2021高考數(shù)學模擬試題薈萃含答案及解析

1、x1 21 24 1 2021 年高考數(shù)學模擬試題薈萃一、選擇填空題1、已知 a ， b 是函數(shù) y =2 的圖象上的相異兩點，若點 a ， b 到直線 y = 橫坐標之和的取值范圍是（ b ）12的距離相等，則點 a ， b 的a(-,-1)b(-,-2)c(-,-3)d(-,-4)【解析】設(shè) a (x, y )，b(x, y )，不妨設(shè) x x ，函數(shù) y =21 1 2 2 1 2x為單調(diào)增函數(shù)，若點 a ， b 到直線 y =1 1 1的距離相等，則 -y =y - ，即 y +y =1 有 2 2 2 2x1+2x2=1 由基本不等式得：2x1+2x22 2x1 2x2，整理得 2

2、x1 +x21 ，解得 x +x 0 時， y =e x +ae x在 -, ln a 上為減函數(shù)，在 2 12ln a, + 上為增函數(shù)，且y =ex+ae x0 恒成立，若函數(shù) f(x)= ex+ae x(ar)在區(qū)間 0,1上單調(diào)遞增，1 ( )op =2x =4或 ，x 0，3m() 6 則 y =exa 1+ 在區(qū)間 0,1 上單調(diào)遞增，則 ln a0 ，解得 a (0,1 ， e x 2當 a =0 時， f (x)=ex+ae x=e x 在區(qū)間 0,1上單調(diào)遞增，滿足條件當 a 0)2 的周期為 3 ，當 時，函數(shù)g(x)= f(x)+m恰有兩個不同的零點，則實數(shù) 的取值范圍是

3、_(-3，-2_ f x = 3sinwx +coswx +1 =2sin wx + +1【解析】由題得 22 2t = =w 3 ，w =3() 6 3 (5bcdb 2= 4a2 8f x =2sin 3 x + +1 x 0， 7 3 x + ， 6 6 6 ， 0 f (x)3由g (x)=f(x)+m=0得f (x)=-m，即y = f (x)的圖象與直線y =-m恰有兩個交點，結(jié)合圖象可知-2 -m 3 ，即 -3 0, b 0 a 2 b 2)是離心率為 ，左焦點為 f ，過點 f 與 x 軸垂直的直線與雙曲線的兩條漸近線分別交于點m，n，若omn的面積為 20，其中o是坐標原點

4、，則該雙曲線的標準方程為（ a ）ax 2 y 2 x 2 y 2 x 2 y 2 x 2 y 2- =1 - =1 - =1 - =1 2 8 4 8 8 2 8 4c【解析】由 = 5 a可得 c2=5 a2， a2+b2=5 a2，故 a 2雙曲線的漸近線方程為 y =2 x ，由題意得m(-c,2c)，n(-c,-2c)， s omn=12c4c =20，解得 c2=10 ， a2=2 ， b2=8 ，x 2 y 2雙曲線的方程為選 a- =12 87、執(zhí)行如下圖的程序框圖，若輸入 的值為 2，則輸出s的值為（c ）開始輸入a s =1, k =1s =s +ak +1k 4？否是 k

5、 =k +1輸出s結(jié)束a3.2b3.6c3.9d4.9【解析】運行框圖中的程序可得k =1， s =1 +22=2，不滿足條件，繼續(xù)運行； k =2 ， s =2 + =3 3，不滿足條件，繼續(xù)運行；3k =4，則() 1 x15bc abc，直線 與平面k =3，s =8 2 19+ =3 4 6，不滿足條件，繼續(xù)運行；19 2 107 ， s = + =6 5 30，不滿足條件，繼續(xù)運行； k =5 ， s =107 2 117+ = =39，滿足條件，停止運行，輸出 30 6 30s =39選 c8、已知函數(shù)f(x)在定義域(0，+)上是單調(diào)函數(shù)，若對于任意x (0，+)，都有f 1 1

