1202 常數(shù)項級數(shù)的審斂法

1、一、一、正項級數(shù)正項級數(shù)及其斂散性的判別法及其斂散性的判別法 二、二、交錯級數(shù)交錯級數(shù)及其斂散性的判別法及其斂散性的判別法 三、三、絕對收斂絕對收斂與與條件收斂條件收斂 12.2 常數(shù)項級數(shù)的斂散性的判別法常數(shù)項級數(shù)的斂散性的判別法 上頁上頁下頁下頁鈴鈴結(jié)束結(jié)束返回返回首頁首頁 第十二章第十二章 上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁 一、正項級數(shù)及其一、正項級數(shù)及其斂散性的判別法斂散性的判別法 正項級數(shù)收斂的充分必要條件它的部分和數(shù)列有界正項級數(shù)收斂的充分必要條件它的部分和數(shù)列有界. v正項級數(shù)正項級數(shù) 各項都是正數(shù)或零的級數(shù)稱為正項級數(shù)各項都是正數(shù)或零的級數(shù)稱為正項級數(shù). 下頁下頁 v定理定理1(正項級數(shù)

2、收斂的充要條件正項級數(shù)收斂的充要條件) 即若即若,0 n u 1n n u則稱則稱為正項級數(shù)為正項級數(shù) . 若若 1n n u收斂收斂 , ,收斂則 n S ,0 n u部分和數(shù)列部分和數(shù)列 n S n S有界有界, 故故 n S 1n n u從而從而 又已知又已知 故有界故有界. 單調(diào)遞增單調(diào)遞增, 收斂收斂 , 也收斂也收斂. 證證: “ ” “ ” 上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁 v定理定理2(比較判別法比較判別法) 設 1n n u和 1n n v都是正項級數(shù) 且 unvn (n1 2 ) 下頁下頁 (1) 若級數(shù)若級數(shù) 1n n v 則級數(shù)則級數(shù) (2) 若級數(shù)若級數(shù)則級數(shù)則級數(shù) 1n n

3、v 收斂收斂 ,也收斂也收斂 ; 發(fā)散發(fā)散 ,也發(fā)散也發(fā)散 . 1 n n u 的部分和的部分和, 則有則有 n n S設設和和 分別表示級數(shù)分別表示級數(shù) 1 n n u 和和 1n n v (1) 若若 1n n v 則則 n 則則(2) 若若因此因此,lim n n 故故也發(fā)散也發(fā)散 . 0 nn S 也收斂也收斂 . 發(fā)散發(fā)散, , 收斂收斂, 故故 證證: 有界有界, 從而從而 n S有界有界, 1 n n u 1 n n u 1n n v lim, n n S 1 n n u 上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁 v定理定理2(比較判別法比較判別法) 推論推論 設 1n n u和 1n n v都是

4、正項級數(shù) 且 unkvn(k0 nN) 下頁下頁 設 1n n u和 1n n v都是正項級數(shù) 且 unvn (n1 2 ) (1) 若級數(shù)若級數(shù) 1n n v 則級數(shù)則級數(shù) 1 n n u (2) 若級數(shù)若級數(shù)則級數(shù)則級數(shù) 1n n v 收斂收斂 ,也收斂也收斂 ; 發(fā)散發(fā)散 ,也發(fā)散也發(fā)散 . 1 n n u (1) 若級數(shù)若級數(shù) 1n n v 則級數(shù)則級數(shù) 1 n n u (2) 若級數(shù)若級數(shù)則級數(shù)則級數(shù) 1n n v 收斂收斂 ,也收斂也收斂 ; 發(fā)散發(fā)散 ,也發(fā)散也發(fā)散 . 1 n n u 上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁 例例1：判斷下列級數(shù)的斂散性。：判斷下列級數(shù)的斂散性。 1 2n n=

