概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)課后習(xí)題答案

1、隨機(jī)事件及其概率1.1 隨機(jī)事件習(xí)題 1 試說(shuō)明隨機(jī)試驗(yàn)應(yīng)具有的三個(gè)特點(diǎn) 習(xí)題 2 將一枚均勻的硬幣拋兩次 ，事件 A，B，C 分別表示 “第一次出現(xiàn)正面 ”，兩“次出現(xiàn)同一面 ”，至“少有一次出現(xiàn)正面 ”，試寫出樣本空間及事件 A，B，C 中的樣本點(diǎn) .word 資料可編輯word 資料可編輯1.2 隨機(jī)事件的概率word 資料可編輯word 資料可編輯1.3 古典概型與幾何概型word 資料可編輯word 資料可編輯word 資料可編輯word 資料可編輯word 資料可編輯word 資料可編輯word 資料可編輯1.4 條件概率word 資料可編輯word 資料可編輯word 資料可編輯

2、word 資料可編輯1.5 事件的獨(dú)立性word 資料可編輯word 資料可編輯word 資料可編輯word 資料可編輯word 資料可編輯復(fù)習(xí)總結(jié)與總習(xí)題解答習(xí)題 3. 證明下列等式word 資料可編輯習(xí)題 5.習(xí)題 6.word 資料可編輯習(xí)題 7習(xí)題 8word 資料可編輯習(xí)題 9習(xí)題 10習(xí)題 11word 資料可編輯習(xí)題 12習(xí)題 13習(xí)題 14word 資料可編輯習(xí)題 16word 資料可編輯習(xí)題 17習(xí)題 18word 資料可編輯習(xí)題 19習(xí)題 20word 資料可編輯習(xí)題 21習(xí)題 22word 資料可編輯習(xí)題 23習(xí)題 24習(xí)題 25word 資料可編輯習(xí)題 26word 資

3、料可編輯word 資料可編輯第二章 隨機(jī)變量及其分布2.1 隨機(jī)變量習(xí)題 1 隨機(jī)變量的特征是什么 ？解答 ：隨機(jī)變量是定義在樣本空間上的一個(gè)實(shí)值函數(shù) . 隨機(jī)變量的取值是隨機(jī)的 ，事先或試驗(yàn)前不知道取哪個(gè)值 . 隨機(jī)變量取特定值的概率大小是確定的 .習(xí)題 2 試述隨機(jī)變量的分類 .解答：若隨機(jī)變量 X 的所有可能取值能夠一一列舉出來(lái) ，則稱 X為離散型隨機(jī)變量 ；否則稱為非離散型 隨機(jī)變量 .若 X的可能值不能一一列出 ，但可在一段連續(xù)區(qū)間上取值 ，則稱 X 為連續(xù)型隨機(jī)變量 .習(xí)題 3盒中裝有大小相同的球 10個(gè)，編號(hào)為 0,1,2,? ,9, 從中任取 1個(gè)，觀察號(hào)碼是 “小于 5”，“

4、等于5”，“大 于 5”的情況 ，試定義一個(gè)隨機(jī)變量來(lái)表達(dá)上述隨機(jī)試驗(yàn)結(jié)果， 并寫出該隨機(jī)變量取每一個(gè)特定值的概率 .解答 ：分別用 1,2,3表示試驗(yàn)的三個(gè)結(jié)果 “小于 5”，“等于 5”，“大于 5”，則樣本空間S= 1, 2, 定義3隨, 機(jī)變量 X 如下 ：X=X( )=0, = 11, = 2,2, = 3則X 取每個(gè)值的概率為PX=0=P 取出球的號(hào)碼小于 5=5/10,PX=1=P 取出球的號(hào)碼等于 5=1/10,PX=2=P 取出球的號(hào)碼大于 5=4/10.2.2 離散型隨機(jī)變量及其概率分布 習(xí)題 1設(shè)隨機(jī)變量 X 服從參數(shù)為 的泊松分布 ，且 PX=1=PX=2, 求 .解答

