第8章 空間實(shí)體單元

1、第第8 8章章 空間實(shí)體單元空間實(shí)體單元 8.1 概述概述 許多工程實(shí)際問題屬于空間問題。用有限元法分析空間許多工程實(shí)際問題屬于空間問題。用有限元法分析空間 問題和分析平面問題在原理、思路和解題方法完全相同，問題和分析平面問題在原理、思路和解題方法完全相同， 基本未知量仍然是節(jié)點(diǎn)位移。不同的是單元具有三維特點(diǎn)。基本未知量仍然是節(jié)點(diǎn)位移。不同的是單元具有三維特點(diǎn)。 節(jié)點(diǎn)位移在節(jié)點(diǎn)位移在x、y、z三個(gè)坐標(biāo)軸方向都有分量：三個(gè)坐標(biāo)軸方向都有分量：u、v、w。 它的基本方程比平面問題要多，有它的基本方程比平面問題要多，有3個(gè)平衡方程，個(gè)平衡方程，6個(gè)幾何個(gè)幾何 方程，方程，6個(gè)物理方程。個(gè)物理方程。分

2、析方法仍然是先進(jìn)行單元分析，再分析方法仍然是先進(jìn)行單元分析，再 進(jìn)行系統(tǒng)分析，最后求解系統(tǒng)的節(jié)點(diǎn)平衡方程，解算內(nèi)力進(jìn)行系統(tǒng)分析，最后求解系統(tǒng)的節(jié)點(diǎn)平衡方程，解算內(nèi)力 或應(yīng)力。或應(yīng)力。 空間離散化后的單元模型主要有：四面體單元、長方空間離散化后的單元模型主要有：四面體單元、長方 體單元、直邊六面體單元、曲邊六面體單元，如圖體單元、直邊六面體單元、曲邊六面體單元，如圖8-1所示。所示。 (a)(b)(c)(d) 圖圖8-1 空間實(shí)體單元模型空間實(shí)體單元模型 (a) 圖為圖為4節(jié)點(diǎn)四面體單元，是空間問題最簡單的單元，也節(jié)點(diǎn)四面體單元，是空間問題最簡單的單元，也 是是常應(yīng)變、常應(yīng)力單元常應(yīng)變、常應(yīng)力單

3、元。類似平面問題三節(jié)點(diǎn)三角形單元。類似平面問題三節(jié)點(diǎn)三角形單元 進(jìn)行分析。進(jìn)行分析。 ？ (b)圖圖w為長方體單元，可以類似平面四節(jié)點(diǎn)矩形單元進(jìn)行為長方體單元，可以類似平面四節(jié)點(diǎn)矩形單元進(jìn)行 分析。分析。 (c)圖為任意八節(jié)點(diǎn)六面體單元，可以類似平面四節(jié)點(diǎn)任意圖為任意八節(jié)點(diǎn)六面體單元，可以類似平面四節(jié)點(diǎn)任意 四邊形等參元進(jìn)行分析。四邊形等參元進(jìn)行分析。 (d)圖為圖為20節(jié)點(diǎn)曲邊六面體單元，可以類似平面八節(jié)點(diǎn)曲邊節(jié)點(diǎn)曲邊六面體單元，可以類似平面八節(jié)點(diǎn)曲邊 四邊形等參元進(jìn)行分析四邊形等參元進(jìn)行分析 。 8.2 4節(jié)點(diǎn)四面體常應(yīng)變單元節(jié)點(diǎn)四面體常應(yīng)變單元 1、位移模式、位移模式 如圖如圖8-2所示