6、 f x - =2 f x 5 的值是（ b）a5 b6 c7 d8【解析】因為函數(shù)f(x)在定義域(0，+)上是單調(diào)函數(shù)，且 f f (x)-=2 ，所以 f (x)-為一個常數(shù)，x令這個常數(shù)為 n ，則有 f (x)-1x=n ，且f(n)=2，將f(n)= 2代入上式可得 f (n)=1n+n =2 ，解得 n =1，所以 f (x)=1+1x，所以f1 =6，故選 b9、已知三棱柱abc-a b c 1 1 1的六個頂點都在球 o 的球面上，球 o 的表面積為 194 ，aa平面 abc ，1ab =5 ， bc =12 ， ac =13 ，則直線 與平面1 1 1所成角的正弦值為（

7、c ）a5 352b7 352c5 226d7 226【解析】由 ab =5 ， bc =12 ， ac =13 ，得 ab 2 + bc 2 = ac 2 ， ab bc 設(shè)球半徑為 r ，aa1=x ，則由 aa平面 abc 知 ac 為外接球的直徑，1 1在a ac中，有 x 2 +132 =(2r)2 1，又 4 r2=194 ， 4 r2=194 ，x =5ab c1 1=30 2， s abb1=252設(shè)點 b 到平面abc1 1的距離為 d，則由vb-ab c1 1=vc -abb1 1，得1 1 25 30 2 d = 123 3 2，d =5 22，又bc =13 bc ab

8、c 1 1 1 1d 5 2所成角正弦值為 = 選 cbc 2614( )122a， ee10、已知橢圓x 2 y 2+ =1 a b 0 a 2 b 2)的短軸長為 2，上頂點為a ，左頂點為 b ，f ，f 分別是橢圓的左、1 2右焦點，且ab1的面積為2 - 32，點p為橢圓上的任意一點，則1 1+pf pf1 2的取值范圍為（ d ）a12，b 2， 3 c 2，4 d14，【解析】由已知得2b =2，故b =1；ab1的面積為2 - 32，1 2 - 3 a -c b =2 2，a -c =2 - 3，又a2 -c2=(a-c)(a+c)=b2=1，a =2，c =3，1 1 pf

9、+ pf+ = = pf pf pf pf pf1 2 1 2 12 a(4-pf1)=- pf124+4 pf1，又2 - 3 pf 2 + 31， 1 -pf +4 pf 41 1，1 1 1+ 4pf pf1 2即1 1+pf pf1 2的取值范圍為 14，選d121、已知定義在r上的偶函數(shù)f(x)在0，+)上單調(diào)遞減，若不等式f (-ax + ln x +1 )+f (ax - ln x -1 )2 f (1)對任意 x 1，3恒成立，則實數(shù) 的取值范圍是（a ）a1 2 +ln 3 ，e 3b1 c1e，+d 2，e 【解析】因為定義在r上的偶函數(shù)f(x)在(0，+)上遞減，所以f(

10、x)在 (-，0)上單調(diào)遞增，若不等式f (-ax + ln x +1 )+f (ax - ln x -1 )2 f (1)對于x 1，3上恒成立，則2 f (ax -ln x -1 )2 f (1)對于x 1，3上恒成立，即f(ax -ln x -1) f(1)對于x 1，3上恒成立，所以 -1ax -ln x -11對于 x 1，3上恒成立，即 0 ax -ln x 2對于 x 1，3上恒成立，5()1 ()()a()()() ()a a()()( )2令g (x)=ax -ln x1 1，則由 g x =a - =0 ，求得 x = ，x a（1）當 1時，即 a 0 a或 a 1時，g

11、(x) 0在 1，3上恒成立， g (x)單調(diào)遞增，因為最小值 g(1)=a 0，最大值 g(3)=3a -ln 3 2，所以 0 a 2 +ln322 +ln3，綜上可得1 a ；3（2）當1a13 ，即 0 a 時， g3(x)0在1，3上恒成立，g(x)單調(diào)遞減，因為最大值 g (1)=a2，最小值 g (3)=3a-ln3 0，所以ln33a 2 ，綜合可得， a 無解，（3）當 1 1 1 1 3 ，即 a 1 時，在 1， 上， g a 3 a (x)0 恒成立， g x 單調(diào)遞增，1 1故函數(shù)最小值為 g =1-ln ， g 1 =a ， g 3 =3a -ln 3 ， g 3

