橢圓和雙曲線練習(xí)題及答案

1、圓錐曲線測試題、選擇題（602 丄252x1已知橢圓a=1 （a .5）的兩個焦點為 Fi、F2，且| F1F2 |=8，弦AB過點Fi，則 ABF?的周長為（A） 10（ B）2 2-厶=1上的點P到它的左準(zhǔn)線的距離是 10,那么點P到它的右焦點的距離是36） j20（ C） 2 41 （ D）4.412橢圓100（B） 12 （C） 10 （D） 8（A）2x25152 y+9）（A） 9 （ B） 12 （ C） 10 （ D） 84以坐標(biāo)軸為對稱軸、漸近線互相垂直、兩準(zhǔn)線間距離為 -y2 =2（B）2-y2y3橢圓面積為（=1的焦點F1、F2，P為橢圓上的一點，已知 PF1 _ PF2

2、，則 F1PF2的（A） x2（C） x225雙曲線16（ ）（A）6過雙曲線 為（）（A） 28（ B） 14 - 8 . 27雙曲線虛軸上的一個端點為 為（=4或 y2x2 =4（D）2y2x2的雙曲線方程是（_x2 =2_y2 =2或 y2 _x2 二 2=1右支點上的一點 P到右焦點的距離為 2，則P點到左準(zhǔn)線的距離為（B） 8（ C） 10-y2 =8的右焦點（D） 12F2有一條弦PQ |PQ|=7,F 1是左焦點，那么 RPQ的周長（C） 14 8、.2 （D） 8.2M,兩個焦點為F1、F2, F1MF120，則雙曲線的離心率（A）3（ B）蘭（C）蘭（D）三2338在給定雙曲

3、線中,過焦點垂直于實軸的弦長為一 2，焦點到相應(yīng)準(zhǔn)線的距離為丄，則該2雙曲線的離心率為C、 、2D、2 - 22乞丄369（A） x - 2y = 0x210如果雙曲線9如果橢圓=1的弦被點（4，2）平分,則這條弦所在的直線方程是（2x 3y -12 = 0（ D） x 2y -8 = 0（B） x 2y -4 =0（C）4 -1上一點P到雙曲線右焦點的距離是2,那么點P到y(tǒng)軸的距離是（A ）4.63C、2.611中心在原點,焦點在y軸的橢圓方程是x2sin 二川 y2 cos： = 1 ,it%），A.兀(0,)4JI -.(0,4.譏)12已知雙曲線27 =1 a 0,b0的右焦點為b于A

4、 B兩點，若AF =4FB,則C的離心率為（A ）6m A 57B、-55C、一89D、-5二、填空題（20)2 213與橢圓 y 1具有相同的離心率且過點（2 ,43-.3 ）的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是 。J514離心率e，一條準(zhǔn)線為32 215以知F是雙曲線 1的左焦點，A（1,4）,P是雙412曲線右支上的動點，則|PF|+|PA的最小值為 _9x = 3的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程2 216已知雙曲線 與-豈-1（a0,b 0）的左、右焦點分別為F1（-c,0）, F2（c,0）,若雙曲線a b上存在一點P使SinPF1F2聖,則該雙曲線的離心率的取值范圍是sin PF2R ce (1八21)三、解答題（

5、70）17）已知橢圓C的焦點F1 （- 242 , 0）和F2 （ 242 , 0）,長軸長6,設(shè)直線y = x + 2交橢圓C于A、B兩點，求線段 AB的中點坐標(biāo)。2 218）已知雙曲線與橢圓 11共焦點，它們的離心率之和為925145求雙曲線方程19)求兩條漸近線為x _ 2y = 0且截直線x 一 y 一 3 = 0所得弦長為 8衛(wèi) 的雙曲線方程。322320. (1)橢圓C: $ 召=1(a b 0)上的點A(1,弓)到兩焦點的距離之和為 4,求橢圓的方程；(2) 設(shè)K是 中橢圓上的動點，F(xiàn)i是左焦點，求線段FiK的中點的軌跡方程；(3)已知橢圓具有性質(zhì)：若M N是橢圓C上關(guān)于原點對稱

6、的兩點，P是橢圓上任意一點當(dāng)直線PM PN的斜率都存在并記為kpM kpN時，那么kpM kPN是與點P位置無關(guān)的2 2定值。試對雙曲線葦一為=1寫出具有類似特性的性質(zhì)，并加以證明。a b2 2(X 2) -4解：(1)務(wù) C =1T =1上(2) 設(shè)中點為(x,y), F 1(-1,0) K(-2-x,-y) 在手 +(3)設(shè) M(X1,y1), N(-x 1,-y 1), P(x ,y。)，x。工 X12 22x0 _X1a厶22-X0 _X1則 y：=b2G-1)y2=b2G-1)22y0沖-22X0 -X1kk二丫0一丫1. yya2kPMkPN一X0-X1 X。X1為定值2120.已

