利用灰色災(zāi)變模型重估金銀之間的相關(guān)性

1、利用灰色災(zāi)變模型重估金銀之間的相關(guān)性一、引言自從 1982 年鄧聚龍教授提出灰色系統(tǒng)理論以來，灰色預(yù)測模型在許多領(lǐng)域得到了廣泛應(yīng)用。它以部分信息已知，部分信息未知;的小樣本、貧信息以及不確定性系統(tǒng)為研究對象，主要通過對部分;已知信息生成、開發(fā)以及提取有價值的信息來實現(xiàn)對系統(tǒng)運行行為的正確的認(rèn)識和有效控制。另外，此方法并不建立在任何假設(shè)基礎(chǔ)上。因此，許多的研究工作者對于動態(tài)微分方程模型 GM（1,1）進(jìn)行了廣泛的研究，為了提高模型預(yù)測的精確度，提出了一些改進(jìn)的灰色模型。國內(nèi)學(xué)者對股票市場進(jìn)行了大量的研究，李國平（2005）在尋找短點的最優(yōu)組合作為灰色微分方程的背景值時，研究發(fā)現(xiàn)傳統(tǒng)的 GM（1,

2、1）模型采用均值作為灰色微分方程的背景值與實際值之間存在很大的誤差，所以為了提高模型預(yù)測的精確度，他提出了一種運用黃金分割方法對傳統(tǒng)的 GM（1,1）模型進(jìn)行了改進(jìn)，經(jīng)過實證分析得出該方法在預(yù)測短期數(shù)據(jù)時是非常有效的。另外，李東（2003）將灰色系統(tǒng)運用于股市，建立了傳統(tǒng)的 GM（1,1）模型，通過上證綜合指數(shù)和深圳綜合指數(shù)的模擬與預(yù)測，得到了比較理想的結(jié)果，也反映了該模型的實際應(yīng)用價值。同時，該模型的應(yīng)用領(lǐng)域不僅僅基于金融市場，俞愛斌、張世雄（2011）利用災(zāi)變式 GM（1,1）和定權(quán)聚類的方法對礦山企業(yè)歷年的經(jīng)濟運行狀況進(jìn)行了定權(quán)聚類，然后根據(jù)聚類效果利用災(zāi)變式 GM（1,1）模型對經(jīng)濟運

3、行情況較差的年份進(jìn)行了預(yù)測，為礦山企業(yè)減少經(jīng)濟損失提供了重要的依據(jù)。近年來，隨著我國期貨市場的不斷完善與跨越式發(fā)展，一些傳統(tǒng)的經(jīng)典模型已逐漸在期貨市場嶄露頭角。在期貨市場中，黃金和白銀同為貴金屬，二者之間在某一時期存在著一定的相關(guān)性，但如果用傳統(tǒng)的價差或比值模型來尋找套利機會實際效果并不佳。原因在于，當(dāng)一種套利方法為許多人所熟知時，由于大多數(shù)交易者的參與，市場會迅速的進(jìn)行修正，這就是為什么目前進(jìn)行價差套利或者比值套利效果不佳的主要原因。根據(jù)個人觀點，套利機會一直都存在。但是所處位置的不同，就會造成結(jié)果的不同，而所處的位置，就是看待市場的觀點，體現(xiàn)在套利交易上，就是所采用方法的不同。因此，要想通

4、過套利進(jìn)行持續(xù)盈利，對于市場結(jié)構(gòu)不同品種間的觀測以及方法的持續(xù)更新是必不可少的，基于以上分析，本文利用灰色災(zāi)變模型，重新估計了金銀之間的相關(guān)性，尋找最佳的套利機會。二、理論介紹（一）灰色模型介紹所謂的灰色系統(tǒng)，是指相對于一般的總體層次來說，系統(tǒng)內(nèi)部的信息部分是未知的，只有部分已知，且系統(tǒng)中數(shù)據(jù)不一定滿足某種特定的分布，即該系統(tǒng)的信息是不完全的?；疑到y(tǒng)理論認(rèn)為，由于外部環(huán)境的不一致性或者不確定性對于系統(tǒng)的影響，使得系統(tǒng)內(nèi)部具有系統(tǒng)整體特征的數(shù)據(jù)呈現(xiàn)為一種散亂的分布，但是這種分布的數(shù)據(jù)序列，在一定程度上對于系統(tǒng)來說具有潛在的某種內(nèi)在規(guī)則。因而，對于任何隨機過程來說，在某種程度上都可以看成是灰色量

