幾種常用的插值方法

1、幾種常用的插值方法數(shù)學(xué)系 信息與計(jì)算科學(xué)1班 李平指導(dǎo)老師：唐振先摘要:插值在諸如機(jī)械加工等工程技術(shù)和數(shù)據(jù)處理等科學(xué)研究中有許多直接的應(yīng)用,在很多領(lǐng)域都要用插值的辦法找出表格和中間值,插值還是數(shù)值積分微分方程數(shù)值解等數(shù)值計(jì)算的基礎(chǔ)。本文歸納了幾種常用的插值方法,并簡(jiǎn)單分析了其各自的優(yōu)缺點(diǎn)。關(guān)鍵詞:任意階多項(xiàng)式插值,分段多項(xiàng)式插值。引言:所謂插值,通俗地說就是在若干以知的函數(shù)值之間插入一些未知函數(shù)值,而插值函數(shù)的類型最簡(jiǎn)單的選取是代數(shù)多項(xiàng)式。用多項(xiàng)式建立插值函數(shù)的方法主要用兩種：一種是任意階的插值多項(xiàng)式,它主要有三種基本的插值公式：?jiǎn)雾?xiàng)式,拉格朗日和牛頓插值；另一種是分段多項(xiàng)式插值,它有Herm

2、ite和spine插值和分段線性插值。一任意階多項(xiàng)式插值：1.用單項(xiàng)式基本插值公式進(jìn)行多項(xiàng)式插值：多項(xiàng)式插值是求通過幾個(gè)已知數(shù)據(jù)點(diǎn)的那個(gè)n-1階多項(xiàng)式,即Pn-1(X)=A1+A2X+AnXn-1,它是一個(gè)單項(xiàng)式基本函數(shù)X0,X1Xn-1的集合來定義多項(xiàng)式,由已知n個(gè)點(diǎn)（X,Y）構(gòu)成的集合,可以使多項(xiàng)式通過沒數(shù)據(jù)點(diǎn),并為n個(gè)未知系數(shù)Ai寫出n個(gè)方程,這n個(gè)方程組成的方程組的系數(shù)矩陣為Vandermonde矩陣。雖然這個(gè)過程直觀易懂,但它都不是建立插值多項(xiàng)式最好的辦法,因?yàn)閂andermonde方程組有可能是病態(tài)的,這樣會(huì)導(dǎo)致單項(xiàng)式系數(shù)不確定。另外,單項(xiàng)式中的各項(xiàng)可能在大小上有很大的差異,這就導(dǎo)

3、致了多項(xiàng)式計(jì)算中的舍入誤差。2.拉格朗日基本插值公式進(jìn)行插值：先構(gòu)造一組插值函數(shù)Li（x）=，其中i=0，n.容易看出n次多項(xiàng)式Li（x）滿足Li（x）=1，（i=j）；Li（）=0，（ij），其中i=0，1n，令Li（x）=這就是拉格朗日插值多項(xiàng)式。與單項(xiàng)式基本函數(shù)插值多項(xiàng)式相比,拉格朗日插值有2個(gè)重要優(yōu)點(diǎn)首先,建立插值多項(xiàng)式不需要求解方程組；其次,它的估計(jì)值受舍入誤差要小得多。拉格朗日插值公式結(jié)構(gòu)緊湊,在理論分析中很方便,但是,當(dāng)插值節(jié)點(diǎn)增加、減少或其位置變化時(shí)全部插值函數(shù)均要隨之變化,從而整個(gè)插值公式的結(jié)構(gòu)也將發(fā)生變化,這在實(shí)際計(jì)算是非常不利的。3.使用牛頓均差插值公式進(jìn)行多項(xiàng)式進(jìn)行插值

4、：首先,定義均差,f在xi,xj上的一階均差，其中(ij)。f在xi，xj，xk的二階均差fxi，xj，xk= ，k階均fxixk=。由此得出牛頓均值插值多項(xiàng)式的公式為Pn(x)=fx0+fx0-x1(x-x0)+fx0，xn(x-x0)(x-xn-1)。實(shí)際計(jì)算中經(jīng)常利用下表給出的均差表直接構(gòu)造牛頓插值公式, ，xkF(xi)一階均差二階均差三階均差x0x1x2x3F(x0)F(x1)F(x2)F(x3)Fx0，x1Fx1，x2Fx2，x3Fx0，x1，x2Fx1，x2，x3Fx0，x1，x2，x3凡是拉格朗日插值解決的問題牛頓插值多項(xiàng)式都可以解決,不僅如此,更重要的是牛頓均值克服了拉格朗日