7、知雙曲線方程為2x2 -y2 =2與點P(1,2),(1) 求過點P (1, 2)的直線I的斜率k的取值范圍，使直線與雙曲線有一個交點，兩個交點，沒有交點。(2) 過點P (1, 2)的直線交雙曲線于A B兩點，若P為弦AB的中點，求直線AB的方程；(3) 是否存在直線I，使Q (1, 1 )為I被雙曲線所截弦的中點？若存在，求出直線I的方程；若不存在，請說明理由。解：(1)當(dāng)直線I的斜率不存在時，I的方程為x=1,與曲線C有一個交點當(dāng)I的斜率存在時，設(shè)直線I的方程為y 2=k(x 1),代入C的方程，并整理得2 2 2 2 *(2 k )x +2(k 2k)x k +4k 6=0()(i )

8、當(dāng)2 k2=0,即k= ,2時，方程(*)有一個根，I與C有一個交點(ii)當(dāng)2 k律0,即心土 2時2 2 2 2 = : 2(k 2k) : 4(2 k )( k +4k 6)=16(3 2k)3* 當(dāng) =0,即3 2k=0,k= 3時，方程()有一個實根，I與C有一個交點223 當(dāng) 0,即kv ,又k工土 . 2 ,故當(dāng)kv . 2或2 kv 2或.2 時，方程()無解，I與C無交點23綜上知：當(dāng)k= . 2 ,或k=,或k不存在時，I與C只有一個交點;23當(dāng) 2 v kv,或一: ：2 v k v ：.：2 ,或k v . 2時，I與C有兩個父點;2當(dāng)k -時,2I與C沒有交點(2)假

9、設(shè)以即 kAE=iXi X?即 kAB=力 一 =2Xr _x2但漸近線斜率為土 -.2,結(jié)合圖形知直線 AB與C無交點，所以假設(shè)不正確，即以 Q為 中點的弦不存在2 2i3)與橢圓 y i具有相同的離心率且過點(4323y .空2525、5x29 y2一條準(zhǔn)線為x=3的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是i 035202 , - .3 )的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是14)離心率e2一二 i。2 2 2 2P 為中點的弦為 AB 且 A(xi,yi),B(x 2,y 2),則 2xi yi =2,2x2 y2 =2 兩式相減得：2(x i X2)(x 計X2)=(y i y2)(y 計y2)又 T Xi+X2=2,y i+

10、y2=4/ 2(x i X2)=yi yi但漸近線斜率為土一 2,結(jié)合圖形知直線 AB與有交點，所以以P為中點的弦為：y二x，1. 2 2 2 2 (3)假設(shè)以 Q為中點的弦存在,設(shè)為 AB,且 A(x 1 ,y i),B(x 2,y 2),則 2xi yi =2,2x 2 y2 =2兩式相減得：2(x i X2)(x i+X2)=(y i y2)(y i+y2)又T xi+X2=2,y i +y2=2/ 2(x i X2)=y i yiC的焦點Fi ( 2 J2 , 0)和F2 ( 22 , 0),長軸長6,設(shè)直線y = x十2交i7)已知橢圓橢圓C于A、B兩點，求線段 AB的中點坐標(biāo)。(8

11、分) 解：由已知條件得橢圓的焦點在x軸上，其中c= 2 2 ,a=3,從而b=i,所以其標(biāo)準(zhǔn)方程是：(2y2=i.聯(lián)立方程組y _i,消去 y 得，iOx2 +36x+27 = 0.-y =x +2X y218x+ x設(shè) A(X1,y1),B( X2,y2),AB 線段的中點為 M(X0,y)那么： x?, x= 125219 1所以y0 = x0 +2=.也就是說線段 AB中點坐標(biāo)為(-,).-5 518)已知雙曲線與橢圓分)解：由于橢圓焦點為F(0,.(10y1共焦點，它們的離心率之和為“，求雙曲線方程2554_4),離心率為e=,所以雙曲線的焦點為 F(0, _4),離心率為52,從而 c=4,a=2,b=23.所以求雙曲線方程為2-1.1220)求兩條漸近線為x_2y=0且截直線x-y-3=0所得弦長為 的雙曲線方程。(103分)解:設(shè)雙曲線方程為(聯(lián)立方程組得：x2-4y 2=.2 2x -4y =亠/口2，消去 y