相似形與相似三角形專題復(fù)習(xí)精編題目

1、第一節(jié)：相似形與相似三角形基本概念：1相似形：對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊成比例的兩個多邊形，我們稱它們互為相似形。2相似三角形：對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊成比例的兩個三角形，叫做相似三角形。1幾個重要概念與性質(zhì)(平行線分線段成比例定理)(1) 平行線分線段成比例定理：三條平行線截兩條直線，所得的對應(yīng)線段成比例已知 a / b / c,AB 可得BCDEf AB或EF ACDEBCEFDF ABBCDF AC(2 )推論:平行于三角形一邊的直線截其它兩邊(或兩邊的延長線)所得的對應(yīng)線段成比例.AD由DE / BC可得：DBAEBDECADEC ADEA ABAC 此推論較原定理應(yīng)用更加廣泛，條件是平行(3)推論

2、的逆定理：如果一條直線截三角形的兩邊 線平行于三角形的第三邊(或兩邊的延長線)所得的對應(yīng)線段成比例那么這條直此定理給出了一種證明兩直線平行方法，即：利用比例式證平行線(4)定理：平行于三角形的一邊，并且和其它兩邊相交的直線，所截的三角形的三邊與原三角形三邊對應(yīng)成 比例(5 平行于三角形一邊的直線和其他兩邊相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似。a c 比例線段：四條線段 a, b, c, d中，如果a與b的比等于c與d的比，即一=，那么這四條b d線段a, b, c, d叫做成比例線段，簡稱比例線段。2 比例的有關(guān)性質(zhì)a ca c比例的基本性質(zhì)：如果一=一，那么ad=bc。如果ad=bc (a,

3、b, c, d都不等于0),那么一=一。b db d合比性質(zhì)：如果ac，那么a 二 b c 二 dbdbd等比性質(zhì)：如果acm,(b+d+n豐0)，那么a c m a=bdnb d * n bb是線段a、d的比例中項，貝Ub2= ad.典例剖析例1: 在比例尺是1 : 38000的南京交通游覽圖上，玄武湖隧道長約 7cm,則它的實際長度約為 Km. 若旦=2則亡=.b 3 ba 2b 9 nrt2a -b 5 右=貝H a： b=.3 相似三角形的判定(1) 如果兩個三角形的兩角分別于另一個三角形的兩角對應(yīng)相等，那么這兩個三角形相似。(2) 兩邊對應(yīng)成比例并且它們的夾角也相等的兩個三角形相似。

4、(3 )三邊對應(yīng)成比例的兩個三角形相似。補充：相似三角形的識別方法(1) 定義法：三角對應(yīng)相等，三邊對應(yīng)成比例的兩個三角形相似。(2) 平行線法：平行于三角形一邊的直線和其它兩邊(或兩邊的延長線)相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相 似。注意：適用此方法的基本圖形，(簡記為A型，X型)(3) 三邊對應(yīng)成比例的兩個三角形相似。(4) 兩邊對應(yīng)成比例并且它們的夾角也相等的兩個三角形相似。(5) 兩角對應(yīng)相等的兩個三角形相似。(6) 條直角邊和斜邊長對應(yīng)成比例的兩個直角三角形相似。(7) 被斜邊上的高分成的兩個直角三角形與原直角三角形相似。 【基礎(chǔ)練習(xí)】(1)如圖 1，當(dāng)時， ABC s ADE小結(jié)：以

5、上三 類歸為基本 圖形：母子型 或A型(3) 如圖4, 如圖1，當(dāng)則厶所有的直角三角形都相似.O 所有的等邊三角形都相似. 所有的等腰直角三角形都相似.例2 :如圖， ABC中，AD是/ BAC的平分線，AD的垂直平分線交 AD于E,交BC的延長線于F求證： ABF s CAF.例 3:如圖：在 Rt ABC 中， / ABC=90 , BD 丄 AC 于 D，若 AB=6 ;AD=2 ;貝H AC=; BD=; BC=;ABCAB / ED 時，例3:如圖：在 Rt ABC中， / ABC=90 , BD丄AC于D，若E是BC中點，ED的延長線交 BA的延長線于F,求證：AB : AC=DF

