高等數(shù)學(xué)上復(fù)旦大學(xué)出版習(xí)題二答案

1、 習(xí)題二1 設(shè)，求.解：，故.2(1) 設(shè)，求解：(2) 設(shè)求解：3. 試求過(guò)點(diǎn)(3，8)且與曲線相切的直線方程.解：曲線上任意一點(diǎn)處的切線斜率為.因此過(guò)(3，8)且與曲線相切的直線方程為：，且與曲線的交點(diǎn)可由方程組解得為(2，4)，(4，16)即為切點(diǎn).故切線方程為：4下列各題中均假定存在，按照導(dǎo)數(shù)定義觀察下列極限，指出a表示什么.(1) 解：故(2) 解：故(3) 解：故5求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù):(1) ;解：(2) ;解：(3) ;解：6討論函數(shù)在點(diǎn)處的連續(xù)性和可導(dǎo)性.解：,故函數(shù)在處連續(xù).又,故函數(shù)在處不可導(dǎo).7. 如果為偶函數(shù)，且存在，證明：證明：故8求下列函數(shù)在處的左、右導(dǎo)數(shù)，從而證明函

2、數(shù)在處不可導(dǎo).(1) 證明：因，故函數(shù)在處不可導(dǎo).(2) 證明：因，故函數(shù)在處不可導(dǎo).(3) 證明：因，故函數(shù)在處不可導(dǎo).9已知求.解：當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)， 故綜上所述知10設(shè)函數(shù)為了使函數(shù)在點(diǎn)處連續(xù)且可導(dǎo)，應(yīng)取什么值？解：因要使在處連續(xù)，則有又要使在處可導(dǎo)，則必須，即故當(dāng)時(shí)，在處連續(xù)且可導(dǎo).11. 討論下列函數(shù)在指定點(diǎn)的連續(xù)性與可導(dǎo)性:(1) 解：因?yàn)樗源撕瘮?shù)在處連續(xù).又，故此函數(shù)在處不可導(dǎo).(2) 解：因?yàn)楣屎瘮?shù)在處連續(xù).又,故函數(shù)在處可導(dǎo).(3) 解：因?yàn)?故函數(shù)在x=1處連續(xù).又，故函數(shù)在x=1處不可導(dǎo).12. 證明：雙曲線上任一點(diǎn)處的切線與兩坐標(biāo)軸構(gòu)成的三角形的面積都等于.證明：在雙

3、曲線上任取一點(diǎn)則，則過(guò)點(diǎn)的切線方程為：令得切線與x軸的交點(diǎn)為，令得切線與y軸的交點(diǎn)為，故 13. 垂直向上拋一物體，其上升高度與時(shí)間t的關(guān)系式為：求：物體從t=1(s)到t=1.2(s)的平均速度：解：速度函數(shù)v(t)；解：. 物體何時(shí)到達(dá)最高.解：令,得,即物體到達(dá)最高點(diǎn)的時(shí)刻為14. 設(shè)物體繞定軸旋轉(zhuǎn)，在時(shí)間間隔0,t內(nèi)，轉(zhuǎn)過(guò)角度，從而轉(zhuǎn)角是t的函數(shù)：.如果旋轉(zhuǎn)是勻速的，那么稱(chēng)為該物體旋轉(zhuǎn)的角速度.如果旋轉(zhuǎn)是非勻速的，應(yīng)怎樣確定該物體在時(shí)刻的角速度？解：設(shè)此角速度值為,則.15. 設(shè)表示重1單位的金屬?gòu)募訜岬剿盏臒崃?，?dāng)金屬?gòu)纳郎氐綍r(shí)，所需熱量為與之比稱(chēng)為到的平均比熱，試解答如下問(wèn)題：

4、如何定義在時(shí)，金屬的比熱；解： 當(dāng)(其中a, b均為常數(shù))時(shí)，求比熱.解：.16. 已知在點(diǎn)可導(dǎo)，證明：. 證明：17. 求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：;解：;解： ;解： ;解：;解： ;解： ;解： .解：18. 求下列函數(shù)在給定點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)：求；解：求和；解： 求.解： 故19.設(shè)，且所有的函數(shù)都可導(dǎo)，證明：證明：20. 求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)： ; ; ; ; ；（a為常數(shù)）； ； ； ; ； ; ；為常數(shù)）.解： ; ; ; ; ； ; ； ；.21.求.解： 22. 試求曲線在點(diǎn)（0，1）及點(diǎn)（1，0）處的切線方程和法線方程.解： 故在點(diǎn)（0，1）處的切線方程為：，即 法線方程為：，即在點(diǎn)（1，0）處

