圖形面積計算技巧

1、圖形面積計算技巧 三三、圖形面積計算技巧、圖形面積計算技巧 為了解決較復(fù)雜的圖形面積計算問為了解決較復(fù)雜的圖形面積計算問 題題,我們除掌握基本概念及技術(shù)公式外我們除掌握基本概念及技術(shù)公式外, 還應(yīng)該學(xué)會用變動的方法看問題還應(yīng)該學(xué)會用變動的方法看問題,如恒如恒 等變形的計算方法等變形的計算方法、添加輔助線法、添加輔助線法、 平移法、旋轉(zhuǎn)法平移法、旋轉(zhuǎn)法, ,割補法、等積變形、割補法、等積變形、 構(gòu)造等方法構(gòu)造等方法. . 圖形面積計算技巧 (一一) 比例法比例法 例例1 如圖如圖,一個長方形被兩條平行直線一個長方形被兩條平行直線 分成四個長方形分成四個長方形,其中三個面其中三個面 積分別是積分別

2、是 求求?部分的面積部分的面積? 25 2 0 30 222 20,25,30dmdmdm 2 52 0 ?3 0 為什么為什么? 25303020=37520=375 2 ()dm ? 圖形面積計算技巧 例例2 如圖如圖,一個正方形分成四個長方形一個正方形分成四個長方形, 面積如圖面積如圖,求中間的正方形的求中間的正方形的 面積面積? 47 3 2 A BC D 解解:大正方形的面積是大正方形的面積是: 4+7+3+2=16, 大正方形的邊長是大正方形的邊長是:4 AB:BD=4:7, 41 6 4, 1 11 1 A B AC:CD=3:231 2 4 55 A C 小正方形面積小正方形面

3、積: 2 1 21 6 () 51 1 圖形面積計算技巧 例例3 如圖如圖,已知已知ABC的每邊長都是的每邊長都是96 厘米厘米,用折線把用折線把ABC分割成分割成 面積相等的四個三角形面積相等的四個三角形,那么那么 CE和和CF的長度和是多少的長度和是多少 厘米厘米? A B C E D F 解解:在在ABC和和BDC中中,它們高相等它們高相等, 3 , 4 BDCABC SS 3 4 CDAC 3 9672(), 4 cm 圖形面積計算技巧 2 , 3 EDCBDC SS 2 3 CECB 2 9664(), 3 cm , CEFEFD SS 72 2 36( ),CF FDcm 3664

4、100(cm). 圖形面積計算技巧 練習練習 1. 在在ABC中中,AB、AC兩邊兩邊 分別被分成四等份分別被分成四等份,陰影部分陰影部分 面積與面積與ABC的面積比是的面積比是 多少多少? A BC 1 1 2 2 3 3 4 從上往下看從上往下看 (1+2+3+4):(1+1+2+2+3+3+4) =5:8. 圖形面積計算技巧 2 如圖如圖,用面積為用面積為1,2,3,4的四張紙片拼成一的四張紙片拼成一 個大長方形個大長方形,問陰影部分的面積問陰影部分的面積? 12 3 4 AB C D 解解:AB:BD=1:2 AC:CD=3:4 =7:14 =9:12 2 , 21 BCAD 2121

5、 (1 2)(3 4) 212 212 圖形面積計算技巧 例例3 如圖如圖,5,8和和10分別代表包含該數(shù)字分別代表包含該數(shù)字 的三角形面積的三角形面積,試問包含試問包含x這個這個 數(shù)字的四邊形面積數(shù)字的四邊形面積? 5 10 8 x y ? :?.xy解 把 分成 和 兩部分 ?=4, 48 54510 yy 1 8y 18422.x 圖形面積計算技巧 (二二)添輔助線法添輔助線法 求部分圖形面積時求部分圖形面積時,需借助其它圖需借助其它圖 形作中介形作中介,這個中介圖形需加輔助線段這個中介圖形需加輔助線段 才能得到才能得到,這種方法叫輔助線法求面積這種方法叫輔助線法求面積. 例例4 如圖如

6、圖,ABC的面積為的面積為 2 24,cm A E B D C AE=EB,BD=2DC, 求陰影部分的面積求陰影部分的面積? 解解:連接連接EC, 圖形面積計算技巧 ,AEE B 1 2 BECABC SS 2 1 24 12(), 2 cm 2,BDDC又 2 3 BEDBEC SS 2 2 12 8(). 3 cm 圖形面積計算技巧 例例5 如圖如圖,已知正方形的邊長是已知正方形的邊長是6厘米厘米,E 、F F分別是分別是CBCB、CDCD中點中點, ,求四邊形求四邊形ABGDABGD 的面積的面積? ? A B C D E F G 解解:連接連接CG, 2 1 6 (6 2) 3 4