5、0 sin 11 , 22 n nn u =sin解解:(1) 因為因為 所以所以, 由比較判別法可知，級數(shù)由比較判別法可知，級數(shù) 0 1 sin 2n n 收斂收斂. 它收斂它收斂, 且級數(shù)且級數(shù) 1 2 n n=0 1 1 2 q 為為 的幾何級數(shù)的幾何級數(shù), 上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁 解解 下頁下頁 v定理定理2(比較判別法比較判別法) 例 1 討論 p級數(shù)) 0( 1 1 p n p n 的收斂性 解 當 p1 時 nn p 11 而級數(shù) 所以級數(shù) p n n 1 1 也發(fā)散 nn p 11 而級數(shù) 1 1 n n 發(fā)散 設設un和和vn都是正項級數(shù)都是正項級數(shù) 且且un kvn(k0

6、n N) 若級數(shù)若級數(shù) vn收斂收斂 則級數(shù)則級數(shù)un收斂收斂; ; 若級數(shù)若級數(shù)un發(fā)散發(fā)散 則級數(shù)則級數(shù)vn發(fā)散發(fā)散 11pnxn 時,因為當時,有當當 11 , pp nx pp nx 從而從而,有有 上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁 11pnxn 時,因為當時,有 11 , pp nx 所以 11 111 nn ppp nn dxdx nnx 11 111 . 1 (1) pp p nn 2,3,n 當當 當 p1 時 1 ) 1( 1 1 11 11 ppp nnpn (n2, 3, ) 即即 考慮級數(shù)考慮級數(shù) 11 2 1 ) 1( 1 pp n nn 的部分和的部分和: n 11 1 2

7、1 )1( 1 pp n k kk 11111 11111 1 223(1) ppppp nn 上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁 而級數(shù) 1 ) 1( 1 11 2 pp n nn 收斂 所以級數(shù)收斂 所以級數(shù) p n n 1 1 也收斂 結(jié)論結(jié)論: 當當 p 1 時收斂時收斂; ; 當當 p 1 時發(fā)散時發(fā)散. . n 1 ) 1( 1 1 p n 1 故該級數(shù)收斂故該級數(shù)收斂. 3 11 2 11 nn nn n 例如例如:級數(shù)級數(shù) 3 1 2 p p 是是的的級數(shù)，級數(shù)， p 級數(shù)級數(shù) )0( 1 1 p n p n 的收斂性的收斂性: : 上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁 證 因為 1 1 ) 1( 1

8、) 1( 1 2 n n nn 證證 下頁 例 2 證明級數(shù) 1) 1( 1 nnn 是發(fā)散的 而級數(shù) 1 1 1 n n 發(fā)散 故級數(shù)發(fā)散 故級數(shù) 1) 1( 1 nnn 也發(fā)散 注注:應用比較判別法判定一個級數(shù)的斂散性時應用比較判別法判定一個級數(shù)的斂散性時,通常通常 將這個級數(shù)與將這個級數(shù)與等比級數(shù)等比級數(shù)或或調(diào)和級數(shù)調(diào)和級數(shù)或或P級數(shù)級數(shù)相比較相比較. 上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁 v定理定理3(比較判別法比較判別法的極限形式的極限形式) 設 1n n u和 1n n v都是正項級數(shù) 下頁下頁 ,liml v u n n n 則有則有 兩個級數(shù)同時收斂或發(fā)散兩個級數(shù)同時收斂或發(fā)散 ; (2)

9、當當 l = 0 , 1 收斂時且 n n v (3) 當當 l = + , 1 發(fā)散時且 n n v 若若 (1) 當當 0 l + 時時, 級數(shù)級數(shù) 1 n n u 也收斂也收斂 ; 級數(shù)級數(shù) 1 n n u 也發(fā)散也發(fā)散 . 上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁下頁下頁 例 3 判別級數(shù) 1 1 sin n n 的收斂性 解 因為1 1 1 sin lim n n n 而級數(shù) 解解 所以級數(shù) 1 1 sin n n 也發(fā)散 1 1 1 sin lim n n n 而級數(shù) 1 1 n n 發(fā)散 例 4 判別級數(shù) 1 2 ) 1 1ln( n n 的收斂性 解解 1 1 ) 1 1ln( lim 2 2

