材料力學(xué)7.彎曲變形

1、1 2 3 4 A B F C1 x y x 梁的變形情況：梁的變形情況： 原先為原先為直線直線的的軸線軸線, 變形變形后就會成為后就會成為曲線曲線 撓曲線撓曲線， 橫截面橫截面相對相對原來位置原來位置轉(zhuǎn)過轉(zhuǎn)過一個(gè)一個(gè)角度角度 截面轉(zhuǎn)角截面轉(zhuǎn)角 。 描述描述梁梁的的變形變形也需要也需要相應(yīng)相應(yīng)的的兩個(gè)量兩個(gè)量： 1撓度撓度 梁梁的的軸線軸線上某一個(gè)上某一個(gè)點(diǎn)點(diǎn)在在垂直垂直于于軸線軸線的的方向方向 （y方向）方向）所發(fā)生的所發(fā)生的位移位移 y(w) 。 2轉(zhuǎn)角轉(zhuǎn)角 梁梁上某一上某一橫截面橫截面在在梁梁發(fā)生發(fā)生變形變形后后, 相對原來位置相對原來位置轉(zhuǎn)過轉(zhuǎn)過的的角度角度 。 7-1 概述概述 5

2、3. 撓曲線方程和轉(zhuǎn)角方程撓曲線方程和轉(zhuǎn)角方程 從從圖中圖中我們可以看出：我們可以看出： 梁梁的的軸線軸線上上每一點(diǎn)每一點(diǎn)的的撓度撓度 y 和和轉(zhuǎn)角轉(zhuǎn)角是隨著是隨著點(diǎn)點(diǎn)的的位置位置 坐標(biāo)坐標(biāo) x 的的改變改變而而變化變化的的, 因此它是因此它是 x 的的函數(shù)函數(shù), 即：即： xyy 撓曲線方程撓曲線方程（沿（沿坐標(biāo)正向坐標(biāo)正向?yàn)闉檎?x 轉(zhuǎn)角方程轉(zhuǎn)角方程（以（以 x 的的正向轉(zhuǎn)向正向轉(zhuǎn)向 y 的的正向正向?yàn)闉檎┱?A B F C1 x y x 由由圖圖可知可知: 撓曲線撓曲線上上任一點(diǎn)任一點(diǎn)的的斜率斜率與與轉(zhuǎn)角轉(zhuǎn)角之間的之間的關(guān)系關(guān)系為：為： tg dx dy 由于由于極其極其微小微小

3、 tg xy dx dy 有有 撓曲線方程撓曲線方程的的 一階導(dǎo)數(shù)一階導(dǎo)數(shù)為為 轉(zhuǎn)角方程轉(zhuǎn)角方程 y 6 7-2 梁的撓曲線梁的撓曲線近似微分方程近似微分方程及其積分及其積分 2/32 )1 (y y k yf x( )曲線曲線 的的曲率曲率為為 一一. 梁的撓曲線梁的撓曲線近似微分方程近似微分方程 z EI M 1 梁梁純彎曲純彎曲時(shí)時(shí)中性層中性層的的曲率曲率： 2/32 )1 ( 1 y y y EI M z y MyEI 有有或或 7 在在規(guī)定規(guī)定的的坐標(biāo)系坐標(biāo)系中中, x 軸軸水平向右水平向右為為正正, w 軸軸豎直向上豎直向上為為正正. 曲線曲線向向上凸上凸時(shí)：時(shí)： Ox w x O

4、 w 因此因此, y 與與 M 的的正負(fù)號正負(fù)號相同相同, 取取 曲線曲線向向下凸下凸時(shí)時(shí): 0 0 M w M M MM 0 0 M w MyEI 0 y 0 y MyEI 8 )( d d 2 2 xM x xy EI )(xMxyEI 梁梁的的撓曲線撓曲線近似微分方程近似微分方程: 二二. 用積分法求梁的變形用積分法求梁的變形 式式中中積分常數(shù)積分常數(shù) C、D （一段一段 2 個(gè)，個(gè)，N 段段 2 N 個(gè)個(gè)） 由由變形邊界條件變形邊界條件和和變形連續(xù)條件變形連續(xù)條件確定。確定。 )(xMyEI CxxMyEI d)( DCxxxxMEIy dd)( C EI M z 1 梁梁純彎曲純彎曲

5、時(shí)時(shí)即即梁梁的的撓曲線撓曲線為為圓弧線圓弧線 橫力彎曲橫力彎曲時(shí)時(shí) z EI xM y x 1 分段列分段列方程，方程，分段分段積分積分 9 解解: 選選坐標(biāo)坐標(biāo), 列列彎矩方程彎矩方程 M x ql x q x( ) 22 2 2 22 x q x ql yEI Cx q x ql yEI 32 64 DCxx q x ql EIy 43 2412 由由邊界條件：邊界條件： 0 00 ylx yx 時(shí)， 時(shí)， 得：得：C ql D 3 24 0, x q l x y A B )(xMyEI 例例: 已知已知: 梁梁的的抗彎剛度抗彎剛度為為 EI。 試求試求: 圖示圖示簡支梁簡支梁在在均布載荷