6、 : BF第二節(jié)：相似三角形的判定（一）相似三角形：定義1、對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊成比例的兩個三角形，叫做相似三角形. 溫馨提示： 當(dāng)且僅當(dāng)一個三角形的三個角與另一個（或幾個）三角形的三個角對應(yīng)相等,時，這兩個（或幾個）三角形叫做相似三角形，即定義中的兩個條件，缺一不可； 相似三角形的特征：形狀一樣，但大小不一定相等； 對應(yīng)中線之比、對應(yīng)高之比、對應(yīng)角平線之比等于相似比。 兩個鈍角三角形是否相似，首先要滿足兩個鈍角相等的條件。2、相似三角形對應(yīng)邊的比叫做相似比. 溫馨提示：且三條對應(yīng)邊的比相等 全等三角形一定是相似三角形，其相似比k=1 所以全等三角形是相似三角形的特例其區(qū)別在于全等要求對應(yīng)邊相等

7、，而相似要求對應(yīng)邊成比例. 相似比具有順序性.例如 ABC A B，的對應(yīng)邊的比，即相似比為心則厶A B ABC的相似比 1 ,當(dāng)且僅當(dāng)它們?nèi)葧r，才有k=k =1 相似比是一個重要概念，后繼學(xué)習(xí)時出現(xiàn)的頻率較高，其實質(zhì)它是將一個圖形放大或縮小的倍數(shù)， 這一點借助相似三角形可觀察得出.3、如果兩個邊數(shù)相同的多邊形的對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊成比例，那么這兩個多邊形叫做相似多邊形.4、 相似三角形的預(yù)備定理：如果一條直線平行于三角形的一條邊，且這條直線與原三角形的兩條邊（或其 延長線）分別相交，那么所構(gòu)成的三角形與原三角形相似.溫馨提示： 定理的基本圖形有三種情況，如圖其符號語言：/ DE / BC ,

8、 ABCADE ; 這個定理是用相似三角形定義推導(dǎo)出來的三角形相似的判定定理.它不但本身有著廣泛的應(yīng)用，同時也是證明下節(jié)相似三角形三個判定定理的基礎(chǔ)，故把它稱為預(yù)備定理”； 有了預(yù)備定理后，在解題時不但要想到上一節(jié)見平行，想比例”，還要想到 見平行，想相似（二）相似三角形的判定1、相似三角形的判定：判定定理（1）:兩角對應(yīng)相等，兩三角形相似.判定定理（2）:兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等，兩三角形相似.判定定理（3）:三邊對應(yīng)成比例，兩三角形相似.溫馨提示： 有平行線時，用上節(jié)學(xué)習(xí)的預(yù)備定理； 已有一對對應(yīng)角相等（包括隱含的公共角或?qū)斀牵r，可考慮利用判定定理 1或判定定理2； 已有兩邊對應(yīng)成比例

9、時，可考慮利用判定定理2或判定定理3.但是，在選擇利用判定定理2時,一對對應(yīng)角相等必須是成比例兩邊的夾角對應(yīng)相等.例1如圖三角形 ABC中，點E為BC的中點，過點E作一條直線交 AB于D點，與AC的延長線將 于 F 點，且 FD=3ED，求證：AF=3CF2、直角三角形相似的判定：斜邊和一條直角邊對應(yīng)成比例，兩直角三角形相似.溫馨提示： 由于直角三角形有一個角為直角，因此，在判定兩個直角三角形相似時，只需再找一對對應(yīng)角相等，用判定定理1，或兩條直角邊對應(yīng)成比例，用判定定理2, 一般不用判定定理 3判定兩個直角三角形相似； 如圖是一個十分重要的相似三角形的基本圖形，圖中的三角形，可稱為 母子相似

10、三角形”，其應(yīng)用較為廣泛. 如圖，可簡單記為：在 Rt ABC中，CD丄AB，則 ABC CBD ACD .a rb直角三角形的身射影定理：AC平行線型”相似三角形，基本圖形見上節(jié)圖.見平行，想相似”是解這類題的基本思路； 相交線型”相似三角形，如上圖.其中各圖中都有一個公共角或?qū)斀?見一對等角，找另一對等角或夾等角的兩邊成比例”是解這類題的基本思路； 旋轉(zhuǎn)型”相似三角形，如圖.若圖中/1 = / 2，/ B= / D(或/ C= / E)，則 ADEABC，該圖可看成把第一個圖中的厶 ADE繞點A旋轉(zhuǎn)某一角度而形成的.=AD*ABcd2=ad*bdbc2=bd*ab總結(jié)：尋找相似三角形對應(yīng)

