整式的概念知識講解

1、整式的概念【學習目標】1掌握單項式系數(shù)及次數(shù)的概念；2. 理解多項式的次數(shù)及多項式的項、常數(shù)項及次數(shù)的概念；3掌握整式的概念，會判斷一個代數(shù)式是否為整式；4. 能準確而熟練地列式子表示一些數(shù)量關系【要點梳理】要點一、單項式11.單項式的概念：如 -2xy 2 ， mn ，-1，它們都是數(shù)與字母的積，像這樣的式子叫單項式，3單獨的一個數(shù)或一個字母也是單項式要點詮釋：（1）單項式包括三種類型：數(shù)字與字母相乘或字母與字母相乘組成的式子； 單獨的一個數(shù)；單獨的一個字母st 1（2）單項式中不能含有加減運算，但可以含有除法運算如： 可以寫成2 2st。但若分母中含有字母，如5m就不是單項式，因為它無法寫

2、成數(shù)字與字母的乘積2.單項式的系數(shù)：單項式中的數(shù)字因數(shù)叫做這個單項式的系數(shù)要點詮釋：（1）確定單項式的系數(shù)時，最好先將單項式寫成數(shù)與字母的乘積的形式，再確定 其系數(shù)；（2） 圓周率 是常數(shù)單項式中出現(xiàn) 時，應看作系數(shù)；（3） 當一個單項式的系數(shù)是 1 或-1 時，“1”通常省略不寫；（4）單項式的系數(shù)是帶分數(shù)時，通常寫成假分數(shù)，如：11 5x 2 y 寫成 x 2 y 4 43.單項式的次數(shù)：一個單項式中，所有字母的指數(shù)的和叫做這個單項式的次數(shù)要點詮釋：單項式的次數(shù)是計算單項式中所有字母的指數(shù)和得到的，計算時要注意以下兩點： （1）沒有寫指數(shù)的字母，實際上其指數(shù)是 1，計算時不能將其遺漏；（2

3、）不能將數(shù)字的指數(shù)一同計算要點二、多項式1.多項式的概念：幾個單項式的和叫做多項式要點詮釋：“幾個”是指兩個或兩個以上2. 多項式的項：每個單項式叫做多項式的項，不含字母的項叫做常數(shù)項要點詮釋：（1）多項式的每一項包括它前面的符號（2）一個多項式含有幾項，就叫幾項式，如：6 x2-2 x -7是一個三項式3. 多項式的次數(shù)：多項式里次數(shù)最高項的次數(shù)，叫做這個多項式的次數(shù)要點詮釋：（1）多項式的次數(shù)不是所有項的次數(shù)之和，而是多項式中次數(shù)最高的單項式的次 數(shù)（2）一個多項式中的最高次項有時不止一個，在確定最高次項時，都應寫出要點三、 整式單項式與多項式統(tǒng)稱為整式要點詮釋：（1）單項式、多項式、整式

4、這三者之間的關系如圖所示1即單項式、多項式必是整式，但反過來就不一定成立（2）分母中含有字母的式子一定不是整式【典型例題】類型一、整式概念辨析1指出下列各式中哪些是單項式？哪些是多項式？哪些是整式？x2+y2， -x ，a +b3，10，1 16 xy +1 ， ， m 2 n ， 2 xx 72-x -52， ，x 2 +xa7【答案與解析】單項式有：-x，10，17m2n，a7；多項式有：x 2 +y 2a +b， ，36 xy +1，2 x 2 -x -5；a +b 1整式有： x 2 +y 2 ， -x ， ，10， 6 xy +1 ， m 2 n ， 2 x3 72-x -5 ， a

5、 7 【總結升華】不是單項式 舉一反三：2 1 1 不是整式，因為分母中含有字母； a2 + +2 也不是多項式，因為x 2 +x a a【變式】下列代數(shù)式： -1; -2a 1 x +y 1; ab3 ; ; 2 x + ; x 2 y 2 - 2 x 3 y +y 3 3 p 2 x，其中是單項式的是_，是多項式的是_. 【答案】，類型二、單項式2指出下列代數(shù)式中的單項式，并寫出各單項式的系數(shù)和次數(shù)3a 2 b a 5- ， -a ， 24 x4 ， ， 3pa2 y 2 ，a-3， - ， -3 108 tm 4 mn 32，x 2 y【答案與解析】-3 a 24b，-a，2 4 x4，