4、，取四面體的所示，取四面體的4個(gè)頂點(diǎn)個(gè)頂點(diǎn) i,j,m,n 為節(jié)點(diǎn)。每為節(jié)點(diǎn)。每 一個(gè)節(jié)點(diǎn)有一個(gè)節(jié)點(diǎn)有3個(gè)位移分量，即個(gè)位移分量，即 ),(nmjiwvu T iiii （8-1） 單元節(jié)點(diǎn)位移向量為單元節(jié)點(diǎn)位移向量為 T nnnmmmjjjiii TT n T m T j T i e wvuwvuwvuwvu （8-2） 與平面問題式（與平面問題式（2-12）類似，假定單元內(nèi)一點(diǎn)的位移）類似，假定單元內(nèi)一點(diǎn)的位移 分量為坐標(biāo)的線性函數(shù)分量為坐標(biāo)的線性函數(shù) zayaxaaw zayaxaav zayaxaau 1211109 8765 4321 （8-3） 將式（將式（8-3）的第）的第1式應(yīng)

5、用于式應(yīng)用于4個(gè)結(jié)點(diǎn)，則個(gè)結(jié)點(diǎn)，則 i j m n x y z 圖圖 8-2 nnnn mmmm jjjj iiii zayaxaau zayaxaau zayaxaau zayaxaau 4321 4321 4321 4321 （8-4） 由此可解出由此可解出a1a4，再代回到式（，再代回到式（8-3）的第）的第1式，與式（式，與式（2- 19）的第）的第1式類似，有式類似，有 nnmmjjii uNuNuNuNu（8-5） 式中形函數(shù)具有與式（式中形函數(shù)具有與式（2-18）類似的形式：）類似的形式： ),()( 6 1 nmjizdycxba V N iiiii （8-6） 其中其中 ),

6、(nmji 1 1 1 1 1 1 1 1 1 nn mm jj i nn mm jj i nn mm jj i nnn mmm jjj i yx yx yx d zx zx zx c zy zy zy b zyx zyx zyx a （8-7） nnn mmm jjj iii zyx zyx zyx zyx V 1 1 1 1 （8-8） 在式（在式（8-8）中，）中，V為四面體的體積。為使其計(jì)算值不為負(fù)，為四面體的體積。為使其計(jì)算值不為負(fù)， 單元的節(jié)點(diǎn)（單元的節(jié)點(diǎn)（i,j,m,n）編號次序應(yīng)遵循右手法則。）編號次序應(yīng)遵循右手法則。(p4) 采用同樣的方法，可得采用同樣的方法，可得 nnmm

7、jjii vNvNvNvNv（8-9） nnmmjjii wNwNwNwNw （8-10） 將式（將式（8-5）、（）、（8-9）（）（8-10）統(tǒng)一用矩陣式表示，可得與）統(tǒng)一用矩陣式表示，可得與 平面問題式（平面問題式（2-20）類似的公式）類似的公式 （8-11） e N w v u f 式中式中N為單元形函數(shù)矩陣，其維數(shù)為為單元形函數(shù)矩陣，其維數(shù)為312。進(jìn)一步可寫。進(jìn)一步可寫 為與平面問題式（為與平面問題式（2-21）、（）、（2-22）類似的子塊形式）類似的子塊形式 （8-12） nmji NNNNN 其中，子矩陣其中，子矩陣 （8-13）),( 00 00 00 nmjiIN N

8、N N N i i i i i 式中，式中，I為為3階單位矩陣。階單位矩陣。 2、應(yīng)變矩陣、應(yīng)變矩陣 在空間問題中，每點(diǎn)有在空間問題中，每點(diǎn)有6個(gè)應(yīng)變分量。幾何方程為：個(gè)應(yīng)變分量。幾何方程為： T T zxyzxyzyx z u x w y w z v x v y u z w y v x u （8-14） 將式（將式（8-11）（）（8-13）和（）和（8-6）代入上式，得）代入上式，得 （8-15） e nmji e BBBBB 式中式中 （8-16） ),( 0 0 0 00 00 00 6 1 nmji bd cd bc d c b V B ii ii ii i i i i 上式（上式（

