第十三章13.1第1課時

1、第1課時坐標(biāo)系 13.1坐標(biāo)系與參數(shù)方程 基礎(chǔ)知識自主學(xué)習(xí) 課時作業(yè) 題型分類深度剖析 內(nèi)容索引 基礎(chǔ)知識自主學(xué)習(xí) 1.平面直角坐標(biāo)系平面直角坐標(biāo)系 設(shè)點P(x，y)是平面直角坐標(biāo)系中的任意一點，在變換： 的作用下，點P(x，y)對應(yīng)到點P(x，y)，稱為平面直角坐標(biāo)系中 的坐標(biāo)伸縮變換，簡稱伸縮變換. 知識梳理 2.極坐標(biāo)系極坐標(biāo)系 (1)極坐標(biāo)與極坐標(biāo)系的概念 在平面內(nèi)取一個定點O，自點O引一條射線Ox，同時 確定一個長度單位和計算角度的正方向(通常取逆時 針方向)，這樣就建立了一個極坐標(biāo)系.點O稱為極點，射線Ox稱為極軸. 平面內(nèi)任一點M的位置可以由線段OM的長度和從射線Ox到射線OM的

2、 角度來刻畫(如圖所示).這兩個數(shù)組成的有序數(shù)對(，)稱為點M的極坐 標(biāo).稱為點M的 ，稱為點M的 .一般認(rèn)為0.當(dāng)極角的取值范 圍是0,2)時，平面上的點(除去極點)就與極坐標(biāo)(，)(0)建立一一 對應(yīng)的關(guān)系.我們設(shè)定，極點的極坐標(biāo)中，極徑0，極角可取任意角. 極徑極角 (2)極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化 設(shè)M為平面內(nèi)的一點，它的直角坐標(biāo)為(x，y)，極坐標(biāo)為 (，).由圖可知下面關(guān)系式成立： 或 這就是極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化公式. 曲線圖形極坐標(biāo)方程 圓心在極點，半徑為r的圓_ 圓心為(r,0)，半徑為r的圓 圓心為 ，半徑為r的圓_ 3.常見曲線的極坐標(biāo)方程常見曲線的極坐標(biāo)方程 2rsin (

3、0) r(02) 過極點，傾斜角為的直線 (R) 或 (R) 過點(a,0)，與極軸垂直的直線 過點 ，與極軸平行的直線_ sin a(00). 設(shè)圓的圓心為O，ya與x2(y2)24的兩交點A，B與O構(gòu)成等邊 三角形，如圖所示. 由對稱性知OOB30，ODa. 123456 又B在x2y24y0上， 題型分類深度剖析 1.(2019北京改編)在極坐標(biāo)系中，已知曲線C1：cos sin 10， C2：2cos . (1)求曲線C1，C2的直角坐標(biāo)方程，并判斷兩曲線的形狀； 解答 題型一極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化自主演練自主演練 由C2：2cos ，得22cos ， x2y22x，即(x1)2y21

4、. C2是圓心為(1,0)，半徑為1的圓. (2)若曲線C1，C2交于A，B兩點，求兩交點間的距離. 解答 直線C1過圓C2的圓心. 因此兩交點A，B的連線是圓C2的直徑. 兩交點A，B間的距離|AB|2r2. 解答 2.(1)以直角坐標(biāo)系的原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系， 求線段y1x(0 x1)的極坐標(biāo)方程. y1x化成極坐標(biāo)方程為cos sin 1， 解解xcos ，ysin ，由sin2cos ， 得2sin2cos ， 曲線C1的直角坐標(biāo)方程為y2x. 由sin 1，得曲線C2的直角坐標(biāo)方程為y1. 故曲線C1與曲線C2交點的直角坐標(biāo)為(1,1). (2)在極坐標(biāo)系中，曲

5、線C1和C2的方程分別為sin2cos 和sin 1.以 極點為平面直角坐標(biāo)系的原點，極軸為x軸的正半軸，建立平面直角坐 標(biāo)系，求曲線C1和C2交點的直角坐標(biāo). 解答 (1)極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)互化的前提條件：極點與原點重合；極軸與x 軸的正半軸重合；取相同的單位長度. (2)直角坐標(biāo)方程化為極坐標(biāo)方程比較容易，只要運用公式xcos 及y sin 直接代入并化簡即可；而極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程則相對 困難一些，解此類問題常通過變形，構(gòu)造形如cos ，sin ，2的形 式，進(jìn)行整體代換. 思維升華思維升華 典例典例 將圓x2y21上每一點的橫坐標(biāo)保持不變，縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍， 得到曲線C. (1