5、：由 PX=1=PX=2, 得e- =2/2e- 解,得 =2.習(xí)題 2設(shè)隨機(jī)變量 X 的分布律為 PX=k=k15,k=1,2,3,4,5, 試求 (1)P12X3.解答 ： (1)P12X3=PX=4+PX=5=415+515=35.習(xí)題 3已知隨機(jī)變量 X只能取-1,0,1,2 四個(gè)值，相應(yīng)概率依次為 12c,34c,58c,716c, 試確定常數(shù) c, 并計(jì)算 PX1 X 0.解答 ：依題意知 ， 12c+34c+58c+716c=1, 即 3716c=1, 解得 c=3716=2.3125.由條件概率知 PX1 X0=PX60, 即 PX20, PX20=PX=30+PX=40=0.

6、6.就是說(shuō) ，加油站因代營(yíng)業(yè)務(wù)得到的收入大于當(dāng)天的額外支出費(fèi)用的概率為 0.6.習(xí)題 6 設(shè)自動(dòng)生產(chǎn)線在調(diào)整以后出現(xiàn)廢品的概率為p=0.1, 當(dāng)生產(chǎn)過(guò)程中出現(xiàn)廢品時(shí)立即進(jìn)行調(diào)整 ，X 代表在兩次調(diào)整之間生產(chǎn)的合格品數(shù) ，試求 ：(1) X 的概率分布 ； (2)PX 5;(3) 在兩次調(diào)整之間能以 0.6 的概率保證生產(chǎn)的合格品數(shù)不少于多少 ?解答 ： (1)PX=k=(1- p)kp=(0.9)k 0.1,k=0,1,2,? ;(2) PX 5= k=5 PX=k= k=5 (0.9)k 0.1=(0.9)5;(3) 設(shè)以 0.6 的概率保證在兩次調(diào)整之間生產(chǎn)的合格品不少于m 件 ，則 m

7、應(yīng)滿足PX m=0.6即, PX m-1=0.4. 由于PX m- 1= k=0m-1(0.9)k(0.1)=1-(0.9)m,故上式化為 1-0.9m=0.4, 解上式得 m 4.85 5,因此，以 0.6 的概率保證在兩次調(diào)整之間的合格品數(shù)不少于 5.習(xí)題 7設(shè)某運(yùn)動(dòng)員投籃命中的概率為 0.6, 求他一次投籃時(shí) ，投籃命中的概率分布 .解答：此運(yùn)動(dòng)員一次投籃的投中次數(shù)是一個(gè)隨機(jī)變量 ，設(shè)為 X, 它可能的值只有兩個(gè) ，即 0 和 1.X=0 表示未投中 ， 其概率為 p1=PX=0=1-0.6=0.4,X=1 表示投中一次 ，其概率為 p2=PX=1=0.6. 則隨機(jī)變量的分布律為X01P

8、0.40.6習(xí)題 8某種產(chǎn)品共 10 件，其中有 3 件次品 ，現(xiàn)從中任取 3 件，求取出的 3 件產(chǎn)品中次品的概率分布word 資料可編輯解答：設(shè)X表示取出 3件產(chǎn)品的次品數(shù) ，則X的所有可能取值為 0,1,2,3. 對(duì)應(yīng)概率分布為PX=0=C73C103=35120, PX=1=C73C31C103=36120,PX=2=C71C32C103=21120, PX=3=C33C103=1120.X 的分布律為X0123P3512036120211201120習(xí)題 9一批產(chǎn)品共 10件，其中有 7件正品， 3件次品，每次從這批產(chǎn)品中任取一件 ，取出的產(chǎn)品仍放回 去， 求直至取到正品為止所需次數(shù)

