一類具免疫控制的SIR傳染病模型的穩(wěn)定

1、一類具免疫控制的 SIR 傳染病模型的穩(wěn)定性信息與計算科學(xué)專業(yè) 學(xué)生：肖憲偉 指導(dǎo)教師：宮兆剛摘 要：利用微分方程理論研究了具有免疫控制的數(shù)學(xué)模型， 考慮總?cè)丝跀?shù)是常數(shù)輸入 的影響，討論了模型無病平衡點和地方病平衡點的存在性，利用特征值方法和 Jacobi 矩陣 得到了無病平衡點和地方病平衡點的局部穩(wěn)定性。 構(gòu)造 Dulac 函數(shù)的方法， 得到了無病平衡 點和地方病平衡點的全局穩(wěn)定性充分條件，利用 Matlab 軟件進行了數(shù)值模擬。關(guān)鍵詞： 免疫控制 ; Jacobi； Dulac；平衡點；全局穩(wěn)定性1 引言面對傳染病長期嚴(yán)峻的威脅和日益出現(xiàn)的新的疫情， 其嚴(yán)重的危害著人類健康與社會經(jīng) 濟的發(fā)

2、展。又由于人們不能在人群中進行傳染病的試驗，因此，對各類傳染病的流行趨勢、 發(fā)病規(guī)律的預(yù)測以及防治策略的重要性日益突出。 根據(jù)疾病的發(fā)生、 發(fā)展以及與之有關(guān)的闡 述流行過程的特征， 利用動力學(xué)的方法來研究傳染病模型是十分重要的， 目前對傳染病的研 究方法主要有描述性方面的研究、 理論性方面的研究、 分析性方面的研究和實驗性方面的研 究。傳染病動力學(xué) 1 是對傳染病進行理論性定量分析的一種非常重要的方法， 通過對動力學(xué) 性態(tài)的定性分析和模擬實驗 2 ，來顯示疾病的發(fā)展過程，揭示起流行規(guī)律，分析疾病流行的 原因和關(guān)鍵因素，預(yù)測其變化發(fā)展趨勢，為預(yù)防和控制的最優(yōu)策略提供了有力的理論依據(jù)。在早期的傳染

3、病動力學(xué)中大多數(shù)傳染病模型都是假設(shè)種群的總是常數(shù)狀態(tài)而保持人口數(shù) 不變， 而沒有考慮到其它方面的因素， 但這種假設(shè)僅存在于一些環(huán)境狀態(tài)封閉， 人口的生育 率和自然死亡率相平衡， 且不考慮其它各方面等因素的理想狀態(tài)下成立。 隨著傳染病模型的 不斷發(fā)展和研究的不斷深入， 對各方面因素做了大量的研究， 極大地豐富了傳染病動力學(xué)理 論。程曉云，胡志興等在 2007 年考慮了具有階段結(jié)構(gòu)因素研究了一類具有階段結(jié)構(gòu)的自治 傳染病模型的穩(wěn)定性 3；徐為堅研究了一類具有種群 Logistic 增長飽和傳染率的 SIS 模型的 穩(wěn)定性和 Hopf ；杜艷可，徐瑞，段立江在經(jīng)典的傳染病模型上考慮了標(biāo)準(zhǔn)發(fā)生率4-5

4、的因素，研究了一類具有標(biāo)準(zhǔn)發(fā)生率的傳染病模型的全局穩(wěn)定性； 李健全， 馬知恩研究了一類帶有一 般接觸率和常數(shù)輸入的流行病模型的全局分析；付景超等在 2008 年研究了一類具有垂直傳 染和連續(xù)預(yù)防接種的 SIRS 傳染病模型 6-8 ，得出了垂直傳染和連續(xù)預(yù)防接種的穩(wěn)定性分析； 徐文雄，張仲華等研究了一類具有預(yù)防接種免疫力的雙線性傳染率 SIR 流行病模型全局穩(wěn) 定性；高淑京，滕志懂在 2008 年研究了一類具有飽和傳染力和常數(shù)輸入的 SIRS 脈沖接種 模型研究 9-11 。2 具有免疫控制的 SIR 模型2.1 模型的建立本文將基于經(jīng)典的具有常數(shù)輸入率的 SIR 模型，建立一類具有免疫控制的

