高考數(shù)學第一輪復習函數(shù)最值的應用

1、高考數(shù)學第一輪復習-函數(shù)最值的應用一、最值綜合與應用問題：（一）知識歸納：1最值綜合問題：這是中學數(shù)學最重要的題型之一，題型非常廣泛.幾何圖形的最值問題：在平幾、立幾、解幾圖形中求解面積、體積、距離及各種幾何量的最大、最小值；代數(shù)中的最值問題：求解方程（或不等式）的最大、最小解，數(shù)列的最大、最小項，變量或代數(shù)式的最大、最小取值，等等；2最值應用問題：這是應用問題中最典型的內容，如求解利潤、費用的最大與最小，用料，時間最少，流量、銷量最大，選取的方法最多、最少等，都是常見的應用問題。（二）學習要點：在中學數(shù)學范圍內，最值綜合與應用問題幾乎都要運用函數(shù)的思想與方法解決，解答程序是：正確選擇變量作自

2、變量，根據(jù)問題的條件將問題轉化為函數(shù)，建立函數(shù)的解析式，并求函數(shù)的（實際型）定義域；求函數(shù)的極值，并結合函數(shù)的定義域得到函數(shù)的最值；如果函數(shù)的解析式中含有參數(shù)，注意可能要對參數(shù)的取值進行討論（討論極值點是否在定義域內）【例1】如圖，扇形aob的半徑為1，中心角為45，矩形efgh內接于扇形，求矩形對角線長的最小值. 解析這是一道高考題，需要用函數(shù)思想解決它，但是取什么量作自變量是解決這個問題的關鍵，應反復斟酌. 根據(jù)這個問題的圖形特點，取將對角線長表示成這個角的函數(shù)是比較好的想法. 所以，當時，解法二設矩形的高 矩形的寬 對角線 令 令 在的左、右兩側取定義域內兩點，如取 得的值在處左負右正，

3、. 評析該問題的難點是正確選擇自變量,上面兩種解法各有優(yōu)缺點,解法一雖然簡單些,但選擇”角”作自變量有時會涉及到過多的三角知識,在許多情況下會出現(xiàn)困難的運算,應慎重;解法二選擇矩形的邊長為自變量的想法要常規(guī)一些.【例2】已知正四棱錐邊長為3，求它的體積的最大值.解析設底面邊長為， 且左正右負，當.(初等方法)等號成立時,評析立體幾何中的最值綜合問題是高中數(shù)學中的一種重要題型,在立幾的復習中將會作更多的討論.【例3】設是定義在上以2為周期的周期函數(shù),且為偶函數(shù),已知在區(qū)間2,3上=2(3)2+4,（）求時的解析式；（）若矩形abcd的兩個頂點a、b在軸上，另兩個頂點c、d在函數(shù)的圖象上，求這個矩

4、形面積的最大值.解析（）設（）設則， 當 設 矩形abcd面積令且左正右負， 評析這是代數(shù)與幾何的綜合型的最值問題，由于這種問題能綜合考核較多的數(shù)學能力，因此這是常見的試題形式，在該問題中求的值域時，換元這一步是很重要的想法，這樣大大降低了運算量.【例4】一變壓器的鐵芯截面為正十字型,為保證所需的磁通量,要求十字應具有的面積，問應如何設計十字型寬及長，才能使其外接圓的周長最短，這樣可使繞在鐵芯上的銅線最節(jié)省.解析設 由條件知:即 設外接圓的半徑為r，即求r的最小值， 等號成立時， 當時r2最小，即r最小，從而周長最小， 此時 評析這是最值的應用問題，在函數(shù)型的應用問題中，最值應用問題占了很大的