9、 X 的概率分布 .解答 ：由于每次取出的產(chǎn)品仍放回去 ，各次抽取相互獨(dú)立 ，下次抽取時(shí)情況與前一次抽取時(shí)完全相同 ，所 以X 的可能取值是所有正整數(shù) 1,2,? ,k,? .設(shè)第 k次才取到正品 (前 k-1 次都取到次品 ), 則隨機(jī)變量 X的分布律為PX=k=310 31?0 310 710=(310-)k1 710,k=1,2,? .習(xí)題 10 設(shè)隨機(jī)變量 Xb(2,p),Y b(3,p), 若 PX1=59, 求 PY1.解答 ：因?yàn)?Xb(2,p), PX=0=(1-p)2=1- PX 1=-15/9=4/9, 所以 p=1/3.因?yàn)?Yb(3,p), 所以PY1=1-PY=0=1

10、-(2/3)3=19/27.習(xí)題 11 紡織廠女工照顧 800 個(gè)紡綻 ， 每一紡錠在某一段時(shí)間 內(nèi)斷頭的概率為 0.005, 在 這段時(shí)間內(nèi)斷 頭次數(shù)不大于 2 的概率 .解答 ： 以 X 記紡錠斷頭數(shù) , n=800,p=0.005,np=4, 應(yīng)用泊松定理 ，所求概率為 ：P0 X 2=?P0 xi 2X=xi= k=02b(k;800,0.005) k=02P(k;4)=e-4(1+41!+422!) 0.2381.習(xí)題 12 設(shè)書籍上每頁(yè)的印刷錯(cuò)誤的個(gè)數(shù) X 服從泊松分布 ， 經(jīng)統(tǒng)計(jì)發(fā)現(xiàn)在某本書上 ，有一個(gè)印刷錯(cuò)誤與有 兩個(gè)印刷錯(cuò)誤的頁(yè)數(shù)相同 ， 求任意檢驗(yàn) 4 頁(yè) ，每頁(yè)上都沒有印

11、刷錯(cuò)誤的概率 .解答 ： becausePX=1=PX=2, 即 11!-e = 2-2!e ? =2,PX=0=e-2, p=(e-2)4=e-8.2.3 隨機(jī)變量的分布函數(shù)習(xí)題 1F(X)=0,x-20.4,- 2x01,x 0,是隨機(jī)變量 X 的分布函數(shù) ，則 X 是型_的隨機(jī)變量 .解答 ：離散.由于 F(x)是一個(gè)階梯函數(shù) ，故知 X 是一個(gè)離散型隨機(jī)變量 .習(xí)題 2 設(shè) F(x)=0x0x20 1,1x 1問(wèn) F(x)是否為某隨機(jī)變量的分布函數(shù) . 解答：首先，因?yàn)?0F(x) 1,?x(-,+).其次 ，F(xiàn)(x)單調(diào)不減且右連續(xù) ，即word 資料可編輯F(0+0)=F(0)=0

12、, F(1+0)=F(1)=1, 且 F(- )=0,F(+ )=1, 所以 F(x)是隨機(jī)變量的分布函數(shù) . 習(xí)題 3 已知離散型隨機(jī)變量 X 的概率分布為 PX=1=0.3,PX=3=0.5,PX=5=0.2, 試寫出 X 的分布函數(shù) F(x)， 并畫出圖形 . 解答 ：由題意知 X 的分布律為 ：X135Pk0.30.50.2所以其分布函數(shù) F(x)=P Xx=0,x10.3,1 x30.8,3 x51,x 5.F(x)的圖形見圖 .習(xí)題 4設(shè)離散型隨機(jī)變量 X的分布函數(shù)為 F(x)=0,x-10.4,- 1x10.8,1 x31,x 3, 試求：(1)X 的概率分布 ； (2)PX2

13、X1.解答 ：(1)X-113pk0.40.40.2(2)PX2 X 1=PX=-1PX 1=23. 習(xí)題 5 設(shè) X 的分布函數(shù)為F(x)=0,x0x2,0-1x2,11x x1.51,x 1.5,求 P0.40.5,P1.7X 2.解答 ： P0.40.5=1- PX 0.5=-1F(0.5)=1-0.5/2=0.75,P1.7X 2=F(-2F)(1.7)=1-1=0.習(xí)題 6 設(shè)隨機(jī)變量 X 的分布函數(shù)為F(x)=A+Barctanx(- x+ ), 試求：(1)系數(shù) A與 B;(2)X 落在(-1,1 內(nèi)的概率 .解答 ：(1)由于 F(-)=0,F(+ )=1, 可知A+B(- 2