11、元素的方法與技巧正確尋找相似三角形的對應(yīng)元素是分析與解決相似三角形問題的一項基本功.通常有以下幾種方法：(1) 相似三角形有公共角或?qū)斀菚r，公共角或?qū)斀鞘亲蠲黠@的對應(yīng)角；相似三角形中最大的角(或最小的角)一定是對應(yīng)角；相似三角形中，一對相等的角是對應(yīng)角，對應(yīng)角所對的邊是對應(yīng)邊，對應(yīng)角的夾邊是對應(yīng)邊；(2) 相似三角形中，一對最長的邊(或最短的邊)一定是對應(yīng)邊；對應(yīng)邊所對的角是對應(yīng)角；對應(yīng)邊所夾的角是對應(yīng)角.2、常見的相似三角形的基本圖形：學(xué)習(xí)三角形相似的判定，要與三角形全等的判定相比較，把證明三角形全等的思想方法遷移到相似 三角形中來；對一些出現(xiàn)頻率較高的圖形，要善于歸納和記憶；對相似三角

12、形的判定思路要善于總結(jié)， 形成一整套完整的判定方法.如：第三節(jié) 相似三角形中的輔助線、作平行線例1.如圖,ABC的AB邊和AC邊上各取一點 D和E,且使AD = AE , DE延長線與BC延長線相交于F,求證:BF BDCF CE例2.如圖， ABC中，ABD點，CM的延圖5A分別交于點FMDEE = 2 : 3 ,A第四節(jié)相似三角形難題集CB時ND C ADP 與C、分類討論：B例1如圖在正方形 ABCD的邊長為1 , P是CD邊的中點，Q在線段BC上，當(dāng)BQ QCP相似？例2 如圖在梯形 ABCD中，AD / BC,Z A= 90, AB= 7, AD = 2 BC= 3.試在邊一佃 上確

13、定點 P 的位置，使得以 P、A、D為頂點的三角形與以 P、B、C為頂點的三角形相似A二：相似三角形中的動點問題：1如圖，在 Rt ABC 中，/ ACB=90 , AC=3 , BC=4，過點 B 作射線BB1 / AC .動點D從點A出發(fā)沿射線AC方向以每秒5個單位的速度運 時動點E從點C沿射線AC方向以每秒3個單位的速度運動.過點 D作DH丄AB于H,過點E作EF丄AC交射線BB1于F, G是EF中點，連接 點D運動的時間為t秒.(1 )當(dāng)t為何值時，AD=AB，并求出此時 DE的長度；(2 )當(dāng)厶DEG與厶ACB相似時，求t的值.圖2如圖，在 ABC中，/ ABC = 90 AB=6m

14、 , BC=8m，動點P以2m/s的速度從 A點出發(fā)，沿 AC向點C移動.同時，動點 Q以1m/s的速度從C點出發(fā)，沿CB向點B移動.當(dāng)其中有一點到達終點時，它們都停止移動.設(shè)移動的時間為t秒.(1) 當(dāng)t=2.5s時，求 CPQ的面積；求 CPQ的面積S (平方米)關(guān)于時間t (秒)的函數(shù)解析式；(2) 在P, Q移動的過程中，當(dāng) CPQ為等腰三角形時，求出 t的值.匹13如圖 1，在 Rt ABC 中，/ ACB = 90 AC = 6, BC = 8,點 D 在邊AB上例1 如圖5在AABC中，AD、BE分別是BC、AC邊上的高，DF丄AB于F,交AC 的延長線于 H，交BE于G,求證：

15、(1)FG / FA = FB / FH運動，DE平分CDB交邊BC于點E, EM丄BD，垂足為 M , EN丄CD，垂足為 N .(1 )當(dāng) AD = CD 時，求證：DE / AC ;(2)探究：AD為何值時， BME與厶CNE相似?4如圖所示，在 ABC 中，BA = BC = 20cm , AC = 30cm，點 P 從 A 點 出發(fā)，沿著AB以每秒4cm的速度向B點運動；同時點Q從C點出發(fā)， 沿CA以每秒3cm的速度向A點運動，當(dāng)P點到達B點時，Q點隨之 停止運動.設(shè)運動的時間為 x.(1 )當(dāng)x為何值時，PQ/ BC ?(2) APQ與厶CQB能否相似？若能，求出 AP的長；若不能