5、 SIR 傳染病1)模型，將人群分為易感染者( Susceptible)、感染者( Infective )、移出者( Removed )三類， 則所研究的數(shù)學(xué)模型如下：dS SIB u1 SuSdt1IdISIu I rI2dt1IdRrI u R uS3dt其中 S(t)， I(t)， I (t)分別表示 t 時刻易感染者、感染者、移出者的數(shù)量，u1，u2，u3分別表示各階段的死亡率， u 表示接種率， 表示傳染率， r 表示移出率，系統(tǒng)中的所有參數(shù) 均為正值。系統(tǒng)( 1)的前兩個方程不依賴于第三個方程，因此本文中僅考慮由系統(tǒng)(1)的前兩個方程構(gòu)成的系統(tǒng)為：dS SI B u1 SuSdt

6、1 I(2) dI SIu2 I rIdt 1 I對系統(tǒng) (2)作變換 dt (1 I )d ，仍記 d 為 dt，則 (2)化為：dSB(1 I) u1S(1 I) SI uS(1 I) P(S,I )dt(3)dISI u2I(1 I) rI (1 I) Q(S,I)?dt考慮到系統(tǒng)( 1)，( 2)，( 3)的實際上的生物意義，其 S，I 只能為非負(fù)數(shù)，因此本文只在區(qū) 域 W = ( S, I ) | S 0， I 0 中討論問題。2.2 平衡點的存在性對系統(tǒng)( 3)我們令 ：P(S, I) 0 B，當(dāng) I 0 時，得出無病平衡點 E1, 0 ；Q(S, I ) 0u1 u(u1 u)(

7、u2 r )令 I 0 時，當(dāng)( nc B mc )nc B mc ) 4nc ( mc B)u2 r，m u1 u ，時，得出地方病平衡點 E (S ,I ) ，其中：S c(1 I )，2B2n cn uu1 。2.3 平衡點的穩(wěn)定性分析a其中： a11(u1 u) ，a210，B a12B (u1u )u1 uBa22=u2 r ，u1 u(u r )(uu)B定理 2當(dāng) 0 2時，無病平衡點 E1,0是局部漸近穩(wěn)定的。Bu1 uB證明：系統(tǒng)( 3)在 E1,0處的 Jacobi 矩陣為：u1u2則系統(tǒng)( 3)所對應(yīng)的特征方程為：p q 0 ，B 其中： p (a11 a22 ) (u1

8、 u) (u2 r)u1 u2 B (u1 u) (u2 r )(u1 u) 1 2 1 u1 u B Bq a1 1a 2 2 a a1 2 2 (1u1 u )(u r2B)u1 u1B (u2 r )(u1 u) 2 1 u1 u(u2 r)( u1 u)當(dāng) 0時，有 p 0， q 0 ，所以其特征根為負(fù)實根，從而無病BB平衡點 E1, 0 是局部漸近穩(wěn)定的。1u1 u定理3 令m min u2r,u1 u，當(dāng)0 m， (u1u)(u2r )時，地方病平衡BB點 E2(S ,I ) 是局部漸近穩(wěn)定的。證明：系統(tǒng)( 3)在地方病平衡點 E2(S ,I )處的 Jacobi 矩陣為：aJ1

9、aa2其中：a11(u1 u)(1b b 4n c( mc B)b b 4n c( mc B)2nt2n ca12bB(u1u ) t(124n c( mc B)，2nca21b b 4n c( mc B)，b b 4n c(mc B )t(1 ) (u2 r) (2 u2 2 r ) 2ncb b 4n c( mc B)2n c其中：b nc B mc ，則系統(tǒng)( 3)所對應(yīng)的特征方程為：其中：p (u1u)(1 I ) I c(1 I ) (u2 r ) (2u2 2 r)I(u1u)(1 I ) (u222rI ) ( u2 r)I， q ( u1u)(1 I ) I ( u2 r) 2

