吉林省長(zhǎng)市普通高中高三質(zhì)量監(jiān)測(cè)（二）理科數(shù)學(xué)試題及答案

1、長(zhǎng)春市普通高中2015屆高三質(zhì)量監(jiān)測(cè)（二）數(shù) 學(xué)（理 科）一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1、已知集合，則（ ）a b c d2、復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（ ）a第一象限 b第二象限 c第三象限 d第四象限3、已知隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，若，則（ ）a b c d4、已知函數(shù)在上是單調(diào)函數(shù)，函數(shù)（且）在上是增函數(shù)，則成立是成立的（ ）a充分不必要條件 b必要不充分條件c充要條件 d既不充分也不必要條件5、若，滿足約束條件，則的取值范圍是（ ）a b c d6、一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為（ ）a b c d

2、7、已知平面向量，滿足，則（ ）a b c d8、下面左圖是某學(xué)習(xí)小組學(xué)生數(shù)學(xué)考試成績(jī)的莖葉圖，1號(hào)到16號(hào)同學(xué)的成績(jī)依次為、，右圖是統(tǒng)計(jì)莖葉圖中成績(jī)?cè)谝欢ǚ秶鷥?nèi)的學(xué)生人數(shù)的算法流程圖，那么該算法流程圖輸出的結(jié)果是（ ）a b c d9、已知函數(shù)，若將其圖象向右平移（）個(gè)單位后所得的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則的最小值為（ ）a b c d10、設(shè)，若直線與圓相切，則的取值范圍是（ ）a bc d11、若是雙曲線（）的右焦點(diǎn)，過作該雙曲線一條漸近線的垂線與兩條漸近線交于，兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，的面積為，則該雙曲線的離心率（ ）a b c d12、設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，為等差數(shù)列，則（ ）a b c d二、

3、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）13、的展開式中常數(shù)項(xiàng)為 14、已知且曲線、與所圍成的封閉區(qū)域的面積為，則 15、正四面體的外接球半徑為，過棱作該球的截面，則截面面積的最小值為 16、已知函數(shù)為偶函數(shù)且，又，函數(shù)，若恰好有4個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是 三、解答題（本大題共6小題，共70分解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）17、（本小題滿分12分）在中，求角的值；設(shè)，求18、（本小題滿分12分）根據(jù)某電子商務(wù)平臺(tái)的調(diào)查統(tǒng)計(jì)顯示，參與調(diào)查的1000位上網(wǎng)購(gòu)物者的年齡情況如下圖顯示已知、三個(gè)年齡段的上網(wǎng)購(gòu)物者人數(shù)成等差數(shù)列，求，的值；該電子商務(wù)平臺(tái)將年齡在之間的人群定義為高消費(fèi)人群，

4、其他的年齡段定義為潛在消費(fèi)人群，為了鼓勵(lì)潛在消費(fèi)人群的消費(fèi)，該平臺(tái)決定發(fā)放代金券，高消費(fèi)人群每人發(fā)放50元的代金券，潛在消費(fèi)人群每人發(fā)放100元的代金券，現(xiàn)采用分層抽樣的方式從參與調(diào)查的1000位上網(wǎng)購(gòu)物者中抽取10人，并在這10人中隨機(jī)抽取3人進(jìn)行回訪，求此三人獲得代金券總和的分布列與數(shù)學(xué)期望19、（本小題滿分12分）如圖，在四棱錐中，平面，四邊形滿足，且，點(diǎn)為中點(diǎn)，點(diǎn)為邊上的動(dòng)點(diǎn)，且求證：平面平面；是否存在實(shí)數(shù)，使得二面角的余弦值為？若存在，試求出實(shí)數(shù)的值；若不存在，說明理由20、（本小題滿分12分）在中，頂點(diǎn)，、分別是的重心和內(nèi)心，且求頂點(diǎn)的軌跡的方程；過點(diǎn)的直線交曲線于、兩點(diǎn)，是直線上

5、一點(diǎn)，設(shè)直線、的斜率分別為，試比較與的大小，并加以證明21、（本小題滿分12分）設(shè)函數(shù)，其中和是實(shí)數(shù)，曲線恒與軸相切于坐標(biāo)原點(diǎn)求常數(shù)的值；當(dāng)時(shí)，關(guān)于的不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；求證：請(qǐng)考生在第22、23、24三題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題計(jì)分22、（本小題滿分10分）選修4-1：幾何證明選講如圖，過點(diǎn)作圓的割線與切線，為切點(diǎn)，連接，的平分線與，分別交于點(diǎn)，其中求證：；求的大小23、（本小題滿分10分）選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程在直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以原點(diǎn)為極點(diǎn)，以軸正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為求曲線的普通方程與曲線的直角坐標(biāo)方程；