5、得。一般在實際建模中，所取數(shù)據(jù)不一樣，建立的模型也不一樣，即使建立同樣的 GM（1,1）模型，選取不同的數(shù)據(jù)，參數(shù) a,B 的值也不一樣。因此，在選取數(shù)據(jù)樣本時，根據(jù)自己原先的特定目的，從原始數(shù)據(jù)中隨機抽取一個樣本，基于該樣本建立一個模型。這種變化正是不同情況、不同條件對系統(tǒng)特征的影響在模型中的反映。定義 1 設(shè)序列X（O）=X（O）（1），X（O）（1），…，X（O）（n）將 X（O）（n）取為時間軸的原點，則稱 tn 為未來。定義 2 設(shè)序列X（O）=X（O）（1），X（O）（1），…，X（O）（n）則 GM（1,1）為時間響應(yīng)式的累減還原值為n 時，稱 X（O

6、）（k）為模型模擬值。（2）當(dāng) tn 時，稱 X（O）（k）為模型預(yù)測值。建模的主要目的是預(yù)測，為提高預(yù)測精確度，首先要保留充分高的模擬精確度，尤其是 t=n 時的模擬精確度，因此，建模數(shù)據(jù)一般應(yīng)該選取為包括（n）在 X（O）內(nèi)的一個等距離序列。定義 3 設(shè)原始數(shù)據(jù)序列X（O）=X（O）（1），X（O）（1），…，X（O）（n）（1）用 X（O）=X（O）（1），X（O）（1），…，X（O）（n）建立的 GM（1,1）模型稱為全數(shù)據(jù) GM（1,1）。（2）用 X（O）=X（O）（k0），X（O）（k0+1），…，X（O）（n）建立的 GM（1,1）模型

7、稱為部分?jǐn)?shù)據(jù) GM（1,1）。（3）設(shè) X（O）（n+1）為最新信息，將 X（O）（n+1）置入 X（O）,稱用 X（O）=X（O）（1），X（O）（1），…，X（O）（n+1）建立的 GM（1,1）模型為新信息 GM（1,1）。（4）置入新信息 X（O）（n+1），去掉最老信息 X（O）（1），稱用 X（O）=X（O）（2），X（O）（3），…，X（O）（n），X（O）（n+1）建立的 GM（1,1）模型為新陳代謝GM（1,1）。新信息模型和新陳代謝模型預(yù)測效果會比老信息模型的預(yù)測效果好，事實上，在任何系統(tǒng)的發(fā)展過程當(dāng)中，隨著時間的變化，將會不斷地有一些隨機擾動或

8、者驅(qū)動因素進(jìn)入系統(tǒng)，使得系統(tǒng)的發(fā)展不斷受到影響。因此，用 GM（1,1）模型進(jìn)行預(yù)測，精確度較高的僅僅只是數(shù)據(jù) X（0）（n）之后的一到兩個數(shù)據(jù)，一般來說，越往未來發(fā)展，GM（1,1）的預(yù)測意義就越弱。在實際運用中，必須不斷考慮那些隨著時間推移相繼進(jìn)入系統(tǒng)的擾動或者驅(qū)動因素，隨時將每一個新得到的數(shù)據(jù)置入 X（0）中，建立新信息模型。從預(yù)測角度來看，新陳代謝模型是最理想的模型。因為它在不斷補充新信息的同時，及時的去掉了老數(shù)據(jù)，更能反映系統(tǒng)的特征。因此灰色預(yù)測具有所需數(shù)據(jù)較少以及預(yù)測及時的特點。（二）灰色災(zāi)變預(yù)測模型的介紹灰色災(zāi)變預(yù)測是給出下一個或者幾個異常數(shù)值出現(xiàn)的異常的時刻，以及預(yù)測值的大小。

9、設(shè)原始序列是X=x（1），x（2），…x（n）給定上限異常值（閥值）ξ，則滿足 x（q（i）ξ 的序列Xξ=x（q（1）， x（q（2），…， x（q（m）為上災(zāi)變序列。且稱 Q（0）=q（1）， q（2），…，q（m）為災(zāi)變?nèi)掌谛蛄?。對?zāi)變?nèi)掌谛蛄?Q（0）日期序列利用 GM（1,1）模型的思路和方法進(jìn)行建模預(yù)測，即累加生成列：Q（1）=q（1）（1）， q（1）（2），…， q（1）（m）以及相應(yīng)的模型解q（1）（k+1）= q（1）-b/a*e-ab +b/aq（k+1）= q（1）（k+1） -q（1）（k）若

10、q（m）（m≤n）為最近一次災(zāi)變發(fā)生的日期，則 q（m+1）為下一次發(fā)生災(zāi)變的預(yù)測日期，q（m+k）為未來第 k 次發(fā)生災(zāi)變的預(yù)測日期。（三）波動周期性分析由歷史數(shù)列：y =y（1），y（2），…，y（m）建立三階自回歸模型y（t+3） = a0+a1y （t+2）+a2y（t+1）+a3y（t）式中：（a0,a1,a2,a3）‘=（BB’）*B*Y其中，該模型的特征方程為λ3- a1λ2- a2λ - a3= 0當(dāng)特征根 λ1為實數(shù)、λ2,3為復(fù)數(shù) a+βi 和 a-&