12、-g 1 =2a -ln 3 ，若 2a -ln3 0 ，即 ln 3 a 0，則最大值為g (3)=3a-ln3 ，此時，由 1 -ln1 1 2 +ln3 0 ， g 3 =3a -ln 3 2 ，求得 a a e 3，綜上可得 ln 3 a 1 ；1 1若 2a -ln3 0 ，即 a ln3 =ln 3 ，因為 g3 2(3)-g(1)0 ，則最大值為 g(1)=a ，1 1 1此時，最小值 1 -ln 0 ，最大值為 g 1 =a 2 ，求得 a 2 ，綜合可得 a ln 3 ，a e e綜合（1）（2）（3）可得 1 a 2 +ln321 1 2 +ln3或 ln 3 a 0)的焦

13、點為 f，準線為l，a、b是拋物線上的兩個動點，且滿足 afb =p3設(shè)線段 ab 的中點 m 在 l 上的投影為 n ，則mnab的最大值是_1【解析】設(shè) af =a ， bf =b ，如圖，根據(jù)拋物線的定義，可知 af = aq ，bf = bp ，再梯形 abpq中，有 mn =1 p a +b ， abf 中， ab =a 2 +b 2 -2 ab cos =a2 32+b2-ab =(a+b)2-3ab，又62221mn2)1因為 ab a +b 2，所以 ab (a+b) 4 ab a +b2(a+b)，所以 =1 ，故最大值是 1 ab a +b，2故填：113 、已知雙曲線x2

14、-yb22=1的左右焦點分別為f 、f ，過點 f 的直線交雙曲線右支于 a、b 兩點，若 1 2 2abf1是等腰三角形，a =120則abf 的周長為（ c ）1a2(2 -1b4 33+4c8 33+4d8 33+8【解析】雙曲線的焦點在 x 軸上，則 a =1,2 a =2 ；設(shè) af =m ，由雙曲線的定義可知： af = af +2a =m +2 ， 2 1 2由題意可得： af = ab = af +bf =m +bf ，1 2 2 2據(jù)此可得： bf =2 ，又 bf -bf =2, bf =4 ，2 1 2 1abf 由正弦定理有： 1bf1sin120=af1sin30 ，

15、則 bf = 3 af ，即： 4 = 3 (2+m)，解得：m = 1 14 33-2 ，則abf 的周長為： 4 +2(2+m)=4+24 3 8 3=4 +3 3本題選擇 c 選項14、已知函數(shù)f (x)=e2 x -3， g (x)=1 x+ln4 2，若f (m)=g(n)成立，則n -m的最小值為（a）a12+ln2b ln2c12+2ln2d 2ln27( )ln t +311( ) ()( ) ()t 0 ，則 h t =2e- t 0 ，h t+ 0 ，=2e 4()()() 1 1 1 114【解析】設(shè) f (m)=g(n)=t，f (x)=e2 x -3， g (x)=1

16、 x+ln ，e 4 22 m -31 x= +ln =t t 0 ， 4 2 2m -3 =ln t，et -14n ln t +3= ， m = ， n =2e 2 2t -14， n -m =2et -14- (t0)， 2令 h (t)=2et -14-ln t +3 t - 1 t - 14 42 2t 2t 2 h(t)在(0，+)上為增函數(shù)，且h1 =0 ，當 t 1 1時， ht 0 ，當 0 t 時， h 4 4(t)0, b 0) a2 b 2的左、右焦點，過f1的直線l與雙曲線c的左右兩支分別交于 a， b兩點，若ab : bf : af =3: 4:52 2，則雙曲線的

17、離心率為（a）82 2 2= bf + bf() 1 11 2 4a13b15c 2d3【解析】 ab : bf : af =3: 4:5 ，不妨令 ab =3 ， bf =4 ， af =5 ，2 2 2 2 ab + bf = af2 2， abf =90 ， 2又由雙曲線的定義得： bf -bf =2a ， af - af =2a ，1 2 2 1 af +3 -4 =5 - af ， af =3 1 1 1 bf -bf =3 +3 -4 =2a ， a =1 1 2在 rtbf f 中， f f 1 2 1 22 2 21 2=6 2 +4 2 =52 ，又 f f1 22=4c2，

