解三角形地必備知識和典型例題與習題

1、解三角形的必備知識和典型例題及習題 、知識必備： 1 直角三角形中各元素間的關系： 在厶 ABC中，0= 90 , AB= c, AG= b, BG= a。 (1) 三邊之間的關系：a2+ b2= c2。(勾股定理) (2) 銳角之間的關系：A+ B= 90 ; (3) 邊角之間的關系：(銳角三角函數(shù)定義) sin A= cos B= a , cos A= sin B= b , tanA= a。 ccb 2 斜三角形中各元素間的關系： 在厶AB0中, A B、0為其角，a、b、c分別表示 A B、0的對邊。 (1) 三角形角和：A+ B+ 0= n o (2) 正弦定理：在一個三角形中，各邊和

2、它所對角的正弦的比相等 a b sin A sin B c sinC 2R (R為外接圓半徑) (3)余弦定理：三角形任何一邊的平方等于其他兩邊平方的和減去這兩邊與它們夾角的余弦的積的兩 倍- a2= b2 + c2 2bccosA；b2= c2 + a2 2cacos B；c2= a2+ b2 2abcos G 3 三角形的面積公式： (1) S 111 =aha= bhb=chc (ha、hb、he分別表示 a、b、c 上的咼)； 222 (2) S 111 =absin 0= besin A=acsin B； 222 4 解三角形：由三角形的六個元素(即三條邊和三個角)中的三個元素(其中

3、至少有一個是邊)求其 他未知元素的問題叫做解三角形.廣義地，這里所說的元素還可以包括三角形的高、中線、角平分線以及 切圓半徑、外接圓半徑、面積等等主要類型： (1) 兩類正弦定理解三角形的問題： 第1、已知兩角和任意一邊，求其他的兩邊及一角 第2、已知兩角和其中一邊的對角，求其他邊角 (2) 兩類余弦定理解三角形的問題： 第1、已知三邊求三角 第2、已知兩邊和他們的夾角，求第三邊和其他兩角 5 三角形中的三角變換 三角形中的三角變換，除了應用上述公式和上述變換方法外，還要注意三角形自身的特點。 (1 )角的變換 因為在 ABC 中，A+B+Cn，所以 sin(A+B)=sinC ; cos(A

4、+B)= cosC; tan(A+B)= tanC。 .A B CAB. C sincos, cossin ； 2 2 2 2 (2)判定三角形形狀時，可利用正余弦定理實現(xiàn)邊角轉化，統(tǒng)一成邊的形式或角的形式 6 .求解三角形應用題的一般步驟： (1 )分析：分析題意，弄清已知和所求； (2) 建模：將實際問題轉化為數(shù)學問題，寫出已知與所求，并畫出示意圖； (3) 求解：正確運用正、余弦定理求解； (4 )檢驗：檢驗上述所否符合實際意義。 二、典例解析 題型1 :正、余弦定理 題型2 :三角形面積 例 2 .在 ABC 中，sin A cosA , AC 2 , AB 3，求 tanA 的值和

5、ABC 的面積。 2 點評：本小題主要考查三角恒等變形、三角形面積公式等基本知識，著重數(shù)學考查運算能力，是一道 三角的基礎試題。兩種解法比較起來，你認為哪一種解法比較簡單呢？ 題型3:三角形中的三角恒等變換問題 例3 .在 ABC中, a、b、c分別是/ A、/ B/ C的對邊長，已知 a、b、c成等比數(shù)列，且 a2 c2=ac b2=ac可變形為 b2 =a, c 再用正弦定理可求 bsin B c 的值。 bsin B bc,求/ A的大小及 的值。 c 分析：因給出的是 a、b、c之間的等量關系，要求/ A,需找/ A與三邊的關系，故可用余弦定理。由 下載可編輯 解法一： a、b、c成等

6、比數(shù)列，b2=ac。 2 2. . 2 2 2 . 又 a c =ac be,： b +c a =bc。 在厶ABC中，由余弦定理得: cosA= b2 c2 a2 bc 1 2bc 2bc 2 / A=60。 在厶ABC中，由正弦定理得 sin B= bsin A ,： b2=ac, a / A=60, bsinB b2sin6 =麗60 =2 c ac2 解法二：在 ABC中, 由面積公式得 1 bcsin A= 1 acsin B 2 2 2 2 / b =ac,Z A=60,. bcsin A=b sin B。 nA=_2。 c 評述：解三角形時，找三邊一角之間的關系常用余弦定理，找兩