9、8-15）、（）、（8-16）與平面問題式（）與平面問題式（2-24）（）（2-26） 類似。與平面問題三節(jié)點(diǎn)三角形單元相同，在四節(jié)點(diǎn)四面類似。與平面問題三節(jié)點(diǎn)三角形單元相同，在四節(jié)點(diǎn)四面 體單元中，體單元中，B的元素都是常量，因此是常應(yīng)變單元。的元素都是常量，因此是常應(yīng)變單元。 2、應(yīng)力矩陣、應(yīng)力矩陣 三維問題的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系也可寫為式（三維問題的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系也可寫為式（2-8）的矩陣）的矩陣 形式形式 D（8-17） 與平面問題不同，這里與平面問題不同，這里和和分別由分別由6個(gè)分量組成，個(gè)分量組成， 彈性矩陣彈性矩陣D是一個(gè)是一個(gè)66的矩陣：的矩陣： T zxyzxyzyx （8-18） （

10、8-19） T zxyzxyzyx （8-20） )1 (2 21 00000 )1 (2 21 0000 )1 (2 21 000 1 11 1 1 1 )21)(1 ( )1 ( 稱 對 E D 將式（將式（8-20）所表示的）所表示的D和式（和式（8-15）、（）、（8-16）所表）所表 示的示的B代入式（代入式（8-22），并將），并將S定成分塊矩陣的形式，有定成分塊矩陣的形式，有 將式（將式（8-15）代入式（）代入式（8-17），得），得 e S（8-21） 應(yīng)力矩陣應(yīng)力矩陣S為為 （8-22）BDS 由于由于D、B都是常數(shù)矩陣，因此應(yīng)力矩陣都是常數(shù)矩陣，因此應(yīng)力矩陣S也是常也是常

11、 數(shù)矩陣。也就是說，單元中的應(yīng)力分量也是常數(shù)。數(shù)矩陣。也就是說，單元中的應(yīng)力分量也是常數(shù)。 （8-23） nmji SSSSS 式中式中 （8-24）),( 0 0 06 22 22 22 11 11 11 3 nmji dAdA cAdA bAcA dcAbA dAcbA dAcAb V A BDS ii ii ii iii iii iii ii 其中其中 （8-25） )21)(1 ( )1 ( )1 (2 21 1 321 E AAA 3、單元剛度矩陣、單元剛度矩陣 仿照平面問題中的推導(dǎo)，可得單元平衡方程仿照平面問題中的推導(dǎo)，可得單元平衡方程 ee Fk（8-26） 單元剛度矩陣具有與式

12、（單元剛度矩陣具有與式（2-33）類似的形式）類似的形式 （8-27） v T dVBDBk 式中，式中，k是一個(gè)是一個(gè)1212的矩陣。由于的矩陣。由于B、D都是常數(shù)矩都是常數(shù)矩 陣，所以陣，所以k也是一個(gè)常量矩陣。并且也是一個(gè)常量矩陣。并且 （8-28）VBDBk T 寫成分塊矩陣的形式，有寫成分塊矩陣的形式，有 （8-29） nnnmnjni mnmmmjmi jnjmjjji inimijii kkkk kkkk kkkk kkkk k 式中子矩陣式中子矩陣krs為為33的矩陣的矩陣 VBDBk s T rrs ),(nmjisr （8-30） )( )( )( 36 22121 212

13、21 21212 3 srsrsrsrsrsrsr srsrsrsrsrsrsr srsrsrsrsrsrsr ccbbAdddcAcdAdbAbdA cdAdcAbbddAcccbAbcA ddAdbAbcAcbAddccAbb V A 4、等價(jià)節(jié)點(diǎn)力向量、等價(jià)節(jié)點(diǎn)力向量 式（式（8-26）中的單元等價(jià)節(jié)點(diǎn)力也包括體積力、表面力、）中的單元等價(jià)節(jié)點(diǎn)力也包括體積力、表面力、 集中力幾部分。體積力與表面力的計(jì)算公式與平面三角形集中力幾部分。體積力與表面力的計(jì)算公式與平面三角形 單元公式（單元公式（2-36）、（）、（2-37）類似：）類似： V V Te V dVpNF（8-31） （8-32）