5、插值多項(xiàng)式的缺點(diǎn),當(dāng)需要提高近似值的精確度而增加結(jié)點(diǎn)時(shí),它不必重新計(jì)算,只要在后面再計(jì)算一項(xiàng)均插即可,減少了計(jì)算量,不用計(jì)算全部系數(shù),節(jié)約了大量人力,物力,財(cái)力。增加插值多項(xiàng)式的階數(shù)并不一定能增加插值的精度,據(jù)定義,插值式,F(x)可以與結(jié)點(diǎn)(xi，yi)，i=1，n處的實(shí)際函數(shù)匹配,但卻不能保證支點(diǎn)之間求F(x),還能很好的逼近產(chǎn)生(xi，yi)數(shù)據(jù)的實(shí)際函數(shù)F(x)。例如,如果F(x)為一個(gè)已知的解析函數(shù),而且定義F(x)的節(jié)點(diǎn)集合中數(shù)據(jù)點(diǎn)的數(shù)目可以增加（多項(xiàng)式F(x)的階數(shù)也增加）,但是,由于F(x)的起伏增加,那么插值式就可能在節(jié)點(diǎn)見振帶,基于當(dāng)實(shí)際函數(shù)F(x)平滑時(shí),這種多項(xiàng)式擺動(dòng)也

6、可能發(fā)生,這種振蕩不是由多項(xiàng)式擺動(dòng)引起的,而是由多項(xiàng)式的項(xiàng)相加來求插值多項(xiàng)式時(shí)發(fā)生舍入誤差造成的。有時(shí)多項(xiàng)式擺動(dòng)可通過謹(jǐn)慎選擇基礎(chǔ)函數(shù)的取樣來成為,但如果數(shù)據(jù)是由不容易重復(fù)實(shí)驗(yàn)取得的,就不能這么做了,這會(huì)司會(huì)用下面介紹分段插值法。二、分段插值多項(xiàng)式1、分段線性插值：分段線性插值最簡(jiǎn)單的插值方案,只要將每個(gè)相鄰的節(jié)點(diǎn)用直線接起來,如此形成的一條新的折線就是分段線性插值函數(shù),記作In(j)=yi而且In(x)在每個(gè)區(qū)間j j+1上是線性函數(shù)（j=0,1n-1）In(X)可以定義為In(j)= 其中l(wèi)0(x)=，其他，l0(x)=0lj(x)=，；=其他，lj(x)=0ln(x)= 其他，ln(x)

7、=0In( j)具有很好的收斂性,即對(duì)于xa,b有：當(dāng)n趨向于無窮大時(shí),In()=g(x)成立。 用In()計(jì)算x點(diǎn)的插值時(shí),只用到x左右的兩個(gè)節(jié)點(diǎn),計(jì)算量與節(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)n無關(guān),但n越大分段越多,插值誤差就越小,但是,該方法折線在節(jié)點(diǎn)處顯然不光滑,即In(X)在節(jié)點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)不存在著影響它在需要光滑插值曲線的（如機(jī)械插值等領(lǐng)域中的應(yīng)用）。2分段三次Hermite插值 為清楚起見,先用三次Hermite插值的構(gòu)造方法加以解釋,三次Hermite插值的做法是,在xk xk+1上尋找一個(gè)次數(shù)不超過3的多項(xiàng)式H3(x) 它滿足插值條件H3(xk)=f(xk),H3(xk+1)=f(xk+1) =mk, =mk