16、說明理由.5如圖，在矩形 ABCD中，AB=12cm , BC=6cm，點P沿AB邊從A開始向點B以2cm/s的速度移動;點Q沿DA邊從點D開始向點A以1cm/s的速度移動.如果P、Q同時出發(fā)，用t (s)表示移動的時間(0 v tv 6 )。(1 )當(dāng)t為何值時， QAP為等腰直角三角形？(2)當(dāng)t為何值時，以點 Q、A、P為頂點的三角形與 ABC 三、構(gòu)造相似輔助線一一雙垂直模型6. 在平面直角坐標(biāo)系 xOy中，點A的坐標(biāo)為(2, 1),正比例函數(shù) 的圖象與線段OA的夾角是45求這個正比例函數(shù)的表達式.y=kx7. 在 ABC中，AB=, AC=4 , BC=2，以AB為邊在 C點的異側(cè)作

17、 ABD，使 ABD為等腰直角三角形，求線段 CD的長.8. 在 ABC 中，AC=BC，/ ACB=90，點 M 是 AC 上的一點，點 N 是 上的一點，沿著直線MN折疊，使得點C恰好落在邊AB上的P點求MC : NC=AP : PB.9. 如圖，在直角坐標(biāo)系中，矩形 在y軸上，點B的坐標(biāo)為(1,ABCO 的邊OA在x軸上，邊 OC3),將矩形沿對角線 AC翻折B點落在D點的位置，且AD交y軸于點E.那么D點的坐標(biāo)為2 13、3 12、()10.已知，如圖，直線 使得矩形的兩邊之比為y= - 2x + 2與坐標(biāo)軸交于1 : 2。A、B兩點以AB為短邊在第一象限做一個矩形ABCD ,求C、D

18、兩點的坐標(biāo)。四、構(gòu)造相似輔助線一一 A X字型11. 如圖： ABC中，D是AB上一點，AD=AC , BC邊上的中線 AE交CD于F。 AB_CF_12. 四邊形ABCD中，AC為AB、AD的比例中項，且 AC平分/ DAB。BE _ BC求證：_113. 在梯形 ABCD中，AB / CD, AB = b, CD = a, E為AD邊上的任意一EF / AB ,且EF交BC于點F,某同學(xué)在研究這一問題時，發(fā)現(xiàn)如下事實:絲1當(dāng)丄 時,fl+4當(dāng)一二 時，EF=匚 ;絲3當(dāng) 時,EF=.當(dāng)時，參照上述研究結(jié)論，請你猜想用a、b和k表示EF的一般結(jié)論，并給出證明.14.已知：如圖，在 ABC中，

19、M是AC的中點，E、F是BC上的兩點，且BE = EF= FC。求 BN : NQ : QM .15.證明：(1)重心定理：三角形頂點到重心的距離等于該頂點對邊上中線長2的二.(注：重心是三角形三條中線的交點)(2 )角平分線定理:MN上任意17. 已知：如圖，梯形 ABCD中，AB/DC，對角線 EF/AB 分別交 AD、BC 于 E、F。11 I+ 二-求證：_】-_-.18. 如圖，在 ABC中，已知 CD為邊AB上的高,1 1 1AC、BD交于0,過正方形EFGH的四個頂點分別在 ABC上。個角的平分線分對邊所成的兩條線段與這個角的兩鄰邊對應(yīng)成比例.五、相似類定值問題16.如圖，在等邊

20、 ABC中，M、N分別是邊 AB , AC的中點, 一點，BD、CD的延長線分別交 AC、AB于點E、1 + 1 _3_求證:二二-二.證：直線過點P分19. 已知，在 ABC中作內(nèi)接菱形CDEF，設(shè)菱形的邊長為a.求JAC lca.六：相似之共線線段的比例問題20. ( 1)如圖1,點廠在平行四邊形 ABCD的對角線BD上,別交BA , BC的延長線于點 Q, S,交丄 =于點二r 求證：-；-匚(2)如圖2，圖3，當(dāng)點在平行四邊形 ABCD的對角線或親 的延上時，匚-一-二- -是否仍然成立？若成立，試給出證明；若不成立,明理由(要求僅以圖 2為例進行證明或說明)；J 121.已知：如圖，

21、 ABC中，上一點，過C作CF II AB ,延長BP交AC于E,交CF于F 求 證：BF2= PE- PF 22. 如圖，已知ΔABC 中，AD , BF分別為BC , AC邊 過D作AB的垂線交 AB于E,交BF于G,交AC延長線于23. 已知如圖，P為平行四邊形 的延長線分別相交于點 E、F、PE PH七、相似之等積式類型綜合24.已知如圖，CD是Rt ABC CA 于 F。求證：長線試說AB = AC , AD 是中線，P是 ADABCD的對角線 AC上一點，過 P的直線與 AD、BC、CD G、H.斜邊AB上的高，E為BC的中點，ED的延長25如圖，在Rt ABC中，CD是斜邊