6、試判斷曲線與是否存在兩個(gè)交點(diǎn)，若存在，求出兩交點(diǎn)間的距離；若不存在，說明理由24、（本小題滿分10分）選修4-5：不等式選講設(shè)函數(shù)，當(dāng)時(shí)，求不等式的解集；對(duì)任意恒有，求實(shí)數(shù)的取值范圍長(zhǎng)春市普通高中2015屆高三質(zhì)量監(jiān)測(cè)（二）數(shù)學(xué)(理科)參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)一、選擇題(本大題包括12小題，每小題5分，共60分)1.d 2.a 3.c 4.c 5.d 6.d 7.b 8.b 9.c 10.a 11.c 12.a簡(jiǎn)答與提示：1. 【命題意圖】本題主要考查集合交集與補(bǔ)集的運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題. 【試題解析】d 由題意可知或，則，所以. 故選d.2. 【命題意圖】本題考查復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算，以及復(fù)平面上的點(diǎn)與復(fù)數(shù)

7、的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題.【試題解析】a，所以其共軛復(fù)數(shù)為. 故選a.3. 【命題意圖】本題考查正態(tài)分布的概念，屬于基礎(chǔ)題，要求學(xué)生對(duì)統(tǒng)計(jì)學(xué)原理有全面的認(rèn)識(shí). 【試題解析】c . 故選c.4. 【命題意圖】本題借助不等式來考查命題邏輯，屬于基礎(chǔ)題.【試題解析】c由成立，則，由成立，則，所以成立時(shí)是的充要條件.故選c.5. 【命題意圖】本題主要考查線性規(guī)劃，是書中的原題改編，要求學(xué)生有一定的運(yùn)算能力.【試題解析】d由題意可知，在處取得最小值，在處取得最大值，即.故選d.6. 【命題意圖】本題通過正方體的三視圖來考查組合體體積的求法，對(duì)學(xué)生運(yùn)算求解能力有一定要求. 【試題解析】d該幾何體可視為正方體截去

8、兩個(gè)三棱錐，所以其體積為. 故選d.7. 【命題意圖】本題考查向量模的運(yùn)算. 【試題解析】b. 故選b.8. 【命題意圖】本題考查學(xué)生對(duì)莖葉圖的認(rèn)識(shí)，通過統(tǒng)計(jì)學(xué)知識(shí)考查程序流程圖的認(rèn)識(shí)，是一道綜合題. 【試題解析】b由算法流程圖可知，其統(tǒng)計(jì)的是數(shù)學(xué)成績(jī)大于等于90的人數(shù)，所以由莖葉圖知：數(shù)學(xué)成績(jī)大于等于90的人數(shù)為10，因此輸出結(jié)果為10. 故選b.9. 【命題意圖】本題主要考查三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.【試題解析】c由題意，將其圖像向右平移個(gè)單位后解析式為，則，即，所以的最小值為. 故選c.10. 【命題意圖】本題借助基本不等式考查點(diǎn)到直線的距離，屬于中檔題. 【試題解析】a 由直線

9、與圓相切可知，整理得，由可知，解得. 故選a.11. 【命題意圖】本題主要考查雙曲線的幾何性質(zhì)，結(jié)合著較大的運(yùn)算量，屬于難題. 【試題解析】c 由題可知，過i、iii象限的漸近線的傾斜角為，則，因此的面積可以表示為，解得，則. 故選c.12. 【命題意圖】本題是最近熱點(diǎn)的復(fù)雜數(shù)列問題，屬于難題. 【試題解析】a 設(shè)，有，則，即當(dāng)時(shí)，所以，即，所以是以為公比，1為首項(xiàng)的等比數(shù)列，所以，. 故選a.二、填空題(本大題包括4小題，每小題5分，共20分)13. 14. 15. 16.簡(jiǎn)答與提示：13. 【命題意圖】本題主要考查二項(xiàng)式定理的有關(guān)知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題.【試題解析】由題意可知常數(shù)項(xiàng)為.14. 【

10、命題意圖】本題考查定積分的幾何意義及微積分基本定理，屬于基礎(chǔ)題. 【試題解析】由題意，所以.15. 【命題意圖】球的內(nèi)接幾何體問題是高考熱點(diǎn)問題，本題通過求球的截面面積，對(duì)考生的空間想象能力及運(yùn)算求解能力進(jìn)行考查，具有一定難度. 【試題解析】由題意，面積最小的截面是以為直徑，可求得，進(jìn)而截面面積的最小值為. 16. 【命題意圖】本題主要考查數(shù)形結(jié)合以及函數(shù)的零點(diǎn)與交點(diǎn)的相關(guān)問題，需要學(xué)生對(duì)圖像進(jìn)行理解，對(duì)學(xué)生的能力提出很高要求，屬于難題. 【試題解析】由題意可知是周期為4的偶函數(shù)，對(duì)稱軸為直線. 若恰有4個(gè)零點(diǎn)，有，解得. 17. (本小題滿分12分)【命題意圖】本小題主要考查兩角和的正切公式