14、)A+B( 2)=1=0?A=12,B=1 ,于是 F(x)=12+1 arctanx, - x+;(2)P- 1X 1=F(1-)F(-1)=(12+1 arctan1-)12+1 arctanx-1( )=12+1 ?4-12- 1 -( 4)=12.習(xí)題 7在區(qū)間0,a上任意投擲一個(gè)質(zhì)點(diǎn) ，以 X表示這個(gè)質(zhì)點(diǎn)的坐標(biāo) .設(shè)這個(gè)質(zhì)點(diǎn)落在 0,a中任意小區(qū)間內(nèi)的 概率與這個(gè)小區(qū)間的長(zhǎng)度成正比例 ，試求 X 的分布函數(shù) .解答 ： F(x)=PX x=0,x0xa,0 xa.1,x a2.4 連續(xù)型隨機(jī)變量及其概率密度習(xí)題 1 設(shè)隨機(jī)變量 X 的概率密度為word 資料可編輯f(x)=12 -(

15、xe+3)24(- x+ 則), Y=N(0,1).解答 ：應(yīng)填 3+X2.由正態(tài)分布的概率密度知 =-3,=2由Y=X- N(0,1), 所以 Y=3+X2 N(0,1).習(xí)題 2 已知 Xf(x)=2x,0x10, 其它 , 求 PX0.5;PX=0.5;F(x).解答 ：PX0.5= - 0.5f(x)dx= - 00dx+00.52xdx=x2 00.5=0.25, PX=0.5=PX-P0.5X0.5= - 0.5f(x)dx- 0.5f(x)dx=0.當(dāng) X0時(shí)， F(x)=0;當(dāng) 0x1 時(shí)，F(xiàn)(x)= - xf(t)dt= -00dt+0x2tdt=t2 0x=x2;當(dāng)X1時(shí)，

16、F(x)= - xf(t)dt= -00dt+0x2tdt+ 1x0dt=t2 01=1,故F(x)=0,x 0x2,0x00,x試求0,： (1)A,B 的值； (2)P-1X1; (3) 概率密度函數(shù) F(x).解答 ：becauseF(+)=limx +(A+Be -2x)=1, A=1;又 becauselimx 0+(A+Be -2x)=F(0)=0,B=-1.(2) P-1X20e0,x 0.習(xí)題 4 服從拉普拉斯分布的隨機(jī)變量 X 的概率密度 f(x)=Ae- x, 求系數(shù) A 及分布函數(shù) F(x).解答 ：由概率密度函數(shù)的性質(zhì)知 ，- +f(x)dx=1, 即- + A-exd

17、x=1,而- +Ae - xdx=- 0Aexdx+0+Ae -xdx=Aex - 0+(-Ae-x 0+ )=A+A=2A或 - + Ae - xdx=2 0+ Ae -xdx=-2Ae-x 0+ =2A, 所以 2A=1, 即 A=1/2.從而 f(x)=12e- x,-x+, 又因?yàn)?F(x)= - xf(t)dt, 所以當(dāng) x0 時(shí) ，F(xiàn)(x)= - x12e- t dt=12 -xetdt=12et -x=12ex;當(dāng) x0時(shí)，F(xiàn)(x)= - x12e- xdt= -012etdt+ 0x12e -tdt=12et- 0-12e-t 0x=12-12e-x+12=1-12e-x,從而

18、 F(x)=12ex,x150= 150+ f(x)dx= 150+ 100x2dx=-100x 150+ =100150=23, 從而三個(gè)電子管在使用 150 小時(shí)以上不需要更換的概率為 p=(2/3)3=8/27.習(xí)題 6設(shè)一個(gè)汽車站上 ，某路公共汽車每 5分鐘有一輛車到達(dá) ，設(shè)乘客在 5 分鐘內(nèi)任一時(shí)間到達(dá)是等可能 的， 試計(jì)算在車站候車的 10 位乘客中只有 1 位等待時(shí)間超過(guò) 4 分鐘的概率 .word 資料可編輯解答：設(shè)X為每位乘客的候車時(shí)間 ，則X服從0,5上的均勻分布 . 設(shè) Y表示車站上 10位乘客中等待時(shí)間超 過(guò)4分鐘的人數(shù) . 由于每人到達(dá)時(shí)間是相互獨(dú)立的 .這是 10重

