2020-2021學(xué)年新教材數(shù)學(xué)人教A版選擇性必修第一冊(cè)課后提升訓(xùn)練：3.1.2　橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)

1、好好學(xué)習(xí)，天天向上第三章圓錐曲線的方程3。1橢圓3.1.2橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)課后篇鞏固提升基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)練1.若橢圓x2a2+y25=1(a5)的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為6，則它的焦距為(）a。4b.3c.2d.1解析橢圓x2a2+y25=1（a5)的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為6，則2a=6,即a=3,由于b2=5，則c2=a2-b2=4，即c=2，則它的焦距為2c=4，故選a.答案a2。已知橢圓的方程為2x2+3y2=m(m0)，則橢圓的離心率為（）a。13b.33c.22d。12解析因?yàn)?x2+3y2=m(m0),所以x2m2+y2m3=1。所以c2=m2-m3=m6。故e2=13，解得e=33。答案b3.焦點(diǎn)在x軸上,長(zhǎng)、短半

2、軸之和為10,焦距為45，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）a.x236+y216=1b.x216+y236=1c。x26+y24=1d。y26+x24=1解析由題意得c=25，a+b=10，所以b2=（10-a）2=a2-c2=a220,解得a2=36,b2=16,故橢圓方程為x236+y216=1。答案a4。阿基米德（公元前287年公元前212年)不僅是著名的物理學(xué)家，也是著名的數(shù)學(xué)家,他利用“逼近法”得到橢圓的面積除以圓周率等于橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)與短半軸長(zhǎng)的乘積。若橢圓c的焦點(diǎn)在x軸上，且橢圓c的離心率為74,面積為12，則橢圓c的方程為(）a。x23+y24=1b。x29+y216=1c。x24+y2

3、3=1d。x216+y29=1解析由題意可得ab=12ca=74a2=b2+c2，解得a=4，b=3,因?yàn)闄E圓的焦點(diǎn)在x軸上，所以橢圓方程為x216+y29=1.答案d5。（多選題)已知橢圓x2k+8+y29=1的離心率e=12,則k的值可能是（）a。4b.4c。54d。54解析（1)當(dāng)焦點(diǎn)在x軸上，即當(dāng)k+89,即k1時(shí)，由橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程得a=k+8，b=3,則c=a2-b2=k-1,所以橢圓的離心率e=ca=k-1k+8=12,解得k=4。（2)當(dāng)焦點(diǎn)在y軸上，即當(dāng)0k+89,即-81,故1b0）的兩焦點(diǎn)與短軸的一個(gè)頂點(diǎn)恰組成一個(gè)正三角形的三頂點(diǎn)，且橢圓c上的點(diǎn)到橢圓的焦點(diǎn)的最短距離為3,

4、則橢圓c的方程為.解析因?yàn)闄E圓的兩焦點(diǎn)與短軸的一個(gè)頂點(diǎn)恰組成一個(gè)正三角形的三頂點(diǎn),所以有tan60=bcb=3c.又因?yàn)闄E圓c上的點(diǎn)到橢圓的焦點(diǎn)的最短距離為3,所以有a-c=3,而a2=b2+c2,三個(gè)等式聯(lián)立得b=3ca-c=3a2=b2+c2a=23b=3，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x212+y29=1。答案x212+y29=110。已知橢圓x24+y23=1,在該橢圓上是否存在點(diǎn)m,使得點(diǎn)m到橢圓的右焦點(diǎn)f和到直線x=4的距離相等.若存在,求出點(diǎn)m的坐標(biāo);若不存在，請(qǐng)說明理由。解由已知得c2=43=1，所以c=1,故f（1,0)。假設(shè)在橢圓上存在點(diǎn)m，使得點(diǎn)m到橢圓的右焦點(diǎn)f和到直線x=4的距

5、離相等,設(shè)m(x,y)（-2x2），則(x-1)2+y2=|x4|,兩邊平方得y2=6x+15.又由x24+y23=1，得y2=31-x24,代入y2=-6x+15，得x2-8x+16=0,解得x=4.因?yàn)?2x2,所以符合條件的點(diǎn)m不存在.能力提升練1。（多選題)設(shè)橢圓x2a2+y2b2=1（ab0）的兩焦點(diǎn)為f1，f2,若橢圓上存在點(diǎn)p，使f1pf2=120，則橢圓的離心率e可以是(）a。22b。32c.34d.78解析當(dāng)p是橢圓的上下頂點(diǎn)時(shí)，f1pf2最大，120f1pf2180，60f1po90，sin60sinf1pob0）上，點(diǎn)m（a，b）為平面上一點(diǎn)，o為坐標(biāo)原點(diǎn)，則當(dāng)|om|取