7、邊兩角之間的關系常用正弦定理。 題型4:正、余弦定理判斷三角形形狀 例 4 .在 ABC中，若 2cosBsin A= sinC，則 ABO的形狀一定是() A.等腰直角三角形B.直角三角形 O.等腰三角形D.等邊三角形 答案：O 解析：2sin AcosB= sin C =sin (A+ B) =sinAcosB+cosAsinB sin (A B)= 0,. A= B 另解：角化邊 點評：本題考查了三角形的基本性質，要求通過觀察、分析、判斷明確解題思路和變形方向，通暢解 題途徑- 題型5:三角形中求值問題 B c 例5.ABC的三個角為A、B、C，求當A為何值時，cos A 2cos取得最

8、大值，并求出這 2 個最大值。 B+O n AB+O A 解析：由 A+B+C=n,得 2 所以有 cos=sin ?。 B+OA2AAA 1 2 3 cosA+2cos =cosA+2sin ? =1 2sin+ 2sin $= 2(sin - ?) + ?; AA口亠QQ 當sin = ，即 A=y 時，cosA+2cos 三-取得最大值為 2。 點評：運用三角恒等式簡化三角因式最終轉化為關于一個角的三角函數(shù)的形式，通過三角函數(shù)的性質 求得結果。 題型6 :正余弦定理的實際應用 三、思維總結 1.解斜三角形的常規(guī)思維方法是： (1 )已知兩角和一邊(如 A、B、C),由A+BC= n求C,

9、由正弦定理求 a、b; (2) 已知兩邊和夾角(如 a、b、c),應用余弦定理求 c邊；再應用正弦定理先求較短邊所對的角， 然后利用A+B+C= n，求另一角； (3) 已知兩邊和其中一邊的對角(如 a、b、A,應用正弦定理求 B,由A+申C= n求C,再由正弦 定理或余弦定理求 c邊，要注意解可能有多種情況； (4) 已知三邊a、b、c,應余弦定理求 A B,再由A+B+C = n ,求角 C 2 三角學中的射影定理：在 abc中，b a cosC c cos A， 3兩角與其正弦值：在厶abc中，A B sin A sinB， 4 解三角形問題可能出現(xiàn)一解、兩解或無解的情況，這時應結合“三

10、角形邊對大角定理及幾何作圖 來幫助理解”。 正余弦定理應用 一、正弦 已知 ABC中, a=2, b= 3, B= 60，那么角 A等于 已知 ABC中, a= x, b= 2, B= 45,若該三角形有兩個解，則x的取值圍是 在 ABC 中，a=15,b=10,A=60 ，貝V cosB = ABC的三角 A B、C的對邊邊長分別為 a、b、c.若a = b, A= 2B,則cosB= 在厶 ABC中，角 A B C所對的邊分別為 a、b、c.若(&b c)cos A= acosC,貝U cosA= b 在銳角 ABC中, a、b、c分別是三角 A B C的對邊，且 B= 2A則-的取值圍是

11、 a 二、余弦 已知 ABC 中，AB 4, AC 3, BAC 60，則 BC 在 ABC中，a、b、C所對的邊分別是 a、b、c,已知a2 b2 c2 . 2ab，則C 若 ABC的三個角滿足 sinA:sinB:sinC 5:11:13，貝U ABC是 若厶ABC的角A B C所對的邊a、b、c滿足(a+ b)2 c2 = 4,且C= 60 ，貝U ab的值為 在厶ABC中，角 A B C的對邊分別為 a、b、c,若(a2+ c2 b2)ta n B=J3ac，則角B的值為 2 2 2 . . 在厶 ABC中, sin A sin B+sin C sin Bsin C,則 A 的取值圍是

12、 在厶 ABC 中，a, b, c 分別為角 A, B, C 的對邊，且 2asi nA (2 a c)s in B (2 c b)si nC. (i)求a的大?。?n)若sin B sinC 1,試判斷 ABC的形狀.(3)求sinB si nC的最大值. 三、綜合 在 ABC中，角A, B,C的對邊分別為a,b,c，若a,b,c成等差數(shù)列，B 30,ABC的面積為-，則b 2 在厶 ABC中，角 A B, C 的對邊分別是 a，b，c.若 a2- b2=3bc，sin C= 2寸3sin B,貝U A= 在 ABC中，角A、B、C所對應的邊分別為a、b、c，若角A、B、C依次成等差數(shù)列，且 a 1,b 、3,則 Sabc= 在厶ABC中，角A B C對邊的邊長分別是 a、 b、c.已知 c= 2，C= 下載可編輯 (1)若厶ABC勺面積等于3，求a、b的值；(2)若sin C+ sin( B- A) = 2sin2代求厶ABC的面積. 在 ABC中，角A、B、c的對邊長分別為a、 b、 c，已知a2 c2 2b，且 sin AcosC 3cosAsinC,求 b 判斷三角形形狀 ，那么 ABC定是 在厶