11、，以及同角三角函數(shù)的應(yīng)用，并借助正弦定理考查邊角關(guān)系的運(yùn)算，對(duì)考生的化歸與轉(zhuǎn)化能力有較高要求. 【試題解析】解：(1) (3分) (6分)(2)因?yàn)?，而，且為銳角，可求得. (9分)所以在中，由正弦定理得，. (12分)18. (本小題滿分12分)【命題意圖】本小題主要考查統(tǒng)計(jì)與概率的相關(guān)知識(shí)、離散型隨機(jī)變量的分布列以及數(shù)學(xué)期望的求法. 本題主要考查數(shù)據(jù)處理能力.【試題解析】(1)由圖可知，.(4分)(2) 利用分層抽樣從樣本中抽取10人，其中屬于高消費(fèi)人群的為6人，屬于潛在消費(fèi)人群的為4人. (6分)從中取出三人，并計(jì)算三人所獲得代金券的總和，則的所有可能取值為：150，200，250，30

12、0.， ，150200250300(10分)且. (12分)19. (本小題滿分12分)【命題意圖】本小題主要考查立體幾何的相關(guān)知識(shí)，具體涉及到線面以及面面的垂直關(guān)系、二面角的求法及空間向量在立體幾何中的應(yīng)用. 本小題對(duì)考生的空間想象能力與運(yùn)算求解能力有較高要求. 【試題解析】解：(1) 取中點(diǎn)，連結(jié)、，是中點(diǎn)，又，四邊形為平行四邊形，平面，平面，平面，平面平面. (6分)(2) 存在符合條件的.以為原點(diǎn)，方向?yàn)檩S，方向?yàn)檩S，方向?yàn)檩S，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，從而，則平面的法向量為，又平面即為平面，其法向量，則，解得或，進(jìn)而或. (12分)20. (本小題滿分12分)【命題意圖】本小題主要考查

13、直線與圓錐曲線的綜合應(yīng)用能力，具體涉及到軌跡方程的求法，橢圓方程的求法、直線與圓錐曲線的相關(guān)知識(shí). 本小題對(duì)考生的化歸與轉(zhuǎn)化思想、運(yùn)算求解能力都有很高要求. 【試題解析】解：(1) 已知，且,，其中為內(nèi)切圓半徑，化簡(jiǎn)得：，頂點(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4的橢圓（去掉長(zhǎng)軸端點(diǎn)），其中進(jìn)而其方程為. (5分)(2) ，以下進(jìn)行證明：當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)直線且， 聯(lián)立可得，.(8分)由題意：，. 當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，綜上可得. (12分)21. (本小題滿分12分)【命題意圖】本小題主要考查函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用能力，具體涉及到用導(dǎo)數(shù)來描述原函數(shù)的單調(diào)性、極值以及函數(shù)零點(diǎn)的情況. 本小題對(duì)考生的邏輯推

14、理能力與運(yùn)算求解有較高要求.【試題解析】解：(1) 對(duì)求導(dǎo)得：，根據(jù)條件知，所以. (3分)(2) 由(1)得，. 當(dāng)時(shí)，由于，有，于是在上單調(diào)遞增，從而，因此在上單調(diào)遞增，即而且僅有；當(dāng)時(shí)，由于，有，于是在上單調(diào)遞減，從而，因此在上單調(diào)遞減，即而且僅有；當(dāng)時(shí)，令，當(dāng)時(shí)，于是在上單調(diào)遞減，從而，因此在上單調(diào)遞減，即而且僅有.綜上可知，所求實(shí)數(shù)的取值范圍是. （8分）(3) 對(duì)要證明的不等式等價(jià)變形如下：所以可以考慮證明：對(duì)于任意的正整數(shù)，不等式恒成立. 并且繼續(xù)作如下等價(jià)變形對(duì)于相當(dāng)于（2）中，情形，有在上單調(diào)遞減，即而且僅有. 取，當(dāng)時(shí)，成立；當(dāng)時(shí)，. 從而對(duì)于任意正整數(shù)都有成立.對(duì)于相當(dāng)于

15、（2）中情形，對(duì)于任意，恒有而且僅有. 取，得：對(duì)于任意正整數(shù)都有成立.因此對(duì)于任意正整數(shù)，不等式恒成立.這樣依據(jù)不等式，再令利用左邊，令利用右邊，即可得到成立. (12分)22. (本小題滿分10分)【命題意圖】本小題主要考查平面幾何的證明，具體涉及到弦切角定理以及三角形相似等內(nèi)容. 本小題重點(diǎn)考查考生對(duì)平面幾何推理能力.【試題解析】解：(1) 由題意可知，則，則，又，則. (5分)(2) 由，可得，在中，可知. (10分)23. (本小題滿分10分)【命題意圖】本小題主要考查極坐標(biāo)系與參數(shù)方程的相關(guān)知識(shí)，具體涉及到極坐標(biāo)方程與平面直角坐標(biāo)方程的互化、利用直線的參數(shù)方程的幾何意義求解直線與曲線交點(diǎn)的距離等內(nèi)容. 本小題考查考生