全國初中數(shù)學(xué)競賽試題及參考答案

1、 全國初中數(shù)學(xué)競賽試題及參考答案 一、選擇題（共5小題，每小題6分，滿分30分，以下每道小題均給出了代號為A、B、C、D的四個(gè)選項(xiàng)，期中有且只有一個(gè)選項(xiàng)是正確的，請將正確選項(xiàng)的代號填入題后的括號里，不填、多填或錯(cuò)填都得0分）1、已知實(shí)數(shù)，滿足，則的值為（）。A、7B、C、D、5答A解：因?yàn)?，0，由已知條件得，所以2、把一枚六個(gè)面編號分別為1，2，3，4，5，6的質(zhì)地均勻的正方體骰子先后投擲2次，若兩個(gè)正面朝上的編號分別為m，n，則二次函數(shù)的圖象與x軸有兩個(gè)不同交點(diǎn)的概率是（）。A、B、C、D、答C解：基本事件總數(shù)有6636，即可以得到36個(gè)二次函數(shù)，由題意知0，即通過枚舉知，滿足條件的，有1

2、7對，故3、有兩個(gè)同心圓，大圓周上有4個(gè)不同的點(diǎn)，小圓周上有2個(gè)不同的點(diǎn)，則這6個(gè)點(diǎn)可以確定的不同直線最少有（）。A、6條B、8條C、10條D、12條答B(yǎng)ABCDEOF（第3題答案圖）解：如圖，大圓周上有4個(gè)不同的點(diǎn)A、B、C、D，兩兩連線可以確定6條不同的直線；小圓周上的兩個(gè)點(diǎn)E、F中，至少有一個(gè)不是四邊形ABCD的對角線AC與BD的交點(diǎn)，則它與A，B，C，D的連線中，至少有兩條不同于A，B，C，D的兩兩連線，從而這6個(gè)點(diǎn)可以確定的直線不少于8條。當(dāng)這6個(gè)點(diǎn)如圖所示放置時(shí)，恰好可以確定8條直線，所以，滿足條件的6個(gè)點(diǎn)可以確定的直線最少有8條。4、已知AB是半徑為1的圓O的一條弦，且AB1，以

3、AB為一邊在圓O內(nèi)作正ABC，點(diǎn)D為圓O上不同于點(diǎn)A的一點(diǎn)，且DBAB，DC的延長線交圓O于點(diǎn)E，則AE的長為（）。ABCODE（第4題答案圖）A、B、1C、D、答B(yǎng)解：如圖，連接OE，OA，OB，設(shè)D，則ECA120EAC又因?yàn)锳BO所以ACEABO，于是AEOA15、將1，2，3，4，5這五個(gè)數(shù)字排成一排，最后一個(gè)數(shù)是奇數(shù)，且使得其中任意連續(xù)三個(gè)數(shù)之和都能被這三個(gè)數(shù)中的第一個(gè)數(shù)整除，那么滿足要求的排法有（）。A、2種B、3種C、4種D、5種答D解：設(shè)是1，2，3，4，5的一個(gè)滿足要求的排列，首先，對于，不能有連續(xù)的兩個(gè)都是偶數(shù)，否則，這兩個(gè)之后都是偶數(shù)，與已知條件矛盾。又如果（1i3）是偶

4、數(shù)，是奇數(shù)，則是奇數(shù)，這說明一個(gè)偶數(shù)后面一定要接兩個(gè)或兩個(gè)以上的奇數(shù)，除非接的這個(gè)奇數(shù)是最后一個(gè)數(shù)。所以只能是：偶，奇，奇，偶，奇，有如下5種情形滿足條件：2，1，3，4，5；2，3，5，4，1；2，5，1，4，3；4，3，1，2，5；4，5，3，2，1。二、填空題（共5小題，每小題6分，滿分30分）6、對于實(shí)數(shù)u，v，定義一種運(yùn)算“”為：uvuvv，若關(guān)于x的方程有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則滿足條件的實(shí)數(shù)的取值范圍是。答0，或1解：由，得，依題意有解得，0，或17、小王沿街勻速行走，發(fā)現(xiàn)每隔6分鐘從背后駛過一輛18路公交車，每隔3分鐘從迎面駛來一輛18路公交車，假設(shè)每輛18路公交車行駛速度相同，而

5、且18路公交車總站每隔固定時(shí)間發(fā)一輛車，那么發(fā)車間隔的時(shí)間是分鐘。答4。解：設(shè)18路公交車的速度是x米/分，小王行走的速度是y米/分，同向行駛的相鄰兩車的間距為s米。每隔6分鐘從背后開過一輛18路公交車，則ABCDMF（第8題）每隔3分鐘從迎面駛來一輛18路公交車，則由，可得，所以即18路公交車總站發(fā)車間隔的時(shí)間是4分鐘。8、如圖，在ABC中，AB7，AC11，點(diǎn)M是BC的中點(diǎn)，AD是BAC的平分線，MFAD，則FC的長為。ABCDMF（第8題答案圖）N答9。解：如圖，設(shè)點(diǎn)N是AC的中點(diǎn)，連接MN，則MNAB又MFAD，所以FMNBADDACMFN，所以FNMNAB，因此FCFNNCAB9。9