18、 4 c2=52 ， c = 13 ，雙曲線的離心率 e = 13 故選：a17、已知函數(shù) x -3, x 3 f x =-(x -3)2, x 3函數(shù)g (x)=b-f(3-x)，其中br，若函數(shù) y = f (x)-g(x)恰有 4 個零點，則實數(shù) b 的取值范圍是（b）a11- , +4b -3, -114c-,-114d(-3,0)-x -3, x 0 -x2, x 3x -6, x 3函數(shù) y = f(x)-g(x)= f(x)+f(3-x)-b恰有4 個零點，方程 f (x)+f(3-x)-b=0有4個不同的實數(shù)根，即函數(shù) y =b 與函數(shù) y = f (x)+f(3-x)的圖象恰

19、有4個不同的交點又 y = f(x)+ f(3-x) -x2 -x -3, x 3在坐標系內(nèi)畫出函數(shù)函數(shù) y = f (x)+f(3-x)的圖象，其中點a，b 的坐標分別為 - , - ， 9, - 2 4 11 4i7 11 由圖象可得，當 -3 b -114時，函數(shù) y =b 與函數(shù) y = f (x)+f(3-x)的圖象恰有4 個不同的交點，故實數(shù) b 的取值范圍是 -3, - 選 b 4 18、已知 (1+x)10=a+a (1-x)+a(1-x)2+a0 1 2 10(1-x)10，則a =8_18019、歐拉公式 eix=cos x +isin x（ i為虛數(shù)單位）是由瑞士著名數(shù)學

20、家歐拉發(fā)現(xiàn)的，它將指數(shù)函數(shù)的定義域擴大到復(fù)數(shù)集，建立了三角函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的關(guān)系，它在復(fù)變函數(shù)論里占有非常重要的地位特別是當x =p時， eip +1 =0被認為是數(shù)學上最優(yōu)美的公式，數(shù)學家們評價它是“上帝創(chuàng)造的公式”根據(jù)歐拉公式可知， e 表示的復(fù)數(shù)在復(fù)平面中位于（ c ）a第一象限b第二象限c第三象限d第四象限【解析】由已知有 e4i3=cos 4 +isin 4 ，因為 4 ，所以 4 在第三象限，所以 cos 4 0 ，2sin 4 0)關(guān)于直線x =t對稱，則w的取值范圍是（ d ）1 7 a ,3 3 4 10 b ,3 3 1 7 c ,3 3 d4 10,3 3 p w wp 3

21、【解析】 t 0, ，wt - - , - ， - ， 2 6 6 2 6 2 2 6 24 10 w ，故選 d3 323、已知函數(shù) f (x)=x2+2x-12(x0)與g(x)=x2+log (x+a)2的圖象上存在關(guān)于 y軸對稱的點，則11-,- 2-, 2-,2 21( ) a的取值范圍是（ b ）a( )b( )c( )d -2 2, 22【解析】 f (x)=x2+2x-12(x0 時， -x 0)，2當 f (x)關(guān)于y 軸對稱的函數(shù)為 f(x)=x2+2-x-12(x 0)，由題意得： x2+2-x1- =x22+log (x+a)，在x 0 時有解，如圖： 2當 x =0

22、時，12log a ， a 2 2，則 a 的取值范圍是 -，2 ，故選 b24、已知數(shù)列an的首項a =a1，其前n項和為sn，且滿足s +snn -1=4n 2 (n2，n n+)，若對任意n n+，a an n +1恒成立，則a的取值范圍是（ d ） 16 a -， 3 16 b 5， 3 16 c 3， 3 d(3，5)【解析】 s +snn -1=4 n2， sn +1+s =4 (n+1)2，s nn +1-sn -1=8n +4 ，即 an +1+a =8n +4 ，即 nan +2+an +1=8n +12 ，故 an +2-a =8 ， n由 a =a 知 a +2 a =4

23、 2 2 =16 ， a =16 -2 a =16 -2 a ， 1 2 1 2 1a +2 s =4 3 3 22=36 ，a =36 -2 s =36 -2 (16-a)=4+2a， a =24 -2 a ；3 2 4若對任意 n n ， a a+ n n +1恒成立，只需使 a a a a ，1 2 3 4即 a 16 -2 a 4 +2 a 24 -2 a ，解得 3 a 5 本題選擇 d 選項25、設(shè)正三棱錐 p -abc 的高為 h ，且此棱錐的內(nèi)切球的半徑為 r ，若二面角 p -ab -c的正切值為35，則hr=（ c ）a5b6 c7 d8【解析】取線段 ab 中點 d ，設(shè)

