10.1常數(shù)項級數(shù)的概念與性質(zhì)

1、返回返回上頁上頁下頁下頁目錄目錄 2021-6-121 高等數(shù)學多媒體課件 華南農(nóng)業(yè)大學理學院數(shù)學系 牛頓（牛頓（Newton）萊布尼茲（萊布尼茲（Leibniz） 返回返回上頁上頁下頁下頁目錄目錄 2021-6-122 對于有限個實數(shù)對于有限個實數(shù) u1, ,u2,un 相加后還是一個實數(shù)，相加后還是一個實數(shù)， 這是在中學就知道的結(jié)果這是在中學就知道的結(jié)果, ,那么那么“無限個實數(shù)相加無限個實數(shù)相加” 會有什么結(jié)果呢？請看下面的幾個例子會有什么結(jié)果呢？請看下面的幾個例子. . 如在第二如在第二 章提到章提到莊子莊子天下篇天下篇“一尺之棰一尺之棰, ,日取其半日取其半, ,萬萬 世不竭世不竭”

2、的例中的例中, ,將每天截下那一部分的長度將每天截下那一部分的長度“加加” 起來是起來是: : 23 1111 , 2222 n 由于前由于前 n 項相加的和是項相加的和是 1 1 2n ，可以推測這，可以推測這“無限無限 個數(shù)相加個數(shù)相加”的結(jié)果應(yīng)該是的結(jié)果應(yīng)該是1.1. 返回返回上頁上頁下頁下頁目錄目錄 2021-6-123 又如下面由又如下面由“無限個數(shù)相加無限個數(shù)相加”的表達式的表達式 1( 1)1( 1) 中，如果將其寫作中，如果將其寫作 (11)(11)(11)000, 結(jié)果肯定是結(jié)果肯定是0，而寫作，而寫作 1( 1)1( 1)11000, 則結(jié)果是則結(jié)果是1.1. 返回返回上頁

3、上頁下頁下頁目錄目錄 2021-6-124 兩個結(jié)果的不同向我們提出了兩個結(jié)果的不同向我們提出了兩個基本問題兩個基本問題: : “無限個數(shù)相加無限個數(shù)相加”是否存在是否存在“和和”;如果存在如果存在, , “和和”等于什么等于什么? ? 由此可見由此可見,“無限個數(shù)相加無限個數(shù)相加”不能不能 簡單地與有限個數(shù)相加作簡單的類比簡單地與有限個數(shù)相加作簡單的類比, ,需要建立新需要建立新 的理論的理論. . 返回返回上頁上頁下頁下頁目錄目錄 2021-6-125 第十章第十章 無窮級數(shù)無窮級數(shù)（ （Infinite Series） 第一節(jié)第一節(jié) 常數(shù)項級數(shù)的概念與性質(zhì)常數(shù)項級數(shù)的概念與性質(zhì) 第二節(jié)第

4、二節(jié) 正項級數(shù)正項級數(shù) 第三節(jié)第三節(jié) 任意項級數(shù)的審斂法任意項級數(shù)的審斂法 第四節(jié)第四節(jié) 冪級數(shù)冪級數(shù) 第五節(jié)第五節(jié) 函數(shù)展開成冪級數(shù)函數(shù)展開成冪級數(shù) 第七節(jié)第七節(jié) 傅里葉級數(shù)傅里葉級數(shù) 第八節(jié)第八節(jié) 一般周期函數(shù)的傅里葉級數(shù)一般周期函數(shù)的傅里葉級數(shù) 主主 要要 內(nèi)內(nèi) 容容 返回返回上頁上頁下頁下頁目錄目錄 2021-6-126 第一節(jié)第一節(jié) 常數(shù)項級數(shù)的概念和性質(zhì)常數(shù)項級數(shù)的概念和性質(zhì) 第十章第十章 （Conception and property of constant term series） 一、常數(shù)項級數(shù)的基本概念一、常數(shù)項級數(shù)的基本概念 二、收斂級數(shù)的基本性質(zhì)二、收斂級數(shù)的基本性質(zhì)