19、伯努力概型 . Y服從二項(xiàng)分布 ，其參數(shù) n=10,p=PX 4=15=0.2,所以PY=1=C1010.2 0.89 0.268.習(xí)題 7設(shè)XN(3,22).(1)確定 C, 使得PXc=PXc;(2)設(shè)d滿足PXd0.9, 問(wèn)d至多為多少 ?解答 ：因?yàn)?XN(3,22), 所以 X-32=Z N(0,1).(1)欲使 PXc=PX 必c有, 1-PX c=PX 即c,PX c=1/2,亦即 (c-32)=12, 所以 c-32=0, 故 c=3.(2)由 PXd 0可.9得 1-PX d 0即.9,PX d 0.1.于是 (d-32)0.1, (-3d2)0.9.查表得 3-d21.28

20、2, 所以 d0.436.習(xí)題 8設(shè)測(cè)量誤差 X N(0,102), 先進(jìn)行 100 次獨(dú)立測(cè)量 ，求誤差的絕對(duì)值超過(guò) 19.6 的次數(shù)不小于 3 的概率 . 解答 ：先求任意誤差的絕對(duì)值超過(guò) 19.6 的概率 p,p=P X19.6=1-P X 19.6=1-P X10 1.96=1- (1.96-)(-1.96)=1- 2 (1.96-1)=1- 2 0.97-51=1-0.95=0.05.設(shè)Y為 100次測(cè)量中誤差絕對(duì)值超過(guò) 19.6的次數(shù)，則 Yb(100,0.05).因?yàn)?n很大，p 很小，可用泊松分布近似 ，np=5=,所以PY 31-50e-50!-51e-51!-52e-52!

21、=1-3722-50.87.習(xí)題 9 某玩具廠裝配車間準(zhǔn)備實(shí)行計(jì)件超產(chǎn)獎(jiǎng) ，為此需對(duì)生產(chǎn)定額作出規(guī)定 . 根據(jù)以往記錄 ，各工人每月 裝配產(chǎn)品數(shù)服從正態(tài)分布 N(4000,3600). 假定車間主任希望 10%的工人獲得超產(chǎn)獎(jiǎng) ， 求：工人每月需完成 多少件產(chǎn)品才能獲獎(jiǎng) ？解答：用 X表示工人每月需裝配的產(chǎn)品數(shù) ，則XN(4000,3600).設(shè)工人每月需完成 x 件產(chǎn)品才能獲獎(jiǎng) ，依題意得 PXx=0.1, 即1-PXx=0.1,所以 1-F(x)=0.1, 即 1- (x-400060)=0.1, 所以 (x-400060)=0.9.查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)人分布表得 (1.28)=0.8997, 因此

22、 x-400060 1.28, 即 x=4077 件，就是說(shuō) ， 想獲超產(chǎn)獎(jiǎng)的工人 ，每月必須裝配 4077 件以上 .習(xí)題 10 某地區(qū) 18 歲女青年的血壓 (收縮壓 ， 以 mm-HG 計(jì))服從 N(110,122). 在該地區(qū)任選一 18 歲女青年，測(cè)量她的血壓 X.(1)求 PX105,P100x0.005.解答 ：已知血壓 X N(110,122).(1)PX 105=P-1X1012 -512 1- (0.42)=0.3372,P100x 0.0求5, x, 即 1-PX x ,0 亦.05即 (x-11012) 0.95,查表得 x- 100121.645, 從而 x129.7

