與不等式相關(guān)的三角最值問題

1、2 2 2與不等式相關(guān)的三角最值問題不等式是解決最值問題的重要方法，有關(guān)三角最值問題是高考的熱點(diǎn)和難點(diǎn)，解決此類問題的關(guān)鍵是將所求量轉(zhuǎn)化為單一變量的函數(shù)或者雙變量的表達(dá)式(后者必須找到這兩個(gè)變量的關(guān)系式)，從而考慮采用不等式的方法求最值.例題：(2016 江蘇卷)在銳角三角形 abc 中，若 sina2sinbsinc，則 tanatanbtanc 的最 小值是_變式 1(2018 浙江模擬)若abc 的內(nèi)角滿足 sina 2sinb2sinc，求 cosc 的最小值變式 2(2018 鹽城三模)設(shè)abc 的面積為 2，若角 a，b，c 所對應(yīng)的邊分別為 a，b， c，則 a 2b 3c 的最

2、小值為_串講 1 在abc 中，bc 2，ac1，以 ab 為邊作等腰直角三角形 abd(b 為直角 頂點(diǎn)，c，d兩點(diǎn)在直線 ab 的兩側(cè))，當(dāng)c 變化時(shí)，線段 cd 長的最大值為_tanc tana tanb串講 2 在abc 中，角 a，b，c 的對邊分別為 a，b，c，已知點(diǎn)(a，b)在直線 x(sina sinb)ysinbcsinc 上(1)求角 c 的大??；m 1 1(2)若abc 為銳角三角形且滿足 ，求實(shí)數(shù) m 的最小值(2018 鎮(zhèn)江期末)如圖，準(zhǔn)備在墻上釘一個(gè)支架，支架由兩直桿 ac 與 bd 焊接而成， 焊接點(diǎn) d 把桿 ac 分成 ad，cd 兩段，其中兩固定點(diǎn) a，b

3、 間距離為 1 米，ab 與桿 ac 的 夾角為 60，桿 ac 長為 1 米，若制作 ad 段的成本為 a 元/米，制作 cd 段的成本是 2a 元/ 米，制作桿 bd 是 4a 元/米設(shè)adb，則制作整個(gè)支架的總成本記為 s 元(1)求 s 關(guān)于 的函數(shù)表達(dá)式，并求出 的取值范圍； (2)問 ad 段多長時(shí)，s 最?。?326 233326 26 233 4 t 26 2 326 23(2018 揚(yáng)州期末)如圖，射線 oa 和 ob 均為筆直的公路，扇形 opq 區(qū)域(含邊界)是一 蔬菜種植園，其中 p，q 分別在射線 oa 和 ob 上經(jīng)測量得，扇形 opq 的圓心角(即poq)2為 ，

4、半徑為 1 千米為了方便菜農(nóng)經(jīng)營，打算在扇形 opq 區(qū)域外修建一條公路 mn，分 別與射線 oa，ob 交于 m，n 兩點(diǎn)，并要求 mn 與扇形弧 pq 相切于點(diǎn) s，設(shè)pos(單位：弧度)，假設(shè)所有公路的寬度均忽略不計(jì)(1)試將公路 mn 的長度表示為 的函數(shù)，并寫出 的取值范圍； (2)試確定 的值，使得公路 mn 的長度最小，并求出其最小值2 答案：(1)mntan tan 3（tan 1） ，其中 ； 3tan 1(2)當(dāng) 時(shí)，mn 長度的最小值為 2 3千米解析：(1)因?yàn)?mn 與扇形弧 pq 相切于點(diǎn) s，所以 osmn.在 osm 中，因?yàn)?os 1，mos，所以 smtan

5、 ，在 osn 中，nos2 32 ，所以 sntan ，2 所以 mntan tan 3（tan 1） 3tan 1，4 分 其中 .6 分 3(2)因?yàn)?，所以 3tan 10，令 t 3tan 10，則 tan (t1)，所以 mn3 t 2 ，8 分由基本不等式得 mn3 3 4 t 2 2 3，10 分 t4當(dāng)且僅當(dāng) t 即 t2 時(shí)取“”.12 分t 當(dāng)時(shí) tan 3，由于 ，故 .13 分答：(1)mntan tan2 3 3（tan 1） ，其中 . 3tan 1(2)當(dāng) 時(shí)，mn 長度的最小值為 2 3千米.14 分1tanbtanc2 2 22 2222 22 22 2 2

