2015年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試(文科)

1、2015 年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試 （天津卷 ）（文科 ） 本試卷分第卷 （選擇題 ）和第卷 （非選擇題 ）兩部分 ，共 150 分，考試時(shí)間 120 分鐘第卷一、選擇題 （本大題共 8小題，每小題 5分，共 40分在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中 ，只 有一項(xiàng)是符合題目要求的 ）1已知全集 U1，2，3，4，5，6，集合 A2，3，5，集合 B1，3，4，6 ， 則集合 A?UB （）A 3B2 ，5C1，4，6D2 ，3，5x 2 0，2設(shè)變量 x，y 滿足約束條件 x2y0， 則目標(biāo)函數(shù) z3xy 的最大值為 （ ） x2y80，A 7 B8C9 D 143閱讀下面的程序框圖 ，運(yùn)行相應(yīng)的

2、程序 ， 則輸出 i 的值為 （）A 2 B3C4 D 54設(shè) xR，則 “ 1x2”是“x|2|0，b0）的一個(gè)焦點(diǎn)為 F（2，0），且雙曲線的漸近線與圓 （x ab2）2y23 相切 ，則雙曲線的方程為 （ ）2 222A.x2 y21 B.x2y219 1313 922C.x3 y21 Dx2y3 16如圖，在圓 O中，M，N是弦 AB的三等分點(diǎn) ，弦CD，CE分別經(jīng)過點(diǎn) M，N.若 CM 2，MD4，CN3，則線段 NE 的長為 ()8A.3B310C.35D.527已知定義在R 上的函數(shù) f(x)2|xm| 1(m 為實(shí)數(shù) )為偶函數(shù) ，記 af(log0.53)，bf(log25)

3、，c f(2m)，則 a，b， c 的大小關(guān)系為 ()A abc BcabCacb Dcb2，函數(shù) g(x)3f(2x)，則函數(shù) yf(x) g(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為 (A2BC4D第卷二、填空題(本大題共 6 小題 ，每小題5分，共30 分把答案填在題中橫線上 )12i3m.9 i 是虛數(shù)單位 ， 計(jì)算 2 i 的結(jié)果為10一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示 (單位： m)， 則該幾何體的體積為11已知函數(shù) f(x) ax ln x，x(0，)，其中 a 為實(shí)數(shù) ，fx()為 f(x)的導(dǎo)函數(shù)若 f (1)3，則 a 的值為12已知 a0，b0，ab8，則當(dāng) a的值為 時(shí)，log2alog2(2b)取得

4、最大值13在等腰梯形 ABCD 中，已知 ABDC，AB2，BC1，ABC60.點(diǎn) E和 F 分別在線段 BC和DC 上，且14已知函數(shù) f(x)sin x cos x(0)，x R .若函數(shù) f( x)在區(qū)間 ( ，)內(nèi)單調(diào)遞增 ， 且函數(shù) y f(x)的圖象關(guān)于直線 x對稱 ， 則 的值為 三、解答題 (本大題共 6小題，共 80分解答應(yīng)寫出文字說明 ，證明過程或演算步驟 )15 (本小題滿分 13 分)設(shè)甲、乙、丙三個(gè)乒乓球協(xié)會(huì)的運(yùn)動(dòng)員人數(shù)分別為27， 9，18.現(xiàn)采用分層抽樣的方法從這三個(gè)協(xié)會(huì)中抽取 6 名運(yùn)動(dòng)員組隊(duì)參加比賽(1) 求應(yīng)從這三個(gè)協(xié)會(huì)中分別抽取的運(yùn)動(dòng)員的人數(shù)(2) 將抽取

