小學(xué)數(shù)學(xué)——“聯(lián)想——從平面走向立體的橋梁”

1、聯(lián)想從平面走向立體的橋梁 “圓柱與圓錐的整理與復(fù)習(xí)”教學(xué)實(shí)錄和反思 我們經(jīng)?？梢钥吹胶⒆釉谡Z(yǔ)文學(xué)習(xí)中的一些“聯(lián)想”。如根據(jù)同樣的結(jié)構(gòu)去聯(lián)想一些意思不同的成語(yǔ)、根據(jù)同一個(gè)場(chǎng)景去聯(lián)想可以使用的優(yōu)美詞句等等，這些都是語(yǔ)文教師精心設(shè)計(jì)的訓(xùn)練內(nèi)容。事實(shí)上，我們的數(shù)學(xué)教學(xué)中，又何嘗不需要“聯(lián)想”呢？數(shù)學(xué)知識(shí)的基本結(jié)構(gòu)，是由知識(shí)之間內(nèi)在的聯(lián)系所聯(lián)結(jié)而成的知識(shí)整體。在思維中經(jīng)常通過(guò)聯(lián)想，想到有關(guān)的概念、公式，溝通知識(shí)之間的內(nèi)在聯(lián)系，為解決數(shù)學(xué)問(wèn)題提供了良好基礎(chǔ)。同時(shí)盡量多形成聯(lián)想和利用聯(lián)想，是促進(jìn)記憶效果的一種有效方法。如果在復(fù)習(xí)課中通過(guò)聯(lián)想梳理出單元知識(shí)結(jié)構(gòu)，就能促使學(xué)生掌握知識(shí)的內(nèi)在本質(zhì)聯(lián)系，并以基本結(jié)構(gòu)

2、為指導(dǎo)，就能抓住教學(xué)過(guò)程的關(guān)鍵，舉一反三，有效地說(shuō)明這些聯(lián)系，達(dá)到“以一當(dāng)十”的教學(xué)目的。筆者對(duì)此進(jìn)行了嘗試。【教材理解】“圓柱與圓錐的整理與復(fù)習(xí)”（人教版數(shù)學(xué)六年級(jí)下冊(cè)第一單元），這部分知識(shí)在小學(xué)階段空間大小的學(xué)習(xí)是一個(gè)難點(diǎn)：從平面到立體的變化，而圓柱的表面積學(xué)習(xí)又是難點(diǎn)中的難點(diǎn)，教材也曾增刪變化過(guò)，或?qū)⑵渚幦胫袑W(xué)教材進(jìn)行學(xué)習(xí)。因此老師的教學(xué)不能僅僅停留在課本的例題與練習(xí)，而需要通過(guò)對(duì)圓柱和圓錐的拼割、增減、轉(zhuǎn)化的拓展變化，溝通圓柱和圓錐的聯(lián)系，探尋表面積與體積之間的一定聯(lián)系與規(guī)律，建立起初步的空間觀念。本單元的知識(shí)整理復(fù)習(xí)教材只安排了一課時(shí)，作為整個(gè)單元的知識(shí)要點(diǎn)來(lái)說(shuō)復(fù)習(xí)時(shí)需要對(duì)側(cè)面積、表

3、面積和體積三大角度的知識(shí)梳理，并要溝通這些知識(shí)點(diǎn)之間的聯(lián)系，但這些知識(shí)點(diǎn)要在一節(jié)課內(nèi)全部到位顯然有很大的困難，因此筆者認(rèn)為這三個(gè)知識(shí)點(diǎn)分成三課時(shí)教學(xué)比較合理，第一課時(shí)重點(diǎn)是側(cè)面積、表面積與體積的聯(lián)系；第二課時(shí)是圓柱與圓錐的聯(lián)系；第三課時(shí)是等積變形等運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想去解決問(wèn)題。以下是圓柱與圓錐的整理與復(fù)習(xí)第一課時(shí)的部分教學(xué)實(shí)錄：【教學(xué)片斷】片段1：梳理知識(shí)、回憶要點(diǎn)一、教師在黑板上寫(xiě)下“圓柱”一詞師：看著這個(gè)詞兒，你能想到哪些數(shù)學(xué)知識(shí)？生1：我知道圓柱的底面是兩個(gè)大小相同的圓面生2：我知道圓柱的側(cè)面積=底面周長(zhǎng)高 s側(cè)=ch生3：我知道圓柱的側(cè)面展開(kāi)是一個(gè)長(zhǎng)方形生4：老師，我對(duì)前一個(gè)同學(xué)說(shuō)得還有補(bǔ)充