6、、ABC中，AB7，BC8，CA9，過ABC的內(nèi)切圓圓心l作DEBC，分別與AB、AC相交于點(diǎn)D，E，則DE的長為。答解：如圖，設(shè)ABC的三邊長為，ABCDEIrha（第9題答案圖）內(nèi)切圓l的半徑為r，BC邊上的高為，則，所以，因?yàn)锳DEABC，所以它們對應(yīng)線段成比例，因此所以DE故DE。10、關(guān)于x，y的方程的所有正整數(shù)解為。答解：因?yàn)?08是4的倍數(shù)，偶數(shù)的平方數(shù)除以4所得的余數(shù)為0，奇數(shù)的平方數(shù)除以4所得的余數(shù)為1，所以x，y都是偶數(shù)。設(shè)：則，同上可知，都是偶數(shù)，設(shè)，則，所以，都是偶數(shù)，設(shè)，則，于是，其中都是偶數(shù)。所以所以13可能為1，3，5，7，9，進(jìn)而為337,329,313,289

7、,257，故只能是289，從而137，于是因此三、解答題（共4題，每題15分，滿分60分）11、已知一次函數(shù)，二次函數(shù)，是否存在二次函數(shù)，其圖象經(jīng)過點(diǎn)（5,2），且對于任意實(shí)數(shù)x的同一個(gè)值，這三個(gè)函數(shù)所對應(yīng)的函數(shù)值，都有成立？若存在，求出函數(shù)的解析式；若不存在，請說明理由。解：存在滿足條件的二次函數(shù)。因?yàn)椋?，?dāng)自變量x取任意實(shí)數(shù)時(shí)，均成立。由已知，二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)（5,2），得25當(dāng)時(shí)，有，由于對于自變量取任實(shí)數(shù)時(shí)，均成立，所以有22，故由，得，所以5分當(dāng)時(shí)，有，即所以，二次函數(shù)對于一切實(shí)數(shù)x，函數(shù)值大于或等于零，故即所以當(dāng)時(shí)，有，即，所以，二次函數(shù)對于一切實(shí)數(shù)x，函數(shù)值大于或等于零，

8、故即所以綜上，所以，存在二次函數(shù)，在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)，對于x的同一個(gè)值，都有成立。15分12、是否存在質(zhì)數(shù)，使得關(guān)于x的一元二次方程有有理數(shù)根？解：設(shè)方程有有理數(shù)根，則判別式為平方數(shù)。令，其中是一個(gè)非負(fù)整數(shù)，則，5分由于1且與同奇偶，故同為偶數(shù)。因此，有如下幾種可能情形：消去n，解得，10分對于第1,3種情形，從而；對于第2,5種情形，從而（不合題意，舍去）；對于第4種情形，是合數(shù)（不合題意，舍去）。又當(dāng)時(shí)，方程為2，它的根為，它們都是有理數(shù)。綜上有述，存在滿足題設(shè)的質(zhì)數(shù)。15分13、是否存在一個(gè)三邊長恰是三個(gè)連續(xù)正整數(shù)，且其中一個(gè)內(nèi)角等于另一個(gè)內(nèi)角2倍的ABC？證明你的結(jié)論。解：存在滿足條件的三角

9、形。當(dāng)ABC的三邊長分別為時(shí)，A2B，5分如圖，當(dāng)A2B時(shí)，延長BA至點(diǎn)D，使ADACb，連接CD，則ACD為等腰三角形。ABCD（第13題答案圖）因?yàn)锽AC為ACD的一個(gè)外角，所以BAC2D，由已知，BAC2B，所以BD，所以CBD為等腰三角形。又D為ACD與CBD的一個(gè)公共角，有ACDCBD，于是，即，所以10分而所以此三角形滿足題設(shè)條件，故存在滿足條件的三角形。15分說明：滿足條件的三角形是唯一的。若A2B，可得，有如下三種情形；(i)當(dāng)時(shí)，設(shè)（為大于1的正整數(shù)），代入，得，解得，有；(ii)當(dāng)時(shí)，設(shè)（為大于1的正整數(shù)），代入，得，解得，有，此時(shí)不能構(gòu)成三角形；(iii)當(dāng)時(shí)，設(shè)（為大于

10、1的正整數(shù)），代入，得，即，此方程無整數(shù)解。所以，三邊長恰為三個(gè)連續(xù)的正整數(shù)，且其中一個(gè)內(nèi)角等于另一個(gè)內(nèi)角的2倍的三角形存在，而且只有三邊長分別為4，5，6構(gòu)成的三角形滿足條件。14、已知有6個(gè)互不相同的正整數(shù)，且，從這6個(gè)數(shù)中任意取出3個(gè)數(shù)，分別設(shè)為，其中，記。證明：一定存在3個(gè)不同的數(shù)組，其中，使得對應(yīng)著的3個(gè)兩兩之差的絕對值都小于0.5。證明：在6個(gè)正整數(shù)中任意取出3個(gè)數(shù)共有20種取法，從而確定了20個(gè)數(shù)組，由于05分把數(shù)軸上的點(diǎn)0到點(diǎn)分成如下9個(gè)部分；0，10分由于20922，由抽屜原則知，在上述9個(gè)部分中，一定有一個(gè)至少含有3個(gè)，從而，這3個(gè)兩兩之差的絕對值都小于0.5。15分 “數(shù)