14、 S S Te S dSpNF 對于簡單情形，也可采用靜力等效原則簡化計(jì)算。對于簡單情形，也可采用靜力等效原則簡化計(jì)算。 進(jìn)一步的整體平衡方程的建立（即結(jié)構(gòu)剛度矩陣、結(jié)進(jìn)一步的整體平衡方程的建立（即結(jié)構(gòu)剛度矩陣、結(jié) 構(gòu)等價(jià)節(jié)點(diǎn)力列陣的組集）、位移約束條件的引入、線性構(gòu)等價(jià)節(jié)點(diǎn)力列陣的組集）、位移約束條件的引入、線性 方程組的求解等，和平面問題有限元法一樣，不再贅述。方程組的求解等，和平面問題有限元法一樣，不再贅述。 8.3 二十結(jié)點(diǎn)六面體等參數(shù)單元二十結(jié)點(diǎn)六面體等參數(shù)單元 由于精度高，容易適應(yīng)不同邊界，在平面問題中常選由于精度高，容易適應(yīng)不同邊界，在平面問題中常選 用了八節(jié)點(diǎn)四邊形等參數(shù)單元。

15、與此類似，在三維問題中用了八節(jié)點(diǎn)四邊形等參數(shù)單元。與此類似，在三維問題中, 常選用二十節(jié)點(diǎn)六面體等參數(shù)單元。常選用二十節(jié)點(diǎn)六面體等參數(shù)單元。 如圖如圖8-3所示，在整體坐標(biāo)系的二十節(jié)點(diǎn)六面體的實(shí)際單元與中所示，在整體坐標(biāo)系的二十節(jié)點(diǎn)六面體的實(shí)際單元與中 心在局部坐標(biāo)的原點(diǎn)、邊長為心在局部坐標(biāo)的原點(diǎn)、邊長為2的立方體基本單元相對應(yīng)。的立方體基本單元相對應(yīng)。 12 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1617 18 19 20 x y z 6 12 18 1 2 3 4 5 78 9 10 11 13 14 15 16 17 19 20 = -1 = 1 = 1 = -

16、1 = 1 圖圖 8-3 實(shí)際單元實(shí)際單元基本單元基本單元 1、位移模式、形函數(shù)和坐標(biāo)變換式、位移模式、形函數(shù)和坐標(biāo)變換式 = -1 20 1 20 1 20 1ii iiiii i i wNwvNvuNu （8-33） （8-34） 20 1 20 1 20 1i i i i i iiii zNzyNyxNx 形函數(shù)的表達(dá)式如下：形函數(shù)的表達(dá)式如下： （8-35） )20,19,18,17(4/ )1)(1)(1 ( )16,15,14,13(4/ )1)(1)(1 ( )12,11,10, 9(4/ )1)(1)(1 ( )8, 2 , 1(8/ )2)(1)(1)(1 ( 00 2 00

17、 2 00 2 000000 iN iN iN iN i i i i 式中式中 iii 000 , 位移模式和坐標(biāo)變換式可寫為如下形式：位移模式和坐標(biāo)變換式可寫為如下形式： 根據(jù)幾何方程，單元中的應(yīng)變?yōu)楦鶕?jù)幾何方程，單元中的應(yīng)變?yōu)?2、應(yīng)變矩陣、應(yīng)變矩陣 ee BBBB 2021 （8-36） 其中其中 （8-37） Te wvuwvuwvu 202020222111 應(yīng)變矩陣的子矩陣應(yīng)變矩陣的子矩陣Bi為：為： （8-38）)20, 2 , 1( 0 0 0 00 00 00 i x N z N y N z N x N y N z N y N x N B ii ii ii i i i i 根