23、4.word 資料可編輯習(xí)題 11 設(shè)某城市男子身高 XN(170,36), 問(wèn)應(yīng)如何選擇公共汽車車門的高度使男子與車門碰頭的機(jī)會(huì)小于0.01.解答 ： XN(170,36), 則 X-1706 N(0,1).設(shè)公共汽車門的高度為 xcm ， 由題意 PXxx=1- PX x=-1 (-x1706)0.99, 查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)表得 x-17062.33, 故 x183.98cm.因此 ，車門的高度超過(guò) 183.98cm 時(shí)，男子與車門碰頭的機(jī)會(huì)小于 0.01.習(xí)題 12 某人去火車站乘車 ，有兩條路可以走 . 第一條路程較短 ，但交通擁擠 ，所需時(shí)間 (單位：分鐘 )服從 正態(tài)分布 N(40,102

24、); 第二條路程較長(zhǎng) ，但意外阻塞較少 ，所需時(shí)間服從正態(tài)分布 N(50,42), 求：(1) 若動(dòng)身時(shí)離開車時(shí)間只有 60 分鐘 ，應(yīng)走哪一條路線 ？(2) 若動(dòng)身時(shí)離開車時(shí)間只有 45 分鐘 ，應(yīng)走哪一條路線 ？解答：設(shè) X,Y分別為該人走第一 、二條路到達(dá)火車站所用時(shí)間 ，則 XN(40,102),Y N(50,42). 哪一條路線在開車之前到達(dá)火車站的可能性大就走哪一條路線 .(1)因?yàn)?PX60= (-640010)= (2)=0.97725,PY60= (-65004)= (2.5)=0.99379, 所以有 60 分鐘時(shí)應(yīng)走第二條路 .(2)因?yàn)?PX45= (-445010)=

25、 (0.5)=0.6915,PX0 時(shí)， fY(y)=1c(b- a),ca+d ycb+d0,其它 ,當(dāng) c0 時(shí)， fY(y)=-1c(b-a),cb +dyca+d0, 其它 .習(xí)題 4 設(shè)隨機(jī)變量 X 服從 0,1 上的均勻分布 ，求隨機(jī)變量函數(shù) Y=eX 的概率密度 fY(y).解答 ：f(x)=1,0 x1其0,它 , f=ex,x (0,1)是單調(diào)可導(dǎo)函數(shù) ， y(1,e), 其反函數(shù)為 x=lny, 可得f(x)=fX(lny) ln y,1ye其0,它 =1y,1y1y(時(shí) )=P-y- 12 X-1y2= -y-12y- 1212 -ex2dx,所以 fY(y)=F Y(y

26、)=22 -1e2 ?y-12 ?122y-1,y1, 于是fY(y)=12-1)e(-yy- 14,y10,y 1.習(xí)題 6設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量 X的概率密度為 f(x), 分布函數(shù)為 F(x), 求下列隨機(jī)變量 Y的概率密度 ：(1)Y=1X; (2)Y= X.解答：(1)FY(y)=PY y=P1/X y.當(dāng) y0 時(shí)， FY(y)=P1/X 0+P01/X y=PX 0+PX 1/y=F(0-)F+(11/y),故這時(shí) fY(y)=- F(1y) =1y2f(1y); ；當(dāng) y0 時(shí)， FY(y)=P1/y X0=-F(10/)y),故這時(shí) fY(y)=1y2f(1y);當(dāng) y=0 時(shí) ，

27、 FY(y)=P1/X 0=PX0 時(shí)，F(xiàn)Y(y)=P- y X y=F(-yF)(-y)這時(shí) fY(y)=f(y)+f(-y); 當(dāng) y00,y 0.習(xí)題 7 某物體的溫度 T(F)是一個(gè)隨機(jī)變量 , 且有 TN(98.6,2), 已知 =5(T-32)/9, 試求 (F)的概率密度 . 解答 ：已知 TN(98.6,2). =59(T-32), 反函數(shù)為 T=59+32, 是單調(diào)函數(shù) ，所以f (y)=fT(95y+32)?95=12 ?2e-(95y+32-98.6)24 ?95word 資料可編輯=910 e-81100(y-37)2.習(xí)題8設(shè)隨機(jī)變量 X在任一區(qū)間 a,b上的概率均大