5、的切線方程為：法線方程為：23. 設(shè)可導(dǎo)，求下列函數(shù)y的導(dǎo)數(shù)： 解： 解： 24. 求下列隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：； ；解：兩邊求導(dǎo)，得：解得 . 兩邊求導(dǎo)，得：解得 . 兩邊求導(dǎo)，得： 解得 .兩邊求導(dǎo)，得： 解得 . 兩邊求導(dǎo)，得：解得 .25.用對(duì)數(shù)求導(dǎo)法求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：解： 解： 解：26. 求下列參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)： (a,b為常數(shù))解： 解：27. 已知求當(dāng)時(shí)的值.解：.28. 設(shè),其中a為常數(shù)，為連續(xù)函數(shù)，討論在處的可導(dǎo)性.解：.故當(dāng)時(shí)，在處可導(dǎo)，且當(dāng)時(shí)，在處不可導(dǎo).29. 已知，求.解：當(dāng)時(shí)，,當(dāng)時(shí)，,故不存在.又 故不存在.綜上所述知.30. 若，求.解：令，則,即.31.

6、若，求.解：32. 求函數(shù)的反函數(shù)的導(dǎo)數(shù).解：故反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為：.33. 已知的導(dǎo)數(shù)，且，求的反函數(shù)的導(dǎo)數(shù).解：時(shí)故,從而.34. 在括號(hào)內(nèi)填入適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)，使等式成立： ；; ；; ; ；; .解： . . . . . . .35. 根據(jù)下面所給的值，求函數(shù)的及：當(dāng)時(shí)；解：.當(dāng)時(shí).解：36. 求下列函數(shù)的微分：； ； .解：； ；37. 求由下列方程確定的隱函數(shù)的微分： ； ； ； . 解： 對(duì)等式兩端微分，得 即 于是 對(duì)等式兩端微分，得 得 對(duì)等式兩端微分，得 解得 對(duì)等式兩端微分，得解得38. 利用微分求下列函數(shù)的近似值：；.解：利用近似公式，有.利用近似公式，有 取，令，而，則39.

7、設(shè)，且與相比是很小的量，證明：證明：利用近似公式，有.40. 利用一階微分形式的不變性，求下列函數(shù)的微分，其中和均為可微函數(shù)：；.解： 41. 求下列函數(shù)的高階微分：，求；，求；，求； ，求；(為常數(shù))，求.解：, 故 由萊布尼茲公式，得 由萊布尼茲公式，得 兩端求導(dǎo)，得等式兩端再求導(dǎo)得 解得故42. 求自由落體運(yùn)動(dòng)的加速度.解： 即為加速度.43. 求次多項(xiàng)式的階導(dǎo)數(shù). 解： 44. 設(shè)，求解：.45. 驗(yàn)證函數(shù)滿足關(guān)系式證明：故46. 求下列函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)：求；求；求.解： 47. 求由下列方程所確定的隱函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)： ； ； . 解：兩邊對(duì)求導(dǎo)，得 . 兩邊對(duì)求導(dǎo)，得. 兩邊對(duì)求導(dǎo)，得

8、 兩邊對(duì)求導(dǎo)，得 48. 已知存在，求：；.解： 49. 求由下列參數(shù)方程所確定函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)： (為常數(shù))；設(shè)存在且不為零.解： .50. 求下列函數(shù)在指定點(diǎn)的高階導(dǎo)數(shù)：求；求，；求，.解： 故. 故，. 故，51. 設(shè)是由方程組所確定的隱函數(shù)，求.解：分別對(duì)已知方程組的兩邊關(guān)于求導(dǎo)，得：再對(duì)求一次導(dǎo)，得將代入上述各式，得52. 驗(yàn)證：函數(shù)在上滿足羅爾定理的條件，并求出相應(yīng)的，使.證：在區(qū)間上連續(xù)，在上可導(dǎo)，且，即在上滿足羅爾定理的條件，由羅爾定理，至少存在一點(diǎn)使.事實(shí)上，由得故取，可使.53. 下列函數(shù)在指定區(qū)間上是否滿足羅爾定理的三個(gè)條件？有沒(méi)有滿足定理結(jié)論中的？ ； ； 解：在上不連續(xù)

