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1、黃金分割點(diǎn)的求法禮師所謂黃金分割，就是把一條線段（ab）分成兩條線段，使其中較長(zhǎng)的線段（ac）是較 短線段（bc）和整個(gè)線段（ab）的比例中項(xiàng)（如圖 1 所示）。圖 1下面介紹它的若干求法，供同學(xué)們學(xué)習(xí)時(shí)參考。 1. 黃金分割點(diǎn)的代數(shù)求法已知：線段 ab求作：線段 ab 的黃金分割點(diǎn) c。分析：設(shè) c 點(diǎn)為所求作的黃金分割點(diǎn)，則ac2= ab cb即ac2= ab ( ab -ac )ac 2 +ab ac -ab 2 =0 解這個(gè)方程，得ac =5 -12ab 0.618 ab所以 c 點(diǎn)可作。注意：方程ac2= ab ( ab -ac )的解法是初三的數(shù)學(xué)內(nèi)容。2. 黃金分割點(diǎn)的幾何求法已

2、知：線段 ab求作：線段 ab 的黃金分割點(diǎn) c。 作法：如圖 2 所示，12（1）過(guò) b 點(diǎn)作 bdab，使1bd = ab2；（2）連結(jié) ad，在 ad 上截取 de=bd； （3）在 ab 上截取 ac=ae。圖 2則點(diǎn) c 就是所求的黃金分割點(diǎn)。證明：而ad =ac = ae = ad -2ab 2 +bd12ab ac =ab ab + 2 21- ab25 1ab - ab=2 25 -1= ab2c 點(diǎn)是線段 ab 的黃金分割點(diǎn)。3. 黃金分割點(diǎn)的近似求法已知：線段 ab求作：線段 ab 的黃金分割點(diǎn)。分析：若不限于尺規(guī)作圖，用量角器可以作以線段 ab 為一腰，頂角a=36的等腰

3、三角形 abc，如圖 3 所示，然后作acb 的平分線 cd 交 ab 于點(diǎn) d。2圖 3則點(diǎn) d 就是線段 ab 的黃金分割點(diǎn)。 證明：在abc 中ab=ac，a=36acb =b = 又cd平分acb180 -362=72 1 =2 =36 ，3 =a +1 =72 bc =cd = addcdb dabcdb bc =bc acbc 2 = acdb，即ad 2 = abdb d點(diǎn)是線段ab的黃金分割點(diǎn)。由于作頂角為 36的等腰三角形的底角平分線后，仍可得到另一個(gè)頂角為 36的等腰 三角形，周而復(fù)始，永無(wú)止境，所以這類(lèi)等腰三角形也被稱(chēng)為“黃金三角形”。類(lèi)似地，如果在寬與長(zhǎng)之比為 0.618：1 的長(zhǎng)方形內(nèi)，作以長(zhǎng)方形的寬為邊長(zhǎng)的正方

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