28、于 0, 其分布函數(shù)為 FY(x), 又Y在0,1上服從均勻分布 ， 證明:Z=FX-1(Y) 的分布函數(shù)與 X 的分布函數(shù)相同 .解答：因X在任一有限區(qū)間 a,b上的概率均大于 0, 故 FX(x)是單調(diào)增加函數(shù) ，其反函數(shù) FX-1(y)存在，又Y 在0,1上服從均勻分布 ，故 Y的分布函數(shù)為FY(y)=PY y=0,y0,于是，Z 的分布函數(shù)為FZ(z)=PZ z=P-1F(XY) z=PY FX(z)=0,FX(z)1由于 FX(z)為 X 的分布函數(shù) ，故 0FX(z) 1.FX(z)1 均勻不可能 ，故上式僅有 FZ(z)=FX(z), 因此，Z與 X的分布函數(shù)相同 . 總習(xí)題解答

29、習(xí)題 1從 120的整數(shù)中取一個(gè)數(shù) ，若取到整數(shù) k的概率與 k成正比，求取到偶數(shù)的概率 . 解答：設(shè)Ak 為取到整數(shù) k, P(Ak)=ck, k=1,2, ? ,20.因?yàn)?P(? K=120Ak)=k=120P(Ak)=ck=120k=1，所以 c=1210,P 取到偶數(shù) =PA2 A4 ? A20 =1210(2+4+ ? +20)=1121.習(xí)題 2 若每次射擊中靶的概率為 0.7, 求射擊 10 炮,(1) 命中 3炮的概率 ;(2)至少命中 3炮的概率 ;(3)最可能命中幾炮 .解答：若隨機(jī)變量 X表示射擊 10 炮中中靶的次數(shù) . 由于各炮是否中靶相互獨(dú)立 ，所以是一個(gè) 10

30、重伯努利 概型，X 服從二項(xiàng)分布 ，其參數(shù)為 n=10,p=0.7, 故(1)PX=3=C103(0.7)3(0.3)7 0.009;(2) PX 3-P=1X300000 即 X15( 人).因此 ，P保險(xiǎn)公司虧本 =PX15= k=162500C2500k(0.002)k (0.99-k8 )25001- k=015e-55kk! 0.000069,由此可見 ,在 1 年里保險(xiǎn)公司虧本的概率是很小的 .word 資料可編輯(2)P保險(xiǎn)公司獲利不少于 100000 元=P300000-2 00000X 100000=PX 10= k=010C2500k(0.002) (0.998-k)250

31、0 k=010e-55kk! 0.986305,即保險(xiǎn)公司獲利不少于 100000 元的概率在 98%以上 .P保險(xiǎn)公司獲利不少于 200000 元 =P300000- 200000X 200000=PX 5= k=05C2500k(0.002)k (0.998-k)2500 k=05e-55kk! 0.615961,即保險(xiǎn)公司獲利不少于 200000 元的概率接近于 62%.習(xí)題 4一臺(tái)總機(jī)共有 300 臺(tái)分機(jī)，總機(jī)擁有 13 條外線，假設(shè)每臺(tái)分機(jī)向總機(jī)要外線的概率為 3%, 試求每 臺(tái)分機(jī)向總機(jī)要外線時(shí) ，能及時(shí)得到滿足的概率和同時(shí)向總機(jī)要外線的分機(jī)的最可能臺(tái)數(shù) .解答：設(shè)分機(jī)向總機(jī)要到外

32、線的臺(tái)數(shù)為 X, 300 臺(tái)分機(jī)可看成 300 次伯努利試驗(yàn) ，一次試驗(yàn)是否要到外線 . 設(shè)要到外線的事件為 A, 則 P(A)=0.03, 顯然 Xb(300,0.03), 即PX=k=C300k(0.03)k(0.97)300-k(k=0,1,2, ? ,300),因 n=300 很大 ， p=0.03 又很小 , =np=300 0.03=9,可用泊松近似公式計(jì)算上面的概率 . 因總共只有 13 條外線 ， 要到外線的臺(tái)數(shù)不超過(guò) 13，故PX 13 k=0139kk!e-9 0.9265, ( 查泊松分布表 ) 且同時(shí)向總機(jī)要外線的分機(jī)的最可能臺(tái)數(shù)k0=(n+1)p=301 0.03=9