18、據(jù)復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)規(guī)則，有根據(jù)復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)規(guī)則，有 i i i i i i N N N J z N y N x N 1 （8-39） 式中式中J-1為雅可比矩陣為雅可比矩陣J的逆矩陣。的逆矩陣。 J的表達(dá)式為的表達(dá)式為 202020 222 111 2021 2021 2021 zyx zyx zyx NNN NNN NNN zyx zyx zyx J （8-40） 3、應(yīng)力矩陣、應(yīng)力矩陣 單元中的應(yīng)力為單元中的應(yīng)力為 e BDD 單元應(yīng)力矩陣單元應(yīng)力矩陣S為為 （8-41） BDS 4、單元剛度矩陣、單元剛度矩陣 單元剛度矩陣可寫成單元剛度矩陣可寫成 （8-42） 1 1 1 1 1 1 | d

19、ddJBDBk T k是一個(gè)是一個(gè)6060的矩陣，式（的矩陣，式（8-42）通常采用高斯法進(jìn)行）通常采用高斯法進(jìn)行 積分。積分。 5、等價(jià)節(jié)點(diǎn)力矩陣、等價(jià)節(jié)點(diǎn)力矩陣 等價(jià)節(jié)點(diǎn)力計(jì)算公式如下：等價(jià)節(jié)點(diǎn)力計(jì)算公式如下： （1）體積力）體積力 設(shè)單位體積力是設(shè)單位體積力是 ， 則等價(jià)節(jié)點(diǎn)力為則等價(jià)節(jié)點(diǎn)力為 T vzVyVxV pppp dddJ p p p N F F F F Vz Vy Vx i Vzi Vyi Vxi Vi | 1 1 1 1 1 1 （8-43） （2）表面力）表面力 設(shè)某邊界面上作用表面力設(shè)某邊界面上作用表面力 ，則等價(jià)節(jié)點(diǎn)，則等價(jià)節(jié)點(diǎn) 力為力為 T SzSySxS pppp

20、 dS P P P N F F F F sz Sy Sx i Szi Syi Sxi Si （8-44） 設(shè)該邊界面對應(yīng)基本單元設(shè)該邊界面對應(yīng)基本單元 =1 的面。由數(shù)學(xué)公式，結(jié)構(gòu)的面。由數(shù)學(xué)公式，結(jié)構(gòu) 坐標(biāo)下曲面微元坐標(biāo)下曲面微元dS對應(yīng)于單元坐標(biāo)下的微元面積式為對應(yīng)于單元坐標(biāo)下的微元面積式為 （8-45） dd yxyxxzxzzyzy dS 222 )()()( 則式（則式（8-44）可寫為單元坐標(biāo)系下的積分公式）可寫為單元坐標(biāo)系下的積分公式 （8-46） 1 1 1 1 sx sy sx isi p p p NF dd yxyxxzxzzyzy 222 )()() ( 以上為以上為 =

21、1的表面力計(jì)算公式。對于其他表面力，可類的表面力計(jì)算公式。對于其他表面力，可類 似處理。式（似處理。式（8-46）通常也采用高斯法進(jìn)行積分計(jì)算。）通常也采用高斯法進(jìn)行積分計(jì)算。 8.4 空間軸對稱單元空間軸對稱單元 許多工程構(gòu)件，其幾何形狀、約束條件及所受的荷載許多工程構(gòu)件，其幾何形狀、約束條件及所受的荷載 都對稱于某一軸，因而所有的位移、應(yīng)變和應(yīng)力分量也都都對稱于某一軸，因而所有的位移、應(yīng)變和應(yīng)力分量也都 對稱于該軸。這類問題稱對稱于該軸。這類問題稱空間軸對稱問題空間軸對稱問題。 對空間軸對稱問題，采用圓柱坐標(biāo)系，對空間軸對稱問題，采用圓柱坐標(biāo)系，r表示徑向坐表示徑向坐 標(biāo)，標(biāo)，z表示軸向坐