5、 三、小結(jié)與思考練習三、小結(jié)與思考練習 返回返回上頁上頁下頁下頁目錄目錄 2021-6-127 一、常數(shù)項級數(shù)的基本概念一、常數(shù)項級數(shù)的基本概念 定義定義 給定一個數(shù)列給定一個數(shù)列, 321n uuuu將各項依將各項依 , 1 n n u即即 1n n u n uuuu 321 稱上式為稱上式為無窮級數(shù)無窮級數(shù)， 其中第其中第 n 項項 n u叫做級數(shù)的叫做級數(shù)的一般項一般項, 級數(shù)的前級數(shù)的前 n 項和項和 n k kn uS 1 n uuuu 321 次相加次相加, 簡記為簡記為 稱為級數(shù)的稱為級數(shù)的部分和部分和. 返回返回上頁上頁下頁下頁目錄目錄 2021-6-128 1n n uS 并

6、稱并稱 S 為級數(shù)的為級數(shù)的和和, 記作記作 當級數(shù)收斂時當級數(shù)收斂時, 稱差值稱差值 21nnnn uuSSr 為級數(shù)的為級數(shù)的余項余項. ,lim不存在若 n n S 則稱無窮級數(shù)則稱無窮級數(shù)發(fā)散發(fā)散 . 顯然顯然 0lim n n r 11 limlim n nkn nn nk uuS ,lim存在若SSn n 收斂收斂 ,則稱級數(shù)則稱級數(shù) 返回返回上頁上頁下頁下頁目錄目錄 2021-6-129 (1) limlim 2 n nn n n s 返回返回上頁上頁下頁下頁目錄目錄 2021-6-1210 1 1 3 . (1) n n n 例判定級數(shù)的斂散性 1 11 ) 1( 1 nnnn

7、 un解： 1 1 1) 1 11 () 3 1 2 1 () 2 1 1 ( ) 1( 1 ) 1( 1 32 1 21 1 nnn nnnn sn . 1 1) 1 1 1 (limlim 此級數(shù)收斂，和為 而 n s n n n 返回返回上頁上頁下頁下頁目錄目錄 2021-6-1211 解解 )12)(12( 1 nn un ), 12 1 12 1 ( 2 1 nn )12()12( 1 53 1 31 1 nn sn ) 12 1 12 1 ( 2 1 ) 5 1 3 1 ( 2 1 ) 3 1 1( 2 1 nn ), 12 1 1( 2 1 n . 2 1 , 和和為為級級數(shù)數(shù)收

8、收斂斂 返回返回上頁上頁下頁下頁目錄目錄 2021-6-1212 1 1 . 1 nnn 練習：判定級數(shù)的斂散性并求和 返回返回上頁上頁下頁下頁目錄目錄 2021-6-1213 例例4 討論等比級數(shù)討論等比級數(shù) (又稱幾何級數(shù)又稱幾何級數(shù)) )0( 2 0 aqaqaqaaqa n n n ( q 稱為公比稱為公比 ) 的斂散性的斂散性. 解解: 1) 若若,1q 12 n n qaqaqaaS q qaa n 1 時，當1q, 0lim n n q由于從而從而 q a n n S 1 lim 因此級數(shù)收斂因此級數(shù)收斂 , ; 1 q a ,1時當q,lim n n q由于從而從而 ,lim

9、n n S 則部分和則部分和 因此級數(shù)發(fā)散因此級數(shù)發(fā)散 . 其和為其和為 返回返回上頁上頁下頁下頁目錄目錄 2021-6-1214 2) 若若,1q ,1時當qanSn因此級數(shù)發(fā)散因此級數(shù)發(fā)散 ; ,1時當q aaaaa n 1 ) 1( 因此因此 n S n 為奇數(shù)為奇數(shù) n 為偶數(shù)為偶數(shù) 從而從而 n n S lim 綜合綜合 1)、2)可知可知,1q時時, 等比級數(shù)收斂等比級數(shù)收斂 ; 1q時時, 等比級數(shù)發(fā)散等比級數(shù)發(fā)散 . 則則 , 級數(shù)成為級數(shù)成為 ,a ,0 不存在不存在 , 因此級數(shù)發(fā)散因此級數(shù)發(fā)散. 返回返回上頁上頁下頁下頁目錄目錄 2021-6-1215 解解 nn n u