11、beta;i 時，可得出tgθ0= sinθ0/cosθ0=β/a.數(shù)列y（t）的周期性主要由 cosθ0t,sinθ0t 決定，所以數(shù)列的波動周期為 T=360/θ0.數(shù)列y（t）的近期增長規(guī)律主要由 b1λ1t決定，λ1越大，y（t） 的平均增長率越高?？梢姅?shù)列y（t） 的增長規(guī)律及波動周期僅與模型的特征根有關(guān)。三、實證分析。（一）套利可行性分析。采用黃金（AG）和白銀（AU）2012 年 5 月 10 日到 2013 年 12 月18日的日線數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，發(fā)現(xiàn)二者相關(guān)性良好，結(jié)果

12、如下表一：由上表可以得出黃金和白銀的相關(guān)系數(shù)極大，由此可以得知黃金和白銀之間的套利具有可行性。由于黃金和白銀在上期所的報價并不一致，黃金是以克為單位，而白銀是以千克為單位，因此，為了便于比較，金銀單位一致取為 1000 克。由于此時二者價格相差過大，因此采用比價套利的方式進(jìn)行比較。期貨套利的比價指的是套利的兩個品種的價格比，此時，用調(diào)整后的金價去比銀價。在軟件中生成相應(yīng)數(shù)列。（二）灰色分析采用相應(yīng)的數(shù)據(jù)，灰色預(yù)測的特點在于其所需數(shù)據(jù)較少，過多的數(shù)據(jù)會造成較大的偏差。因而，僅僅只是截取 2013 年 11 月19 日至 2013 年 12 月 3 日的數(shù)據(jù)如下表二：首先，運行相應(yīng)程序下跌數(shù)據(jù)發(fā)生

13、的時點，結(jié)果如下：q = 2 4 6 7 8 10 可以看出，原序列中第二、第七、第八、第九根 K 線下跌。第二，進(jìn)行累加生成列Q1 = 2 6 12 19 27 37 進(jìn)行模擬測試，擬合效果良好第三，運行相應(yīng)程序，得出系數(shù)a= -0.1977 b=3.6991則模型形式為（ dQ（1）/dt） 0.1977*Q（1）=3.6991模型解的相應(yīng)時間函數(shù)Q（1）（k+1）= 20.7143*e-0.1977*k經(jīng)過實際檢驗可以得出模型的小殘差概率 p=10.95,同時c= 0.2571進(jìn)行向后三項預(yù)測Q3 = 2 4 6 7 8 10 12 14 19即災(zāi)變發(fā)生時間為 2013 年 11 月 1

14、9 日起，第 12 個、14 個、19 個時點發(fā)生下跌，即 12 月 5 日、12 月 9 日、12 月 16 日發(fā)生下跌。結(jié)果如下表三：（三）周期性分析利用以上數(shù)據(jù)進(jìn)行周期分析其中，方程系數(shù)為 1.0000 0.3589 -0.0643 -0.8731 λ2,3= -0.6143 + 0.7916i && -0.6143 - 0.7916ia = -0.6143 β= - 0.7916從而解得，時間周期為 4.8753 . 大約 4 到 5 天產(chǎn)生價差下跌現(xiàn)象。四、結(jié)語（一）本文經(jīng)過多次預(yù)測，在實際操作過程中，即在價比發(fā)生減弱的預(yù)測當(dāng)天，進(jìn)行空金多銀的

15、操作，效果良好，然后必須注意到，灰色預(yù)測法精確度最好的就是數(shù)列向后一到兩期，因而，采用新陳代謝，不斷淘汰舊數(shù)據(jù)，收入新數(shù)據(jù)的方法具有實戰(zhàn)性。同時，災(zāi)變的定義可以進(jìn)行更換，本文僅僅只是將價比下跌時點作為災(zāi)變時點，同樣可以將價比上漲時點作為災(zāi)變進(jìn)行預(yù)測，依據(jù)頭寸方向不同進(jìn)行調(diào)整。同時運用周期性分析進(jìn)行交易方向的預(yù)先安排，提高勝算。（二）本文雖然是以期貨市場的黃金和白銀為例來進(jìn)行預(yù)測兩者之間的套利關(guān)系，但是任何其他具有相關(guān)性的期貨品種均可以進(jìn)行套利，因此該方法可適用于其他品種的套利分析。（三）本文在利用灰色災(zāi)變模型預(yù)測金銀套利分析時，由于采用的數(shù)據(jù)樣本小，因此該模型所得到得結(jié)論有待進(jìn)一步的提高，但是就本文所采用的數(shù)據(jù)樣本而言，其結(jié)果比較滿意。參考文獻(xiàn)：1鄧聚龍?；疑到y(tǒng)基本方法M.武漢：華中理工大學(xué)出版社，1987.2鄧聚龍。灰色系統(tǒng)預(yù)測與決策M(jìn).武漢：華中理工大學(xué)出版社，1990.3張培煉