10、n n n 而級數(shù) 2 1 1 n n 收斂 所以級數(shù) 1 2 ) 1 1ln( n n 也收斂 )1ln( 2 1 n 2 1 n 注注: 2 2 1 1 ln(1) lim n n n 因為因為 2 2 1 1 lim1, n n n 上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁 v定理定理4(極限極限判別判別法法) 設 1n n u為正項級數(shù) (1)如果)lim( 0lim n n n n nulnu或 則級數(shù) 1n n u發(fā)散; (2)如果 p1 而)0( lim llun n p n 則級數(shù) 1n n u收斂 因為因為 解解 1) 1 1ln(lim) 1 1ln(limlim 2 22 22 n nn

11、n n nn nun 根據(jù)極限根據(jù)極限判別判別法法 知所給級數(shù)收斂知所給級數(shù)收斂 1) 1 1ln(lim) 1 1ln(limlim 2 22 22 n nn n n nn nun1) 1 1ln(lim) 1 1ln(limlim 2 22 22 n nn n n nn nun 下頁下頁 2 1 1 ln(1) n n 例例5 判斷級數(shù)判斷級數(shù)的斂散性的斂散性. 上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁 v定理定理4(極限極限判別判別法法) 設 1n n u為正項級數(shù) (1)如果)lim( 0lim n n n n nulnu或 則級數(shù) 1n n u發(fā)散; (2)如果 p1 而)0( lim llun n

12、p n 則級數(shù) 1n n u收斂 222 2 3 2 3 2 1 )( 2 11 lim)cos1 ( 1limlim nn n n n nnun nn n n 222 2 3 2 3 2 1 )( 2 11 lim)cos1 ( 1limlim nn n n n nnun nn n n 因為因為 解解 根據(jù)極限根據(jù)極限判別判別法法 知所給級數(shù)收斂知所給級數(shù)收斂 首頁首頁 1cosx 2 1 2 x注注: 1 1(1 cos) n n n 例例6 判斷級數(shù)判斷級數(shù)的斂散性的斂散性. 上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁 解 因為10 1 lim 321 ) 1( 321 lim lim 1 nn n u u

13、 nn n n n 下頁下頁 v定理定理5(比值比值判別法判別法 達朗貝爾判別法達朗貝爾判別法) 解解 所以所以 根據(jù)根據(jù)比值判別比值判別法可知所給級數(shù)收斂法可知所給級數(shù)收斂 例例7 證明級數(shù)證明級數(shù) ) 1( 321 1 321 1 21 1 1 1 1 n 是收斂的是收斂的 10 1 lim 321 ) 1( 321 lim lim 1 nn n u u nn n n n 10 1 lim 321 ) 1( 321 lim lim 1 nn n u u nn n n n (2)當當 1(或或 )時，級數(shù)發(fā)散時，級數(shù)發(fā)散; ; 設級數(shù)設級數(shù)為正項級數(shù)為正項級數(shù), 1 n n u 則則如果如果

14、 1 lim, n n n u u 01(1)當當時時, 級數(shù)收斂級數(shù)收斂; (3)當當 1時，時，級數(shù)可能收斂也可能發(fā)散級數(shù)可能收斂也可能發(fā)散 比值判別法不能用比值判別法不能用. 用法：常用于判別含有因子用法：常用于判別含有因子! n n a n n或或 、 的級數(shù)斂散性。的級數(shù)斂散性。 上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁 所以所以 根據(jù)根據(jù)比值判別比值判別法可知所給級數(shù)發(fā)散法可知所給級數(shù)發(fā)散 下頁下頁 解解:因為因為 解 因為 10 1 lim ! 10 10 )!1( lim lim 1 1 n n n u u n n n n n n n 10 1 lim ! 10 10 )!1( lim lim

15、1 1 n n n u u n n n n n n n 10 1 lim ! 10 10 )!1( lim lim 1 1 n n n u u n n n n n n n v定理定理5(比值判別法比值判別法 達朗貝爾判別法達朗貝爾判別法) (2)當當 1(或或 )時，級數(shù)發(fā)散時，級數(shù)發(fā)散; ; 設級數(shù)設級數(shù)為正項級數(shù)為正項級數(shù), 1 n n u 則則如果如果 1 lim, n n n u u 01(1)當當時時, 級數(shù)收斂級數(shù)收斂; (3)當當 1時，時，級數(shù)可能收斂也可能發(fā)散級數(shù)可能收斂也可能發(fā)散 比值判別法不能用比值判別法不能用. 23 11 21 2 3! 10101010n n 例例8

