4.數(shù)列的通項(xiàng)公式

1、(四)數(shù)列的通項(xiàng)公式一、知識(shí)歸納：求數(shù)列通項(xiàng)公式的常見(jiàn)題型與方法：1由數(shù)列的前幾項(xiàng)，考察各項(xiàng)與項(xiàng)數(shù)之間的關(guān)系，歸納出數(shù)列的通項(xiàng)公式。2利用“歸納一猜想一證明”的方法求通項(xiàng)。3.利用Sn與an的關(guān)系：可=，求通項(xiàng)。1 - Sn( nA 2)4 根據(jù)數(shù)列的遞推公式求數(shù)列的通項(xiàng)公式，其中常用方法有：(1) 構(gòu)造法：通過(guò)構(gòu)造特殊的數(shù)列(如等差、等比數(shù)列等)，從而求出數(shù)列的通項(xiàng)公式的 方法。這是一種較常用的方法。(2) 迭代法：將遞推公式適當(dāng)變形后，用前面的項(xiàng)逐步代替后面的項(xiàng)，重復(fù)此步驟，最后在一般項(xiàng)和初始條件之間建立某種關(guān)系從而求出通項(xiàng)的方法。具體體現(xiàn)為累加法和累積法求通項(xiàng)公式。(3) 待定系數(shù)法：即

2、先設(shè)定數(shù)列通項(xiàng)的基本形式，再由已知條件求出待定系數(shù)的方法。二、學(xué)習(xí)要點(diǎn)：1. 求數(shù)列通項(xiàng)公式的常用方法是運(yùn)用等差、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式；或?qū)?shù)列進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖冃?，轉(zhuǎn)化為可求通項(xiàng)的數(shù)列。2. 對(duì)Sn與an的關(guān)系要記熟，并能靈活運(yùn)用。一般涉及Sn與an的問(wèn)題，總離不開(kāi)兩者隱含的關(guān)系。3. 掌握一些簡(jiǎn)單遞推數(shù)列求通項(xiàng)的基本方法。如累加、累乖、待定系數(shù)法等。其中累加的公式：an = (an-an (and-a廠心2 -印)aanan4.a3 a2累乖的公式:anaian i a* /a2 ai三、例題分析: 例1 .已知數(shù)列an的首項(xiàng)印=1(1)右an1= an2，貝Van=；( 2)若 an 1 =2a

3、n，貝卩an=(3)若an1= ann * 1，則an=； ( 4 )若an1 = 2an，則an=(5) 若 nan =(n 1)an 1，則 a;(6) 若 an =3an斗十2 (n 2)，則 an =；(7) 若 an 1 = an，貝y an =。an +1例2 設(shè)數(shù)列an的各項(xiàng)都是正數(shù)，且a3 a3亠a3(n N )，其中Sn是數(shù)列an的前n項(xiàng)和(1)求證：a2 =2Sn -an; (2)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式。例3 已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn滿足S 2an (“)n ( n N )，(1)寫(xiě)出數(shù)列an的前三項(xiàng)a- a2, a3 ； (2)求通項(xiàng)a.四、練習(xí)題：1.數(shù)列 3, 7,

4、13,21, 31,的一個(gè)通項(xiàng)公式為A . a* =4n -1B. an = n3 -n2 n 2 C.an2=n n 1D .不存在2 在數(shù)列an中，a-2 , an 2an - n，貝V as3.A. 6B. 一5C. -4D. -3數(shù)列an中，a1=1,對(duì)于所有的n 一2 , nN都有印日2 a an2二n ，貝U a3 a等于A. 6116B.259c.26D. 31154.F列各式中，可以作為數(shù)列 a*的通項(xiàng)公式的是:A . ann-2 B. an=logn( n-2) C. a.二n2 n 1n兀an = tan -45.在數(shù)列an中，& =1,a2 =2, a* 2 2a* a*

5、，則 d 二C. 56.古希臘人常用小石子在沙灘上擺成各種性狀來(lái)研究數(shù)，例如:a49to他們研究過(guò)圖1中的1, 3,6,10,由于這些數(shù)能夠表示成三角形，將其稱為三角形數(shù)類(lèi)似地，稱圖2中的1, 4,9,16,這樣的數(shù)成為正方形數(shù)。下列數(shù)中及時(shí)三角形數(shù)又是正方形數(shù)的是A . 289B.1024C. 1225D. 13782 ,7.數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn二n an (n - 2)，而a1= 1，通過(guò)計(jì)算a2,a3,a4猜想an口A .22B.(n +1)nC.22 D.2n -12(n 1)n.2 -1&數(shù)列an 中,印=1, an(n -2)，則數(shù)列 an的通項(xiàng)公式是1 3an41 A .3n

