平面向量四心問題全

1、平面向量四心問題 （ 全 ）作者： 日期：. 下面就平面近年來，對于三角形的“四心”問題的考察時有發(fā)生，尤其是和平面向量相結(jié)合來考 察很普遍，難度上偏向中等，只要對于這方面的知識準備充分，就能應(yīng)付自如 向量和三角形的“四心”問題的類型題做一闡述：重心問題 外心 內(nèi)心C 重心D 垂心解析：如圖 1，以 AB， AC為鄰邊構(gòu)造平行四邊形 ABCD， E 為對角線的交點，根據(jù)向量平行四邊形法則，因為 ，所以，上式可化為， E 在直線 AP上，因為 AE為的中線， 所以選 C.點評：本題在解題的過程中將平面向量的有關(guān)運算與平行四邊形的對角線互相平分及 三角形重心性質(zhì)等相關(guān)知識巧妙結(jié)合垂心問題三角形“垂

2、心”是三角形三條高的交點，所以“垂心”就在高線上例 2 P 是 ABC所在平面上一點，若，則 P 是ABC的().A外心B 內(nèi)心C重D 垂心解析:由則，所以 P為的垂心 . 故選 D.點評：本題考查平面向量有關(guān)運算，及“數(shù)量積為零，則兩向量所在直線垂直”、三 角形垂心定義等相關(guān)知識 . 將三角形垂心的定義與平面向量有關(guān)運算及“數(shù)量積為零，則兩 向量所在直線垂直” 等相關(guān)知識巧妙結(jié)合 .三、 內(nèi)心問題三角形“內(nèi)心”是三角形三條內(nèi)角平分線的交點， 所以“內(nèi)心”就在內(nèi)角平分線線上例 3 已知 P 是ABC所在平面內(nèi)的一動點，且點 P 滿足則動點P一定過 ABC的A、重心向量 的單位向量設(shè)垂心C、外解

3、析：如圖分別為則原式可化為方向上的單位向量，由菱形的基本性質(zhì)知 AP平分，那么在中， AP平分，則知選 B.點評：這道題給人的印象當然是“新穎、陌生”，首先 是什么？想想一個非零向 量除以它的模不就是單位向量？ 此題所用的都必須是簡單的基本知識，如向量的加減法、 向量的基本定理、菱形的基本性質(zhì)、 角平分線的性質(zhì)等， 若十分熟悉， 又能迅速地將它們遷 移到一起，這道題就迎刃而解了 .四、 外心問題三角形“外心”是三角形三條邊的垂直平分線的交點，所以“外心”就在垂直平分線 線上.例 4 已知 O是 ABC內(nèi)的一點，若，則 O是 ABC的.A重心B. 垂心 C. 外心 D.內(nèi)心解析： ，由向量模的

4、定義知 到 的三頂點距離相等 . 故 是 的外心 ，選 C.點評：本題將平面向量模的定義與三角形外心的定義及性質(zhì)等相關(guān)知識巧妙結(jié)合三角形的“四心”與平面 向量向量本身是一個幾何概念， 具有代數(shù)形式和幾何形式兩種表示方法， 易于數(shù)形結(jié)合， 而 且向量問題在進行數(shù)形結(jié)合時具有新形式、 新特點， 因此可稱為高中數(shù)學(xué)的一個交匯點。 三 角形的“四心” (外心、內(nèi)心、重心、垂心)是與三角形有關(guān)的一些特殊點，各自有一些特 殊的性質(zhì)。在高考中，往往將“向量作為載體”對三角形的“四心”進行考查。這就需要我 們在熟悉向量的代數(shù)運算的基礎(chǔ)上讀懂向量的幾何意義。與三角形的“四心”有關(guān)的一些常見的重要的向量關(guān)系式有：

5、AB ACABACABACABAC 設(shè)0, ，則向量 設(shè)0, ，則向量) 必平分 BAC的鄰補角() 必平分 BAC，該向量必通過ABC的內(nèi)心 ;設(shè) 0, ，則向量 （AB ACAB cosB） 必垂直于邊 BC，該向量必通過 AC cosCABC的垂心 ABC中 AB AC 一定過 BC 的中點，通過 ABC的重心點 O是 ABC的外心22OA OB2OC點 O是 ABC的重心OA OB OC 0點 O是 ABC的垂心OA OB OB OC OC OA點 O是 ABC的內(nèi)心a OA b OB c OC 0 ( 其中 a、b、c 為 ABC三邊)ABC的外心 O、重心 G、垂心 H共線，即 O