16、 判斷級數(shù)判斷級數(shù)的斂散性的斂散性. ! , 10 n n n u 1 1 (1)! 10 n n n u 用法：常用于判別含有因子用法：常用于判別含有因子! n n a n n 或或、 的級數(shù)斂散性。的級數(shù)斂散性。 上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁下頁下頁 v定理定理5(比值判別法比值判別法 達朗貝爾判別法達朗貝爾判別法) (2)當當 1(或或 )時，級數(shù)發(fā)散時，級數(shù)發(fā)散; ; 設級數(shù)設級數(shù)為正項級數(shù)為正項級數(shù), 1 n n u 則則如果如果 1 lim, n n n u u 01(1)當當時時, 級數(shù)收斂級數(shù)收斂; (3)當當 1時，時，級數(shù)可能收斂也可能發(fā)散級數(shù)可能收斂也可能發(fā)散 比值判別法不能用

17、比值判別法不能用. 1 lim1 n n n u u 說明說明: 當當時時, ,級數(shù)可能收斂也可能發(fā)散級數(shù)可能收斂也可能發(fā)散. . 例如例如, , p 級數(shù)級數(shù): 1 1 n p n n n nu u 1 lim p p n n n 1 ) 1( 1 lim 1 但但 , 1p級數(shù)收斂級數(shù)收斂 ; , 1p級數(shù)發(fā)散級數(shù)發(fā)散 . 上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁下頁下頁 所以所以 根據(jù)比值判別法可知所給級數(shù)收斂根據(jù)比值判別法可知所給級數(shù)收斂 解解 1 1 limlim 1 n n n nn n uxn unx 所以當所以當10 x時，級數(shù)收斂；時，級數(shù)收斂； 當當1x時，級數(shù)發(fā)散時，級數(shù)發(fā)散. 2 1 1

18、1 2(1)! limlim (1)2! nn n nn nn n unn unn 解解 例例 判斷級數(shù)判斷級數(shù) (0) n x x n n=1 的斂散性的斂散性. 1 , n n=1 當當1x 時，級數(shù)成為時，級數(shù)成為它發(fā)散它發(fā)散. 1 1 2! n n n n n 例例 判斷級數(shù)判斷級數(shù)的斂散性的斂散性. lim= 1 n n xx n 2 lim (1) n n n n n n 2lim() 1 n n n 2 = 1 e 上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁下頁下頁 v定理定理6(根值根值判別法判別法 柯西判別法柯西判別法) 0 1 lim 1 lim lim n n u n n n n n n n

19、 所以所以 根據(jù)根據(jù)根值判別根值判別法可知所給級數(shù)收斂法可知所給級數(shù)收斂 因為因為 解解 0 1 lim 1 lim lim n n u n n n n n n n 0 1 lim 1 lim lim n n u n n n n n n n (2)當當 1(或或 )時，級數(shù)發(fā)散時，級數(shù)發(fā)散; ; 設級數(shù)設級數(shù)為正項級數(shù)為正項級數(shù), 1 n n u 則則如果如果lim, n n n u 1 (1)當當時時, 級數(shù)收斂級數(shù)收斂; (3)當當 1時，時，級數(shù)可能收斂也可能發(fā)散級數(shù)可能收斂也可能發(fā)散 根值判別法不能用根值判別法不能用. 用法：常用于判別含有因子用法：常用于判別含有因子 n a n n或

20、或的級數(shù)斂散性。的級數(shù)斂散性。 23 111 1 23 n n 例例9 判斷級數(shù)判斷級數(shù)的斂散性的斂散性. 上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁下頁下頁 解解:因為因為 所以所以 例例10 判斷級數(shù)判斷級數(shù)的斂散性的斂散性.(0) 1 n na a n n=1 limlim 1 n n n n nn na u n 01a(1)當當時時, 級數(shù)收斂級數(shù)收斂; limlim 1 n n nn n u n 1a (2)當當時時, 級數(shù)發(fā)散級數(shù)發(fā)散; 1a (3)當當時時, 有有 1a 因此當因此當時時, 級數(shù)發(fā)散級數(shù)發(fā)散. 11 lim= 0 1 (1+) n n ne lim 1 n na n lim, 1 n