6、-21 B.3n 21 1C.D.2n 32n 3ai(3n -1)9數(shù)列an中，若Sn = (n N )，且a 54，則的值是210.數(shù)列an滿足 a1 3a2 - 32a3:(1，3n Jann T*(n N )，則 an 二311 .已知數(shù)列an滿足 a=2，- n N , an0，且(n 1)a； a.an 1 - na；i =0,則數(shù)列an的通項(xiàng)公式是an =.12已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn ,a1 - - 2 ,Sn3丄，2二 an (n_2),通過(guò)計(jì)算 S,S2,S3,SSn可以猜想Sn二 13.已知數(shù)列an滿足 a1 =1, a2 =4, a* 2 = 4a“ 1 -3a“(n

7、 N ).(1)求a3,a4的值；(2)證明：數(shù)列ni -an?是等比數(shù)列；(3)求數(shù)列a.的通項(xiàng)公式;14.已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，且Sn二2a“-1，數(shù)列bn滿足d=2,bnanbn求 an , bn15.已知數(shù)列an滿足 an 勺.=3an 3n 1 -1 (n N )，且 a365a +1(1)求a的值；(2)若數(shù)列 n n 為等差數(shù)列，求常數(shù)t的值；(3)求數(shù)列的an通項(xiàng)an 。316已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn ,且對(duì)任意正整數(shù)n都有2Sn =(n 2)an -1 .(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；1 1 1(2 )設(shè)= ，求 Tn .a1 a3a2 -a4an an 217.設(shè)

8、數(shù)列aJ的前n項(xiàng)和為&,已知a, =1, Sh4an 2(1)設(shè)bn =an i -2an,證明數(shù)列bn是等比數(shù)列(2)求數(shù)列a.的通項(xiàng)公式。/ , 1 *18.已知f(x) = -. 4，2數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，點(diǎn)Pn(an,) (n，N )在曲線 xan*y = f (x)上，且a1 =1,an AO.( 1)求數(shù)列a.的通項(xiàng)公式;(2)數(shù)列bn的首項(xiàng)b =1，前n項(xiàng)和為T(mén)n且滿足+16n2 -8n - 3，anan 卅求數(shù)列bn的通項(xiàng)公式；(3)(理科)求證：Sn1、 4n +11, nN2（四）數(shù)列的通項(xiàng)公式參考答案三、例題分析：例1 已知數(shù)列a*的首項(xiàng)ai =1(1)若a* 1=

9、 a* 2，則a*= 2n -1；(2)若 a*1= 2a*，則a*=2n J(3)若 a* a* -門(mén) 1，則 a* =*(； 1)n(n _1)；(4 )若 a* 1 = 2a* ,則 a* = 2 2卄1(5) 若 * a* 二(門(mén)-1)a* 1，則 a* :*(6) 若 a* =3a*J 2 (*_2)，則 a* =3 2*J -1a1(7)若 a* 1* ，則 a* =a* +1*解：（5）（解法一）：由已知有an 1a*，則當(dāng)* 1* _2時(shí)，有a* -1a* 二故a*a*a3aa* a2a* J2a3a2a?a01 * -1* -2* T* -3* 一2112又a1=1適合上式，

10、故a（解法二）:歸納，猜想（略）例2.設(shè)數(shù)列a*的各項(xiàng)都是正數(shù),且 a3 - a| -3 a*S；（ N ），其中S*是數(shù)列a*的前門(mén)項(xiàng)和2(1)求證：a* =2S* -a*;（2）求數(shù)列a*的通項(xiàng)公式。例2. （1 ）證明：當(dāng)* =1時(shí),3a12=a1 ,又 a1 0 ,故 a1 = 1當(dāng)* - 2時(shí),agk+aH兩式相減得：a：_SL =(S S*(S* -S*33a2+3a*4S2* 4則 a； =(2S*-a*)a* a* 0, - a； = 2S*-a*2又 a1 =1 適合上式，故 一* N , a* =2S* - a*（2）解：由（I）當(dāng) n _2 時(shí)，有 a； =2（ -an且

11、 a；=2Sn-an兩式相減得an- an 二=2（Sn- Sn）-an an j- an an jan 0 .an- an 二=1 ,即an是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列，故an二n例3 已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn滿足Sn二2可，（-1） （ N ）,（1）寫(xiě)出數(shù)列an的前三項(xiàng)ai, a；, a3 ； （2）求通項(xiàng)a.例 3解：（1）由印=3= 2印-1，得耳=1；由印a2=S；=2a21，得 a2= 0 ；由 q a2 a S3 = 2a3 -1，得 1 a 2a 1，即 a = 2an an J1 n J( 一 -)當(dāng)n _ 2時(shí)，務(wù)= -Sn=2務(wù)（-0 - 2務(wù)-（-）n 1則 an