22、標(biāo)，任一對稱面為表示軸向坐標(biāo)，任一對稱面為rz面。在有限元分析時(shí)，面。在有限元分析時(shí)， 采用繞對稱軸旋轉(zhuǎn)一周的采用繞對稱軸旋轉(zhuǎn)一周的軸對稱環(huán)形單元軸對稱環(huán)形單元。把軸對稱的工。把軸對稱的工 程構(gòu)件與程構(gòu)件與rz坐標(biāo)平面正交的截面劃分為一些三角形，例如坐標(biāo)平面正交的截面劃分為一些三角形，例如 其中一個(gè)是其中一個(gè)是ijm（圖（圖8-4）。由這些三角形旋轉(zhuǎn)一周就構(gòu)成）。由這些三角形旋轉(zhuǎn)一周就構(gòu)成 上述環(huán)形單元。上述環(huán)形單元。 圖圖8-4 軸對稱構(gòu)件及三角形環(huán)形單元軸對稱構(gòu)件及三角形環(huán)形單元 r (u) z (w) i j 當(dāng)然，也可以劃分為當(dāng)然，也可以劃分為矩形矩形，構(gòu)成矩形截面的環(huán)形單元?？?，構(gòu)成

23、矩形截面的環(huán)形單元。總 之，單元截面形狀，可采用之，單元截面形狀，可采用三角形、四邊形等平面有限元三角形、四邊形等平面有限元 法所用單元形狀法所用單元形狀。本節(jié)只討論三角形截面的環(huán)形單元，其。本節(jié)只討論三角形截面的環(huán)形單元，其 它截面形狀環(huán)形單元可參照本節(jié)方法進(jìn)行分析。它截面形狀環(huán)形單元可參照本節(jié)方法進(jìn)行分析。 各個(gè)環(huán)形單元（后簡稱單元）間用位于三角形頂點(diǎn)的各個(gè)環(huán)形單元（后簡稱單元）間用位于三角形頂點(diǎn)的 環(huán)形鉸聯(lián)系起來，就成了離散結(jié)構(gòu)模型。我們把環(huán)形鉸在環(huán)形鉸聯(lián)系起來，就成了離散結(jié)構(gòu)模型。我們把環(huán)形鉸在 rz平面的交點(diǎn)（即三角形頂點(diǎn)）稱為單元的節(jié)點(diǎn)（如平面的交點(diǎn)（即三角形頂點(diǎn)）稱為單元的節(jié)點(diǎn)（

24、如 i,j,m ）。因此）。因此對軸對稱問題進(jìn)行有限元分析只需在對軸對稱問題進(jìn)行有限元分析只需在rz平面平面 劃分網(wǎng)格劃分網(wǎng)格，就像平面問題在，就像平面問題在xy平面上劃分網(wǎng)格一樣。照此平面上劃分網(wǎng)格一樣。照此 思路，軸對稱空間問題被大大簡化。思路，軸對稱空間問題被大大簡化。 1、位移模式、位移模式 對于如圖對于如圖8-4所示軸對稱三角形環(huán)形單元，是由如圖所示軸對稱三角形環(huán)形單元，是由如圖8- 5所示平面上的三角形繞對稱軸軸回旋一周得到的。考慮到所示平面上的三角形繞對稱軸軸回旋一周得到的。考慮到 問題的軸對稱特點(diǎn)，可以借助于平面問題三節(jié)點(diǎn)三角形單問題的軸對稱特點(diǎn)，可以借助于平面問題三節(jié)點(diǎn)三角形

25、單 元位移模式進(jìn)行單元分析。元位移模式進(jìn)行單元分析。 圖圖8-5 r z i j m ri rj rm 由于軸對稱，由于軸對稱，環(huán)向位移恒等于零環(huán)向位移恒等于零。 只有徑（只有徑（r）向位移和軸（）向位移和軸（z）向位移，）向位移， 它們恰在它們恰在rz坐標(biāo)平面上。設(shè)徑向位移為坐標(biāo)平面上。設(shè)徑向位移為 u，軸向位移為，軸向位移為w。對于圖。對于圖8-5所示情形，所示情形， 借助平面問題的三角形單元，取位移模借助平面問題的三角形單元，取位移模 式為式為 ？ zrw zru 654 321 （8-47） 代入節(jié)點(diǎn)位移后，可解出代入節(jié)點(diǎn)位移后，可解出a1a6，再代入上式，得，再代入上式，得 （8-4