5、的 6 名運(yùn)動(dòng)員進(jìn)行編號 ，編號分別為 A1，A2，A3，A4，A5，A6.現(xiàn)從這 6 名運(yùn) 動(dòng)員中隨機(jī)抽取 2 人參加雙打比賽用所給編號列出所有可能的結(jié)果；設(shè) A為事件 “編號為 A5和 A6的兩名運(yùn)動(dòng)員中至少有 1人被抽到 ”，求事件 A 發(fā)生的概 率16(本小題滿分 13 分)在ABC 中，內(nèi)角 A，B，C 所對的邊分別為 a，b，c.已知 ABC1的面積為 3 15，b c 2，cos A 4.(1) 求 a 和 sin C 的值；(2) 求 cos 2A6的值17(本小題滿分 13 分)如圖 ，已知 AA1平面 ABC ，BB 1AA 1，AB AC 3，BC 2 5， AA1 7，

6、BB12 7，點(diǎn) E和 F分別為 BC和 A1C的中點(diǎn)(1)求證： EF 平面 A1B1BA；(2)求證：平面 AEA1平面 BCB1；(3) 求直線 A1B1 與平面 BCB1所成角的大小18(本小題滿分 13 分)已知 an是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列 ， bn是等差數(shù)列 ，且 a1 b1 1， b2 b3 2a3， a5 3b2 7.(1) 求an和 bn的通項(xiàng)公式；(2) 設(shè) cnanbn，nN*，求數(shù)列 cn 的前 n 項(xiàng)和2219(本小題滿分 14 分 )已知橢圓 xa2yb21(ab0)的上頂點(diǎn)為 B，左焦點(diǎn)為 F，離心率 為 5.5(1)求直線 BF 的斜率；(2)設(shè)直線 BF 與

7、橢圓交于點(diǎn) P(P 異于點(diǎn) B)， 過點(diǎn) B 且垂直于 BP 的直線與橢圓交于點(diǎn) Q(Q 異于點(diǎn) B)，直線 PQ 與 y 軸交于點(diǎn) M，|PM|MQ|.求 的值；若 |PM|sinBQP795，求橢圓的方程20(本小題滿分 14 分)已知函數(shù) f(x)4xx4， x R.(1)求 f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)設(shè)曲線 y f(x)與 x 軸正半軸的交點(diǎn)為 P，曲線在點(diǎn) P 處的切線方程為 yg(x) ，求證： 對于任意的實(shí)數(shù) x，都有 f(x) g(x)；1a(3) 若方程 f(x) a(a 為實(shí)數(shù) )有兩個(gè)實(shí)數(shù)根 x1，x2，且 x1x2， 求證： x2x1 343. 天津卷 (文科 )參考答

8、案與詳解本試卷分第卷 (選擇題 )和第卷 (非選擇題 )兩部分 ，共 150 分，考試時(shí)間 120 分鐘 第卷一、選擇題 (本大題共 8小題，每小題 5分，共 40分在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中 ，只 有一項(xiàng)是符合題目要求的 )1解析： 選 B ?UB2，5，A?UB2，3，5 2，52，52解析： 選 C 作出不等式組表示的平面區(qū)域 ， 如圖陰影部分所示 作直線 3xy0，向右上方平移 ，過點(diǎn) A 時(shí) z3xy 取得最大值 由 x2 0，x 2y 8 0，x2，得 zmax32 3 9.y 3， max3解析： 選 C S10，i 0， ii11，SSi1019， 不滿足 S1； ii12，SS

9、i9 27，不滿足 S1； ii13，SSi7 34，不滿足 S1； ii14，SSi4 40，滿足 S1， 輸出 i 4.4 解析： 選 A |x 2|1? 1x3. 由于x|1x2是x|1x3 的真子集 ，所以 “1x2”是“|x2|1”的充分而不必要條件5 解析： 選 D由雙曲線的漸近線y bx 與圓 (x2)2y23 相切可知 a3，又c2，故所求雙曲線的方程為2 x2y31.a2 b2c2，解得 a1，b 36解析： 選 A 由題意可設(shè) AMMN NBx，CMMDAMMB， 由圓的相交弦定理得CNNEANNB，24 x2x，8即解得 x 2， NE 8.3NE 2xx，37解析： 選