4、，圓柱側(cè)面必須沿高展開(kāi)才是個(gè)長(zhǎng)方形，不沿高的話，展開(kāi)可以是任何形狀。生5：我想到了：圓柱的表面積=側(cè)面積+兩個(gè)底面積 s表=s側(cè)+2s底生6：我想到了：圓柱的體積=底面積高 v圓柱=sh 或v圓柱=2 h 生7：我想到了與圓柱等底等高圓錐的體積是圓柱體積的 v圓錐=sh5cm | 6cm |二、媒體出示一個(gè)圓柱體圖形師：看著這個(gè)圓柱體圖形，你能想到些什么？你能算嗎？學(xué)生思考計(jì)算后反饋交流生1：我能算出圓柱的側(cè)面積：s側(cè)=ch 3.1465=94.2(cm2) 生2：我能算出圓柱的圓柱的體積：v=3.14325=28.265 =141.3(cm3)生3：我算出了圓柱的表面積：s表=3.1465+

5、3.14322 =94.2+56.52 =150.72(cm2)生4：我知道圓柱的占地面積：3.149=28.26(cm2)生5：我知道與圓柱等底等高圓錐的體積是：3.14325=47.1(cm3) 生6：如果將這個(gè)圓柱削成一個(gè)最大的圓錐，削去部分的體積是這個(gè)圓柱體積的： 3.14325 = 3.1430 =94.2(cm3)生7：如果將這個(gè)圓柱橫切成兩段，表面積會(huì)增加：3.14322=56.52(cm2) 生8：如果將這個(gè)圓柱沿直徑切成相等的兩半，表面積會(huì)增加：652=60(cm2) 師：如果老師告訴你“一個(gè)高10厘米的圓柱沿直徑切成相等的兩半，表面積增加了80平方厘米?！蹦隳苷业竭@個(gè)圓柱相

6、關(guān)的一些條件嗎？生1：我能找到底面直徑，表面積增加80平方厘米，就是增加了兩個(gè)長(zhǎng)方形，長(zhǎng)方形的長(zhǎng)就是圓柱的高，寬是圓柱的底面直徑，所以直徑=80210=4厘米，生2：知道了直徑后，我能算出底面的周長(zhǎng)和面積生3：我還能算出體積和表面積師：同學(xué)們都很會(huì)開(kāi)動(dòng)腦筋，那么在聯(lián)想的這些問(wèn)題中，哪個(gè)是最關(guān)鍵呢？生4：找到圓柱體的底面直徑?！窘虒W(xué)反思】教學(xué)只從簡(jiǎn)單的一個(gè)詞語(yǔ)“圓柱”和一個(gè)“圖形”入手，進(jìn)行聯(lián)想，梳理知識(shí)，教師只提供了兩個(gè)點(diǎn)，學(xué)生卻水到渠成地將這一單元的知識(shí)要點(diǎn)：圓柱的側(cè)面積、表面積、體積和圓錐的體積梳理出來(lái)。這種自然聯(lián)想開(kāi)放式的教學(xué)策略，極大程度地勾起學(xué)生對(duì)已學(xué)知識(shí)的回憶，構(gòu)建起知識(shí)的網(wǎng)絡(luò)，這

7、正體現(xiàn)了新課程所倡導(dǎo)的學(xué)生是學(xué)習(xí)的主人，老師只在其中起到幫助者，指導(dǎo)者的作用。片段2：溝通聯(lián)系，走向立體（一）出示一張長(zhǎng)方形紙，你可以提出哪些數(shù)學(xué)問(wèn)題？ 12.56厘米 18.84厘米 生1：這個(gè)長(zhǎng)方形的面積和周長(zhǎng)各是幾？生2：長(zhǎng)方形內(nèi)的最大正方形周長(zhǎng)和面積各是多少？ 生3：長(zhǎng)方形內(nèi)最大圓的面積是多少？生4：長(zhǎng)方形內(nèi)最大三角形的面積是多少？生5：圍成一個(gè)圓柱體后（不計(jì)接頭與厚度），底面積是多少？生6：圍成一個(gè)圓柱體后（不計(jì)接頭與厚度），側(cè)面積是多少？生7：圍成圓柱體后，所占空間的大小是多少？生8：與這個(gè)圓柱等底等高圓錐的體積是多少？生9：以12.56cm為中心軸，將這張長(zhǎng)方形紙旋轉(zhuǎn)一周，所形成