11、學(xué)周報(bào)杯”2009年全國初中數(shù)學(xué)競賽試題參考答案一、選擇題（共5小題，每小題7分，共35分. 以下每道小題均給出了代號為A，B，C，D的四個(gè)選項(xiàng)，其中有且只有一個(gè)選項(xiàng)是正確的. 請將正確選項(xiàng)的代號填入題后的括號里，不填、多填或錯(cuò)填都得0分）1已知非零實(shí)數(shù)a，b 滿足 ，則等于（ ）/wennuan/（A）1 （B）0 （C）1 （D）2 2如圖，菱形ABCD的邊長為a，點(diǎn)O是對角線AC上的一點(diǎn)，且OAa，OBOCOD1，則a等于（ ）（第2題）（A） （B） （C）1 （D）23將一枚六個(gè)面編號分別為1，2，3，4，5，6的質(zhì)地均勻的正方體骰子先后投擲兩次，記第一次擲出的點(diǎn)數(shù)為，第二次擲出的點(diǎn)

12、數(shù)為，則使關(guān)于x，y的方程組 只有正數(shù)解的概率為（ ） （A） （B） （C） （D） 4如圖1所示，在直角梯形ABCD中，ABDC，. 動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，沿梯形的邊由BCDA運(yùn)動(dòng). 設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的路程為x，ABP的面積為y. 把y看作x的函數(shù)，函數(shù)的圖象如圖2所示，則ABC的面積為（ ）（A）10 （B）16 （C）18 （D）32（第4題）圖2圖1 5關(guān)于x，y的方程的整數(shù)解（x，y）的組數(shù)為（ ）（A）2組 （B）3組 （C）4組 （D）無窮多組 二、填空題（共5小題，每小題7分，共35分）6一個(gè)自行車輪胎，若把它安裝在前輪，則自行車行駛5000 km后報(bào)廢；若把它安裝在后輪，則自行車行駛

13、 3000 km后報(bào)廢，行駛一定路程后可以交換前、后輪胎如果交換前、后輪胎，要使一輛自行車的一對新輪胎同時(shí)報(bào)廢，那么這輛車將能行駛 km （第7題）7已知線段AB的中點(diǎn)為C，以點(diǎn)A為圓心，AB的長為半徑作圓，在線段AB的延長線上取點(diǎn)D，使得BDAC；再以點(diǎn)D為圓心，DA的長為半徑作圓，與A分別相交于F，G兩點(diǎn)，連接FG交AB于點(diǎn)H，則的值為 8已知是滿足條件的五個(gè)不同的整數(shù)，若是關(guān)于x的方程的整數(shù)根，則的值為 9如圖，在ABC中，CD是高，CE為的平分線若AC15，BC20，CD12，則CE的長等于 （第9題）（第10題）1010個(gè)人圍成一個(gè)圓圈做游戲游戲的規(guī)則是：每個(gè)人心里都想好一個(gè)數(shù)，并把

14、自己想好的數(shù)如實(shí)地告訴他兩旁的兩個(gè)人，然后每個(gè)人將他兩旁的兩個(gè)人告訴他的數(shù)的平均數(shù)報(bào)出來若報(bào)出來的數(shù)如圖所示，則報(bào)3的人心里想的數(shù)是 三、解答題（共4題，每題20分，共80分）11函數(shù)的圖象與軸的兩個(gè)交點(diǎn)是否都在直線的右側(cè)？若是，請說明理由；若不一定是，請求出兩個(gè)交點(diǎn)都在直線的右側(cè)時(shí)k的取值范圍12在平面直角坐標(biāo)系中，我們把橫坐標(biāo)為整數(shù)、縱坐標(biāo)為完全平方數(shù)的點(diǎn)稱為“好點(diǎn)”，求二次函數(shù)的圖象上所有“好點(diǎn)”的坐標(biāo) 13如圖，給定銳角三角形ABC，AD，BE是它的兩條高，過點(diǎn)作ABC的外接圓的切線，過點(diǎn)D，E分別作的垂線，垂足分別為F，G試比較線段DF和EG的大小，并證明你的結(jié)論（第13題）14n個(gè)

15、正整數(shù)滿足如下條件：；且中任意n1個(gè)不同的數(shù)的算術(shù)平均數(shù)都是正整數(shù)求n的最大值答案1.【答】C解：由題設(shè)知a3，所以，題設(shè)的等式為，于是，從而12.【答】A 解：因?yàn)锽OC ABC，所以，即 ，所以， 由，解得 3.【答】D解：當(dāng)時(shí)，方程組無解當(dāng)時(shí)，方程組的解為由已知，得即或由，的實(shí)際意義為1，2，3，4，5，6，可得共有 5210種情況；或共3種情況又?jǐn)S兩次骰子出現(xiàn)的基本事件共6636種情況，故所求的概率為4.【答】B解：根據(jù)圖像可得BC4，CD5，DA5，進(jìn)而求得AB8，故SABC8416.5.【答】C解：可將原方程視為關(guān)于的二次方程，將其變形為 由于該方程有整數(shù)根，則判別式，且是完全平方

