有理數(shù)乘方概念

1、有理數(shù)乘方22、73也可以看做是乘方運算的結果，這時它們表示數(shù)，分別讀作“2的2次幕”、“7的3次幕”， 其中2與7叫做底數(shù)(base) ,2與3叫做指數(shù)(exponent )。這種求n個相同因數(shù)a的積運算叫做 乘方(power)，乘方的結果叫做 幕(power)，a叫做底數(shù)(base numbe)，n叫指數(shù)(exponent)。任何數(shù)的0次方都是1，例：3o=1 (注：Oo無意義)有理數(shù)乘方同底數(shù)幕法則同底數(shù)幕相乘除，原來的底數(shù)作底數(shù)，指數(shù)的和或差作指數(shù)。推導：設 aAm*aAn 中，m=2 n=4，那么aA2*aA4=(a*a)*(a*a*a*a)=a*a*a*a*a*a=aA6=aA(2

2、+4)所以代入：aAm*aA n=aA(m+n)用字母表示為：aAm- aAn二aA(m+n)或 aAm aAn二aA(m n)(m、n 均為自然數(shù))1) 15A2X 15八3;2 ) 3A2X 3八4乂 3八8;3 ) 5X 5八2乂 5八3乂 5八4斤以 5八901) 15A2X 15A3=15A(2+3)=15A52) 3A2X 3A4X 3A8=3A(2+4+8)=3A143) 5X 5A2X 5八3 X 5A4X-X 5A90=5A(1+2+3+ +90)=5八40951有理數(shù)乘方正整數(shù)指數(shù)幕法則aAk=a*a*.*a(k 個 a)，其中 k N* (即 k 為正整數(shù))有理數(shù)乘方指數(shù)

3、為0幕法則aA0=1，其中 a0，k N*推導：aA0=aA(1-1)=(aA1)/(aA1)=a/a=1有理數(shù)乘方負整數(shù)指數(shù)幕法則aA(-k)=1/(aAk)，其中 a0,k N*推導：aA(-k)=aA(0-k)=(aA0)/Ak)=1/型)2有理數(shù)乘方正分數(shù)指數(shù)幕法則aA(m/n)=，其中門工0 ,m/n0 , m,n N* (即m,n為正整數(shù))有理數(shù)乘方負分數(shù)指數(shù)幕法則aA-(m/n)=，其中，aAm 0 (工 0，a 0)，m/n0, n 0， m,n N*推導：aA-(m/n)=aA(0-m/n)=(aA0)/aA(m/n)=1/aA(m/n)=1/分數(shù)指數(shù)幕時，當n=2k,k N

4、*，且aAm0時，則該數(shù)在 實數(shù)范圍內無意義 特別地，0的非正數(shù)指數(shù)幕沒有意義有理數(shù)乘方平方差兩數(shù)和乘兩數(shù)差等于它們的平方差。用字母表示為：(a+b)( a-b)=aA2-bA2推導：(a+b)(a-b)=(a+b)a-(a+b)b=(aA2+ab)-(bA2+ab)=aA2-bA23有理數(shù)乘方幕的乘方法則幕的乘方，底數(shù)不變，指數(shù)相乘 用字母表示為：(aAmj) 5=aA(mX n)幕的乘方特別指出：aAmAn=aA(mAn) 有理數(shù)乘方積的乘方積的乘方，先把積中的每一個因數(shù)分別乘方，再把所得的幕相乘 用字母表示為：(ax b)八門=aAnx bAn這個積的乘方法則也適用于三個以上乘數(shù)積的乘方

5、。如：(ax bx c) An=aAnX bAnX cAn有理數(shù)乘方同指數(shù)幕乘法同指數(shù)幕相乘，指數(shù)不變，底數(shù)相乘。 用字母表示為：(aAn)*(bAn)=(ab)八門 有理數(shù)乘方完全平方兩數(shù)和(或差)的平方，等于它們的平方的和加上(或者減去)它們的積的 2倍 用字母表示為：(a+b) A2=aA2+2ab+bA2 或(a b)八2=&八2 2ab+bA2我們一般把前者叫作完全平方公式，把后者叫作完全平方差公式。有理數(shù)乘方立方和aA3+bA3=(a+b)(aA2-ab+bA2)有理數(shù)乘方立方差aA3-bA3=(a-b)(aA2+ab+bA2)4有理數(shù)乘方多項式平方(a+b+c)A2=aA2+bA

6、2+cA2+2ab+2bc+2ac有理數(shù)乘方二項式般來說,艾薩克牛頓發(fā)現(xiàn)了二項式。二項式是乘方里的復雜運算。右圖為二項式計算法則。 項式也可以這樣表示：11 11 2 11 3 3 11 4 6 4 11 5 10 10 5 1這就是著名的楊輝三角。有理數(shù)乘方速算有些較特殊的數(shù)的平方，掌握規(guī)律后，可以使計算速度加快，現(xiàn)介紹如下 由n個1組成的數(shù)的平方我們觀察下面的例子。1A2=111A2=121111八2=1232111122=123432111111八2=1234543211111122=12345654321由以上例子可以看出這樣一個規(guī)律；求由 n個1組成的數(shù)的平方，先由1寫到n,再由n寫