10、 (u2 r )I (ur )(1I)( u1u )t(1I ) B I22 I (u1 u)(u2 r )(1 I ) 2 (u2 r)I (ur ) B I令 m minu(u1 u)(u2 r ) ，當(dāng) 0 m ，B時，有 p 0， q 0 ，所以其特征根為負(fù)實根，從而地方病平衡點E (S , I )是局部漸近穩(wěn)定的。2.4 平衡點的全局漸近穩(wěn)定性分析(u2 r)(u1 u)定理 4 當(dāng) 0 時，無病平衡點 E1,0 在區(qū)域u1 uW= ( S, I) | S 0， I 0 內(nèi)是全局漸近穩(wěn)定的。(u r)(u u)證明：當(dāng)0 時，系統(tǒng)( 3)在區(qū)域 W=(S,I)| S 0，I 0W 內(nèi)

11、不內(nèi)僅存在唯一的一個無病平衡點 E1 ，并且可以得出平衡點在其邊界上，所以在區(qū)域 存在有閉軌線，而且系統(tǒng)( 3)從區(qū)域 W 內(nèi)出發(fā)的軌線都不會超出 W ，又考慮到區(qū)域 W 的 有界性，則對任給區(qū)域 W 內(nèi)的一個初始值，系統(tǒng)( 3)的滿足初始值的解( S,I)最終都將趨向于平衡點 E1，又因為平衡點 E1的局部漸近穩(wěn)定性，可得出 E1 是全局漸近穩(wěn)定的。這表明，在所給群體中無論初始值的染病者會有多少，傳染病都將不會流行且會逐漸消失。(u u)(u r) 定理 5 當(dāng) 0 m 且成立時，地方病平衡點 E2 (S ,I )在區(qū)域 W= (S,I)| S 0，I 0 內(nèi)是全局漸近穩(wěn)定的。證明： 要證明

12、點 E2(S ,I )在區(qū)域 W內(nèi)是全局漸近穩(wěn)定的， 只需要證明在區(qū)域 W內(nèi)不存在系統(tǒng)( 3)的閉軌線即可11 ，構(gòu)造 Dulac 函數(shù) V(S,I )1，有 I(VP)(VQ)SI(u1 u)(1 I) I1 (ur) (u1 u) ( 1 I ) I 1 (u(VP) (VQ)所以 保持常號，且其不在區(qū)域 W 內(nèi)任何子區(qū)域內(nèi)恒為零，則系統(tǒng)(3)在區(qū)域SIW內(nèi)不存在閉軌線，所以地方病平衡點 E2(S,I )在區(qū)域 W內(nèi)是全局漸近穩(wěn)定的。這表明，S ， I ，從而一旦有患病者，疾病就會流行而最終的易感者和患病者都將分別穩(wěn)定為數(shù)量 形成地方病。3 數(shù)值模擬下面用 Matlab 數(shù)學(xué)軟件進行數(shù)值模

13、擬，通過模擬能夠清晰了解模型軌線的走向，并驗 證定理 4 和定理 5 的正確性，進而更好的了解無病點和地方病的發(fā)展趨勢。取參數(shù)0.1，B 1，0.1，u 0.2， u1 0.3 ，u2 0.4 ，r 0.5 ，則系統(tǒng) （ 3）為：dtdt(u r)(uu)滿足條件 0，運用 Matlab 軟件由定理 4 可dI 2B0.1SI 0.9I 0.09 I ?dt知，無病平衡點 E1 在區(qū)域W 內(nèi)是全局漸近穩(wěn)定的（見圖1）。dS0.5S 0.1I 0.15SI 1圖1 無病平衡點 E1的數(shù)值模擬Fig.1 The disease-free equilibrium E1 found by numeri