7、12(), 2 cm 2 661224().cm 圖形面積計算技巧 練習練習 4 如圖如圖,ACEG是梯形是梯形,BDFG是正是正 方方,GE=30cm,GB=24cm,AC=39cm, 求梯形求梯形ACEG的面積的面積? A D C E B F G 解解:連接連接BE, h 梯形梯形ACEG的高的高 24 24 2 2 30 19.2(cm), 2 (30 39) 19.2 2 662.4().cm 圖形面積計算技巧 5.如圖如圖,正方形正方形ABCD的面積是的面積是120平方平方 厘米厘米,E是是AB的中點的中點,F是是BC的中點的中點,四四 邊形邊形BGHF的面積是多少平方厘米的面積是多

8、少平方厘米? A E B F G H C D 解解:連接連接GF, 由由BF=FC , BFGFGCBGE SSS , BECBDFFDC SSS都是 2 120430(),cm 圖形面積計算技巧 2 11 3010(), 33 BFGBEC SScm 2 30 1020(), GDF Scm 202 303 G D F F D C S S 2 , 3 G FH H FC S S 2 2 104(cm). 5 G FH S 2 10414().cm 圖形面積計算技巧 (三三) 等量代換等量代換 我們經(jīng)常會遇到一些由基本圖形組成我們經(jīng)常會遇到一些由基本圖形組成 的組合圖形的組合圖形,它們的面積不

9、能直接應(yīng)用它們的面積不能直接應(yīng)用 公式來計算公式來計算,需要從整體上觀察圖形需要從整體上觀察圖形, 用靈活用靈活、巧妙的方法解答這類較復(fù)、巧妙的方法解答這類較復(fù) 雜的圖形計算問題雜的圖形計算問題.“.“等量代換等量代換”就就 是一種簡便的方法是一種簡便的方法. . 它是將一個圖形轉(zhuǎn)化為另一個圖形的它是將一個圖形轉(zhuǎn)化為另一個圖形的 面積面積,從而找到解題思路從而找到解題思路. 圖形面積計算技巧 例例6 ABCD和和CEFG都是正方形都是正方形,大正方大正方 形的邊長是形的邊長是12厘米厘米,則則BDF的面積是的面積是 多少平方厘米多少平方厘米? AB C D E F G 解解:連接連接CF, 因

10、為因為BDCF是梯形是梯形, H , BHFDHC SS DBFDBC SS =大正方形面積的大正方形面積的 一半一半. 2 12 12 2 72().cm 圖形面積計算技巧 例例7 已知已知ABC的面積為的面積為36,M為為AB上上 的點的點,且且BM:MA=1:2,MD平行于平行于EC,則則 EBD的面積是多少的面積是多少? AE M BDC 解解:連接連接MC, EBDBMC SS 1 3 61 2 . 3 圖形面積計算技巧 例例8 ABCD是邊長為是邊長為10厘米的正方形厘米的正方形, 三角形三角形ABF的面積比三角形的面積比三角形CEF的面的面 積大積大20平方厘米平方厘米,求三角形

11、求三角形 ACE的面積的面積? AB CDE F 條件條件:ABF的面積比的面積比CEF 的面積大的面積大20平方厘米平方厘米, 轉(zhuǎn)化為轉(zhuǎn)化為:ABC的面積比的面積比ACE的面積的面積 大大20平方厘米平方厘米, 2 10 1022030().cm 圖形面積計算技巧 練習練習:6 兩個半徑為兩個半徑為2厘米的圓相交厘米的圓相交,且且 圖中的兩個陰影部分的面積相等圖中的兩個陰影部分的面積相等,求求 的長度的長度? 12 O O 1 O 2 O 長方形的面積等與兩個長方形的面積等與兩個 扇形的面積扇形的面積, 2 1 222(). 4 cm 圖形面積計算技巧 7 . BCEF是平行四邊形是平行四邊

