級數求和常用方法-級數求和法

1、1.7方程式法31.8原級數轉化為子序列求和31.9數項級數化為函數項級數求和31.10化數項級數為積分函數求原級數和41.11三角型數項級數轉化為復數系級數41.12構造函數計算級數和5行3級數討論其子序列51.14裂項法求級數和61.15裂項+分拆組合法7X6夾逼法求解級數和72函數項級數求和82.1方程式法82.2積分型級數求和82.3逐項求導求級數和92.4逐項積分求級數和92.5將原級數分解轉化為已知級數102.6利用傅里葉級數求級數和102.7三角級數對應復數求級數和112.8利用三角公式化簡級數122.9針對2.7的延伸122.10添加項處理系數122.11應用留數定理計算級數和

2、132.12利用Beta函數求級數和14參考文獻151 / 162 / 16級數求和的常用方法級數要首先考慮斂散性，但本文以級數求和為中心，故涉及的級數均收斂且不過多討論級數斂散 性問題.由于無窮級數求和是個無窮問題，我們只能得到一個“T8的極限和.加之級數能求和的本身就 困難，故本文只做一些特殊悄況的討論，而無級數求和的一般通用方法，各種方法主要以例題形式給 出，以期達到較高的事實性.1數項級數求和1. 1等差級數求和等差級數為簡單級數類型，通過比較各項得到其公差，并運用公式可求和.s=g+叱!d = (W,其中為首項，為公差2 2證明：+a2 +.+an ，s=an +.+a2 +q +得

3、：25 =(同 +d”)+(d2+% )+.+(厲+/2 + 3) + (2 - 23 + /4 )+ + (Jn _ 2 2 Jh +1 + /n) + (y/n 1 - 2fti + Jn + ) + ( 2 Jn + + J” + 2)所以 lim 5 =.TOO=1 -+ 2 = 1 - y/2 +/,yjH + + J + 216有理化法求級數和對于一些級數通項含有分式根式的級數，我們可以仿照數學中經常使用的方法“有理化處理, 以期達到能使得級數通項化簡，最后整個級數都較容易求和.例4：計算工解：可以看出此級數含根式較多，因此嘗試運用有理化的方法去處理，即通項 ，對其分母有理化得:y

4、jn(n +1) (yjn + 心 +1)則原級數可以采用本文中的1. 5 “蘊含型1分母有理化Jn + 1 亦_ 11+1)(麗 +1)+1) fn yjn + i級數相消法”，則可以快速求得級數和的極限為11. 7方程式法此型級數通過一系列運算能建立級數和的方程式，通過解方程求解級數和準確建立方程是關鍵 問題，方程類型不固定，有類似與微分方程之類的，故要視具體悄況建立方程，解方程也要準確，才 能求岀級數和.例 5:計算？cos0 + cos2& + +g cosnG ,其中 |(/| 0(/ o)s = 1 + + + 1 2 3 3h2n=In 3/2 一 In n + e3n - en

5、 , lim 5 = ln3 1. 9數項級數化為函數項級數求和數項級數化為相應函數項級數，再通過函數項級數求和，并賦予函數未知數相應未知數后記得相 應原級數的和.例7：求級數和工/F-1xi解：建立函數項級數 Wm. .s)宀由函數斂散性知識可知其收斂域為8 1(V+莎將函數項級數逐項求導可得：心十鮎35.3嚴_山此可知s(x)滿足微分方程x 1*客35.（21）嚴Tf5(X)-X5(X)= 1 ,且易知5(0) =0,解此常微分方程得：*T11,s(x) = e2 e 2 dt ,令x = 1則可以求出原級數和：s = e2e2 dt.1. 10化數項級數為積分函數求原級數和3 / 16將

6、原級數通過化簡，構造積分極限式，從而轉化為積分求原級數和也不失為一種好方法，構造 積分式子是關鍵，一般原級數中通過四則運算將與積分中的分割相聯(lián)系從而構造分割，建立級數與 積分式子的橋梁.x 1例&計算工丄，其中TS)Tn + k亦J 二 11乙 11 分子分琢問時除如構造分削建&級敵巧積分的橋梁W： I己 S = = Iim ；-一hnk 幺 1+畀n1. 11三角型數項級數轉化為復數系級數將三角型數項級數轉化為復數域上的級數，山于復數的實部對應于數項級數，從而轉化為求復數 系級數進而求原級數和.例 9亠：設$二 gcosO + g cos 2&+ + cos nO ,求 s 解：由于 s二/