16、數(shù)由 ，解得 于是01491611610988534顯然，只有時(shí)，是完全平方數(shù)，符合要求當(dāng)時(shí)，原方程為，此時(shí)；當(dāng)y4時(shí)，原方程為，此時(shí)所以，原方程的整數(shù)解為 6.【答】3750解：設(shè)每個(gè)新輪胎報(bào)廢時(shí)的總磨損量為k,則安裝在前輪的輪胎每行駛1 km磨損量為,安裝在后輪的輪胎每行駛1km的磨損量為.又設(shè)一對新輪胎交換位置前走了x km，交換位置后走了y km.分別以一個(gè)輪胎的總磨損量為等量關(guān)系列方程,有 兩式相加，得 ，則 7.解：如圖，延長AD與D交于點(diǎn)E，連接AF，EF 由題設(shè)知，在FHA和EFA中，所以 RtFHARtEFA， .而，所以.8.【答】 10解：因?yàn)?，且是五個(gè)不同的整數(shù)，所有也

17、是五個(gè)不同的整數(shù)又因?yàn)?，所以由，可?.【答】解：如圖，由勾股定理知AD9，BD16，所以ABADBD25 故由勾股定理逆定理知ACB為直角三角形，且作EFBC，垂足為F設(shè)EFx，由，得CFx，于是BF20x由于EFAC，所以 ，即 ，解得所以10.【答】 解：設(shè)報(bào)3的人心里想的數(shù)是，則報(bào)5的人心里想的數(shù)應(yīng)是于是報(bào)7的人心里想的數(shù)是 ，報(bào)9的人心里想的數(shù)是 ，報(bào)1的人心里想的數(shù)是 ，報(bào)3的人心里想的數(shù)是所以 ，解得11.解：不一定，例如，當(dāng)k0時(shí)，函數(shù)的圖象與x軸的交點(diǎn)為（0，0）和（1，0），不都在直線的右側(cè) 5分設(shè)函數(shù)與x軸的兩交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，則，當(dāng)且僅當(dāng)滿足如下條件 10分時(shí)，拋物線與軸

18、的兩交點(diǎn)都在直線的右側(cè)由 解之，得 15分所以當(dāng)時(shí)，拋物線與軸的兩交點(diǎn)在直線的右側(cè) 20分12.解：設(shè)，m，k都是非負(fù)整數(shù)，則，即 10分則有 解得 所以 故“好點(diǎn)”共有4個(gè)，它們的坐標(biāo)是： 20分13.解法1：結(jié)論是下面給出證明 5分因?yàn)?，所以RtFCD RtEAB于是可得同理可得 （第13題） 10分又因?yàn)椋杂?，于是可?20分解法2：結(jié)論是下面給出證明 5分（第13題）連接DE，因?yàn)?，所以A，B，D，E四點(diǎn)共圓，故 10分又l是O的過點(diǎn)C的切線，所以 15分所以，于是DEFG，故DFEG 20分14.解：設(shè)中去掉后剩下的n1個(gè)數(shù)的算術(shù)平均數(shù)為正整數(shù)，即 于是，對于任意的1n，都有，從

19、而 5分由于 是正整數(shù)，故 10分由于 ，所以，2008，于是n 45. 結(jié)合，所以，n 9 15分另一方面，令，則這9個(gè)數(shù)滿足題設(shè)要求 綜上所述，n的最大值為9. 20分 “數(shù)學(xué)周報(bào)杯”2010年全國初中數(shù)學(xué)競賽試題參考答案一、選擇題（共5小題，每小題7分，共35分.其中有且只有一個(gè)選項(xiàng)是正確的. 請將正確選項(xiàng)的代號填入題后的括號里，不填、多填或錯(cuò)填都得0分）1若，則的值為（ ）（A） （B） （C） （D）解： 由題設(shè)得2若實(shí)數(shù)a，b滿足，則a的取值范圍是 （ ）（A）a （B）a4 （C）a或 a4 （D）a4解C因?yàn)閎是實(shí)數(shù)，所以關(guān)于b的一元二次方程的判別式 0,解得a或 a43如圖，

20、在四邊形ABCD中，B135，C120，AB=，BC=，CD，則AD邊的長為（ ）（A） （B）（C） （D）（第3題）解：D如圖，過點(diǎn)A，D分別作AE，DF垂直于直線BC，垂足分別為E，F(xiàn)由已知可得（第3題）BE=AE=，CF，DF2，于是 EF4過點(diǎn)A作AGDF，垂足為G在RtADG中，根據(jù)勾股定理得AD4在一列數(shù)中，已知，且當(dāng)k2時(shí)，（取整符號表示不超過實(shí)數(shù)的最大整數(shù)，例如，），則等于（ ）(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4解：B由和可得，因?yàn)?010=4502+2，所以=25如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，等腰梯形ABCD的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為A（1，1），B（2，1），C（2，

21、1），D（1，1）y軸上一點(diǎn)P（0，2）繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)180得點(diǎn)P1，點(diǎn)P1繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)180得點(diǎn)P2，點(diǎn)P2繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)180得點(diǎn)P3，點(diǎn)P3繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)180得點(diǎn)P4，重復(fù)操作依次得到點(diǎn)P1，P2， 則點(diǎn)P2010的坐標(biāo)是（ ） （第5題）（A）（2010，2） （B）（2010，） （C）（2012，） （D）（0，2）解：B由已知可以得到，點(diǎn)，的坐標(biāo)分別為（2，0），（2，）記，其中根據(jù)對稱關(guān)系，依次可以求得：，令，同樣可以求得，點(diǎn)的坐標(biāo)為（），即（），由于2010=4502+2，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為（2010，）二、填空題6已知a1，則2a37a22a12 的值等于 解：0 由已知得 (a1)25，