12、形,ABC是直角是直角 三角形三角形,BC=8cm,AC=7cm,陰影部分陰影部分 的面積比的面積比ADH的面積大的面積大 12平方厘米平方厘米,求求HC的長的長? BC E F A DH 平行四邊形平行四邊形BCEF的面積的面積 ABC的面積大的面積大12平方厘米平方厘米. 2 8 7 228(), ABC Scm :(2812)85().HCcm 圖形面積計算技巧 8 如圖如圖,兩個相同的直角梯形重疊在一兩個相同的直角梯形重疊在一 起起,陰影部分的面積陰影部分的面積( )(單位單位:厘米厘米) 5 8 20 (20 5 20) 8 2 2 35 4 140().cm 圖形面積計算技巧 9

13、長方形長方形ABCD的周長是的周長是20厘米厘米,在它在它 的每條邊上各畫一個以該邊為邊長的的每條邊上各畫一個以該邊為邊長的 正方形正方形,已知這四個正方形已知這四個正方形 的面積是的面積是104平方厘米平方厘米,求求 長方形長方形ABCD的面積的面積? A BC D 長長+寬寬: 20210(),cm 10 10 2 104 2 2 2 502624().cm 圖形面積計算技巧 (四四) 割補法割補法 割補法求面積是將不規(guī)則的圖形經(jīng)割補法求面積是將不規(guī)則的圖形經(jīng) 過分割過分割、切拼、補充成一個規(guī)則的幾何、切拼、補充成一個規(guī)則的幾何 圖形圖形, ,從而求出面積的方法從而求出面積的方法. . 例

14、例9 ABC是等腰三角形是等腰三角形,D是半圓周是半圓周 上的中點上的中點,BC是直徑是直徑,且且AB=BC=10分分 米米,求陰影部分的面積求陰影部分的面積?A B C D 補補 2 101 10 10 ()10 15 22 22 圖形面積計算技巧 例例10 三個圓的半徑都是三個圓的半徑都是5厘米厘米,三個圓三個圓 相交于圓心相交于圓心,求陰影求陰影 部分的面積部分的面積? 22 1 539.25(cm ). 2 陰影部分的面積和等陰影部分的面積和等 于圓面積的一半于圓面積的一半, 圖形面積計算技巧 例例11 如果如果BF長長5厘米厘米,長方形長方形AEFD的的 面積是面積是40平方厘米平方

15、厘米, 則則CD長多少厘米長多少厘米? A DC E F C 40 58().cm 圖形面積計算技巧 1 4 練習練習:10 如圖如圖,A、B是兩個圓是兩個圓(只有只有 ), 那么兩個陰影部分的面積差那么兩個陰影部分的面積差? A B 22 2 1 4443.44, 4 2 1 2 424.86, 4 4.86 3.44 1.42. 圖形面積計算技巧 11 求圖中陰影部分的面積求圖中陰影部分的面積?(單位單位:cm) 4 4 圓的面積圓的面積-三角形面積三角形面積 1 4 2 1 4442 4 2 12.56 8 4.56().cm 圖形面積計算技巧 12 小圓半徑為小圓半徑為10,大圓半徑為

16、大圓半徑為20,那么那么 陰影部分的面積是多少陰影部分的面積是多少? 大圓面積大圓面積-正方形面積正方形面積 2 1 204040 2 2 1256 800 456().cm 圖形面積計算技巧 (五五) 等分法等分法 例例12 如圖有左右兩個一樣的等腰直角如圖有左右兩個一樣的等腰直角 三角形三角形,其面積都是其面積都是180平方厘米平方厘米,分別分別 沿著圖中的線剪下兩個正方形沿著圖中的線剪下兩個正方形,請你求請你求 這兩個正方形的面積這兩個正方形的面積? 左圖正方形面積是三左圖正方形面積是三 角形面積的一半角形面積的一半 2 1 18090(), 2 cm 圖形面積計算技巧 右圖的正方形面積

17、是三角形面積的右圖的正方形面積是三角形面積的 4 , 9 2 4 1 8 08 0 (). 9 c m 圖形面積計算技巧 (六六) 代數(shù)法代數(shù)法 例例12 直角梯形直角梯形ABCD的中位線的中位線EF長長 15厘米厘米,G是是EF上一點上一點,ABG的面積是的面積是 梯形面積的梯形面積的 ,求求EG的長的長? 1 5 AD E F G B C 條件不夠條件不夠,用字母表示用字母表示 11 15 25 ABEGAB 6E G 圖形面積計算技巧 例例13如圖如圖,FB和和EC都與都與AD垂直垂直 FB=8cm,EC=6cm,AQ=5cm,PD=7cm ,求六邊形求六邊形ABCDEF的面積的面積?