7、cos 灼，令 z = qe,d = q(cos 0 + / sin 0)為復數，其中 k = 0,1,2.Zk = q嚴=qk(coskO + isinkO),其中 k = 1,2得：1 -l-zfl=Y / = 1+z + z2 +. +=1 + q(cos 0 + i sin 0) + q1 (cos 20 + i sin 20)+JO q(cos3 & + i sin 3 &)+“ (cos nO + isin n0) = + qcos & + / cos2& + q cos30 + +q cosnO + i(qsin Oq1 sin 20 + + 0 sinn0)而另一方面_2”利

8、_ _/w(cos(+l)6 +jsin(+l)&) _1 一 Z1-q(cos 0 + i sin &)1 -2g cos & + -qcos0一“3 cos( +1)& + q11*2 cos(z? + l)&cos0 + 廣2 sin( +1)&sin+i q sin & - q*1 cos(n +1)&sin 0 廠 sin( +1)& + q1 sin(n +1)&cos & 取實部對應原級數和即得：1 + 5 =! (1 - q cos 0 - 嚴 cos(n +1)0 + 廣2 cos n0)即:l-2gcos& + g5 =!(1 一qCOS & qg COS(/? + 1)0

9、 + qg COS”8 1 + 2qCOS 0-q2 )l-ZycosO + q-當且 |q|0 （收斂判別的必要條件），工匕收斂于S的充分必要條件是: /r-lK-1部分和“的一個子序列$”收斂于s,其中卩滿足：卩是某個正整數p二1, 2,將級數分情況討論，化為多個子序列之和，利用原級數收斂則級數任意添加括號得到的級數和收斂于 原級數和原理，通過求各個子序列之和求解原級數和，關鍵在于如何分解原級數為不同子序列，然而 子序列相對于原級數來說易求些，這樣方法才行之有效，這和16的“原級數轉化為子序列求和”是 不同的分情況討論在三角中討論角的大小我們已不陌生，下面我們就看一個這樣討論角的幅度的例

10、題.2h7TX cos例11叫計算：Sn-1 匕2n7rX cos解：記s =一，由級數斂散性知識可知，該級數絕對收斂按幅度角的討論將級數分解為: /r-l 2A = n I n = 3k、k =0,l,2，=nn = 3k + l,k = 0,1,2.）, A3 = /i I n = 3k + 2.k = 0,1,2.5 / 162/?tt2/?tfX cos x cos x則：E“0-=y+y2htt2h7Tcos x cos乙/rs/lj Zx 1= Z+E D 乙*-02兀X COS w +V3知l 厶cos (/r+ )3(l + icos + icos(+234乙ns/lj 乙;r

11、6AiXn-l2nncos3X針對士k 伙+ 1)同理采用裂項法記張命計注=(1_rl7T=l,所以:1 81. 14裂項法求級數和針對級數是分數形式，且滿足分母為多項乘積形式，且各項之間相差一個相同的整數，裂項后各 項就獨立岀來，而原來各項之間相差整數則裂項后新級數等價于求解某一個級數，其余新級數照此可求出，從而原級數和可以求出.裂項一般形式： 1=(),此處mn.(x + 2)(x+) n-m x + rn x + n例12：訃算-呂+”.（ + 爲+習解：記+i爲+2）冷冊r（+i）：+d“1、 z 11、 J 1、，11、 J 1、z 11、 裂項后后而項可以消而項部分、這枕足筏項法的