6、2 2 2 22例題 1答案：8.解析：由 sinasin(a)sin(bc)sinbcosccosbsinc，sina2sinbsinc，可 得 sinbcosccosbsinc2sinbsinc.由三角形 abc 為銳角三角形，則 cosb0，cosc0，可 得 tanbtanc2tanbtanc.又 tanatan(a)tan(bc)tanbtanc，則 tanatanbtanctanatanbtanctana2tanbtanc，由 a，b，c 為銳角可得 tana0，tanb0，tanc0，所以 tanatanbtanctana2tanbtanc 2 2tanatanbtanc，即 t

7、anatanbtanc8，當(dāng)且僅當(dāng) tana2tanbtanc，即 tanb2 2，tanc2 2， tana4(或 tanb，tanc 互換)時(shí)取到等號，因此 tanatanbtanc 最小值為 8.變式聯(lián)想變式 1答案：6 24.解析：設(shè)abc 的內(nèi)角 a，b，c 的對邊分別為 a，b，c，則由正弦定理得 a 2b2c，a b c 所以 cosc 2aba 2b2a b 2 2ab23 1 2a b ab4 2 22ab3 1 2a b ab4 2 22ab6 2 3 1 a 2 6 2 ，當(dāng)且僅當(dāng) a b 時(shí)，即 時(shí)等號成立，所以 cosc 的最小值為 .4 4 2 b 3 4變式 2答

8、案：8 11.1 4解析：由 s bcsina，得 bc .又 a b c 2bccosa，所以 a 2b 3c 3b 2 sina4c 2bccosa2 3b24c22bccosabc(4 32cosa)8（2 3cosa）sina.令 f(a)8（2 3cosa）sina，sin a 2 3 2 32 2 22224 222422222222222 2 22ab 2tanc tana tanb 222 2a ba(0， )，f(a)8（12 3cosa） 1 112 ，令 f(a)0，解得 cosa ，sina ，由單調(diào)性可知此時(shí)f(a)取得最小值為 8 11. 當(dāng)且僅當(dāng) 3b2c 且 c

9、osa串講激活1時(shí)取等號，則 a 2b 3c 的最小值為 8 11. 2 3串講 1答案：3.解析：設(shè)cba，abbda，則在bcd 中，由余弦定理可知 cd 2a 2 2 sin ，在三角形 abc 中，a 1由余弦定理可知 cos ，2 2a可得 sin a 6a 1，所以 cd 2a 2 2aa6a1，令 t2a，則 cd tt 10t17t（t5） 8 2（t5） （t5） 859，當(dāng)(t5) 4 時(shí)等號成立cd 的最大值為 3. 串講 2答案：(1) ；(2)2.3解析：(1)由條件可知 a(sinasinb) bsinb csinc ，由正弦定理可得 ab2cab ， 又由余弦定理

10、知 cosc a b c 1 ，c(0， )，在abc 中可得 c.3m 1 1(2)由 ，可得 m1 1tana tanbtanc，sinc即 mcosccosa cosb sinc cosasinbcosbsina sinc sina sinb cosc sinasinb coscsinc c 1 2c.由正、余弦定理可得 m sinasinb min ab cosc ab2（a b ab）ab2b a 1 2，當(dāng)且僅當(dāng) ab 時(shí)，等號成立，所以實(shí)數(shù) m 的最小值為 2.答 3 3 .21 1，1 1 ，4 42sin 2 10新題在線4 3 3cos 3 2 案：(1)sa ， ， 2sin 2 3 3；5 5(2)ad 時(shí)，s 最小101 bd ad 3解析：(1)在abd 中，由正弦定理得 ，所以 bd ，sin 2 2sin sin sin ad3cos 1 ，2sin 2 3cos 1 則 sa 2sin 2 2a 3cos