2020_2021學(xué)年高中數(shù)學(xué)第一講坐標(biāo)系二第2課時極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的互化學(xué)案含解析新人教A版選修4_420210310267

1、第二課時極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的互化考綱定位重難突破1.掌握點的極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化公式.2.能進行點的極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互相轉(zhuǎn)化.重點：點的極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互相轉(zhuǎn)化. 難點：將點的直角坐標(biāo)轉(zhuǎn)化為極坐標(biāo).授課提示：對應(yīng)學(xué)生用書第6頁自主梳理點的極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的互化1互化背景：把直角坐標(biāo)系的原點作為極點，x軸的正半軸作為極軸，并在兩種坐標(biāo)系中取相同的長度單位，如圖所示2互化公式：設(shè)M是坐標(biāo)平面內(nèi)任意一點，它的直角坐標(biāo)是(x，y)，極坐標(biāo)是(，)(0)，于是極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化公式如表：點M直角坐標(biāo)(x，y)極坐標(biāo)(，)互化公式2x2y2 tan (x0)在一般情況下，由tan 確定角時，可根據(jù)

2、點M所在的象限取最小正角雙基自測1點P的直角坐標(biāo)為(1，)，則點P的極坐標(biāo)為()A.B.C. D.解析：點P(1，)在第四象限，與原點的距離為2，且OP與x軸所成的角為.答案：C2將點M的直角坐標(biāo)(，1)化成極坐標(biāo)為()A.B.C. D.解析： 2，tan ，點M在第三象限，.所以點M的極坐標(biāo)為.答案：B3下列各點中與極坐標(biāo)不表示同一個點的極坐標(biāo)是_；.解析：因為與表示同一點的坐標(biāo)有或，其中kZ，所以易得只有不同答案：4(2016高考北京卷)在極坐標(biāo)系中，直線cos sin 10與圓2cos 交于A，B兩點，則|AB|_.答案：2授課提示：對應(yīng)學(xué)生用書第7頁探究一化極坐標(biāo)為直角坐標(biāo)例1分別把下

3、列點的極坐標(biāo)化為直角坐標(biāo)：(1)；(2)；(3)(5，5)解析(1)xcos 2cos1，ysin 2sin，點的極坐標(biāo)化為直角坐標(biāo)為(1，)(2)xcos 4cos0，ysin 4sin4，點的極坐標(biāo)化為直角坐標(biāo)為(0，4)(3)xcos 5cos(5)5cos 5，ysin 5sin(5)5sin 5，點的極坐標(biāo)(5，5)化為直角坐標(biāo)為(5cos 5，5sin 5)1點的極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化公式的三個前提條件(1)極點與直角坐標(biāo)系的原點重合；(2)極軸與直角坐標(biāo)系的x軸的正半軸重合；(3)兩種坐標(biāo)系的長度單位相同2將點的極坐標(biāo)(，)化為點的直角坐標(biāo)(x，y)時，運用到求角的正弦值和余弦值

4、，熟練掌握特殊角的三角函數(shù)值，靈活運用三角恒等變換公式是關(guān)鍵1將下列點的極坐標(biāo)化為直角坐標(biāo)：(1)；(2)；(3).解析：由公式將極坐標(biāo)化為直角坐標(biāo)(1)x2cos，y2sin1，點的極坐標(biāo)化為直角坐標(biāo)為(，1)(2)x6cos3，y6sin3，點的極坐標(biāo)化為直角坐標(biāo)為(3，3)(3)x2cos0，y2sin2，點的極坐標(biāo)化為直角坐標(biāo)為(0，2)探究二點的直角坐標(biāo)化為極坐標(biāo)例2將下列點的直角坐標(biāo)化為極坐標(biāo)(0，0,2)：(1)(2,2)；(2)；(3)(0，)解析(1)由2，tan 1，且角的終邊經(jīng)過點(2,2)，當(dāng)0,2)時，故點的極坐標(biāo)為.(2)由1，tan ，且角的終邊經(jīng)過點，當(dāng)0,2)