21、 n aa n 注注: 如果如果lim0 , n n u 則級數(shù)則級數(shù)必發(fā)散必發(fā)散. 1 n n u 上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁下頁下頁 時時 , 級數(shù)可能收斂也可能發(fā)散級數(shù)可能收斂也可能發(fā)散 .1 例如例如 , p 級數(shù)級數(shù) : 1 1 p n n p n n n n u 1 )(1n, 1 p n n u 但但 , 1p級數(shù)收斂級數(shù)收斂 ; , 1p級數(shù)發(fā)散級數(shù)發(fā)散 . 說明說明；當；當 上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁 二、交錯級數(shù)及其二、交錯級數(shù)及其收斂判別法收斂判別法 v交錯級數(shù)交錯級數(shù) 交錯級數(shù)是這樣的級數(shù)交錯級數(shù)是這樣的級數(shù) 它的各項是正負交錯的它的各項是正負交錯的 下頁下頁 交錯級數(shù)的一般形

22、式為 1 1 ) 1( n n n u 其中0 n u 1 ) 1( 1 1 n n n 是交錯級數(shù) 例如例如 即即 11 1234 1 ( 1)( 1) nn nn n uuuuuu 即即 11 1 11111 ( 1)1( 1) 234 nn n nn 上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁 v交錯級數(shù)交錯級數(shù) 交錯級數(shù)是這樣的級數(shù)交錯級數(shù)是這樣的級數(shù) 它的各項是正負交錯的它的各項是正負交錯的 交錯級數(shù)的一般形式為 1 1 ) 1( n n n u 其中0 n u v定理定理7(萊布尼茨定理萊布尼茨定理) 如果交錯級數(shù) 1 1 ) 1( n n n u滿足條件 (1)un un 1(n 1 2 3 );

23、; (2)0lim n n u 則級數(shù)收斂則級數(shù)收斂 且其和且其和s u1 其余項其余項rn的絕對值的絕對值|rn| un 1 下頁下頁 二、交錯級數(shù)及其二、交錯級數(shù)及其收斂判別法收斂判別法 即即 11 1234 1 ( 1)( 1) nn nn n uuuuuu 上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁下頁下頁 證證: :級數(shù)的前級數(shù)的前2k項的和寫成兩種形式項的和寫成兩種形式: : 21234212 ()()()0 kkk suuuuuu 212322212 ()() kkkk suuuuuu 由第一式可知由第一式可知 遞增；遞增； 2k s 由第二式可知由第二式可知 有界有界,即即 2k s 21.k s

24、u 故有極限故有極限.設設21 lim, k k ssu 21221 limlim() kkk kk ssu 從而從而 因此因此,有有 lim, n n ss 即交錯級數(shù)收斂即交錯級數(shù)收斂 且其和且其和s u1 221 limlim kk kk su 0.ss 則級數(shù)收斂則級數(shù)收斂 且其和且其和s u1 如果交錯級數(shù) 1 1 ) 1( n n n u滿足條件 定理定理1(萊布尼茲定理萊布尼茲定理) (1)unun1(n1 2 3 ); (2)0lim n n u 上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁 (1) 1 1 11 nn u nn u(n1, 2, ) (2) 這是一個交錯級數(shù)這是一個交錯級數(shù) 解解

25、由萊布尼茨定理由萊布尼茨定理 級數(shù)是收斂的級數(shù)是收斂的 且其和且其和su1 1 余項 1 1 | 1 n ur nn 首頁首頁 則級數(shù)收斂則級數(shù)收斂 且其和且其和s u1 其余項其余項rn的絕對值的絕對值|rn| un 1 如果交錯級數(shù) 1 1 ) 1( n n n u滿足條件 v定理定理7(萊布尼茨定理萊布尼茨定理) (1)unun1(n1 2 3 ); (2)0lim n n u 因為此級數(shù)滿足因為此級數(shù)滿足 (n1, 2, ) (2)0 1 limlim n u n n n 例 10 證明級數(shù) 1 ) 1( 1 1 n n n 收斂 并估計和及余項 例例11 上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁 三、