10、 B 由 f(x)2|xm|1 是偶函數(shù)可知 m 0，所以 f(x)2|x|1.所以 af(log0.53)2|log0.53| 1 2log 23 1 2，b f(log2 5) 2|log25| 12log2514， c f(0)2|0|1 0，所以 ca2 時(shí)，g(x)x 1，f(x)(x2)2；當(dāng) 0x2 時(shí)，g(x) 3x，f(x)2x； 當(dāng) x2 時(shí)，方程 f(x)g(x)0 可化為 x25x50，其根為 x52 5或 x52 5(舍去 )；當(dāng) 0x2 時(shí)， 方程 f(x)g(x)0 可化為 2 x 3x，無解；當(dāng) x0，b0， ab8，所以 b .a所以 log 2alog 2

11、（2b） log 2alog 2log2a（4 log2a） （log2a2）24，當(dāng)且僅當(dāng) log2a2， 即 a4 時(shí)， log2 alog 2（2b）取得最大值 4. 答案：413.29.18.答案：219814解析： f(x)sin x cos x 2sin x4 ，因?yàn)?f(x)在區(qū)間 (，)內(nèi)單調(diào)遞增 ，且函數(shù)圖象關(guān)于直線 x對稱 ，所以 f()必為一個(gè)周期上的最大值 ，所以有 2k ，k Z，所以 22k，4 2 42 2 2 k Z .又 ( )2 ， 即 22，所以 2 4，所以 2.答案： 2三、解答題 (本大題共 6小題，共 80分解答應(yīng)寫出文字說明 ，證明過程或演算步驟

12、 ) 15解： (1)應(yīng)從甲、乙、丙三個(gè)協(xié)會(huì)中抽取的運(yùn)動(dòng)員人數(shù)分別為3，1，2.(2)從 6名運(yùn)動(dòng)員中隨機(jī)抽取 2 人參加雙打比賽的所有可能結(jié)果為 A1，A2，A1，A3， A1，A4，A1，A5，A1，A6，A2，A3，A2，A4，A2，A5 ，A2，A6，A3，A4，A3， A5，A3，A6，A4，A5，A4，A6，A5，A6，共 15 種編號為 A5和 A6的兩名運(yùn)動(dòng)員中至少有 1 人被抽到的所有可能結(jié)果為 A1，A5 ，A1， A6，A2，A5，A2，A6，A3，A5，A3，A6，A4，A5，A4，A6，A5，A6，共 9種因此，事件 A發(fā)生的概率 P(A) 9 3.15 516解：(

13、1)在 ABC 中，由cos A 41，可得 sin A 41由 S ABC 12bcsin A3 15， 得 bc24.又由 bc 2，解得 b 6，c4. 由 a2b2c22bccos A，可得 a8.由sin Asin C得 sin C 815.8(2)cos 2A6cos 2Acos 6sin 2Asin 6 23(2cos2A1)122sin Acos A15 7 31617解： (1)證明：如圖 ，連接 A1B. 在A1BC中，因?yàn)?E和F分別是 BC和 A1C的中點(diǎn)， 所以 EF BA1.又因?yàn)?EF?平面 A1B1BA， 所以 EF 平面 A1B1BA.(2)證明：因?yàn)?ABA

14、C，E為BC的中點(diǎn) ， 所以 AE BC.因?yàn)?AA1平面 ABC， BB1AA1，所以 BB1平面 ABC， 從而 BB1AE.又因?yàn)?BCBB1 B，所以 AE 平面 BCB1. 又因?yàn)?AE? 平面 AEA1， 所以平面 AEA1 平面 BCB1.(3) 取 BB1的中點(diǎn) M 和 B1C 的中點(diǎn) N，連接 A1M，A1N，NE. 因?yàn)?N 和 E 分別為 B1C 和 BC 的中點(diǎn) ，1所以 NE B1B， NE12B1B， 故 NE A1A 且 NE A1A， 所以 A1NAE， 且 A1N AE.又因?yàn)?AE平面 BCB1， 所以 A1N平面 BCB1， 從而 A1B1N 為直線 A1