10、 12 32 , 3 4 4 1 n 已知級數(shù)為等比級數(shù)，已知級數(shù)為等比級數(shù)， , 3 4 q公比公比 , 1| q .原級數(shù)發(fā)散原級數(shù)發(fā)散 返回返回上頁上頁下頁下頁目錄目錄 2021-6-1216 二、收斂級數(shù)的基本性質(zhì)二、收斂級數(shù)的基本性質(zhì) 性質(zhì)性質(zhì)1 若級數(shù)若級數(shù) 1n n u收斂于收斂于 S , , 1 n n uS則各項則各項 乘以常數(shù)乘以常數(shù) c 所得級數(shù)所得級數(shù) 1n n uc也收斂也收斂 , 證證: 令令, 1 n k kn uS則則 n k kn uc 1 , n Sc n n limSc 這說明這說明 1n n uc收斂收斂 , 其和為其和為 c S . n n Sc li

11、m 說明說明: 級數(shù)各項乘以級數(shù)各項乘以非零常數(shù)非零常數(shù)后其斂散性不變后其斂散性不變 . 即即 其和為其和為 c S . 返回返回上頁上頁下頁下頁目錄目錄 2021-6-1217 性質(zhì)性質(zhì)2 設(shè)有兩個收斂級數(shù)設(shè)有兩個收斂級數(shù) , 1 n n uS 1n n v 則級數(shù)則級數(shù))( 1 n n n vu 也收斂也收斂, 其和為其和為.S 證證: 令令, 1 n k kn uS, 1 n k kn v則則 )( 1 k n k kn vu nn S )(nS 這說明級數(shù)這說明級數(shù))( 1 n n n vu 也收斂也收斂, 其和為其和為.S 性質(zhì)性質(zhì)2 表明收斂級數(shù)可逐項相加或減表明收斂級數(shù)可逐項相加

12、或減 .說明說明: 返回返回上頁上頁下頁下頁目錄目錄 2021-6-1218 答答:（1）若二級數(shù)都發(fā)散若二級數(shù)都發(fā)散 ,)( 1 n n n vu 不一定發(fā)散不一定發(fā)散. 例如例如, ,) 1( 2n n u取 ,) 1( 12 n n v0 nn vu而 （2） 若兩級數(shù)中一個收斂一個發(fā)散若兩級數(shù)中一個收斂一個發(fā)散 , 則必發(fā)散則必發(fā)散 . (用反證法可證用反證法可證) 思考題思考題 返回返回上頁上頁下頁下頁目錄目錄 2021-6-1219 返回返回上頁上頁下頁下頁目錄目錄 2021-6-1220 解解 1 2 1 )1( 5 n n nn 1 )1( 5 n nn 1 2 1 n n 1

13、1 1 11 5 )1( 5 nn nnnn n k n kk g 1 1 11 5令令), 1 1 1(5 n 返回返回上頁上頁下頁下頁目錄目錄 2021-6-1221 , 5) 1 1 1(lim5lim n g n n n , 2 1 1 是是等等比比級級數(shù)數(shù) n n ，首首項項是是公公比比 2 1 , 1 2 1 q n n n n h lim 2 1 1 . 615 2 1 )1( 5 1 n n nn 故故 , 1 2 1 1 2 1 返回返回上頁上頁下頁下頁目錄目錄 2021-6-1222 性質(zhì)性質(zhì)3 在級數(shù)前面加上或去掉在級數(shù)前面加上或去掉有限項有限項, 不會影響級數(shù)不會影響級

14、數(shù) 的斂散性的斂散性. 證證: 將級數(shù)將級數(shù) 1n n u的前的前 k 項去掉項去掉, 1n nk u 的部分和為的部分和為 n l lkn u 1 knk SS nkn S 與,時由于n 數(shù)斂散性相同數(shù)斂散性相同. 當級數(shù)收斂時當級數(shù)收斂時, 其和的關(guān)系為其和的關(guān)系為. k SS 類似可證前面加上有限項的情況類似可證前面加上有限項的情況 . 極限狀況相同極限狀況相同, 故新舊兩級故新舊兩級 所得新級數(shù)所得新級數(shù) 返回返回上頁上頁下頁下頁目錄目錄 2021-6-1223 性質(zhì)性質(zhì)4 收斂級數(shù)加括弧后所成的級數(shù)仍收斂于原級數(shù)收斂級數(shù)加括弧后所成的級數(shù)仍收斂于原級數(shù) 的和的和. 證證: 設(shè)收斂級數(shù)