6、G OH設(shè) O為 ABC所在平面內(nèi)任意一點，G為 ABC的重心，I 為 ABC的內(nèi)心，則有 OG (OA OB OC)3aOA bOB cOC OIabcXA+XB+XC并且重心 G( XA+X3B+XCYA+YB+YCA B C )aXA+ bXB+ cXC 內(nèi)心 I (aXA+a b+Xb+B+c cXCayA+ by B+ cy Ca+b+c例 1：（2003 年全國高考題） O是平面上一定點， A、B、C 是平面上不共線的三點，動AB AC點 P 滿足 OP OA （） ，0, ，則動點 P 的軌跡一定通過 ABC的（ ）ABACA）外心C）重心B）內(nèi)心D）垂心事實上如圖設(shè)AE AB

7、, AFAB ACACAC 都是單位向量易知四邊形 AETF是菱形故選答案 B例 2 ：（ 2005 年北京市東城區(qū)高三模擬題）O為 ABC 所在平面內(nèi)一點，如果OA OB OB OC OC OA ，則 O 必為 ABC的（ ）（ A）外心（ B）內(nèi)心（C）重心（D）垂心事 實 上 OA OB OB OC （OA OC） OB 0 CA OB 0 OB CA 故選答案 D6例 3 ：已知 O 為三角形 ABC 所在平面內(nèi)一點，且滿足OA2BCOB2CAOC 2 AB2，A）外心（ B）內(nèi)心C）重心則點 O 是三角形 ABC 的（D）垂心事實上由條件可推出 OA OB OB OC OC OA故選

8、答案 D例 4：設(shè) O 是平面上一定點， A、B、C是平面上不共線的三點，動點 P 滿足 OP OA (AB ACAB cosB）， 0, ，則動點 P 的軌跡一定通 AC cosC過 ABC的（ ）（A）外心B）內(nèi)心C）重心（ D）垂心事實上 （ABACAB cosBAC cosC) BC ( BC BC)故選答案 D件 O 1P O2 P 3O0 P，例 5 、 已 知 向 量 OP1,OP2,OP3 滿 足 條|OP1| |OP2| |OP3| 1，求證： P1P2P3是正三角形分析 對于本題中的條件 |OP1 | |OP2 | |OP3 | 1，容易想到，點O是P1P2P3的 外心，而

9、另一個條件 OP1 OP2 OP3 0表明，點 O是P1P2P3的重心故本題可描述為，若存在一個點既是三角形的重心也是外心，則該三角形一 定是正三角形在 1951 年高考中有一道考題，原題是：若一三角形的重心與外 接圓圓心重合，則此三角形為何種三角形？與本題實質(zhì)是相同的顯然，本題中的條件 |OP1| |OP2| |OP3| 1可改為| OP1 | |OP2| |OP3|高考原題例 6、O 是平面上一 定點，A、B、C 是平面上不共線的三個點，動點 P 滿A B ACOP OA ( ABAC) 0, 則). P的軌跡一定通過 ABC 的( )|AB| | AC|A外心B內(nèi)心C重心D垂心分析 已知

10、等式即AP ( AC ) ，設(shè) AE|AB| |AC| |AB|AC|，顯然AE, AF 都是單位向量，以二者為鄰邊構(gòu)造平行四邊形， 則結(jié)果為菱形， 故 AP 為ABC 的平分線，選 B 例 7、 ABC 的 外 接 圓 的 圓 心 為 O ， 兩 條 邊 上 的 高 的 交 點 為 H ， OH m(OA OB OC ) ，則實數(shù) m =分析 ：本題除了利用特殊三角形求解外， 純粹利用向量知識推導(dǎo)則比較復(fù)雜，更加重要的一點是缺乏幾何直觀解法如下，由已知，有向量等式 AH BC 0 ， 將其中的向量分解，向已知等式形式靠攏，有 (OH OA) (OC OB) 0 ，將已知 代 入 ， 有 m(

11、OA OB OC) OA (OC OB) 0 ， 即22m(OC OB ) (m 1)OA BC 0 ，由O是外心，得 (m 1)OA BC 0 ，由于 ABC 是任意三角形，則 OA BC 不恒為，故只有 m 1恒成立或者，過點 O作 OM BC 與 M ，則 M 是 BC 的中點，有 OM 1(OB OC) ；H 是 垂 心 ， 則 AH BC ， 故 AH 與 OM 共 線 ， 設(shè) AH kOM ， 則 kOH OA AH(m 1O)AOA (OB OC) ， 又 OH m(OA OB OC) ， 故 可 得 kkm ( OB ) m (根據(jù)已知式子 OH m(OA OB OC) 中的