6、)求曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程； 題型二求曲線的極坐標(biāo)方程師生共研師生共研 解答 (2)設(shè)直線l：2xy20與C的交點為P1，P2，以坐標(biāo)原點為極點，x軸 正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，求過線段P1P2的中點且與直線l垂直的直線 的極坐標(biāo)方程. 解答 化為極坐標(biāo)方程，并整理得2cos 4sin 3， 求曲線的極坐標(biāo)方程的步驟 (1)建立適當(dāng)?shù)臉O坐標(biāo)系，設(shè)P(，)是曲線上任意一點. (2)由曲線上的點所適合的條件，列出曲線上任意一點的極徑和極角 之間的關(guān)系式. (3)將列出的關(guān)系式進(jìn)行整理、化簡，得出曲線的極坐標(biāo)方程. 思維升華思維升華 解答 解解2x2y2，xcos ，ysin ， 圓C的直角坐標(biāo)方程為x2

7、y22x2y0， 22cos 2sin 0， 消去t后得yx1， (2)已知射線OM與圓C的交點為O，P，與直線l的交點為Q，求線段PQ 的長. 解答 解解設(shè)點P的極坐標(biāo)為(，)(0)，點M的極坐標(biāo)為(1，)(10).由題意 知|OP|，|OM|1 由|OM|OP|16，得C2的極坐標(biāo)方程4cos (0). 因此C2的直角坐標(biāo)方程為(x2)2y24(x0). 題型三極坐標(biāo)方程的應(yīng)用師生共研師生共研 典例典例 (2019全國)在直角坐標(biāo)系xOy中，以坐標(biāo)原點為極點，x軸正半軸 為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C1的極坐標(biāo)方程為cos 4. (1)M為曲線C1上的動點，點P在線段OM上，且滿足|OM|OP

8、|16，求點P 的軌跡C2的直角坐標(biāo)方程； 解答 (2)設(shè)點A的極坐標(biāo)為 ，點B在曲線C2上，求OAB面積的最大值. 解答 解解設(shè)點B的極坐標(biāo)為(B，)(B0). 由題設(shè)知|OA|2，B4cos ， 極坐標(biāo)應(yīng)用中的注意事項 (1)極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)互化的前提條件：極點與原點重合；極軸與x 軸正半軸重合；取相同的長度單位. (2)若把直角坐標(biāo)化為極坐標(biāo)求極角時，應(yīng)注意判斷點P所在的象限(即 角的終邊的位置)，以便正確地求出角.利用兩種坐標(biāo)的互化，可以把 不熟悉的問題轉(zhuǎn)化為熟悉的問題. (3)由極坐標(biāo)的意義可知平面上點的極坐標(biāo)不是唯一的，如果限定取正 值，0,2)，平面上的點(除去極點)與極坐標(biāo)(，

9、)(0)建立一一對 應(yīng)關(guān)系. 思維升華思維升華 由圓中的弦長公式，得弦長 解答 課時作業(yè) 1.(2018武漢模擬)在極坐標(biāo)系下，已知圓O：cos sin 和直線l： 基礎(chǔ)保分練 解答 (1)求圓O和直線l的直角坐標(biāo)方程； 123456789101112 1314 解解圓O：cos sin ，即2cos sin ， 圓O的直角坐標(biāo)方程為x2y2xy， 即x2y2xy0， 即sin cos 1， 則直線l的直角坐標(biāo)方程為yx1， 即xy10. 123456789101112 1314 (2)當(dāng)(0，)時，求直線l與圓O公共點的一個極坐標(biāo). 解答 123456789101112 1314 2.在極坐

10、標(biāo)系(，)(02)中，求曲線(cos sin )1與(sin cos )1的交點的極坐標(biāo). 解解曲線(cos sin )1化為直角坐標(biāo)方程為xy1，(sin cos ) 1化為直角坐標(biāo)方程為yx1. 解答 123456789101112 1314 解答 解解以極點為坐標(biāo)原點，極軸為x軸正半軸建立直角坐標(biāo)系， 則曲線2cos 的直角坐標(biāo)方程為(x1)2y21，且圓心為(1,0). 因為圓心(1,0)關(guān)于yx的對稱點為(0,1)， 所以圓(x1)2y21關(guān)于yx的對稱曲線為x2(y1)21. 123456789101112 1314 解答 (1)將曲線的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程； 曲線的直角坐標(biāo)