12、 =2an2(-1)，故有：n - nd2 2a1令bn =十(22 ),則一丄之二嚴(yán)22bn =(bn -bn)(bn4 -bnd廠他-d) b十”（于（-護(hù)V 1“）n1 -（冷）則an2 1 -(J： 2n2n，即 an = 1 23 22612因?yàn)閍1 =1適合上式，故an 2n（1）n,632-(T)n，其中 n _2 3n N四、練習(xí)題：18 CCACB CBA解析:3.解析一：令n=2、9253、4、5,分別求出 a3= , a5=416 33+35= 61 .16解析二：當(dāng)n2時(shí),2 2a1 a2 a3 , an=n.當(dāng)n 3 時(shí)，a1 a? a3 , a*-1=(n 1).兩

13、式相除an= ( nn T)2,二 a3= 9 , a5=0. 83+85= 61 .答案：A416166由圖形可得三角形數(shù)構(gòu)成的數(shù)列通項(xiàng)an二n(n 1)2，同理可得正方形數(shù)構(gòu)成的數(shù)列通項(xiàng)bnV，則由0 Fg N ）可排除A D又由an詈知an必為奇數(shù)，故選C.&法一：代入檢驗(yàn)法，當(dāng)n =1時(shí)，只有選項(xiàng) A滿足a1 =1，故選A。111法二：由已知有 一 3，則一是首項(xiàng)為1，公差為3的等差數(shù)列,an an _Lan則丄=32，即3n13n3n _2二、填空題：21n =19.2.10. 3n = 311._ 2n_12.Sn =3n _2解析：9因 aS4-S3 二鰹 9愛(ài) =2731，則

14、276=54，故 a 22 211212 .Sn2= an= Sn-Sn 1，貝VSn 2 = 0，又 S =31：SnSn3則丄=_2-S 4,S2 3，同理：S34 , &一4，故 SnS23455n 2三、解答題13.( 1)解：33 = 4a2 -33| =13, a4 = 4a3 -3a2 = 46(2)證明：；an 2 = 4an 1 - 3an , 3n 2 - 3n 1 二 3(3n 1 _ 3n)又 31 =1,32 =4,3n23n1 =3 ,3n 出 _3n則3n 1 Tn是以32 -印二3為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列(3)由(2) 3n 1 - 3n = 3n，則 n 一

15、 2 時(shí)，3n - 3n 4 = 3n 4故 3n =n Tn-3.廠2 -厲)31n-1n -2=33+3+11 -3n = 3n -11-3又印T適合上式，故_n，N , 3n3n -1214 .解：由 c = S! = 2a2時(shí)，兩式相減得：2 (5 5-1) = ( n+ 2) an( n+ 1) a*-1,n 1nananan 1ananan_2an Ja3a2n 1n=*a2a1nn -1n 11+1當(dāng)n= 1時(shí)， an =，滿足上式，即 2 an = ( n + 2) an ( n+ 1) an-1,整理得，n +11411()由(i)知 an =，貝 V= 一 = 2 () 2

16、an 如書(shū)(n +1)(n+3)n+1 n+3111Tn 二+a1日3a2 a4anan 211、/ 1 1、/ 11、=2(-)+（一一）+-)+,243 546111 1 、=2 (+)23n 2 n 3z 1 11 1 、+ (-)+ (- )n n 2 n 1 n 317.設(shè)數(shù)列aJ的前n項(xiàng)和為Sn,已知a1 =1, Sn4an 2(1)設(shè)0 =an q -2an，證明數(shù)列bn是等比數(shù)列(2)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式。17.解：(I )由耳=1,及 Sn4an 2，有a a? = 4厲2, a? 3a1 2 5,.，b a _ 2a 3由Sn+ =4an +2，則當(dāng)n工2時(shí)，有Sn =4a

17、z+2 -得 an 4an -4an4r an 1 -2an =2(an -2an_i)又；bn二an1 -2an,=20才bn是首項(xiàng)= 3，公比為2的等比數(shù)列.(II )由(I)可得 bn -an 2a3 -2n4 ,an，1an2*1-數(shù)列是首項(xiàng)為1 3丄，公差為-的等比數(shù)列.2 4an2n1n 2一,an-1)2占八、an 1(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式;(2)T丄數(shù)列bn的首項(xiàng)b| =1，前n項(xiàng)和為T(mén)n且滿足n2 anTn16n2 - 8n -3，2an 118已知f (x) = -、：4 +丄數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,1 *Pn(an,)在曲線 y = f(x)上(n N )且 a1 =1,an 0.求數(shù)列bn的通項(xiàng)公式;八1, *(3)求證：sn ： 4n 1 -1, n N .2解：1f (an)an 12 n anan 114亠H 2an12an= 4(nN*)數(shù)列丄是等差數(shù)列，首項(xiàng)an2an丄=1 4(n -1)an4n -3an0、4n -3(n N)由an =Tn 1Tn.4n -32anan 1得(4n