5、時，故點的極坐標(biāo)為.(3)由，且角的終邊經(jīng)過點(0，)，當(dāng)0,2)時，故點的極坐標(biāo)為.點的直角坐標(biāo)化為極坐標(biāo)的注意事項化點的直角坐標(biāo)為極坐標(biāo)時，一般取0，0,2)，即取最小正角，由tan (x0)求時，必須根據(jù)角的終邊經(jīng)過點(x，y)所在的象限來確定的值2已知點的直角坐標(biāo)分別為A(3，)，B，C(2,2)，求它們的極坐標(biāo)，其中極角0,2)解析：根據(jù)2x2y2，tan (x0)，得A，B，C.探究三極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的綜合應(yīng)用例3在極坐標(biāo)系中，如果等邊三角形ABC的兩個頂點的極坐標(biāo)分別為A，B，且0，0,2)，求：(1)頂點C的極坐標(biāo)；(2)三角形的面積解析(1)由公式得點A，B的直角坐標(biāo)分別為A

6、(，)，B(，)點C必在直線yx上，且|OC|2tan 602，設(shè)點C的直角坐標(biāo)為(x，x)，則2，即|x|2，解得x，故點C的直角坐標(biāo)為(，)或(，)由公式且0，0,2)，得點C的極坐標(biāo)為或.(2)由上述，得三角形的邊長為4，得SABC244.不論是平面直角坐標(biāo)系還是極坐標(biāo)系，都是利用代數(shù)方法刻畫幾何位置以及幾何度量問題，所以利用條件畫出幾何圖形就能容易明確解題方向，從而優(yōu)化解題思路，簡化解題過程3(2017高考全國卷)在直角坐標(biāo)系xOy中，以坐標(biāo)原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C1的極坐標(biāo)方程為cos 4.(1)M為曲線C1上的動點，點P在線段OM上，且滿足|OM|OP|16

7、，求點P的軌跡C2的直角坐標(biāo)方程；(2)設(shè)點A的極坐標(biāo)為，點B在曲線C2上，求OAB面積的最大值解析：(1)設(shè)P的極坐標(biāo)為(，)(0)，M的極坐標(biāo)為(1，)(10)由題設(shè)知|OP|，|OM|1.由|OM|OP|16得C2的極坐標(biāo)方程為4cos (0)因此C2的直角坐標(biāo)方程為(x2)2y24(x0)(2)設(shè)點B的極坐標(biāo)為(B，)(B0)，由題設(shè)知|OA|2，B4cos ，于是OAB面積S|OA|BsinAOB4cos |sin|2|sin|2.當(dāng)時，S取得最大值2.所以O(shè)AB面積的最大值為2.極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)互化的應(yīng)用典例在極坐標(biāo)系中，點和圓(x1)2y21的圓心的距離為()A.B2C. D.解

8、析方法一(x1)2y21的圓心坐標(biāo)為(1,0)，化為極坐標(biāo)是(1,0)，點(2，)到圓心的距離d.方法二將點(2，)化為直角坐標(biāo)是(1，)又(x1)2y21的圓心的坐標(biāo)是(1,0)，點(2，)到圓心的距離d.答案A感悟提高(1)極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)互化公式主要應(yīng)用于解決平面幾何圖形中的對稱、距離、面積、角度等問題(2)常用的兩個解題思路：一是直接利用，的幾何含義，在極坐標(biāo)系下求解；二是首先將問題轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)系下求解，然后再將問題轉(zhuǎn)化為極坐標(biāo)下這個過程需要充分利用互化公式進行過渡隨堂訓(xùn)練對應(yīng)學(xué)生用書第8頁1下列極坐標(biāo)對應(yīng)的點在極軸上的是()A(1,1)B(2,0)C. D.答案：B2已知點A的直角坐標(biāo)為(，)，則它的極坐標(biāo)為()A. B.C. D.解析： ，tan 1，sin ，.極坐標(biāo)為，故選B.答案：B3(2017高考北京卷)在極坐標(biāo)系中，點A在圓22cos 4sin 40上，點P的坐標(biāo)為(1,0)，則|AP|的最小值為_解析：由22cos 4sin 40，得x2y22x4y40，即(x1)2(y2)21，圓心坐標(biāo)為C(1,2)，半徑長為1.點P的坐標(biāo)為(1,0)，點P在圓C