，y =sint，z=t在點(1,0,0)的切線及法平面方程解 點(1,0,0)對應的參數(shù)t=0.因為x(t) = s in t，y (t )= cost ,z (t 1所以切線向 量T =x(。)，y(。)，z(。) =。，1,1，因

3、此，曲線在點(1，。，。)處的切線方程為x-1 y-。z-。 1 1在點(1，。，。)處的法平面方程為。(x -1) 1 (y -0) 1 (z-。)=。即y z =。xf兀)【例2】 求曲線y = sin x，z ，上點I。，處的切線和法平面方程2I 2丿解把x看作參數(shù)，此時曲線方程為,AX = Xxz 二2 在點i, ,0/ 處的切線方程為x x：m = 1，yxm = cosx xm 二 T，zx -二I 2丿Z -x_二y-021 2法平面方程為1 兀 （x-二）-（y-0） （z ）=02 2即4x _4y 2z = 5：2曲面的切平面與法線設曲面S的方程為F(x,y,z) =O,M

4、o(Xo,y,Zo)是曲面上的一點，假定函數(shù)F(x,y,z) 的偏導數(shù)在該點連續(xù)且不同時為零，設L是曲面S上過點M 的任意一條曲線，L的方程為x =x(t), y二y(t),z二z(t),與點M。相對應的參數(shù)為t,則曲線L在M。處的切線向量為 T 工x(to), y(to), z(t) 因 L 在 S上,故有Fx(t), y(t),z(t)=O此恒等式左端為復合函數(shù)，在t =to時的全導數(shù)為dFt =Fx(Xo,yo,z)x(to) +Fy(xo,y,z)y (t) + Fz(x,yo,z)z(to) = Odt記 n =Fx(Xo,yo,Zo),Fy(Xo,yo,Zo),F；(Xo,yo,Z

5、o)，則T n 二0,即 n與T 互相垂直由于曲 線L是曲面上過M。的任意一條曲線，所以在曲面S上所有過M。點的曲線的切線都與同一 向量n垂直，故這些切線位于同一個平面上這個平面稱為曲面在 M0處的切平面向量n是切平面的法向量，稱為曲面在 M 0處的法向量.切平面方程為Fx(X0，y，z0)(x-X0)Fy(X0，y，Z0)(y-y。)F；(X0，y0，z)(z-z。)= 0過點Mo與切平面垂直的直線，稱為曲面S在點M0處的法線，其方程為x-X0_ y_y（）_Z-Z0IIIFx（X0，y0Z0）Fy（X0，y0Z0）Fz（X0，yZ0）若曲面方程由z二f (x，y)給出，則可令F(x，y，z

6、)二 f (x，y，z) -z =0于是F = f F = f F = 1xxyyz這時曲面在M0(X0，y0，Z0)處的切平面方程為fx(X0，y)(x-X0)fy(x，y)(y-y)-(z-Z0)=0法線方程為x -Xq_ y - y0 = z -Zqfx（X0,y0）fy（x，y）-1【例3】求橢球面x2 3y2 2z6在點（1,1,1）處的切平面和法線方程 解 設 F（x，y，z） = x2 3y2 2z2-6Fx（x，y，z） =2x，F(xiàn)y（x，y，z） =6y，F(xiàn)z（x，y，z） =4zFx（1,1,1） = 2，F(xiàn)y（1,1,1）=6，F(xiàn)Z（1,1,1）=4故在點(1,1,1)處

7、橢球面的切平面方程為2(x -1) 6(y -1) 4(z 1) =0即x 3y 2z -6 = 0法線方程為x-1 y-1 z-11 一 3 一 2【例4】求旋轉拋物面z = x2 y2在點(1,-1,2)處的切平面方程和法線方程2 2解 由z = x y得fx(1,-1)=2x(1,_J) = 2, fyd，1) = 2y (1,_1) = 2切平面方程為z 2=2(x1)2(y+1)即2x 2y z =2法線方程為x1 y+1 z22 一-2一 -1二、多元函數(shù)極值1. 二元函數(shù)的極值【例5】曲面x2 y2在點(0,0)有極小值z =0.【例6】曲面z=4-4x2-y2在點(0,0)有極

8、大值z=4.與一元函數(shù)極值類似，多元函數(shù)的極值也是相對某個鄰域而言的，是一個局部概念.定義1 設函數(shù)z二f (x, y)在點(x。，y。)的某個鄰域內(nèi)有定義，若對改鄰域內(nèi)任一點(x, y)都有f (x, y) 一 f (x, y)(或 f (x, y) _ f (x, y)則稱函數(shù)z = f(x, y)在點(x0,y)有極大值(或極小值)f(X0,y).而稱點(滄，丫0)為函數(shù) z = f (x, y)的極大(或極小)值點.極大值點與極小值點統(tǒng)稱極值點.2. 極值的檢驗法(1) 一階偏檢驗定理1 (必要條件)設函數(shù)z二f (x, y)在點(X0,y)處有極大值，且在該點的偏導數(shù)存 在,則必有