14、cal simulation取參數(shù)0.9，B 1，0.1，u 0.2 ，u1 0.3 ，u2 0.4 ，r 0.5 ，則系統(tǒng)( 3)為：dS0.5S 0.1I dt0.95SI 1滿足條件當(dāng)20.9SI 0.9I 0.09I ? dt0 m且 (u1 u)(u2r)，運用 Matlab軟件B由定理 5 可知，地方病平衡點E2 （S ,I ）在區(qū)域 W 內(nèi)是全局漸近穩(wěn)定的（見圖2）。圖 2 地方病平衡點 E2(S , I )的數(shù)值模擬Fig.2 The endemic equilibrium E2(S , I ) found by numerical simulation4 結(jié)語傳染病動力學(xué)模型

15、為人類的傳染病的預(yù)防控制提供了有力的理論依據(jù)和指導(dǎo)，本文在 參考了一些相關(guān)的文獻和書籍資料，研究了一類具有免疫控制的 SIR 傳染病模型，運用了 特征值方法， Jacobi 矩陣， Dulac 函數(shù)， Matlab 軟件等方法得到了無病平衡點和地方病平衡 點所具備穩(wěn)定性的條件，根據(jù)這些條件能夠為傳染病的預(yù)防和控制提供了有效的理論依據(jù)?！緟⒖嘉墨I】1 馬知恩 ,周義倉 ,王穩(wěn)地等 .傳染病動力學(xué)的數(shù)學(xué)建模與研究 M. 北京 :科學(xué)出版社， 2004.2 李健 ,張娟 ,馬知恩 .一類帶有一般接觸率和常數(shù)輸入的流行病模型的全局分析J.應(yīng)用數(shù)學(xué)和力學(xué) ,2004,25(4):359 -367.3 程

16、曉云 ,胡志興 .一類具有階段結(jié)構(gòu)的自治傳染病模型的穩(wěn)定性J. 石家莊學(xué)院學(xué)報 ,2007,9(3):23-27.4 徐為堅 .具有種群 Logistic 增長飽和傳染率的 SIS 模型的穩(wěn)定性和 Hopf 分支 J. 數(shù)學(xué)物理學(xué) 報,2008,28:578-584.5 Moghadas SM.Two core group models for sexual transmission of diseaseJ. 數(shù) 學(xué) 的 實 踐 與 認(rèn) 識,2009,39(10):140-144.6 周天明 ,江宏遠 ,魯立剛 .傳染病學(xué)的數(shù)學(xué)模型及其應(yīng)用 J.黑龍江醫(yī)學(xué)科學(xué) ,2002,25(3):20-2

17、2.7 李健全 ,馬知恩 .一類帶有一般接觸率和常數(shù)輸入的流行病模型的全局分析J. 應(yīng)用數(shù)學(xué)和力學(xué),2004,18(4):359-367.8 付景超等.具有垂直 傳染和連續(xù) 預(yù)防接種的 SIRS 傳染病模型的研究J.生物數(shù)學(xué)學(xué) 報,2008,23(2):273-278.9 馬知恩 ,周義倉等 .傳染病動力學(xué)的數(shù)學(xué)建模與研究 M. 北京:科學(xué)出版社 ,2004.10 薛穎,熊佐亮.具有免疫控制且總?cè)丝谝?guī)模變化的SIR 傳染病模型的穩(wěn)定性 J.應(yīng)用泛函分析學(xué)報,2007,9(2):71-76.11 高淑京 ,滕志懂 .一類具有飽和傳染力和常數(shù)輸入的SIRS 脈沖接種模型研究 J.生物數(shù)學(xué)學(xué)報,20

18、08,23(2):208-217.Stability of a SIR Epidemic Model with Immune ControlInformation and Computational MajorName： XiaoXianwei Tutor:GongZhaogangAbstract: The dissertation study on mathematical model with immune control by using the theory of differential equations, consider the total population is the effect of a constant input, model existence the disease-free equilibrium and the endemic equilibrium is discussed, by using the eigenvalue method and the Jacobi matrix to get the local stability of the disease-free equilibrium and the endemic