22、所以a22a4，于是2a37a22a122a34a23a22a123a26a1207一輛客車、一輛貨車和一輛小轎車在一條筆直的公路上朝同一方向勻速行駛在某一時(shí)刻，客車在前，小轎車在后，貨車在客車與小轎車的正中間過了10分鐘，小轎車追上了貨車；又過了5分鐘，小轎車追上了客車；再過t分鐘，貨車追上了客車，則t 解：15設(shè)在某一時(shí)刻，貨車與客車、小轎車的距離均為S千米，小轎車、貨車、客車的速度分別為（千米/分），并設(shè)貨車經(jīng)x分鐘追上客車，由題意得， ， 由，得，所以，x=30 故 （分） （第8題8如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，多邊形OABCDE的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別是O（0，0），A（0，6），B（4，

23、6），C（4，4），D（6，4），E（6，0）若直線l經(jīng)過點(diǎn)M（2，3），且將多邊形OABCDE分割成面積相等的兩部分，則直線l的函數(shù)表達(dá)式是 （第8題）解：如圖，延長BC交x軸于點(diǎn)F；連接OB，AFCE，DF，且相交于點(diǎn)N由已知得點(diǎn)M（2，3）是OB，AF的中點(diǎn)，即點(diǎn)M為矩形ABFO的中心，所以直線把矩形ABFO分成面積相等的兩部分又因?yàn)辄c(diǎn)N（5，2）是矩形CDEF的中心，所以，過點(diǎn)N（5，2）的直線把矩形CDEF分成面積相等的兩部分于是，直線即為所求的直線設(shè)直線的函數(shù)表達(dá)式為，則解得 ,故所求直線的函數(shù)表達(dá)式為（第9題）9如圖，射線AM，BN都垂直于線段AB，點(diǎn)E為AM上一點(diǎn)，過點(diǎn)A作BE

24、的垂線AC分別交BE，BN于點(diǎn)F，C，過點(diǎn)C作AM的垂線CD，垂足為D若CDCF，則 解： 見題圖，設(shè)因?yàn)镽tAFBRtABC，所以 又因?yàn)?FCDCAB，所以 即 ，解得，或（舍去）又RtRt，所以， 即=10對于i=2，3，k，正整數(shù)n除以i所得的余數(shù)為i1若的最小值滿足，則正整數(shù)的最小值為 解： 因?yàn)闉榈谋稊?shù)，所以的最小值滿足，其中表示的最小公倍數(shù)由于，因此滿足的正整數(shù)的最小值為 三、解答題（共4題，每題20分，共80分）11如圖，ABC為等腰三角形，AP是底邊BC上的高，點(diǎn)D是線段PC上的一點(diǎn)，BE和CF分別是ABD和ACD的外接圓直徑，連接EF. 求證： （第12A題）（第12B題）

25、 （第11題）（第11題）（第12B題）證明：如圖，連接ED，F(xiàn)D. 因?yàn)锽E和CF都是直徑，所以EDBC， FDBC，因此D，E，F(xiàn)三點(diǎn)共線. （5分）連接AE，AF，則，所以，ABCAEF. （10分）作AHEF，垂足為H，則AH=PD. 由ABCAEF可得，從而 ， 所以 . （20分）12如圖，拋物線（a0）與雙曲線相交于點(diǎn)A，B. 已知點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，4），點(diǎn)B在第三象限內(nèi)，且AOB的面積為3（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）.（1）求實(shí)數(shù)a，b，k的值；（2）過拋物線上點(diǎn)A作直線ACx軸，交拋物線于另一點(diǎn)C，求所有滿足EOCAOB的點(diǎn)E的坐標(biāo).解：（1）因?yàn)辄c(diǎn)A（1，4）在雙曲線上，所以k=4.

26、故雙曲線的函數(shù)表達(dá)式為.設(shè)點(diǎn)B（t，），AB所在直線的函數(shù)表達(dá)式為，則有（第12題） 解得，.于是，直線AB與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為，故，整理得，解得，或t（舍去）所以點(diǎn)B的坐標(biāo)為（，）因?yàn)辄c(diǎn)A，B都在拋物線（a0）上，所以 解得 （10分）（2）如圖，因?yàn)锳Cx軸，所以C（，4），于是CO4. 又BO=2，所以.（第12題）設(shè)拋物線（a0）與x軸負(fù)半軸相交于點(diǎn)D， 則點(diǎn)D的坐標(biāo)為（，0）.因?yàn)镃ODBOD，所以COB=.（i）將繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到.這時(shí)，點(diǎn)(，2)是CO的中點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為（4，）.延長到點(diǎn)，使得=，這時(shí)點(diǎn)（8，）是符合條件的點(diǎn).（ii）作關(guān)于x軸的對稱圖形，得到點(diǎn)（1，）；延長