18、A B C D E F PQ解解: 82 (6 8)2 62APPQQ D 473APPQQD 4() 3()AP PQPQ QD 2 453741().cm 圖形面積計算技巧 例例14 如圖長方形被分割如圖長方形被分割6個正方形個正方形,已已 知中央正方形的面積為知中央正方形的面積為1平方厘米平方厘米,求求 原長方形的面積原長方形的面積? 1 中央正方形的邊長為中央正方形的邊長為1cm, 設(shè)左上角正方形的邊長為設(shè)左上角正方形的邊長為 ,xcm x 1x 1x 2x2x (1) (2) (2)(1)xxxxx 6x (6 7) (6 5) 2 143().cm 圖形面積計算技巧 練習練習13

19、六張大小不同的小正方形紙片六張大小不同的小正方形紙片, 拼成如圖拼成如圖,已知最小的正方形面積為已知最小的正方形面積為1 平方厘米平方厘米,問圖中紅色正方形的面積問圖中紅色正方形的面積? 紅 最小正方形的邊長為最小正方形的邊長為1, 設(shè)左上角正方形的邊長設(shè)左上角正方形的邊長 為為, x x 1x 1x 2x 紅色正方形的邊長為紅色正方形的邊長為: ( 1 ) (2)( 1 )xxx x 4 4 4 16. 圖形面積計算技巧 14 已知陰影部分的面積是已知陰影部分的面積是25平方厘米平方厘米 ,求圖中環(huán)形的面積求圖中環(huán)形的面積? 22 )r圓環(huán)面積= (R 22 11 25 22 Rr 22 5

20、0Rr 50 2 157().cm 圖形面積計算技巧 15 AB與與CD是兩條垂直的直徑是兩條垂直的直徑,圓圓O的的 半徑是半徑是15厘米厘米,弧弧AEB是以是以C為圓心為圓心 ,AC為半徑為半徑,求陰影部分的面積求陰影部分的面積? AB C E D ABCc AB SSSS 陰影半圓扇形 30 15 2 ABC S 2 225()cm 2 1 225 2 AC 2 450AC 2 11 15225450 24 圖形面積計算技巧 (七七) 設(shè)數(shù)法設(shè)數(shù)法 例例15 已知長方形的面積是已知長方形的面積是35平方厘米平方厘米, ABE的面積是的面積是5平方厘米平方厘米,ADF的面的面 積是積是7平方

21、厘米平方厘米,求求AEF的的 面積面積? A B EC F D 7 5 35=75,5, 設(shè)長方形長為設(shè)長方形長為7 厘米厘米,寬為寬為5厘米厘米. :7 2 72(),DFcm 圖形面積計算技巧 :5 252(),BFcm 2 (7 2) (5 2) 2 7.5(), EFC Scm 2 35 7 5 7.5 15.5(). AEF Scm 圖形面積計算技巧 例例16 甲甲、乙兩個正方形的面積都是、乙兩個正方形的面積都是2020 平方厘米平方厘米, ,陰影部分的哪一塊大陰影部分的哪一塊大? ?大多大多 少少? ? 甲 乙想想:甲圓的面積是正方甲圓的面積是正方 形面積的幾分之幾形面積的幾分之幾

22、? 4 乙圓的面積是正方形面積的幾分之幾乙圓的面積是正方形面積的幾分之幾? 2 甲陰影甲陰影:S S 圓正方形 2 20 204.3(), 4 cm 乙陰影乙陰影:SS 圓正方形 2 202011.4(). 2 cm 11.4-4.3=7.1(平方厘米) 圖形面積計算技巧 練習練習 16.已知兩個正方形的面積差已知兩個正方形的面積差400 平方厘米平方厘米,則圓則圓A與圓與圓B的的 面積差是多少面積差是多少? A B AB SS 圓圓 44 AB SS 正方形正方形 2 400 314(). 4 cm 圖形面積計算技巧 (八八) 圖形的變換圖形的變換 1.平移法平移法: 就是在不改變圖形面積大

23、小就是在不改變圖形面積大小 下下,通過平移把幾部分陰影拼成較規(guī)通過平移把幾部分陰影拼成較規(guī) 則圖形的方法則圖形的方法, 例例17. 大小兩個半圓大小兩個半圓,它們直徑在同一它們直徑在同一 直線上直線上,弦弦AB與小半圓相切與小半圓相切,且與直徑且與直徑 平行平行.弦弦AB長長12厘米厘米,求圖中的陰影的求圖中的陰影的 面積面積? AB 圖形面積計算技巧 O AB通過平移變成右圖通過平移變成右圖, 陰影部分的面積就是圓陰影部分的面積就是圓 環(huán)面積的一半環(huán)面積的一半. 22 1 () 2 Rr 222 6Rr 2 1 6 2 2 56.52().cm 圖形面積計算技巧 例例18 如圖一條白色手帕如