8、+1相應(yīng)的插值基函數(shù)為于是有H3(x)=k（x）f(xk) +k+1（x）f(xk+1)mkk(x) mk+1k+1(x)。如果函數(shù)滿足條件：（1） C1a,b（2） 滿足插值條件：（xk）=f(xk), ,k=0,1,2,n.（3） 在每個(gè)小區(qū)間xk-1, xk,k=1,2, ,n上是三次多項(xiàng)式。則稱為f的分段三次Hermite插值多項(xiàng)式。根據(jù)分段線性插值和三次Hermite插值公式可得到的表達(dá)式(x)= 其中k，k ， k=0,1,2,n，稱為以節(jié)點(diǎn)x0，x1, xn的分段三次Hermite插值基函數(shù)，對(duì)于給定n個(gè)插值點(diǎn)x1x2xn和其相應(yīng)函數(shù)值f(xk)和一階函數(shù)值f(xk),k=0,1

9、,2,n.顯然,分段三次Hermite插值可以產(chǎn)生平滑變化的插值式,但它有一個(gè)明顯的缺點(diǎn),就是在每個(gè)界點(diǎn)處的函數(shù)斜率必須已知,而從實(shí)驗(yàn)中獲得的數(shù)據(jù),這個(gè)斜率就不存在。下面要介紹的三次樣條插值可以解決這個(gè)問題,同時(shí)能得到插值式所期望的光滑度。3、三次樣條插值1. 樣條函數(shù)在a,b上取n+1個(gè)插值結(jié)點(diǎn)a=x0x1xn=b已知函數(shù)f(x)在這n+1個(gè)點(diǎn)的函數(shù)值為yk=f(xk)則在a,b上函數(shù)y=f(x)的m次樣條插值函數(shù)S(x)滿足:(1)S(x)在(a,b)上直到m-1階導(dǎo)數(shù)連續(xù);(2)S(xk)=yk,(k=0 1n);(3)在區(qū)間xk,xk+1(k=0 1 n-1)上,S(x)是m次多項(xiàng)式。

10、2.三次樣條函數(shù)在a,b上函數(shù)y=f(x)的三次樣條插值函數(shù)S(x)滿足:(1)在(a,b)上0、1、2階導(dǎo)數(shù)連續(xù),即:s(xk-0)=s(xk+0)，s(xk-0)=s(xk+0) (k=0 1n-1)(2)S(xk)=yk (k=0，1，n);(3)在區(qū)間xk xk+1(k=0，1n-1)上S(x)是三次多項(xiàng)式。3.三次樣條函數(shù)的計(jì)算由二階導(dǎo)數(shù)連續(xù),設(shè)s(xk )=mk,(k=0,1, ,n),mk是未知待定的數(shù)。因S(x)是分段三次多項(xiàng)式,則在每個(gè)區(qū)間xk xk+1內(nèi),S(x)是分段一次多項(xiàng)式,記hk=xk+1-xk則: s(xk)= 將上式在區(qū)間xk xk+1上積分兩次,并且由S(xk

11、)=yk S(xk+1)=yk+1,來確定兩個(gè)積分常數(shù)。當(dāng)xxk xk+1時(shí),利用S(x)一階導(dǎo)數(shù)連續(xù)的性質(zhì),對(duì)上式求導(dǎo),得:在上式中,令x=xk得:將上式中的k換成k-1,得:s(x)在xk-1,xk上的表達(dá)式,將x=xk代入,而s(xk+0)=s(xk-0)聯(lián)立上述兩式,得到關(guān)于m的方程:,兩邊乘以得:,上式中,等式左邊含未知量mk-1,mk,mk+1等式右邊yk-1,yk,yk+1是已知的,令，則得:kmk-1+2mk+kmk+1=Ck(k=1 2n-1)。三次樣條插值的整體光滑性有提高,應(yīng)用廣泛,但其誤差估計(jì)較困難,而且它的求解代價(jià)很大,起精確度受端點(diǎn)條件影響很大?？偨Y(jié):插值是數(shù)值分析領(lǐng)域的一個(gè)主要部分,選擇插值策略的第一步是了解應(yīng)用的需要：你要在表格中查些什么？是否需要反復(fù)計(jì)算近似值？在條件有限的情況下,構(gòu)造固定的階數(shù)的插值多項(xiàng)式可能會(huì)是一種更簡(jiǎn)單的方法有解決方案；當(dāng)要反復(fù)計(jì)算逼近值時(shí),推薦用牛頓多項(xiàng)式插值形式。對(duì)表格數(shù)據(jù)的常規(guī)插值,推薦使用分段線性插值；如果插值的總體平滑很重要,應(yīng)該考慮三次樣條插值或三次H