26、絕對收斂與條件收斂三、絕對收斂與條件收斂 v絕對收斂與條件收斂絕對收斂與條件收斂 下頁下頁 例如例如 級數(shù) 1 2 1 1 ) 1( n n n 是絕對收斂的 級數(shù) 1 11 ) 1( n n n 是條件收斂的 若級數(shù)若級數(shù) 1 | n n u收斂收斂 則稱級數(shù)則稱級數(shù) 1 n n u 絕對收斂；絕對收斂； 則稱級數(shù)則稱級數(shù) 1 n n u 條件收斂條件收斂. . 收斂收斂, , 而級數(shù)而級數(shù) 1 | n n u發(fā)散發(fā)散, ,若級數(shù)若級數(shù) 1 n n u (1) (2) 定義定義: 對任意項級數(shù)對任意項級數(shù) , 1 n n u 上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁 v定理定理8(絕對收斂與收斂的關系絕對收斂

27、與收斂的關系) 應注意的問題應注意的問題 如果級數(shù) 1 | n n u發(fā)散 我們不能斷定級數(shù) 1n n u也發(fā)散 下頁下頁 證證: 設 設 1 (), 2 nnn vuu則則0, nn vu由由 1 n n u 收斂收斂, 可知可知 1 n n v 收斂收斂, 從而從而 1 2 n n v 收斂收斂. 又因為又因為2, nnn uvu 1 n n u因此級數(shù)因此級數(shù)必定收斂必定收斂. . 例如例如 1 1 1 ( 1)n n n 1 11 11 ( 1)n nn nn 發(fā)散發(fā)散, 收斂收斂.而級數(shù)而級數(shù) 如果級數(shù) 1n n u絕對收斂 則級數(shù) 1n n u必定收斂 上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁 解

28、因為| 22 1 | sin nn na 而級數(shù) 解解 下頁下頁 如果級數(shù) 1n n u絕對收斂 則級數(shù) 1n n u必定收斂 v定理定理8(絕對收斂與收斂的關系絕對收斂與收斂的關系) 1 2 | sin | n n na 也收斂 從而級數(shù) 22 1 | sin nn na 而級數(shù) 2 1 1 n n 是收斂的 所以級數(shù) 是收斂的 所以級數(shù) 從而級數(shù) 1 2 sin n n na 絕對收斂 例 11 判別級數(shù) 1 2 sin n n na 的收斂性 例例12 上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁 如果級數(shù) 1n n u絕對收斂 則級數(shù) 1n n u必定收斂 v定理定理8(絕對收斂與收斂的關系絕對收斂與收斂的

29、關系) 例例13 2 1 ( 1)n n n n e 判斷級數(shù)判斷級數(shù)的斂散性。的斂散性。 解解: 令令 22 ( 1), n n nn nn u ee n n nu u 1 lim lim n 1 2 ) 1( n e n n e n 2 2 11 lim n n e n 1 1 e 因此因此 1 2 ) 1( n n n e n 1 2 ) 1( n n n e n 收斂收斂,絕對收斂絕對收斂. 上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁 如果級數(shù) 1n n u絕對收斂 則級數(shù) 1n n u必定收斂 v定理定理8(絕對收斂與收斂的關系絕對收斂與收斂的關系) 解 由 2 ) 1 1 ( 2 1 | n n n n u 有 解解 1 2 1 ) 1 1 (lim 2 1 |lim e n u n n n n n 1 2 1 ) 1 1 (lim 2 1 |lim e n u n n n n n 1 2 1 ) 1 1 (lim 2 1 |lim e n u n n n n n 0lim n n u 因此級數(shù) 1 2 ) 1 1 ( 2 1 ) 1( n n n n n 發(fā)散 例 12 判別級數(shù) 1 2 ) 1 1 ( 2 1 ) 1( n n n n n 的收斂性 例例14 lim0 ,