8、的空間大小是多少？生10：以18.84cm為中心軸，將這張長(zhǎng)方形紙旋轉(zhuǎn)一周，所形成的空間大小是多少？師根據(jù)學(xué)生的回答擇機(jī)板書(shū)：c長(zhǎng) s底 s長(zhǎng) 圍成 s側(cè) c正 v圓柱 s正 v圓錐 s最大圓 h=12.56厘米 旋轉(zhuǎn) s最大三角形 h=18.84厘米對(duì)第一列平面角度的幾個(gè)已學(xué)過(guò)的問(wèn)題，提問(wèn)學(xué)生直接口答：師：對(duì)于第一列的幾個(gè)問(wèn)題你能直接口答出算式嗎？生1：c長(zhǎng)=(18.84+12.56)2 s長(zhǎng)=18.8412.56生2：c正=12.564 s長(zhǎng)=12.5612.56生3：s最大圓=3.146.282 s最大三=18.8412.562 師：同學(xué)們都非常能干，你能計(jì)算圍成和旋轉(zhuǎn)而成的那些問(wèn)題嗎？

9、要求只列式不計(jì)算：學(xué)生計(jì)算后反饋：生1：r=18.843.142=3(cm) 或r=12.563.142=2(cm) s底=3.1432=28.26(cm2) s底=3.1422=12.56(cm2)生2：圍成一個(gè)圓柱體后（不計(jì)接頭與厚度），側(cè)面積是：18.8412.56 生3：圍成圓柱體后，所占空間的大?。?r=18.843.142=3(cm)或r=12.563.142=2(cm) v=3.143212.56 v=3.142218.84生4：以12.56cm為中心軸，將這張長(zhǎng)方形紙旋轉(zhuǎn)一周，所形成的空間大小是： 3.1418.84212.56 12.56厘米 18.84厘米 生5：以18.8

10、4cm為中心軸，將這張長(zhǎng)方形紙旋轉(zhuǎn)一周，所形成的空間大小是： 3.1412.56218.84生6：以18.84cm的一半處為中心軸，將這張長(zhǎng)方形紙旋轉(zhuǎn)一周，所形成的空間大小是： 3.149.42212.56 12.56厘米 18.84厘米 生7：以12.56cm的一半處為中心軸，將這張長(zhǎng)方形紙旋轉(zhuǎn)一周，所形成的空間大小是： 3.146.28218.84師：如果以12.56cm為高，將這個(gè)長(zhǎng)方形圍成一個(gè)圓柱體，接頭處是3.14cm，圍成后圓柱的體積是多少？生： 我是這樣想得：如果以12.56cm為高，那么長(zhǎng)方形的長(zhǎng)將是圍成圓柱底面的周長(zhǎng)，但有一個(gè)3.14cm的接頭處，實(shí)際圍成的圓柱底面周長(zhǎng)18.

11、843.14=15.7 cm，知道了底面周長(zhǎng)，再求出底面半徑，就可以求出圓柱的體積了。（學(xué)生一邊說(shuō)，一邊以手中的長(zhǎng)方形作業(yè)紙進(jìn)行接頭處的說(shuō)明 ）三、探究規(guī)律，建立聯(lián)系 1出示昨天所學(xué)的體積推導(dǎo)圖，你回憶起什么了？生：圓柱的體積=底面積高2如果老師將這個(gè)圓柱體橫放，你想到了什么？引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)：圓柱的的體積正好等于側(cè)面積的一半乘半徑得：圓柱的的體積=側(cè)面積的一半半徑【教學(xué)反思】從一個(gè)“長(zhǎng)方形”圖形入手聯(lián)想，學(xué)生將腦海中已有的知識(shí)進(jìn)行迅速回放，一方面孩子們從平面角度去思考，將長(zhǎng)方形、正方形、三角形、圓的這些平面知識(shí)進(jìn)行橫向的溝通；另一方面學(xué)生轉(zhuǎn)變思考角度，從“平面”走向“立體”建構(gòu)，進(jìn)一步對(duì)圓柱的側(cè)