27、到點(diǎn)，使得，這時(shí)點(diǎn)E（2，）是符合條件的點(diǎn)所以，點(diǎn)的坐標(biāo)是（8，），或（2，）. （20分） 13求滿足的所有素?cái)?shù)p和正整數(shù)m. 解：由題設(shè)得，所以，由于p是素?cái)?shù)，故，或. （5分） （1）若，令，k是正整數(shù)，于是，故，從而. 所以解得 （10分）（2）若，令，k是正整數(shù). 當(dāng)時(shí)，有，故，從而，或2. 由于是奇數(shù)，所以，從而. 于是這不可能. 當(dāng)時(shí)，；當(dāng)，無正整數(shù)解；當(dāng)時(shí)，無正整數(shù)解. 綜上所述，所求素?cái)?shù)p=5，正整數(shù)m=9. （20分）14從1，2，2010這2010個(gè)正整數(shù)中，最多可以取出多少個(gè)數(shù)，使得所取出的數(shù)中任意三個(gè)數(shù)之和都能被33整除？解：首先，如下61個(gè)數(shù)：11，（即1991）滿

28、足題設(shè)條件. （5分） 另一方面，設(shè)是從1，2，2010中取出的滿足題設(shè)條件的數(shù)，對于這n個(gè)數(shù)中的任意4個(gè)數(shù)，因?yàn)椋?，所以 .因此，所取的數(shù)中任意兩數(shù)之差都是33的倍數(shù). （10分）設(shè)，i=1，2，3，n.由，得，所以，即11. （15分），故60. 所以，n61.綜上所述，n的最大值為61. （20分）2011年全國初中數(shù)學(xué)競賽試題一、選擇題（共5小題，每小題7分，共35分。每道小題均給出了代號為A、B、C、D的四個(gè)選項(xiàng)，其中有且只有一個(gè)選項(xiàng)是正確的。請將正確選項(xiàng)的代號填入題后的括號里，不填、多填或錯(cuò)填都得0分）1、設(shè)，則代數(shù)式的值為（C）A0B1C1D22、對于任意實(shí)數(shù)，定義有序?qū)崝?shù)對與

29、之間的運(yùn)算“”為：。如果對于任意實(shí)數(shù)，都有，那么為（B）。ABCD3、已知是兩個(gè)銳角，且滿足，則實(shí)數(shù)所有可能值的和為（C）ABC1DABCEDF4、如圖，點(diǎn)分別在ABC的邊AB，AC上，BE，CD相交于點(diǎn)F，設(shè)，則與的大小關(guān)系為（C）ABCD不能確定5、設(shè)，則4S的整數(shù)部分等于（A）A4B5C6 D7二、填空題（共5小題，每小題7分，共35分） 6、兩條直角邊長分別是整數(shù)（其中），斜邊長是的直角三角形的個(gè)數(shù)為31。 7、一枚質(zhì)地均勻的正方體骰子的六個(gè)面上的數(shù)字分別是1，2，2，3，3，4；另一枚質(zhì)地均勻的正方體骰子的六個(gè)面上的數(shù)字分別是1，3，4，5，6，8。同時(shí)擲這兩枚骰子，則其朝上的面兩數(shù)

30、字之和為5的概率是。yxCABEFO 8、如圖，雙曲線與矩形OABC的邊CB，BA分別交于點(diǎn)E，F(xiàn)且AFBF，連接EF，則OEF的面積為；9、的三個(gè)不同的內(nèi)接正三角形將分成的區(qū)域的個(gè)數(shù)為。2810、設(shè)四位數(shù)滿足，則這樣的四位數(shù)的個(gè)數(shù)為。5三、解答題（共4題，每題20分，共80分）11、已知關(guān)于的一元二次方程的兩個(gè)整數(shù)根恰好比方程的兩個(gè)根都大1，求的值。 解：設(shè)方程的兩個(gè)根為、，其中、為整數(shù)，且則方程的兩個(gè)整數(shù)根為1、1，由根與系數(shù)關(guān)系得：a，(1)(1)a兩式相加得：2210即(2)(2)3或 解得：或又a()，b，c(1)(1)a0，b1，c2或a8，b15，c6故3或29ABCHPDQ12

31、、如圖，點(diǎn)H為ABC的垂心，以AB為直徑的和BCH的外接圓相交于點(diǎn)D，延長AD交CH于點(diǎn)P，求證：點(diǎn)P為CH的中點(diǎn)。證明：如圖，延長AP交于點(diǎn)Q連結(jié)AH，BD，QC，QHAB為直徑 ADBBDQ900BQ為的直徑于是CQBC，BHHQ點(diǎn)H為ABC的垂心 AHBC，BHACAHCQ，ACHQ，四邊形ACHQ為平行四邊形則點(diǎn)P為CH的中點(diǎn)。13、若從1，2，3，中任取5個(gè)兩兩互素的不同的整數(shù)，其中總有一個(gè)整數(shù)是素?cái)?shù)，求的最大值。 解：若n49，取整數(shù)1，22，32，52，72，這五個(gè)整數(shù)是五個(gè)兩兩互素的不同的整數(shù)，但沒有一個(gè)整數(shù)是素?cái)?shù)，n48，在1，2，3，48中任取5個(gè)兩兩互素的不同的整數(shù)，若，