15、B1與平面 BCB1 所成的角在 ABC 中， 可得 AE 2， 所以 A1NAE 2. 因?yàn)?BM AA1，BM AA1， 所以 A1M AB，A1MAB.又由 AB BB1， 有 A1M BB1. 在 RtA1MB1 中，可得 A1B1 B1M2A1M24.在 RtA1NB1中 ，sinA1B1N ，A1B1 2因此 A1B1N30 .所以 ，直線 A1B1與平面 BCB1所成的角為 30.18解： （1）設(shè)數(shù)列 an的公比為 q，數(shù)列bn的公差為 d， 由題意知 q0.2q23d2，由已知 ， 有 4q43d10，消去 d，整理得 q42q280，解得 q2 4. 又因?yàn)?q0，所以 q

16、 2，所以 d 2.所以數(shù)列 an的通項(xiàng)公式為 an 2n 1，nN*； 數(shù)列 bn 的通項(xiàng)公式為 bn2n1，nN*.（2）由（1）有 cn（2n 1） 2n 1， 設(shè)cn的前 n 項(xiàng)和為 Sn， 則 Sn120321522（2n3） 2n2（2n1） 2n1， 2Sn121322523（2n3） 2n1（2n1）2n， 上述兩式相減 ，得 Sn122232n（2n1）2n2n13（2n1）2n （2n3）2n3， 所以 ，Sn（2n3）2n3，nN*.19解： （1）設(shè) F（c，0） 由已知離心率 c 5及 a2 b2 c2， a5可得 a 5c， b2c. 又因?yàn)?B（0， b），F(xiàn)（c

17、，0），所以直線 BF 的斜率 k b0 2c 2.0（ c） c（2）設(shè)點(diǎn) P（xP， yP）， Q（xQ，yQ）， M（xM， yM）22由（1）可得橢圓的方程為 5xc2 4yc2 1，直線 BF 的方程為 y2x2c.將直線方程與橢圓方程聯(lián)立 ，消去 y，整理得 3x25cx0，解得 xP 53c.3因?yàn)?BQ BP，所以直線 BQ 的方程為 y 21x2c， 與橢圓方程聯(lián)立 ，消去 y，整理得 21x2 40cx 0，解得 xQ40c.21.又因?yàn)?|MPMQ|及 xM 0，可得 |xMxP| |xP|7.77|xQ xM| |xQ| 8由有|MPMQ|87，所以|PM|PM|M|

18、Q| 78 1515即|PQ|175|PM|.又因?yàn)?|PM|sinBQP795，所以 |BP|PQ|sinBQP175|PM|sinBQP535.4又因?yàn)?yP 2xP2c 3c，所以 |BP|053c 2c43c 535c，因此535c535，得 c1.3322 所以橢圓的方程為 x y 1.5420解： (1)由 f(x)4xx4，可得 fx() 44x3. 當(dāng) fx()0 ， 即 x1 時(shí) ，函數(shù) f(x)單調(diào)遞增； 當(dāng) fx()1 時(shí) ，函數(shù) f(x)單調(diào)遞減所以 ， f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為 (，1)， 單調(diào)遞減區(qū)間為 (1， ) (2)證明：設(shè)點(diǎn) P 的坐標(biāo)為 (x0， 0)，1 則 x043，fx(0) 12.曲線 yf(x)在點(diǎn) P 處的切線方程為 yfx(0)(xx0)， 即 g(x) fx(0)(xx0)令函數(shù) F(x) f(x) g(x)，即 F(x)f(x) fx(0)(xx0)，則 Fx()fx() fx(0)由于 fx() 4x34 在(， )上單調(diào)遞減 ， 故 F x()在 ( ， )上單調(diào)遞減又因?yàn)?F x(0) 0，所以當(dāng) x( ，x0)時(shí)，F(xiàn)x()0； 當(dāng) x(x0，)時(shí) ， Fx()0， 所以 F(x)在(，x0)上單調(diào)遞增 ，在(x0， )上單調(diào)遞減 ，所以對于任意的實(shí)數(shù) x，F(xiàn)(x) F(x0)0，即對于任意的實(shí)數(shù) x，都有 f