15、設(shè)收斂級數(shù), 1 n n uS若按某一規(guī)律加括弧若按某一規(guī)律加括弧, )()( 54321 uuuuu 則新級數(shù)的部分和序列則新級數(shù)的部分和序列 ), 2 , 1(m m 為原級數(shù)部分和為原級數(shù)部分和 序列序列 ),2,1(nSn的一個子序列的一個子序列, n n m m S limlimS 推論推論: 若加括弧后的級數(shù)發(fā)散若加括弧后的級數(shù)發(fā)散, 則原級數(shù)必發(fā)散則原級數(shù)必發(fā)散. 注意注意: 收斂級數(shù)去括弧后所成的級數(shù)不一定收斂收斂級數(shù)去括弧后所成的級數(shù)不一定收斂. ,0) 11 () 11 (但但1111發(fā)散發(fā)散. 因此必有因此必有 例如，例如， 用反證法可證用反證法可證 例如例如 返回返回上

16、頁上頁下頁下頁目錄目錄 2021-6-1224 證證: 1 nnn SSu 1 limlimlim n n n n n n SSu0SS 可見可見: 若級數(shù)的一般項不趨于若級數(shù)的一般項不趨于0 , 則級數(shù)必發(fā)散則級數(shù)必發(fā)散 . 例如例如, , 1 ) 1( 5 4 4 3 3 2 2 1 1 n n n 其一般項為其一般項為 1 ) 1( 1 n n u n n 不趨于不趨于0,因此這個級數(shù)發(fā)散因此這個級數(shù)發(fā)散. n un,時當 返回返回上頁上頁下頁下頁目錄目錄 2021-6-1225 注意注意: 0lim n n u并非級數(shù)收斂的充分條件并非級數(shù)收斂的充分條件. 例如例如, 調(diào)和級數(shù)調(diào)和級數(shù)

17、 nn n 1 3 1 2 1 1 1 1 雖然雖然，0 1 limlim n u n n n 但此級數(shù)發(fā)散但此級數(shù)發(fā)散 . 事實上事實上 , 假設(shè)調(diào)和級數(shù)收斂于假設(shè)調(diào)和級數(shù)收斂于 S , 則則 0)(lim 2 nn n SS n n 2 nnnn2 1 3 1 2 1 1 1 但但 nn SS2 矛盾矛盾! 所以假設(shè)不真所以假設(shè)不真 . 2 1 返回返回上頁上頁下頁下頁目錄目錄 2021-6-1226 ) 2 1 22 1 12 1 ( ) 16 1 10 1 9 1 () 8 1 7 1 6 1 5 1 () 4 1 3 1 () 2 1 1( 1mmm 8項項 4項項 2項項 2項項

18、項項 m 2 2 1 每每項項均均大大于于 2 1 )1(1 mm項大于項大于即前即前.加括號后的級數(shù)發(fā)散 由性質(zhì)由性質(zhì)4 4知知, ,調(diào)和級數(shù)發(fā)散調(diào)和級數(shù)發(fā)散. . 例例7 7 證明調(diào)和級數(shù)證明調(diào)和級數(shù) 111 1 23n 是發(fā)散的是發(fā)散的. . 證明證明: :按順序把級數(shù)的兩項按順序把級數(shù)的兩項, ,兩項兩項, ,四項四項, ,八項八項, , 加括號得級數(shù)加括號得級數(shù) 2m項 返回返回上頁上頁下頁下頁目錄目錄 2021-6-1227 例例8 判斷級數(shù)的斂散性判斷級數(shù)的斂散性: 14 1 14 1 13 1 13 1 12 1 12 1 解解: 考慮加括號后的級數(shù)考慮加括號后的級數(shù) )()()( 14 1 14 1 13 1 13 1 12 1 12 1 1 1 1 1 nn an 1 2 n n n a 2 發(fā)散發(fā)散 , 從而原級數(shù)發(fā)散從而原級數(shù)發(fā)散 . n n 1 2 1 返回返回上頁上頁下頁下頁目錄目錄 2021-6-1228 內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié) 常數(shù)項級數(shù)的基本概念常數(shù)項級數(shù)的基本概念: 常數(shù)項級數(shù)、常數(shù)項級數(shù)、 收斂、發(fā)散、等比級數(shù)、調(diào)和