26、8） mmjjii mmjjii wNwNwNw uNuNuNu 其中，形函數(shù)其中，形函數(shù) （8-49）),()( 2 1 mjizcrba A N iiii 式中式中A, ai, bi, ci，與平面問題三角形單元的對應(yīng)公式（，與平面問題三角形單元的對應(yīng)公式（2- 15）、（）、（2-17）一致，區(qū)別僅僅是將那里的）一致，區(qū)別僅僅是將那里的x, y換成這里的換成這里的 r, z。 式（式（8-48）也可寫為式（）也可寫為式（2-20）同樣的形式）同樣的形式 e mji e NNNNf（8-50） 式中，式中， Ni= NiI(i, j, m)，其中，其中I為為2階單位矩陣。階單位矩陣。 2、

27、應(yīng)變矩陣、應(yīng)變矩陣 根據(jù)彈性力學(xué)理論，空間軸對稱問題的幾何方程為根據(jù)彈性力學(xué)理論，空間軸對稱問題的幾何方程為 r w z u z w r u r u rz z r （8-51） 與平面問題中與平面問題中只含有只含有3個(gè)應(yīng)變分量不同，這里個(gè)應(yīng)變分量不同，這里含有含有4 個(gè)應(yīng)變分量個(gè)應(yīng)變分量。將。將u, w的表達(dá)代入式（的表達(dá)代入式（8-51），得），得 e mji e BBBB（8-52） 式中式中 ),( 0 0 0 2 1 mji bc c f b A B ii i i i i （8-53） 其中其中 ),(mji r zc b r a f i i i i （8-54） 由式（由式（8-52

28、）（）（8-54）可見，矩陣中含有變量）可見，矩陣中含有變量r, z，因此，因此 它不是常數(shù)矩陣。即它不是常數(shù)矩陣。即軸對稱問題的三角形環(huán)形單元不是常軸對稱問題的三角形環(huán)形單元不是常 應(yīng)變單元應(yīng)變單元。 3、應(yīng)力矩陣、應(yīng)力矩陣 根據(jù)彈性力學(xué)理論，空間軸對稱問題的應(yīng)力根據(jù)彈性力學(xué)理論，空間軸對稱問題的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系為應(yīng)變關(guān)系為 D rz z r （8-55） 式中式中D是軸對稱問題的彈性矩陣是軸對稱問題的彈性矩陣 1 21 000 1 11 1 1 1 )21)(1 ( )1 ( 稱 對 E D（8-56） 將式（將式（8-52）代入式（）代入式（8-55），得），得 ee SBD（8-57）

29、應(yīng)力矩陣應(yīng)力矩陣 S=DB 顯然，除顯然，除 rz外，單元中其他應(yīng)力分量不是常數(shù)。外，單元中其他應(yīng)力分量不是常數(shù)。 4、單元剛度矩陣、單元剛度矩陣 軸對稱問題的單元剛度矩陣可由式（軸對稱問題的單元剛度矩陣可由式（8-27）計(jì)算）計(jì)算 V T V T dzrdrdBDBdVBDBk 由于被積函數(shù)由于被積函數(shù) 與無關(guān)，故在三角形截面的環(huán)單元的積分可與無關(guān)，故在三角形截面的環(huán)單元的積分可 簡化為在三角形截面上的積分：簡化為在三角形截面上的積分： A T rdrdzBDBk2（8-58） 式（式（8-58）中，）中，B不是常數(shù)，而由式（不是常數(shù)，而由式（8-53）、（）、（8- 54）確定。式（）確定