6、最小值時(shí)，橢圓的離心率為（）a。33b。12c.22d.32解析點(diǎn)p（2,1）在橢圓x2a2+y2b2=1(ab0）上，可得4a2+1b2=1,m(a，b)為平面上一點(diǎn),o為坐標(biāo)原點(diǎn),則om=(a2+b2)(4a2+1b2)=5+4b2a2+a2b25+24b2a2a2b2=3，當(dāng)且僅當(dāng)a2=2b2時(shí),等號(hào)成立，此時(shí)由4a2+1b2=1,a2=2b2,解得a2=6，b2=3.所以e=a2-b2a2=12=22.故選c.答案c5。以橢圓上一點(diǎn)和兩個(gè)焦點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形的面積的最大值為2，則橢圓長(zhǎng)軸長(zhǎng)的最小值為.解析由題意知，當(dāng)橢圓上的點(diǎn)為短軸端點(diǎn)時(shí)，三角形面積有最大值，即bc=2。a2=b2+c2

7、2bc=4,a2,當(dāng)且僅當(dāng)b=c=2時(shí)等號(hào)成立。2a4，即橢圓長(zhǎng)軸長(zhǎng)的最小值為4,故答案為4。答案46。如圖，把橢圓x24+y22=4的長(zhǎng)軸ab分成8等份,過每個(gè)分點(diǎn)作x軸的垂線交橢圓的上半部分于p1,p2，p3，p4,p5，p6,p7七個(gè)點(diǎn),f是橢圓的一個(gè)焦點(diǎn),則p1f+|p2f|+p3f|+p4f|+p5f|+|p6f+p7f=。解析根據(jù)題意，把橢圓x24+y22=4的長(zhǎng)軸ab分成8等份,設(shè)另一焦點(diǎn)為f2，過每個(gè)分點(diǎn)作x軸的垂線交橢圓的上半部分于p1，p2,p3，p4，p5，p6,p7七個(gè)點(diǎn)，f是橢圓的一個(gè)焦點(diǎn),則根據(jù)橢圓的對(duì)稱性知,p1f+|p7f|=p7f2|+|p7f=2a,同理,其

8、余兩對(duì)的和也是2a。又p4f|=a，p1f|+p2f|+p3f|+p4f+p5f|+p6f|+|p7f=7a=28.答案287.已知f1(c，0）,f2（c,0)為橢圓x2a2+y2b2=1（ab0)的兩個(gè)焦點(diǎn),p為橢圓上一點(diǎn)，且pf1pf2=c2，求橢圓離心率的取值范圍。解設(shè)p(x0,y0),則pf1=（cx0，y0)，pf2=（c-x0，-y0),所以pf1pf2=（cx0)（c-x0）+(y0）2=x02-c2+y02.因?yàn)閜(x0，y0）在橢圓上，所以x02a2+y02b2=1.所以y02=b21-x02a2,所以pf1pf2=x02c2+b21-x02a2=c2,解得x02=(3c2

9、-a2)a2c2。因?yàn)閤0a，a，所以x020，a2，即0(3c2-a2)a2c2a2，所以2c2a23c2。即13c2a212,所以33ca22,即橢圓離心率的取值范圍是33,22。素養(yǎng)培優(yōu)練橢圓x2a2+y2b2=1（ab0）上有一點(diǎn)p,f1，f2分別為橢圓的左、右焦點(diǎn),橢圓內(nèi)一點(diǎn)q在線段pf2的延長(zhǎng)線上，且qf1qp,sin f1pq=513，則該橢圓離心率的取值范圍是（)a。2626,1b。15,53c.15,22d。2626,22解析qf1qp，點(diǎn)q在以f1f2為直徑，原點(diǎn)為圓心的圓上,點(diǎn)q在橢圓的內(nèi)部,以f1f2為直徑的圓在橢圓內(nèi),cb.c2a2-c2,e212，故0e22.sinf1pq=513,cosf1pq=1213。設(shè)|pf1=m，pf2|=n，則|pf1|+pf2|=m+n=2a,在pf1f2中,由余弦定理得4c2=m2+n2-2mn1213.4c2=（m+n)22mn-2mn1213，即4c2=4a25013mn，mn=2625(a2c2）.由基本不等式得mnm+n22=a2，當(dāng)且僅當(dāng)m=n時(shí)取等號(hào),由題意知qf1qp，mn，mnm+n2