12、好處!（=）+（廠尹（門）叫丐）+匸嚴叫一荷）1 1 1卜市 = 1-, = !,所以伙 + 1)伙+ 2) = 2 燭氛伙+ 1) + 伙+ 1)伙+ 2)1晁爲茁r瓠噫潔HdTTT1. 15裂項+分拆組合法將裂項與分拆組合法合用在一起，運用裂項法分拆級數，再將分拆重新組合級數，山新級數返回 求原級數和.例13：計算（曲）爲曲）1123/? + 5解:p=n+1n+2n+3(n+ l)(/?+2)(n+3)6 / 16. Y= - Y ( +Y二 (n+l)(/z+2)( n+3)3 幺 n+n+2 n+33 幺(+l)(+2)(+3)i(i+a)_5(i_i)=i.3 2 33 4 641

13、. 16夾逼法求解級數和在數學分析中運用夾逼法則求解極限，在求極限和中我們也可以借鑒此方法，運用兩個級數逼近 原級數，最后兩逼近級數和等于原級數和.例14叫 設加為一給定的正整數，求y比 itr-ir解:SmNm+jV=E加一】n-l+w1? T nr -ir1 r 111111 獸 11111If (1(1 +. + 1 一 一一 )2m 22m + N2 N m 2m2m 111 2m n.v+ +v且 n ts時， N + 2m N + N + 2N + 2m N+12m m-1 m + ？ 一 2 m + 21 2m 一 1 ZIzli m 一 n m + /?) lim =0,且0

14、j n+lim =0,所以hms. =0-,即、_ =一丄A- N+2mNib4加-m -rr 4/zr2函數項級數求和函數項級數和依據未知數x的而定，因此在收斂域內尋找一個新函數去刻畫級數和. 2. 1方程式法類似于數項級數，函數項級數建立方程，通過方程求解求函數項級數和.例 15：計算函數項級數 5(A-) = 1 + X + + + + -+.21.32.41.3.52.4.6解：山函數項級數收斂性知識可知題中函數項級數收斂半徑為+00 ,逐項求導得 s (x) = +X + X2 + + .即：5 (x) = 1 +/ 5(0) = 12解此微分方程得：5(x)=伐(J(； e% +1

15、).2. 2積分型級數求和積分型級數求和顯然直接求和會帶來困難，通常積分也積不出來，所以要轉化，將積分式子化簡 是個想法，通過變量替換等積分技術化簡積分式子，再求級數和，所以關鍵在于處理積分式子，下面 我們看個例題.例 16：計算級數yfplsin.v-cosxl,解：因為xw(2Qr,(2k + l) zr),作變量替換x = 2k/r + t得：7 / 16+1MJ2ETIsinx-cosxldx=y-（肱V）I sin/-cos/1 Jsin fI sinf-cosr I-TsinrdtJsin t再根據：J e氣駕W畀 =J e（皿7-簫：）/+C得:sin r-cos rTsin t

16、sin/-cos/Jsinrdt 二j* （tx+）Isinr-cosZ I /sinrsin r-cos/ yjsint所以原級數二工嚴門j（dt =2. 3逐項求導求級數和根據幕級數逐項求導收斂半徑不變原理，對原級數逐項求導后化為一些易求和的幕級數，再往回 求積分，從而求原級數和易知的級數往往是通過泰勒展式或者麥克勞林展式獲得的。泰勒定理：若函數f（x）在心的某領域內存在 + 1階的連續(xù)導數，則f（x）=/（勺）+八觀）（和+丄律2（如）2+.+以學1（兀_%）“+&）,這里心 是拉格朗日余項即 2!niRnM =上;1舉（x-W設/在區(qū)間（心-匚兀+ r）內等于它的泰勒級數的和的充要條件

17、：對一切 0卄1）!滿足不等式lx-x0 l r的八 有l(wèi)im/?n（x） = O ,上式右邊稱為/（x）在x = x0處的泰勒展開式山泰勒展 n開式可知右邊是個級數，而在求解級數時我們可以逆向來看，已知以級數和像求/（X）的方向行進，找準各階對應的導數形式，并按泰勒級數的樣子提煉出/（X）.但在實際應用中/（工）在兀=0處的級數 應用較多，稱為麥克勞林級數而山泰勒級數的定義可以將一些基本初等函數推導出來，再有基本初 等函數推導復合函數的級數和形式，反過來即是求級數和.這也不失為一種求級數和的選擇.這中方式 在前面函數項級數求和的過程中已經有所運用，在此總結是為了形成一種較為普遍的方法.即使是