5、比例，也是緊常見的應用題的試題形式，應多加強這方面的訓練.二、最值在參數(shù)討論中的應用（一）知識歸納：1“恒成立”問題：“設函數(shù)的定義域為區(qū)間d，若對恒成立若對恒成立2“存在”問題：設函數(shù)的定義域為區(qū)間d，若存在，使得 若存在，使得 （二）學習要點：1“恒成立”與“存在”是參數(shù)討論中的兩類非常重要的問題，而通過求函數(shù)的最值是解決這兩類問題的重要方法，在具體解決問題時又有兩條基本思路：將“參數(shù)”與“變量”分離在不等號的兩邊，然后變量形成的函數(shù)的最值；“參數(shù)”與“變量”不分離，將整個式子看成一個函數(shù)，并求它的最值.2必須注意，如果在定義區(qū)間d上沒有最大或最小值，而只有上限或下限，則最后的結果可能要將

6、“（）”改為“（）”.3在具體的問題中，“恒成立”與“存在”有很多不同的等價形式.如“恒成立”在有些問題中敘述為“對任意總有”，“無論都有”等等；而“存在”的等價說法有“不等式在d內有解”，“集合 ”等多種形式，注意總結經驗.【例1】不論實數(shù)取何值,直線與雙曲線總有公共點，求實數(shù)的取值范圍.解析曲線的公共點為方程組的解,命題最終化歸為二次方程的判斷式“對恒成立”.聯(lián)立（1）若，顯然當時方程無解，命題不成立；（2）若方程為一元二次方程， 則恒成立， 評析這是高考中的一道基礎型試題，如果對“恒成立”的概念與方法很熟悉，則問題解答得心應手.【例2】設函數(shù) 集合 a ,求實數(shù)的取值范圍.解析 a 不等

7、式有角,這是“存在”性問題.由 不等內有解， 即存在，使得 設 故命題又等價于 求導得，且的值在處左正右負，實數(shù)的取值范圍是評析有關“存在”的參數(shù)討論問題也是參數(shù)討論問題的重要題型，其中有許多與最值有關，這類問題的理解比“恒成立”要困難一些.【例3】設若，問是否存在使得？說明理由.解析 這是關于“存在”性問題，注意問題中是變量，是參數(shù). 設存在這樣的,， 則命題等價于 的對稱軸內單調遞增， 得， 顯然正確，故存在，使得.評析如果從“存在”的思想方法來理解并解答該問題，則解題思路非常清晰，才能寫出上面既簡潔，又嚴密的解題過程.訓練題一、選擇題：1若關于的不等式對任意恒成立，則實數(shù)的取值范圍是（

8、）abcd2如果存在實數(shù)使得不等式|+1|2|成立，則實數(shù)的取值范圍是（ ）abcd3設，如果恒成立，那么（ ）abcd4若時總有則實數(shù)的取值范圍是（ ）abcd5若關于的不等式內有解，則實數(shù)的取值范圍是（ ）abcd6設數(shù)列若的每一項總小于它的后面的項，則的取值范圍是（ ）abcd二、填空題：7若不等式對任意實數(shù)恒成立，則實數(shù)的取值范圍是 .8若的解集為空集，則實數(shù)的取值范圍是 .9若不等式內有解，則實數(shù)的取值范圍是 .10在一塊半徑為r的半圓形鐵皮中截出一塊矩形，矩形的一邊在半圓的直徑上，則這個矩形的最大面積是 .三、解答題：11求外切于半徑為1的球的圓錐的體積最小值.12由點p（0，1）

9、引圓的割線與該圓交于a、b兩點，求aob的面積的最大值（o為原點）及此時割線ab的方程.13機動車輛通過大橋，為了安全，同一股道上的兩輛車的間距不得小于，其中是車速，是平均車身長度，為比例系數(shù).已測定：車速為時，安全車距為問應規(guī)定怎樣的車速可使同一股道上的車流量最大？（車流量即單位時間內通過的車輛數(shù)）.14對定義（的單調減函數(shù)使得：恒成立，求的取值范圍.15已知函數(shù) （）求函數(shù)的反函數(shù)；（）若函數(shù)在上是單調函數(shù)，求實數(shù)的取值范圍.答案與解析一、選擇題：1a 2b 3d 4d 5a 6b 二、填空題：7 ， 8， 9，10r2 .三、11如圖，設圓錐的高底半徑為， pad，且oe=od=1， 即 圓錐體積 且的值在處左負右正，12設