函數(shù)的奇偶性與周期性專題

1、函數(shù)的奇偶性與周期性(30 分鐘 60 分)一、選擇題(每小題 5 分,共 35 分)1.(2018 濱州模擬)下列函數(shù)中,既是偶函數(shù)又在區(qū)間 (1,2)內(nèi)單調(diào)遞減的是( )a.f(x)= b.f(x)=c.f(x)=2 x+2-xd.f(x)=-cos x【解析】選 b.對于 a,偶函數(shù)與單調(diào)遞減均不滿足 ;對于 b,符合題意;對于 c,不 滿足單調(diào)遞減 ;對于 d,不滿足單調(diào)遞減 .2.x 為實數(shù),x表示不超過 x 的最大整數(shù),則函數(shù) f(x)=x-x 在 r 上為( ) a.奇函數(shù) b.偶函數(shù)c.增函數(shù) d.周期函數(shù)【解析】選 d.函數(shù) f(x)=x-x 在 r 上的圖象如圖:所以 f(

2、x)在 r 上是周期為 1 的函數(shù).3.(2019 邯鄲模擬)已知 f(x)為定義在 r 上的奇函數(shù),當(dāng) x0 時,f(x)=2 則 f(-2)= ( )a.-3 b.- c. d.3x+m,【解析】選 a.由 f(x)為 r 上的奇函數(shù) ,知 f(0)=0,即 f(0)=2 則 f(-2)=-f(2)=-(22-1)=-3.0+m=0, 解得 m=-1,4.(2019 鄭州模擬)已知 y=f(x)是定義在 r 上的奇函數(shù),則下列函數(shù)中為奇函數(shù) 的是 ( )y=f(|x|);y=f( -x);y=xf(x);y=f(x)+x.a. b.c. d.【解析】選 d.由奇函數(shù)的定義:f(-x)=-f

3、(x) 驗證,f(|-x|)=f(|x|), 故為偶函 數(shù);2 f-(-x)=f(x)=-f(-x), 為奇函數(shù);3 -xf(-x)=-x -f(x)=xf(x), 為偶函數(shù);f(-x)+(-x)=-f(x)+x, 為奇函數(shù); 可知為奇函數(shù) .5.設(shè)函數(shù) f(x)=ln(1+x)-ln(1-x), 則 f(x)是 ( )a. 奇函數(shù),且在(0,1)內(nèi)是增函數(shù)b. 奇函數(shù),且在(0,1)內(nèi)是減函數(shù)c. 偶函數(shù),且在(0,1)內(nèi)是增函數(shù)d. 偶函數(shù),且在(0,1)內(nèi)是減函數(shù)【解析】選 a.易知 f(x)的定義域為 (-1,1),且 f(-x)=ln(1-x)-ln(1+x)=-f(x),則 y=f

4、(x)為奇函數(shù),又 y=ln(1+x) 與 y=-ln(1-x)在(0,1) 上是增函數(shù),所以 f(x)=ln(1+x)-ln(1-x) 在(0,1) 上是增函數(shù).6.已知 f(x),g(x)分別是定義在 r 上的偶函數(shù)和奇函數(shù) ,且 f(x)-g(x)=x3+x2+1,則 f(1)+g(1)= ( )a.-3 b.-1 c.1 d.3【解析】選 c.由 f(x)-g(x)=x 3+x2+1,將所有 x 替換成-x,得 f(-x)-g(-x)=-x 3+x2+1,根據(jù) f(x)=f(-x),g(-x)=-g(x), 得 f(x)+g(x)=-x3+x2+1,再令 x=1,計算得,f(1)+g(

5、1)=1.7.已知函數(shù) f(x)的定義域為 r,其圖象關(guān)于 y 軸對稱,而函數(shù) f(x-1)的圖象關(guān)于 原點對稱,且 f(2)=3,則 f(5)+f(6)的值為 ( )a.-3 b.-2 c.2 d.3【解析】選 d.函數(shù) f(x)的圖象關(guān)于 y 軸對稱,所以 f(-x)=f(x),又因為函數(shù)f(x-1) 的圖象關(guān)于原點對稱,所以 f(-x-1)=- f(x-1) , 所以f(-x)=-f(x-2)=f(x), 故 f(x)=-f(x+2)=f(x+4) , 故函數(shù) f(x) 的周期為 4,因為 f(-x-1)=-f(x-1), 當(dāng) x=0 時,f(-1)=-f(-1), 所以 f(-1)=0