9、fx(x, y) =0, fy(x0,y) =0.證明 不妨設z = f(x,y)在點(x0,y)處有極大值，根據(jù)極值定義，對(心丫0)的某一 鄰域內(nèi)的任一點(x, y),有f (x, y) 一 f (怡,y)在點(x,y)的鄰域內(nèi)，也有f (x, y) 一 f (x, y),這表明一元函數(shù)f(x, y)在x = x處取得 極大值.因此,有Ifx(X0, y) = 0同理可證fy(x0，y)=0與一元函數(shù)類似，使一階偏導數(shù)fx(x0，y) =0, fy(x, y) =0的點(X,y)稱為函數(shù) z= f( X, y)的駐點.由定理1及例5、例6可以看出：二元函數(shù)的極值點必然是駐點或一階 偏導數(shù)不

10、存在的點.(2) 二階偏檢驗定理2 (充分條件)設函數(shù)z = f (x, y)在定義域內(nèi)的一點(Xo, yo)處有二階連續(xù)偏導數(shù)IIHHH且 fx(Xo, yo) =0, fy(Xo, yo) =0.記 fxx(Xo,y) = A, fxy(Xo, yo) = B, fyy(Xo,y) = C ,則2(1) 當B AC c。且A a0時，函數(shù)f (x, y)在點(xo, yo)處有極小值f (X), yo); 當B2AC o且A ：o時，函數(shù)f (x, y)在點(xo, yo)處有極大值f(x,y);2(2) 當B -AC o時屈數(shù)f (x, y)在點(xo,yo)處無極值；2(3) 當B -

11、AC =o時屈數(shù)f (x, y)在點(x,y)處可能有極值，也可能無極值綜上可得，具有連續(xù)二階偏導數(shù)的函數(shù)z = f (x, y),其極值求法如下：(1) 先求出偏導數(shù)fx, fy, fxx, fyy；f fx(x, y) =o(2) 解方程組彳，求出定義域內(nèi)全部駐點；fy(x,y)=onnnn(3) 求出駐點處的二階偏導數(shù)值：A = fxx, B = fxy ,C = fyy,確定A = B AC的符號并判斷f (x)是否有極值，如果有，求出其極值.【例7】求函數(shù)f (x, y) = x3 y3 -3xy的極值.解先求偏導數(shù) 2 2fx(x,y)=3x -3y, fy(x,y) =3y -3

12、xfxx =6x, fxy - -3, fyy =6yl3x2 -3y =o解方程組2，求得駐點為(o,o),(1,1).、3y -3x =o2在駐點(o,o)處，A = fxx(o,o) = o, B = fyy(o,o) - -3,C = fyy(o,o) = 0, B AC =9 o,于是(0,0)不是函數(shù)的極值點. 2在駐點(1,1)處，A = fxx(1,1) = 6,B = fxy(1,1) = 3,C = fyy(1,1) = 6,B -AC = 27：0,且A=6：0,所以點(1,1)是函數(shù)的極小值點，f(1,1)=-1為函數(shù)的極小值.3最大值與最小值如果函數(shù)z = f(x,

13、y)在有界閉區(qū)域 D上連續(xù)，則函數(shù)在D上一定取得最大值和最小值 如果函數(shù)的最大值或最小值在區(qū)域D的內(nèi)部取得，則最大值點或最小值點必為駐點因此,求處駐點的函數(shù)值及邊界上函數(shù)的最大值和最小值，其中最大值便是函數(shù)在閉區(qū)域D上的最大值,最小值便是函數(shù)在閉區(qū)域D上的最小值具體問題中，常常通過分析可知函數(shù)的最大值或最小值存在，且在定義域內(nèi)部取得，又知在定義域內(nèi)只有唯一駐點，于是可以肯定駐點處的函 數(shù)值便是函數(shù)的最大值或最小值【例8】求函數(shù)f (x,y)4-x2 -y2在D:x2 y2乞1上的最大值2 2解在D內(nèi)(x y x(x, y)+汐x(x,y)=0fy(x, y) ：(x, y) =0(*)(x,

14、y)=0稱滿足方程組(*)的點(x, y)為可能的極值點.我們構造一個函數(shù)L(x, y,丸)=f (x, y) +(x, y)則(*)等價于Lx(x, y,丸)=fx(x, y) +Xx(x, y) =0L y(x, y, J = fy(x, y)：y(x, y) = 0L扎(x, y, k)=(x,y)=0于是用拉格朗日乘數(shù)法求解條件極值問題可歸納為以下步驟：(1) 構造拉格朗日函數(shù) L(x,y,心=f(x,y) +)W(x,y),人稱為拉格朗日乘數(shù)(2) 解方程組Lx(x, y,入)=fx(x, y) +Xx(x, y) =0Ly(x, y, ) = fy(x, y)：y(x, y) =0

15、l/x, y, h)=(x,y)=0得點(x, y),為可能極值點；(3)根據(jù)實際問題的性質，在可能極值點處求極值.【例11】求平面上點(滄，y0)到直線Ax By C = 0的距離.解 設點(x。，y。)到直線上動點(x,y )的距離為d ,則問題歸結為求距離函數(shù)2 2 2d =(x-X0)(y-y0)= f (x, y)在約束條件Ax By 0之下的極小值.構造拉格朗日函數(shù)2 2L(x, y,，) = (x -X0)(y - y) (Ax By C)解方程組Lx(x, y,丸)=2(x x0) + 人A = 0Ly(x, y,，) =2(y y) B =0L?(x, y, k) = Ax + By +C =0x = xoA, y =