30、。式（8-53）、（）、（8-54）中，）中，ai, bi, ci是（是（P32） （1）一般公式）一般公式 （2）近似計(jì)算）近似計(jì)算 可見，單元剛度矩陣計(jì)算比平面三角形單元麻煩。須對其進(jìn)行數(shù)值可見，單元剛度矩陣計(jì)算比平面三角形單元麻煩。須對其進(jìn)行數(shù)值 計(jì)算或近似計(jì)算?，F(xiàn)在，討論面積分計(jì)算或近似計(jì)算。現(xiàn)在，討論面積分A g(r, z)drdz的計(jì)算問題。的計(jì)算問題。 雖為常數(shù)，由式（雖為常數(shù)，由式（2-17）計(jì)算，但）計(jì)算，但 fi 是是r, z的函數(shù)。式（的函數(shù)。式（8- 58）被積函數(shù)）被積函數(shù)BTDBr是是r, z的函數(shù)，暫簡寫為的函數(shù)，暫簡寫為g(r,z)。式。式 （8-58）可寫為）

31、可寫為 圖圖8-6 r z i j m 對于一個(gè)典型三角形截面對于一個(gè)典型三角形截面ijm（圖（圖8- 6），過），過j點(diǎn)作垂直于點(diǎn)作垂直于r軸的直線，將軸的直線，將 三角形三角形ijm，分成兩個(gè)三角形：，分成兩個(gè)三角形：A1， A2。于是，有。于是，有 A2 A1 A drdzzrgk),(2 12 ),(),(),( AAA drdzzrgdrdzzrgdrdzzrg d e rz rz e f rz rz dzzrgdrdzzrgdr )( )( )( )( 2 1 3 1 ),(),(（8-59） 完成上述積分可采用數(shù)值方法，有專完成上述積分可采用數(shù)值方法，有專 門的二重?cái)?shù)值積分程序可

32、供引用。門的二重?cái)?shù)值積分程序可供引用。 也可采用近似方法完成：也可采用近似方法完成： 當(dāng)單元較小時(shí)，常把各個(gè)單元中的當(dāng)單元較小時(shí)，常把各個(gè)單元中的r, z近似看作常數(shù)，并且近似看作常數(shù)，并且 分別等于各單元形心的坐標(biāo)，即分別等于各單元形心的坐標(biāo)，即 )( 3 1 ),( 3 1 mjimji zzzzzrrrrr i j m A2 A1 r z d e f Z1(r) Z2(r) Z3(r) 則式（則式（8-54）成為常數(shù)：）成為常數(shù)： r zc b r a ff i i i ii （8-60） 這樣，就可把各個(gè)單元近似地當(dāng)做常應(yīng)變單元，式（這樣，就可把各個(gè)單元近似地當(dāng)做常應(yīng)變單元，式（8-5

33、8） 變成變成 2BDBArk T （8-61） 式中式中B是從式（是從式（8-52） （8-54）將）將B中的中的r, z用用r, z代替后得出的。代替后得出的。 若將單元剛度矩陣若將單元剛度矩陣k寫為子塊形式寫為子塊形式 mmmjmi jmjjji imijii kkk kkk kkk k 其中，子矩陣可近似為其中，子矩陣可近似為 ArBDBk srrs 2（8-62） 寫成顯式寫成顯式 srsrsrssr srrrssrsrsrsrsr rs bbAcccbAfbcA bcAfbcAccAbffbAffbb A Ar k 221 2121 3 )( )()( 2 ),(mjisr （8-63） 式中式中A1, A2, A3 由式（由式（8-25）確定。）確定。 5、等價(jià)節(jié)點(diǎn)力、等價(jià)節(jié)點(diǎn)力 軸對稱問題的等價(jià)節(jié)點(diǎn)力可用類似平面問題的式（軸對稱問題的等價(jià)節(jié)點(diǎn)力可用類似平面問題的式（2- 36）、（）、（2-37）寫出。對于作用于三角形環(huán)單元上的體積）寫出。對于作用于三角形環(huán)單元上的體積 力、表面力的等效結(jié)點(diǎn)力為：力、表面力的等效結(jié)點(diǎn)力為： rdrdzpNF A V Te V 2（8-64） （1）體積力的等價(jià)節(jié)點(diǎn)力）體積力的等價(jià)節(jié)