32、都不是素?cái)?shù)，則，中至少有四個(gè)數(shù)是合數(shù)，不妨假設(shè)，為合數(shù)，設(shè)，的最小的素因數(shù)分別為p1，p2，p3，p4由于，兩兩互素，p1，p2，p3，p4兩兩不同設(shè)p是p1，p2，p3，p4中的最大數(shù)，則p7因?yàn)?，為合?shù)，所以，中一定存在一個(gè)ajp27249，與n49矛盾，于是，中一定有一個(gè)是素?cái)?shù)綜上所述，正整數(shù)n的最大值為48。14、如圖，ABC中，BAC60，AB2AC。點(diǎn)P在ABC內(nèi)，且PA，PB5，PC2，求ABC的面積。解：如圖，作ABQ，使得：QABPAC，ABQACP，ACPBQM則ABQ ACP，由于AB2AC，相似比為2于是，AQ2 AP2，BQ2CP4QAPQABBAPPACBAPBAC

33、60由AQ：AP2：1知，APQ900于是，PQAP3BP225BQ 2PQ 2 從而BQP900作AMBQ于M，由BQA1200，知AQM600，QM，AM3，于是，AB2BM 2AM 2 (4) 232288故SABCABACsin600AB 22012年全國初中數(shù)學(xué)競賽試題一、選擇題（共5小題，每小題7分，共35分）（第1題圖）1如果實(shí)數(shù)a，b，c在數(shù)軸上的位置如圖所示，那么代數(shù)式可以化簡為（ ） （A）2c-a （B）2a-2b （C）-a （D）a2如果正比例函數(shù)y = ax（a 0）與反比例函數(shù)y =（b 0 ）的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，其中一個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)為（3，2），那么另一個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)

34、為（ ）（A）（2，3） （B）（3，2） （C）（2，3） （D）（3，2）3如果為給定的實(shí)數(shù)，且，那么這四個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)與中位數(shù)之差的絕對值是（ ） （A）1 （B） （C） （D）4小倩和小玲每人都有若干面值為整數(shù)元的人民幣小倩對小玲說：“你若給我2元，我的錢數(shù)將是你的n倍”；小玲對小倩說：“你若給我n元，我的錢數(shù)將是你的2倍”，其中n為正整數(shù)，則n的可能值的個(gè)數(shù)是（ ）（A）1 （B）2 （C）3 （D）45一枚質(zhì)地均勻的正方體骰子的六個(gè)面上的數(shù)字分別是1，2，3，4，5，6擲兩次骰子，設(shè)其朝上的面上的兩個(gè)數(shù)字之和除以4的余數(shù)分別是0，1，2，3的概率為，則中最大的是（ ）（A） （B

35、） （C） （D）二、填空題（共5小題，每小題7分，共35分）（第7題圖）6按如圖的程序進(jìn)行操作，規(guī)定：程序運(yùn)行從“輸入一個(gè)值x”到“結(jié)果是否487？”為一次操作. 如果操作進(jìn)行四次才停止，那么x的取值范圍是 .（第6題圖）7如圖，正方形ABCD的邊長為2，E，F(xiàn)分別是AB，BC的中點(diǎn)，AF與DE，DB分別交于點(diǎn)M，N，則DMN的面積是 .8如果關(guān)于x的方程x2+kx+k23k+= 0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別為，那么 的值為 92位八年級同學(xué)和m位九年級同學(xué)一起參加象棋比賽，比賽為單循環(huán)，即所有參賽者彼此恰好比賽一場記分規(guī)則是：每場比賽勝者得3分，負(fù)者得0分；平局各得1分. 比賽結(jié)束后，所有同學(xué)的得分

36、總和為130分，而且平局?jǐn)?shù)不超過比賽局?jǐn)?shù)的一半，則m的值為 .10如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于O，AB是直徑，AD = DC. 分別延長BA，CD，交點(diǎn)為E.（第10題圖） 作BFEC，并與EC的延長線交于點(diǎn)F. 若AE = AO，BC = 6，則CF的長為 .三、解答題（共4題，每題20分，共80分）11已知二次函數(shù)，當(dāng)時(shí)，恒有；關(guān)于x的方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根的倒數(shù)和小于求的取值范圍12如圖，O的直徑為，O 1過點(diǎn)，且與O內(nèi)切于點(diǎn)為O上的點(diǎn)，與O 1交于點(diǎn)，且點(diǎn)在上，且，BE的延長線與O 1交于點(diǎn)，求證：BOC（第12題圖）13已知整數(shù)a，b滿足：ab是素?cái)?shù)，且ab是完全平方數(shù). 當(dāng)a2012時(shí)，求

37、a的最小值.14求所有正整數(shù)n，使得存在正整數(shù)，滿足，且.2012年全國初中數(shù)學(xué)競賽試題參考答案一、選擇題1C解：由實(shí)數(shù)a，b，c在數(shù)軸上的位置可知，且，所以 2D解：由題設(shè)知，所以.解方程組得 所以另一個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)為（3，2）.注：利用正比例函數(shù)與反比例函數(shù)的圖象及其對稱性，可知兩個(gè)交點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對稱，因此另一個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)為（3，2）.3D 解：由題設(shè)知，所以這四個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，中位數(shù)為 ，于是 .4D解：設(shè)小倩所有的錢數(shù)為x元、小玲所有的錢數(shù)為y元，均為非負(fù)整數(shù). 由題設(shè)可得消去x得 (2y7)n = y+4， 2n =.因?yàn)闉檎麛?shù)，所以2y7的值分別為1，3，5，15，所以y的值只能為