7、到1, 即：11 1 (n 個 1)八2=1234(n-1)n(n- 1)4321注意：其中n只占一個數(shù)位，滿10應向前進位，當然，這樣的 速算不宜位數(shù)過多。由n個3組成的數(shù)的平方我們仍觀察具體實例：3八2=933八2=1089333八2=1108893333八2=1110888933333八2=1111088889由此可知：333 (n 個 3) A2 = 11 -11【(n-1)個 1】0 88 88【(n-1)個 8 9個位是5的數(shù)的平方把a看作10的個數(shù)，這樣個位數(shù)字是5的數(shù)的平方可以寫成；(10a+5) Q的形式。根據(jù)完全平 方式推導；(10a+5) A2= (10a) A2+2X

8、10aX 5+5八2=100aA2+100a+25=100aX( a+1) +25=aX( a+1)x 100+25由此可知：個位數(shù)字是5的數(shù)的平方，等于去掉個位數(shù)字后，所得的數(shù)與比這個數(shù)大1的數(shù)相乘的積，后面再寫上25。有理數(shù)乘方圖示1(2八5=2*2*2*2*2)一、目標預設1、知識與技能（1）在現(xiàn)實背景中，理解有理數(shù)乘方的意義，敘述有理數(shù)乘方的概念；（2）能進行有理數(shù)的乘方運算。2、過程與方法2變“幕”為“乘”是由轉化的思想把新問題 （有理數(shù)乘方）轉化為舊知識（有理數(shù)的乘法）來解決。 經歷有理數(shù)乘方的概念的推導過程，體驗乘方概念與有理數(shù)乘法的聯(lián)系；3、情感、態(tài)度與價值觀通過觀察、類比、歸

9、納得出正確的結論。發(fā)展綜合運用所學知識的能力。二、教學重難點1、重點：在理解有理數(shù)乘方意義的基礎上進行有理數(shù)的乘方運算。2、難點：與所學知識進行銜接，處理帶各種符號的乘方運算。三、教學準備1、教具：多媒體2、預習建議：（1）乘方的定義。（2）乘方的初步運算。四、教學方法：引導探索法，嘗試指導，充分體現(xiàn)學生的主體地位五、教學設計思路：教師給學生創(chuàng)設問題情境，鼓勵學生積極參與，注重學生在認知過程中的思維，通過學生討論、歸 納得出的知識，比教師的單獨講解要記得牢，同時也培養(yǎng)學生歸納、總結的能力。然后通過一些練習來 鞏固這些知識。1、創(chuàng)設情境，引出課題 聽音頻資料，通過棋盤上的學問一則故事，弓I入問題

10、：64個二相乘怎么計算？吸引學生注意， 為下文引入乘方的概念鋪墊。師：到底國王傻不傻呢？大家先別急著下結論，等大家學完了本節(jié)課程，就能回答這個問題了。 請大家看細胞分裂示意圖，由計算并用算式表示出第一次，第二次，第三次，第n次分裂后細胞的個數(shù)，引入乘方的概念。師：有些時候，我們會遇到幾個相同因數(shù)相乘的式子，比如五個2相乘，我們要寫很長，這樣的式子有更簡單的表示方式嗎？2、自主學習，講解定義（1）請大家閱讀課本關于有理數(shù)的乘方這節(jié)課程的內容。（五分鐘）（2）請大家在閱讀的同時，思考屏幕上的三個問題：（板書課題：有理數(shù)的乘方） 什么叫乘方？求個相同因數(shù)的積的運算叫乘方 用字母怎么表示？讀作什么？ 每個字母表示什么？分別請學生回答相關的問題，培養(yǎng)學生自主學習的能力。注： 乘方是一種和加減乘除一樣的一種運算； 指數(shù)n要以小寫的形式寫于底數(shù)的右上角； 了解乘方的意義，從幕轉為乘。（3）了解乘方的指數(shù)，底數(shù)，幕的定義乘方的結果叫做幕；在中，叫做底數(shù)，叫做指數(shù)。明確了表示a的幕的這個式子的結構之后，做幾道口答題。看屏幕，用基礎題來調動學生參與討論 回答的積極性，為后續(xù)學習熱身。有理數(shù)乘方性質正數(shù)的任何次幕都是正數(shù)，負數(shù)的奇次幕是負數(shù)，負數(shù)的偶次幕是正數(shù)，0的任何正整數(shù)次幕都得0.有理數(shù)乘方例題某種細胞每過30分便由