12、面積、表面積、體積加深印象，由圓柱的體積聯(lián)想到了圓錐的體積，實(shí)現(xiàn)了縱向的聯(lián)系?！景咐敢暋块_(kāi)放聯(lián)想，使“聯(lián)想”成為平面走向立體的“催化劑，是我們組建活力有效課堂的一個(gè)重要策略。在本案例中，具體體現(xiàn)在以下三個(gè)層面：一是精選材料。整節(jié)課圍繞著“圓柱”詞語(yǔ)、“圓柱”圖形、和“長(zhǎng)方形”圖形三個(gè)簡(jiǎn)單材料進(jìn)行教學(xué)，從“圓柱”詞語(yǔ)開(kāi)始梳理本單元知識(shí)要點(diǎn)，到“圓柱”圖形的基本練習(xí)，再到“長(zhǎng)方形”圖形的平面向立體的變化，整個(gè)單元的知識(shí)點(diǎn)在三個(gè)材料中系統(tǒng)地貫穿起來(lái)。個(gè)人認(rèn)為老師所要準(zhǔn)備的材料，要以既簡(jiǎn)潔又高效為目的，讓學(xué)生學(xué)得輕松有效，同時(shí)讓老師從繁重的教學(xué)任務(wù)中解放出來(lái)。二是活用方法?！办`活”是教學(xué)方法創(chuàng)新的最

13、好體現(xiàn)。教學(xué)中采用“頭腦風(fēng)暴法聯(lián)想”進(jìn)行教學(xué)，讓學(xué)生的大腦像電腦中開(kāi)啟的搜索功能一樣，搜索出所有相關(guān)的信息，再根據(jù)需要有機(jī)選擇去解決相關(guān)的問(wèn)題。從形式上看，聯(lián)想的情境具有新穎性，富有啟發(fā)性。“看到這個(gè)詞兒，你想到了什么”學(xué)生在問(wèn)題情境的誘導(dǎo)下思維活躍，興趣油然而生。從實(shí)質(zhì)上講，聯(lián)想情境具有明顯的開(kāi)放性，它給學(xué)生提供了非常廣闊的思維空間，真正起到培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散性思維。學(xué)生的思維活動(dòng)應(yīng)該是自由的、舒展的，但無(wú)論是思維活躍的，還是遲鈍的；無(wú)論是思維深刻的，還是膚淺的，學(xué)生都能基于原有經(jīng)驗(yàn)檢索到自己的答案，都能獲得一定的成功，這是新課程理念所倡導(dǎo)的讓不同的學(xué)生獲得不同的發(fā)展。三是注重策略。發(fā)展學(xué)生的數(shù)

14、學(xué)思考能力是數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)所要求的重要教學(xué)目標(biāo)之一，而聯(lián)想是實(shí)現(xiàn)這一目標(biāo)的有效途徑。一方面，在聯(lián)想問(wèn)題的驅(qū)動(dòng)下，學(xué)生會(huì)從多方面 、多角度展開(kāi)思維活動(dòng)，即發(fā)散思維。在充分“發(fā)散”的基礎(chǔ)上及時(shí)“聚合”，學(xué)生的思維經(jīng)歷了從“放”到“收”的階段，其思維活動(dòng)的實(shí)質(zhì)是一個(gè)去粗留精、從感性上升到理性的過(guò)程。另一方面，學(xué)生長(zhǎng)期接受聯(lián)想訓(xùn)練，他們的思維就會(huì)保持一種活躍和敏感的狀態(tài)。當(dāng)學(xué)生面對(duì)一個(gè)問(wèn)題時(shí)，就會(huì)迅速啟動(dòng)聯(lián)想，把相關(guān)知識(shí)像“磁鐵吸鐵屑”那樣“吸附”于問(wèn)題的周?chē)?，再檢索需要的知識(shí)，使問(wèn)題獲得更快、更好的解決。顯然，聯(lián)想可以使思維變得更敏銳、更流暢、更靈活、更深刻，而這些恰恰是創(chuàng)造性思維的主要特征。通過(guò)平面到立體的轉(zhuǎn)變，構(gòu)建起全方位的橫向縱向的知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，溝通知識(shí)之