18、級 數逐項求導積分法也是基于此理論基礎之上的.00 / 1 卩 + 1例17：求解皿）=工一.組 4/7 +1解：由萊布尼茨定理可以判斷此交錯級數收斂，且收斂區(qū)間為-1,1,將級數逐項求導可得：5（x）= （-r）nx4H =（_+）” =1丁（利用易知麥克勞林展式（-1）疋=-）0口1 + X“.01 + 兀再積分回去便得到級數和.24逐項積分求級數和通過級數逐項積分收斂半徑不變原理，對原級數逐項積分后化為一些易求的幕級數，再往回求導, 可求出原級數和.8 / 16例18：計算g/r-()解：記 s(x) = nx =x + 2x + 3x3 + 4x4 +.,對其逐項積分得:0i123|f

19、 st)dt = 2 H.V H+. = ( 1+ (1)X + Jo23423(x + f + .1，+1 +)一(x a- d x + %4 + )+ ln(l X)2341-x所以s(x) =必H-1+ ln(l-x)=1 -xx(IF2. 5將原級數分解轉化為已知級數分解為已知在數學中是一種基本的技巧，通過轉化為我們所知道的知識解決原復雜問題在很多地 方都是個不錯的想法，因此在解決級數和的問題時我們也引入這思想我們已知在幕級數中已知的麥 克勞林展式有好兒個，我們要將這兒個基本初等函數的展式牢記于心，還要學會利用拉格朗日展式的 角度逆向思考級數求和的問題我們簡單的引入一個問題來說明這種方

20、式，主要是引入這種思想.例19：解：記X石肓麗二，百一而)歹，利用 ln(l + x)的麥克勞林展式得：5 = -ln(l-) + ln(l-+ + - = In2 4 222 8 8 426利用傅立葉級數求級數和通過構造函數，并通過延拓的方式求此函數的傅立葉展式，再山收斂定理求解函數值即可求出原 級數和，關鍵在于準確找出傅立葉函數.x 1例20：計算工丄.解：構造傅立葉函數/(%)=込其中xe0,作偶延拓得：g(x)= x2, -7rx7T此可知傅立 葉系數為：化=0,其中n = 1,2,3.2 2 2 26/n = I X CIX = 7t ,3an = x2 cos(nx)dx = x2

21、 sin(nx) I：xsin(nx)iZv = -xcos(nx) I：f cos(nx)心=(-l)n7TJohttn兀JoirnJoir由狄利克雷收斂條件可知：/(x) = + 4Y-v-cos(nx),其中0 x /In I 2 sin 1+ In I 2sin1 =In I I,具2 幺 n 2 幺 n22222 x-a中未知數 x j滿足：xexOx-a 2”cxl0 v x + a 0,使得lcsc（/rz）lSMF是0 V J csc(/rz)0(z)Jz 1 11 cos(“)0(z) II IS J M 10(z) II dz, I,兩邊取極限得 qqq0 lim I f

22、csc(/rz)0(zM： l lim f I c os(;rzM(z) II dz. 30 J0G5即：liml fcsc(zrz)0(z)t/zl=O , 所 以 lim - csc()(z/z = 0，對(1 ) HiX J2加 JGn1 H1O=lim V (-l)9(j) + lim，Re$(csc(/rz妙(z),乙)所以 (-l)0(n)= -兀Res(csc(;rz妙(z),zs).證明完畢.結論的應用:例2帆求級屹需為。）的和解：令血)=)=,當不為零時,0(Z)滿足定理的兩Z+aJ Res(csc(/rz)0(z)J)=乞 lim 0(z)=工 limcsc(az).即：二（一1）“是廠詩治當“趨近于零時，將上式變形可得:F (-1)” (-1)1 _兀 1 a2 a sh(7ru)容易證得等式左邊的兩個級數是收斂的故上式兩端取極限可得12 / 16上述級數和，2. 12利用Be加函數求級數和定理1 設廠,彳為自然數，為實數，且I匕1,則X亡二丄 fdCnq(nq + ).(nq + r -1)(r-1)! axg定理2 設廣為自然數，&為非負整數，是實數，大于k, 11(n +