24、 p 在底面 abc 射影為 o ，設(shè) ab =a ，則 od =pdc 為二面角 p -ab -c 的平面角， tan pdc = 35 ， pd =6od = 3a ，3 1 3 a = a ，2 3 6123v3 4()2()1()2() ()()()()()()() 1 33 a 2 hr = =s 1 3 3 a 3a + a2 42h h= ， =7 ，故選 c 7 r26、若函數(shù)y = f (x)，x m對于給定的非零實數(shù)a，總存在非零常數(shù) t，使得定義域 m =0,4內(nèi)的任意實數(shù)，都有af(x)= f(x +t)恒成立，此時 t 為 f(x)的假周期，函數(shù)y = f(x)是 m

25、 上的a級假周期 函 數(shù) ， 若 函 數(shù)y = f (x)是 定 義 在 區(qū) 間0，+)內(nèi) 的 3 級 假 周 期 且 t =2 ， 當 x 0,2)，1 -2 x 0 x 1 f x =2f (2-x)(1x2)，函數(shù) g (x)=-2lnx+ x 2 +x +m2，若$x 6,8， 1$x (0，+ 2)使g (x)-f(x)02 1成立，則實數(shù) m 的取值范圍是（ b ） 13 a -, 2 b(-,12c(-,39d12,+)1 -2 x 0 x 1【解析】根據(jù)題意，對于函數(shù) f x ，當 x 0，2 時， f x =2f (2-x)(1x2)，分析可得：當 0 x 1 時， f (x

26、)=1 1 3 -2 x 2 ，有最大值 f 0 = ，最小值 f 1 =- ，2 2 2當 1 x 2 時， f(x)= f(2-x)，3 1函數(shù) f x 的圖象關(guān)于直線 x =1 對稱，則此時有 - f x ，2 2又由函數(shù) y = f (x)是定義在區(qū)間 0，+)內(nèi)的3級類周期函數(shù)，且 t =2 ；則在 x 6，8)上，f(x)=33f(x-6)，則有-81 27 f x 2 2，27 81則函數(shù) f x 在區(qū)間 6，8 上的最大值為 ，最小值為 - ；2 2對于函數(shù) g (x)=-2lnx+12x 2 +x +m ，有 g (x)=(x-1)(x+2)x，分析可得：在 (0，1)上，g

27、(x)0，函數(shù)g(x)為增函數(shù)， 則函數(shù) g (x)在(0，+)上，得g(x)的最小值g(1)=32+m ，若 $x 6，8，$x(0，+)，使g(x)f(x)0成立， 1 2 2 1必有 g (x)min f (x)max3 27，即 +m ，得到 m 范圍為 -,12 故答案為：b 2 2二、解答題1、某市教育部門為了了解全市高一學生的身高發(fā)育情況，從本市全體高一學生中隨機抽取了 100 人的身 高數(shù)據(jù)進行統(tǒng)計分析經(jīng)數(shù)據(jù)處理后，得到了如下圖 1 所示的頻事分布直方圖，并發(fā)現(xiàn)這 100 名學生中， 身不低于 1.69 米的學生只有 16 名，其身高莖葉圖如下圖 2 所示，用樣本的身高頻率估計

28、該市高一學生的 身高概率（1）求該市高一學生身高高于 1.70 米的概率，并求圖 1 中 、 、 的值x（2）若從該市高一學生中隨機選取 3 名學生，記 為身高在 學期望；(1.50,1.70x的學生人數(shù)，求 的分布列和數(shù)（3）若變量 滿足p (m-s0.6826且p (m-2s09544，則稱變量 滿足近似于正態(tài)分布n (m,s2)的概率分布如果該市高一學生的身高滿足近似于正態(tài)分布n (1.6,0.01)的概率分布，則認為該市高一學生的身高發(fā)育總體是正常的試判斷該市高一學生的身高發(fā)育總體是否正常， 并說明理由【解析】（1）由圖 2 可知，100 名樣本學生中身高高于 1.70 米共有 15 名，以樣本的頻率估計總體的概率， 可得這批學生的身高高于 1.70 的概率為 0.15記 為學生的身高，結(jié)合圖 1 可得：14(2，xf o c ab ff 1.30 x 1.40