9、，不滿足羅爾定理的條件.而，即在（0，1）內(nèi)不存在，使.羅爾定理的結(jié)論不成立. 不存在，即在區(qū)間內(nèi)不可導(dǎo)，不滿足羅爾定理的條件. 而 即在（0，2）內(nèi)不存在，使.羅爾定理的結(jié)論不成立.因,且在區(qū)間上不連續(xù)，不滿足羅爾定理的條件.而,取，使.有滿足羅爾定理結(jié)論的. 故羅爾定理的三個(gè)條件是使結(jié)論成立的充分而非必要條件.54. 函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)有幾個(gè)零點(diǎn)？各位于哪個(gè)區(qū)間內(nèi)？解：因?yàn)椋瑒t分別在2，1，1，0，0，1，1，2上應(yīng)用羅爾定理，有使得.因此，至少有4個(gè)零點(diǎn)，且分別位于內(nèi).55. 驗(yàn)證：拉格朗日定理對(duì)函數(shù)在區(qū)間0，1上的正確性. 驗(yàn)證：因?yàn)樵?，1上連續(xù)，在（0，1）內(nèi)可導(dǎo)，滿足拉格朗日定理的條件

10、.由得解得，即存在使得拉格朗日定理的結(jié)論成立.56. 證明：不等式證明：令在0，x上應(yīng)用拉格朗日定理，則使得即,因?yàn)?，則即設(shè)證明：證明：令,在b，a上應(yīng)用拉格朗日定理，則使得因?yàn)?則,即設(shè)證明：證明：令在b，a上應(yīng)用拉格朗日定理，則使得因?yàn)?，所?即.設(shè)證明：證明：令，,應(yīng)用拉格朗日定理，有即57. 如果在a，b上連續(xù)，在（a，b）內(nèi)可導(dǎo)且證明.證明：因?yàn)樵赼, b上連續(xù)，在（a，b）內(nèi)可導(dǎo)，故在a，x上應(yīng)用拉格朗日定理，則，使得,于是,故有58. 設(shè)，且,在a，b內(nèi)存在，證明：在（a，b）內(nèi)至少有一點(diǎn)，使.證明：在a，b內(nèi)存在，故在a，b上連續(xù)，在（a，b）內(nèi)可導(dǎo)，且，故由羅爾定理知，使得，

11、使得，又在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，由羅爾定理知，使，即在（a，b）內(nèi)至少有一點(diǎn)，使.59. 已知函數(shù)在a，b上連續(xù)，在（a，b）內(nèi)可導(dǎo)，且，試證：在（a，b）內(nèi)至少有一點(diǎn)，使得.證明：令在a，b上連續(xù)，在（a，b）內(nèi)可導(dǎo)，且，由羅爾定理知，使得，即,即60. 證明恒等式：證明：令, 故，又因,所以,即61. 對(duì)函數(shù)及在上驗(yàn)證柯西定理的正確性.驗(yàn)證：，在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，且，滿足柯西定理的條件.由 ,得 ,故滿足柯西定理的結(jié)論.62. 設(shè)在上有階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，在內(nèi)有階導(dǎo)數(shù)，且試證：在內(nèi)至少存在一點(diǎn)，使.證明：首先，對(duì)在上應(yīng)用羅爾定理，有，即，使得；其次，對(duì)在上應(yīng)用羅爾定理，有，即，使得一般地，設(shè)在內(nèi)已找到

12、個(gè)點(diǎn)其中使得，則對(duì)在上應(yīng)用羅爾定理有使得.63. 利用麥克勞林公式，按乘冪展開(kāi)函數(shù).解：因?yàn)槭堑?次多項(xiàng)式，所以計(jì)算出：， 故64. 利用泰勒公式求下列極限： (3) 解： (3) 令,當(dāng)時(shí)，65. 求下列函數(shù)在處的三階泰勒展開(kāi)式： 解：所以故 66. 求函數(shù)在處的階泰勒公式.解： 67. 求函數(shù)的階麥克勞林公式.解： 68. 求函數(shù)的階麥克勞林展開(kāi)式.解：69. 設(shè)在的某區(qū)間上，存在有界的二階導(dǎo)函數(shù).證明：當(dāng)在處的增量很小時(shí)，用增量比近似一階導(dǎo)數(shù)的近似公式,其絕對(duì)誤差的量級(jí)為，即不超過(guò)的常數(shù)倍.證明：在處泰勒展開(kāi)式為, 則, 又知 ,故 ,即的絕對(duì)誤差為.70. 利用四階泰勒公式，求的近似值，并估計(jì)誤差.解：71. 計(jì)算的近似值，使誤差不超過(guò).解：72. 設(shè)函數(shù)在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，且試證： .證明：.73. 利用洛必達(dá)法則求下列極限：; ; ; ; ; ; ; ;.解： 原式=. 原式=. 原式=. 原式=. 原式=. 原式=. 原式=. 原式=. 原式 . 原式= 令 原式=. 令，則 原式=. 令，則 原式=. 原式 原式 原式 令，則原式=. 令，則原式=.74. 設(shè)具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且，