6、3pa 2 y2，-53，-3 108 tm2，x 2 y是單項式，其中-3 a 2 b43的系數(shù)是 - ，次數(shù)是 3； -a 的系數(shù)是-1，次數(shù)是 1； 24 x4 的系數(shù)是 2 4 ，次 4數(shù)是 4；3pa2 y 2的系數(shù)是3p，次數(shù)是 4；-53為非零常數(shù)，只有數(shù)字因式，系數(shù)是它本身，次數(shù)為 0； -3 108 tm 2的系數(shù)仍按科學記數(shù)法表示為-3108，次數(shù)是 3；x2y只含有字母因數(shù)，系數(shù)是 l，次數(shù)為字母指數(shù)之和為 32【總結升華】（1）要區(qū)分數(shù)字因數(shù)、字母因數(shù)；（2）不能見了指數(shù)就相加，如2 4 x 4中，2 4的指數(shù) 4 不能相加，次數(shù)為 4；（3）有分數(shù)線的，分子、分母的數(shù)

7、字都是系數(shù)；（4） 數(shù)，不能看作字母舉一反三：【變式 1】單項式 3x2y3 的系數(shù)是 【答案】3【變式 2】下列結論正確的是( )a沒有加減運算的代數(shù)式叫做單項式p是常b單項式3xy72的系數(shù)是 3，次數(shù)是 2c 單項式 m 既沒有系數(shù)，也沒有次數(shù)d 單項式 -xy 2 z 的系數(shù)是-1，次數(shù)是 4【答案】d類型三、多項式3.多項式 3x2+xy2+9 中，次數(shù)最高的項的系數(shù)是 【思路點撥】根據(jù)多項式中每個單項式叫做多項式的項，這些單項式中的最高次數(shù)，就是這 個多項式的次數(shù)，找出次數(shù)最高的項的次數(shù)即可【答案】【解析】解：多項式 3x2+xy2+9 中，最高次項是 xy2，其系數(shù)是 故答案為：

8、【總結升華】此題考查的是多項式，多項式中每個單項式叫做多項式的項，這些單項式中的 最高次數(shù)，就是這個多項式的次數(shù)4. 已知多項式-6xy 2 -7 x 3m -1y 2 +4 x33y -x 2 y -5(1) 求多項式各項的系數(shù)和次數(shù)(2) 如果多項式是七次五項式，求 m 的值【答案與解析】(1)依題意知此多項式是五項式，第一項-6xy2的系數(shù)是-6，次數(shù)是 3；第二項-7x3m -1y2的系數(shù)是-7，次數(shù)是 3m+1；第三項4 4x3 y 的系數(shù)是 ，次數(shù)是 4；第四項 3 3-x2 y系數(shù)是-l，次數(shù) 3；第五項-5 系數(shù)是-5，次數(shù)是 0(2)由多項式是七次五項式，可得-7x3m -1

9、y2的次數(shù)是 7，即 3m-1+27，解得 m2【總結升華】對于單項式-7x3m -1y2的次數(shù)為 3m+1 的認識會不太習慣，通過適量的練習，會對用字母表示多項式的次數(shù)或系數(shù)有較深地認識 舉一反三：3【變式】多項式(a-4)x3-xb+x -b是關于x的二次三項式，求 a 與 b 的差的相反數(shù)【答案】解：由題意得a -4 =0 a =4 b =2 b =2-(a-b)=-(4-2)=-2.類型四、整式的應用5. 用整式填空：(1) 某商場將一種商品 a 按標價的 9 折出售(即優(yōu)惠 10%)仍可獲利 10%，若商場商品 a 的標價為 a 元，那么該商品的進價為_元(列出式子即可，不用化簡)(

10、2) 甲商品的進價為 1400 元，若標價為 a 元，按標價的 9 折出售；乙商品的進價是 400 元，若標價為 b 元，按標價的 8 折出售，列式表示兩種商品的利潤率分別為甲：_ 乙： _【答案】(1)90% a 90% a -1400；(2)甲商品的利潤率為 100%， 10% +1 1400乙商品的利潤率為：80%b -400400100%【解析】本例屬于實際生活問題，應分清“進價”、“標價”、“利潤”、“利潤率”、“打折”等 問題，打幾折就是標價的十分之幾【總結升華】 解答本例需弄清以下兩個數(shù)量關系： (1) 利潤售價進價 ; (2) 利潤率售價-進價 進價舉一反三：【變式】對下列代數(shù)

11、式作出解釋，其中不正確的是（ ）a. ab：今年小明 b 歲，小明的爸爸 a 歲，小明比他爸爸?。╝b）歲b. ab：今年小明 b 歲，小明的爸爸 a 歲，則小明出生時，他爸爸為（ab）歲c. ab：長方形的長為 acm，寬為 bcm，長方形的面積為 abcm2d. ab：三角形的一邊長為 acm，這邊上的高為 bcm，此三角形的面積為 abcm2【答案】d.6.（2015重慶）下列圖形都是由同樣大小的小圓圈按一定規(guī)律組成的，其中第個圖 形中一共有 6 個小圓圈，第個圖形中一共有 9 個小圓圈，第個圖形中一共有 12 個小圓 圈，按此規(guī)律排列，則第個圖形中小圓圈的個數(shù)為（ ）a. 21 b. 24 c.27 d. 30