12、OA OB OC部分，很容易想到三kOC )，有 m01 m k2 0，得 m 1角形的重心坐標公式， 設(shè)三角形的重心為 G ，O是平面內(nèi)OA OB OC任一點，均有 OG OA OB OC ，由題意，題目顯然敘述的是一個一般的結(jié)論，先作圖使問題直觀化，如圖，由圖上觀察，很容易猜想到 HG 2GO ，至少有兩個產(chǎn)生猜想的誘因，其一是， BF,OT 均與三角形的邊 AC 垂直，是，則 BF /OT ；其二，點 G 是三角形的中線 BT 的三等分圖點此時，會先猜想 BHG TOG，但現(xiàn)在缺少一個關(guān)鍵的條件，即 BH 2 OT，這樣由兩個三角形的兩邊長對應(yīng)成比例，同時，夾角對應(yīng)相等可得 相似當然，在

13、考試時，只需大膽使用，也可利用平面幾何知識進行證明本題結(jié)論是關(guān)于三角形的歐拉定理，即設(shè) O、G、H分別是 ABC的外心、重心和垂心，則 O、G、H三點共線，且 OGGH12，利用向量表示就是 OH 3OG 例8、點O是三角形 ABC所在平面內(nèi)的一點，滿足OA OB OB OC OC OA，則點 O 是 ABC的( )A三個內(nèi)角的角平分線的交點B三條邊的垂直平分線的交點C三條中線的交點D三條高的交點分析移項后不難得出222AP2 BP2 CP2222 2 2 2 1 2(x a)2 (x b)2 x 3x (a b)2 a b (a b)2 31此時，即 OP (OA OB OC) ，31當x

14、(a b)時， AP2 BP2 CP 2最小， 則點 P 為ABC的重心例 10 已 知 O 為 ABC 所在平面內(nèi)點，滿足2 2 2 2 2 2|OA|2 |BC|2 |OB|2 |CA|2 |OC |2 |AB|2，則 O 為 ABC的心分析 將|BC|2 (OC OB)2 OCOC2 OB2 2OC OB ， | CA |2,| AB |2也類似展OB CA OC AB OA CB 0，點 O 是 ABC 的垂心， 選D3 推廣應(yīng)用題例 9 在ABC內(nèi)求一點 P ，使 AP2 BP2 CP2最小分析 如圖，構(gòu)造向量解決取 CA a,CB b 為基向量，設(shè) CP x ，有AP x a, B

15、P x b 開代入，已知等式與例的條件一樣也可移項后，分解因式合并化簡，O為垂心例 11已 知 O 為 ABC 的OAsin BOC OBsin AOC OC sin AOB 0外心，分析 構(gòu)造坐標系證明如圖，以 A 為坐標原 點 ， B 在 x 軸 的 正 半 軸 ， C1 x2y0 ， 直 線 BC2 2 0S AOBy3x(2x)3xy 2 x 3，0y由于點 A與點 O必在直x0BC側(cè) ， 且 x2 y3 0 ， 因 此 有在 x 軸 的 上的方程是y3x3y0x2 y0 0x，2 得y1S BOC 2(x3y0 x2y3 x0 y3 x2 y0)直線 AC 的方程是 y3x x3y

16、0，由于點 （1,0）與點O必在直線 AC的同側(cè)，1y3 1 x3 0 0，因此有 x0y3 x3y0 0，得 SAOC 2(x0y3 x3y0)于 是 ， 容 易 驗 證 ， OA SBOC OB SAOC OC SAOB 0 ，1O C | O B| | O C| s i，nB O CO C 2 12 |OB | OA | sin AOB ，SAOC 則所證成立SBS BOA1 | OA|OC | sin AOC ，又| OA | OB |OC |，總結(jié)：知識綜述（一）三角形各心的概念介紹1、重心三角形的三條中線的交點；2、垂心三角形的三條垂線的交點；3、內(nèi)心三角形的三個內(nèi)角角平分線的交點（三角形內(nèi)切圓的圓心）；4、外心三角形的三條垂直平分線的交點（三角形外接圓的圓心） 根據(jù)概念，可知各心的特征條件比如：重心將中線長度分成2： 1；垂線與對應(yīng)邊的向量積為 0；角平分線上的任意點到角兩邊的距離相等；外