33、.習(xí)題5在長(zhǎng)度為 t的時(shí)間間隔內(nèi) ，某急救中心收到緊急呼救的次數(shù) X服從參數(shù) t2 的泊松分布 ，而與時(shí)間間 隔的起點(diǎn)無(wú)關(guān) (時(shí)間以小時(shí)計(jì) ), 求：(1) 某一天從中午 12 至下午 3 時(shí)沒有收到緊急呼救的概率 ；(2) 某一天從中午 12 時(shí)至下午 5 時(shí)至少收到 1 次緊急呼救的概率 .解答 ：(1)t=3, =3/2 ,PX=0=e-3/2 0.223;(2)t=5, =5/2,PX1=1 -PX=0=1-e-5/2 0.918. 習(xí)題 6 設(shè) X 為一離散型隨機(jī)變量 ，其分布律為X-101pi1/21-2qq2試求 ：(1)q 的值 ； (2)X 的分布函數(shù) .解答 ： (1)be

34、cause 離散型隨機(jī)變量的概率函數(shù) PX=xi=pi, 滿足 ipi=1, 且 0pi 1, 1/2+1- 2q+q2=10 1-2q 1q2 1,解得 q=1-1/2. 從而 X 的分布律為下表所示 ：X-101pi1/22-13/2-2(2)由 F(x)=PX 計(jì)算x X 的分布函數(shù)F(x)=0,1/2,2-1/2,1,x-1-1 x00 x0x 1.習(xí)題 7 設(shè)隨機(jī)變量 X 的分布函數(shù) F(x)為F(x)=0,x /2word 資料可編輯則 A=,P X/6= .解答 ：應(yīng)填 1;1/2.由分布函數(shù) F(x)的右連續(xù)性 ，有 F(2+0)=F( 2)? A=1.因 F(x)在 x=6處

35、連續(xù) ， 故 PX=6=12, 于是有P X 6=P- 6X 6=P- 60是常數(shù) ，求電子管在損 壞前已使用時(shí)數(shù) X 的分布函數(shù) F(x)，并求電子管在 T 小時(shí)內(nèi)損壞的概率 .解答：因 X的可能取值充滿區(qū)間 (0,+ ),故應(yīng)分段求 F(x)=PX x.當(dāng) x0時(shí)，F(xiàn)(x)=PX x=P(? )=0;當(dāng) x0 時(shí)，由題設(shè)知 PxXx+x/X= x+o(x),而PxX x+ x/X=PxxPXx=Px0, 0故, X 的分布函數(shù)為F(x)=0,x-e- 01 x,x0( 0),從而電子管在 T 小時(shí)內(nèi)損壞的概率為PX T=F(T)=-1e- T.習(xí)題 9 設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量 X的分布密度為f(

36、x)=x,0x-x,112x 2其0它, ,求其分布函數(shù) F(x).解答 ：當(dāng) x0時(shí)，F(xiàn)(x)= - x0dt=0;當(dāng)0x1時(shí)，F(xiàn)(x)= - xf(t)dt= -00tdt+ 0xtdt=12x2;當(dāng) 12 時(shí)，F(xiàn)(x)= - 00dt+01tdt+ 12(2- t)dt+ 2x0dt=1, 故F(x)=0,x 212x2,0-x1+2x- x122,12.習(xí)題 10 某城市飲用水的日消費(fèi)量 X(單位：百萬(wàn)升 )是隨機(jī)變量 ，其密度函數(shù)為 ：f(x)=19xe-x3,x00,其它 ,試求：(1)該城市的水日消費(fèi)量不低于 600 萬(wàn)升的概率 ； (2)水日消費(fèi)量介于 600萬(wàn)升到 900萬(wàn)升的概率 .