11、方程為x24y4. 123456789101112 1314 解答 (2)過極點O作直線l交曲線于點P，Q，若|OP|3|OQ|，求直線l的極坐標(biāo) 方程. 解解設(shè)直線l的極坐標(biāo)方程為0(R)， 123456789101112 1314 解答 解解以極坐標(biāo)系的極點為平面直角坐標(biāo)系的原點O，以極軸為x軸的正半 軸，建立直角坐標(biāo)系xOy. 化簡，得22sin 2cos 40. 則圓C的直角坐標(biāo)方程為x2y22x2y40， 123456789101112 1314 解答 123456789101112 1314 解解對曲線C1的極坐標(biāo)方程進(jìn)行轉(zhuǎn)化， 12sin ，212sin ，x2y212y0， 即

12、x2(y6)236. 對曲線C2的極坐標(biāo)方程進(jìn)行轉(zhuǎn)化， 123456789101112 1314 解答 (1)求直線l和C的直角坐標(biāo)方程； 123456789101112 1314 C：4cos 2sin ，24cos 2sin ， x2y24x2y，即x2y24x2y0. 123456789101112 1314 解答 (2)若直線l與圓C交于A，B兩點，求弦AB的長. 解解C：x2y24x2y0，即(x2)2(y1)25. 123456789101112 1314 解答 (1)說明C1是哪一種曲線，并將C1的方程化為極坐標(biāo)方程； 解解消去參數(shù)t得到C1的普通方程為x2(y1)2a2，C1是

13、以(0,1)為圓心， a為半徑的圓. 將xcos ，ysin 代入C1的直角坐標(biāo)方程中，得到C1的極坐標(biāo)方程 為22sin 1a20. 123456789101112 1314 若0，由方程組得16cos28sin cos 1a20， 由已知tan 2，可得16cos28sin cos 0，從而1a20， 解得a1(舍去)，a1. 當(dāng)a1時，極點也為C1，C2的公共點，在C3上. 所以a1. 解答 (2)直線C3的極坐標(biāo)方程為0，其中0滿足tan 02，若曲線C1與C2的公 共點都在C3上，求a. 解解曲線C1，C2的公共點的極坐標(biāo)滿足方程組 123456789101112 1314 解答 (

14、1)求圓C的極坐標(biāo)方程； 技能提升練 123456789101112 1314 解解設(shè)M(，)是圓C上除極點外的任意一點. 極點也適合上式， 123456789101112 1314 解解設(shè)點Q(1，1)，P(，)， 代入圓C的方程，得 解答 123456789101112 1314 10.在直角坐標(biāo)系xOy中，直線C1：x2，圓C2：(x1)2(y2)21， 以坐標(biāo)原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系. (1)求C1，C2的極坐標(biāo)方程； 解答 解解因為xcos ，ysin ， 所以C1的極坐標(biāo)方程為cos 2， C2的極坐標(biāo)方程為22cos 4sin 40. 1234567891011

15、12 1314 (2)若直線C3的極坐標(biāo)方程為 (R)，設(shè)C2與C3的交點為M，N，求 C2MN的面積. 解答 由于C2的半徑為1，所以C2MN為等腰直角三角形， 123456789101112 1314 解答 (1)求曲線C1的一個參數(shù)方程； 123456789101112 1314 解解由24cos 30， 可得x2y24x30. (x2)2y21. 令x2cos ，ysin ， 123456789101112 1314 解答 (2)若曲線C1和曲線C2相交于A，B兩點，求|AB|的值. 123456789101112 1314 解答 123456789101112 1314 曲線C的普通

16、方程為(x2)2(y1)25. 即曲線C的極坐標(biāo)方程為4cos 2sin . 123456789101112 1314 解答 (2)若直線l的極坐標(biāo)方程為(sin cos )1，求直線l被曲線C截得的弦長. 解解l的直角坐標(biāo)方程為xy10， 123456789101112 1314 拓展沖刺練 解答 (1)求a； 123456789101112 1314 由題意可知直線l與圓C相切， 解解曲線C：2acos (a0)，變形為22acos ， 化為x2y22ax，即(xa)2y2a2， 曲線C是以(a,0)為圓心，以a為半徑的圓. 123456789101112 1314 解答 解解由(1)知，曲線C：2cos . 123456789101