6、, 即 f(1)=0,則 f(5)+f(6)=f(1)+f(2)=0+3=3.二、填空題(每小題 5 分,共 10 分)8.函數(shù) f(x)在 r 上為奇函數(shù),且 x0 時,f(x)=x2-x,則當(dāng) x0 時,f(x)=x2-x,則當(dāng) x0時,f(x)=-f(-x)=-(x2+x)=-x2-x.答案:-x2-x9.若函數(shù) f(x)=xln(x+【解題指南】 f(x)=xln(x+利用 ln(x+ )+ln(-x+【解析】由題意知 y=ln(x+)為偶函數(shù),則 a=_.)為偶函數(shù),即 y=ln(x+)=0 確定 a 的值. )是奇函數(shù) ,)是奇函數(shù),所以 ln(x+)+ln(-x+)=ln(a+x

7、2-x2)=ln a=0,解得 a=1.答案:110.(2018 貴陽模擬 )已知 f(x)是奇函數(shù),g(x)= g(-2)=_.若 g(2)=3, 則【解析】由題意可得 g(2)= f(-2)=-1,=3,則 f(2)=1, 又 f(x)是奇函數(shù),則所以 g(-2)=答案:-1= =-1.(20 分鐘 40 分)1.(5 分)(2018泰安模擬 )奇函數(shù) f(x)的定義域為 r,若 f(x+1)為偶函數(shù),且 f(1)=2, 則 f(4)+f(5) 的值為 ( )a.2 b.1 c.-1 d.-2【解析】選 a.設(shè) g(x)=f(x+1), 因為 f(x+1)為偶函數(shù),則 g(-x)=g(x)

8、, 即 f(-x+1)=f(x+1), 因為 f(x)是奇函數(shù),所以 f(-x+1)=f(x+1)=-f(x-1), 即 f(x+2)=-f(x),f(x+4)=f(x+2+2)=-f(x+2)=f(x), 則 f(4)=f(0)=0,f(5)=f(1)=2, 所以 f(4)+f(5) =0+2=2.2.(5 分)(2019重慶模擬 )若 f(x)是定義在(-,+)上的偶函數(shù) , x ,x 1 20,+)(x x ),有1 2a. f(3)f(1)f(-2)b. f(1)f(-2)f(3)c. f(-2)f(1)f(3)d. f(3)f(-2)f(1)0,則 ( )【解析】選 d.因為 x ,

9、x 0,+)(x x ),有 0, 所以當(dāng) x01 2 1 2時,函數(shù) f(x)為減函數(shù),因為 f(x)是定義在(-,+)上的偶函數(shù) ,所以 f(3)f(2) f(1), 即 f(3)f(-2)f(1).3.(5 分)設(shè)定義在 r 上的函數(shù) f(x)同時滿足以下條件:f(x)+f( -x)=0;f(x)=f(x+2);當(dāng) 0x1 時,f(x)=2 =_.x-1.則 f+f(1)+f +f(2)+f【解析】依題意知,函數(shù) f(x)為奇函數(shù)且周期為 2,則 ff =f +f(1)+f +f(0)+f =f +f(1)+f(0)= 答案:+f(1)+f +f(2)+-1+21-1+2 0-1= .4.(12 分)已知函數(shù) f(x)=是奇函數(shù).(1) 求實數(shù) m 的值.(2) 若函數(shù) f(x)在區(qū)間-1,a-2 上單調(diào)遞增,求實數(shù) a 的取值范圍. 【解析】(1)設(shè) x0,所以 f(-x)=-(-x) 2+2(-x)=-x 2-2x.又 f(x)為奇函數(shù),所以 f(-x)=-f(x).于是 x0 時,f(x)=x2+2x=x2+mx,所以 m=2.(2) 要使 f(x)在-1,a-2 上單調(diào)遞增,結(jié)合 f(x)的圖象知所以 1a3