38、4，5，6，11從而n的值分別為8，3，2，1；x的值分別為14，7，6，75D解：擲兩次骰子，其朝上的面上的兩個(gè)數(shù)字構(gòu)成的有序數(shù)對共有36個(gè)，其和除以4的余數(shù)分別是0，1，2，3的有序數(shù)對有9個(gè)，8個(gè)，9個(gè)，10個(gè)，所以，因此最大二、填空題67x19解：前四次操作的結(jié)果分別為 3x2，3(3x2)2 = 9x8，3(9x8)2 = 27x26，3(27x26)2 = 81x80.由已知得 27x26487， 81x80487.解得 7x19.容易驗(yàn)證，當(dāng)7x19時(shí)，487 487，故x的取值范圍是7x1978解：連接DF，記正方形的邊長為2. 由題設(shè)易知，所以 ，由此得，所以.在RtABF中

39、，因?yàn)?，所以（?題），于是 .由題設(shè)可知ADEBAF，所以 ， .于是 ， . 又，所以. 因?yàn)椋?8解：根據(jù)題意，關(guān)于x的方程有=k240，由此得 (k3)20 又(k3)20，所以(k3)2=0，從而k=3. 此時(shí)方程為x2+3x+=0，解得x1=x2=. 故=98解：設(shè)平局?jǐn)?shù)為，勝（負(fù)）局?jǐn)?shù)為，由題設(shè)知，由此得0b43. 又 ，所以. 于是 043，87130，由此得 ，或.當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，不合題設(shè).故（第10題）10解：如圖，連接AC，BD，OD. 由AB是O的直徑知BCA =BDA = 90.依題設(shè)BFC = 90，四邊形ABCD是O的內(nèi)接四邊形，所以BCF =BAD,所以 Rt

40、BCFRtBAD ，因此 .因?yàn)镺D是O的半徑，AD = CD，所以O(shè)D垂直平分AC，ODBC， 于是 . 因此.由，知因?yàn)?，所?，BA=AD ，故.三、解答題11解： 因?yàn)楫?dāng)時(shí)，恒有，所以，即，所以 （5分）當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，即，且 ，解得 （10分）設(shè)方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別為，由一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系得因?yàn)?，所以，解得，或因?（20分）12 證明：連接BD，因?yàn)闉榈闹睆?，所以又因?yàn)椋訡BE是等腰三角形 （5分）（第12題）設(shè)與交于點(diǎn)，連接OM，則又因?yàn)?，所?（15分）又因?yàn)榉謩e是等腰，等腰的頂角，所以BOC （20分）13解：設(shè)ab = m（m是素?cái)?shù)），ab = n2（n是正整數(shù)）

41、. 因?yàn)?(a+b)24ab = (ab)2，所以 (2am)24n2 = m2， (2am+2n)(2am2n) = m2. （5分）因?yàn)?am+2n與2am2n都是正整數(shù)，且2am+2n2am2n (m為素?cái)?shù))，所以 2am+2nm 2，2am2n1.解得 a，. 于是 = am. （10分）又a2012，即2012.又因?yàn)閙是素?cái)?shù)，解得m89. 此時(shí)，a=2025.當(dāng)時(shí)，.因此，a的最小值為2025. （20分）14解：由于都是正整數(shù)，且，所以1，2，2012于是 （10分）當(dāng)時(shí)，令，則 .（15分） 當(dāng)時(shí)，其中，令 ，則 綜上，滿足條件的所有正整數(shù)n為 （20分）2013年全國初中數(shù)學(xué)

42、競賽九年級預(yù)賽試題一、選擇題（本大題共6個(gè)小題，每小題5分，共30分）在下列各小題中，均給出四個(gè)答案，其中有且只有一個(gè)正確答案，請將正確答案的字母代號填入題后的括號里，不填、多填或錯(cuò)填均為零分ABCNM（第2題圖）1. 從長度是2cm，2cm，4cm，4cm的四條線段中任意選三條線段，這三條線段能夠組成等腰三角形的概率是（）A BC D12如圖，M是ABC的邊BC的中點(diǎn)，AN平分BAC，ANBN于N，且AB=10，BC=15，MN=3，則ABC的周長為（ ）A38 B39 C40 D. 41 3已知，且有，則的值等于（ ）（第4題圖）A B C D4已知直角三角形的一直角邊長是4，以這個(gè)直角三角形的三邊為直徑作三個(gè)半圓(如圖所示)，已知兩個(gè)月牙形(帶斜線的陰影圖形)的面積之和是10，那么以下四個(gè)整數(shù)中，最接近圖中兩個(gè)弓形（帶點(diǎn)的陰影圖形）面積之和的是（ ）A6 B. 7 C8 D95設(shè)，是ABC的三邊長，二次函數(shù)在時(shí)取最小值，則ABC是（）A等腰三角形 B銳角三角形 C鈍角三角形 D直角三角形 （1） （2）（第5題圖）6計(jì)算機(jī)中的堆棧是一些連續(xù)的存儲(chǔ)單元，在每個(gè)堆棧中數(shù)據(jù)的存入、取出按照“先進(jìn)后出”的原則，如圖，堆棧（1）中的2個(gè)連續(xù)存儲(chǔ)單元已依次存入數(shù)據(jù)，取出數(shù)據(jù)的順序是，；堆棧（2）的3個(gè)連續(xù)存儲(chǔ)單元已依次存入數(shù)據(jù)，取出數(shù)據(jù)的順序是，現(xiàn)在要從這