24、圖一條白色手帕,它的邊長是它的邊長是 18厘米厘米,手帕上橫豎有兩道紅條手帕上橫豎有兩道紅條,紅條寬紅條寬 都是都是2厘米厘米.問這條手帕白色部分的面問這條手帕白色部分的面 積是多少積是多少? 把紅條向右把紅條向右、向下平移、向下平移( (如如 圖圖),), (18 22) (18 22) 2 196().cm 圖形面積計算技巧 2.反射法反射法: 一些軸對稱圖形一些軸對稱圖形,在進行面積在進行面積 計算時計算時,有時可以利用對稱的觀點有時可以利用對稱的觀點,沿沿 圖形的對稱軸翻轉(zhuǎn)圖形的對稱軸翻轉(zhuǎn),把兩處不規(guī)則圖把兩處不規(guī)則圖 形拼成一處規(guī)則圖形形拼成一處規(guī)則圖形,使解法簡便使解法簡便. 圖形

25、面積計算技巧 例例19 如圖如圖A部分與部分與B部分的面積相差部分的面積相差 ( )平方厘米平方厘米. A A B B O 3 2 利用對稱觀點解題利用對稱觀點解題: B部分比部分比A部分面積大部分面積大 2 (3 2) (2 2) 24().cm 圖形面積計算技巧 練習練習17 求圖中陰影部分的面積求圖中陰影部分的面積? (單位單位:cm) 5 2 0 20 5 2 (5 2) 5 2 2 502525().cm 圖形面積計算技巧 3.旋轉(zhuǎn)法旋轉(zhuǎn)法:旋轉(zhuǎn)法是將圖形繞一個點順旋轉(zhuǎn)法是將圖形繞一個點順 (逆逆)時針方向轉(zhuǎn)過某一個角度時針方向轉(zhuǎn)過某一個角度,圖形在圖形在 轉(zhuǎn)動時位置始終保持不變的那

26、一點轉(zhuǎn)動時位置始終保持不變的那一點, 叫做旋轉(zhuǎn)中心叫做旋轉(zhuǎn)中心,圖形旋轉(zhuǎn)的角度圖形旋轉(zhuǎn)的角度,叫做叫做 旋轉(zhuǎn)角旋轉(zhuǎn)角. 顯然圖形在旋轉(zhuǎn)時顯然圖形在旋轉(zhuǎn)時,它的大小和形它的大小和形 狀都沒有改變狀都沒有改變. 圖形面積計算技巧 例例20 在直角三角形在直角三角形ABC中中,四邊形四邊形 AEFD是正方形是正方形,BF=77cm,FC=52cm, 求圖中兩個三角形面積的和求圖中兩個三角形面積的和? B F C D A E 55 77 直角三角形直角三角形DFC以以F旋轉(zhuǎn)中心旋轉(zhuǎn)中心, 逆時針旋轉(zhuǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)90度度,拼成一個拼成一個 大直角三角形大直角三角形. 2 52 77 2 2002().cm

27、 圖形面積計算技巧 例例21 ABCD是平行四邊形是平行四邊形,并且四邊相并且四邊相 等等, EFG,PNM是圓內(nèi)是圓內(nèi) 正三角形正三角形,并且面積都是并且面積都是100平方厘米平方厘米, 求平行四邊形求平行四邊形ABCD的面積的面積? 0 60,ABC A B C D E FG P M N EFG面積是面積是ABC 1 , 4 面積的 2 100 4 2800().cm 圖形面積計算技巧 練習練習18 如圖是一個邊長如圖是一個邊長10厘米的正厘米的正 方形方形,在正方形內(nèi)作一個最大的圓在正方形內(nèi)作一個最大的圓,再在再在 圓中作一個最大的正方形圓中作一個最大的正方形,求小正方形求小正方形 的面積的面積? 解法一解法一: 2 2 10 1050(), 4 cm 解法二解法二:旋轉(zhuǎn)法旋轉(zhuǎn)法 小正方形面積是大正方形面積的小正方形面積是大正方形面積的 1 , 2 2 1 101050(). 2 cm 圖形面積計算技巧 19 求圖中陰影部分的面積求圖中陰影部分的面積?(單位單位:cm) 半圓面積半圓面積-三角形面積三角形面積 20 2 11 101010 2