6、均布載荷 q 作用下的作用下的轉(zhuǎn)角方程轉(zhuǎn)角方程、 撓曲線方程撓曲線方程, 并并確定確定max 和和 ymax 。 ）（lx 0 積分積分 10 梁梁的的轉(zhuǎn)角方程轉(zhuǎn)角方程和和撓曲線方程撓曲線方程分別為：分別為： q EI lxxl 24 64 233 () )2( 24 332 lxlx EI qx y 最大轉(zhuǎn)角最大轉(zhuǎn)角和和最大撓度最大撓度分別為：分別為： max AB ql EI 3 24 EI ql yy l x 384 5 4 2 max x q l x y A B AB A B 11 M xP lx( )() lPxPyEI Cx lPx P yEI 2 2 DCxx lP x P EI

7、y 23 26 由由邊界條件：邊界條件： 時(shí)，0 x 得：得： CD 0 x y l P A B x 例例. 已知已知: 梁梁的的抗彎剛度抗彎剛度為為 EI 。 試求試求: 圖示圖示懸臂梁懸臂梁在在集中力集中力 P 作用下的作用下的轉(zhuǎn)角方程轉(zhuǎn)角方程、 撓曲線方程撓曲線方程, 并并確定確定 max 和和 ymax 。 解：解：選選坐標(biāo)坐標(biāo), 列列彎矩方程彎矩方程 積分積分 0 ,0 y y ( 0 x l ) 12 梁梁的的轉(zhuǎn)角方程轉(zhuǎn)角方程和和撓曲線方程撓曲線方程分別為：分別為： Px EI xl 2 2()3( 6 2 lx EI xP y 最大轉(zhuǎn)角最大轉(zhuǎn)角和和最大撓度最大撓度分別為：分別為：

8、 EI Pl B 2 2 max EI Pl yy B 3 3 max x y l P A B x B 13 ACM x P x段：( ) 2 x P yEI 2 Cx P yEI 2 4 DCxx P EIy 3 12 由由邊界條件：邊界條件：00yx時(shí)，得：得：D 0 由由對稱條件：對稱條件： 0 2 y l x時(shí)， 得：得：C Pl 2 16 x y l 2 P A B C l 2 x 例例. 已知已知: 梁梁的的抗彎剛度抗彎剛度為為 EI 。 試求試求: 圖示圖示簡支梁簡支梁在在集中力集中力 P 作用下的作用下的轉(zhuǎn)角方程轉(zhuǎn)角方程、 撓曲線方程撓曲線方程，并，并確定確定max 和和 ym

9、ax 。 解：解：選選坐標(biāo)坐標(biāo), 列列彎矩方程彎矩方程 ACM x P x段：( ) 2 14 AC段段梁梁的的轉(zhuǎn)角方程轉(zhuǎn)角方程和和撓曲線方程撓曲線方程分別為：分別為： P EI xl 16 4 22 ()34( 48 22 lx EI xP y 最大轉(zhuǎn)角最大轉(zhuǎn)角和和最大撓度最大撓度分別為：分別為： max AB Pl EI 2 16 EI Pl yy l x 48 3 2 max x y l 2 P A B C l 2 x 討論：討論： 0 max c y處 15 7-3 用用疊加法疊加法計(jì)算梁的變形計(jì)算梁的變形 梁的梁的剛度計(jì)算剛度計(jì)算 一一. 用疊加法計(jì)算梁的變形用疊加法計(jì)算梁的變形 根

10、據(jù)根據(jù)疊加原理疊加原理, 在在材料材料服從服從胡克定律胡克定律、且、且變形變形很小的很小的 前提下前提下, 載荷載荷與它所引起的與它所引起的變形變形成成線性關(guān)系線性關(guān)系。 當(dāng)當(dāng)梁梁上同時(shí)作用幾個(gè)上同時(shí)作用幾個(gè)載荷載荷時(shí)時(shí), 各個(gè)各個(gè)載荷載荷所引起的所引起的變形變形 是是各自獨(dú)立各自獨(dú)立的的, 互不影響互不影響。若計(jì)算。若計(jì)算幾個(gè)載荷幾個(gè)載荷共同作用下共同作用下在在 某截面上某截面上引起的引起的變形變形, 則可則可分別計(jì)算分別計(jì)算各個(gè)各個(gè)載荷載荷單獨(dú)作用下單獨(dú)作用下 的的變形變形, 然后然后疊加疊加。 用于求用于求指定截面上指定截面上的的變形變形 16 例例: 用用疊加法疊加法求求 BAC y、

11、 17 C y 5 384 4 q l EI P l EI 3 48 m l EI 2 16 A q l EI 3 24 P l EI 2 16 ml EI3 B q l EI 3 24 P l EI 2 16EI lm 6 解解: 將將梁梁上的上的各載荷各載荷分別引起分別引起的的位移位移疊加疊加 18 變形后：變形后：AB AB BC BC 變形變形后后AB部分為部分為曲線曲線， 但但BC部分仍為部分仍為直線直線。 C點(diǎn)的位移為：點(diǎn)的位移為：wc 2 L w www BB cBc 19 例例: 求求外伸梁外伸梁 C 點(diǎn)的點(diǎn)的位移。位移。 將將梁梁各部分各部分分別分別 引起引起的的位移位移疊加

12、疊加 A B C P 剛化剛化 EI= L a C A B P P C yc1 解解: 1) BC 部分部分引起的引起的位移位移 fc1、 、 c1 EI pa yc 3 3 1 EI pa c 2 2 1 1c yc1 1c 20 2）AB 部分部分引起的引起的位移位移 fc2 、 、 c2 P 剛化剛化 EI= B C A yc2 P M=Pa a EI PaL ay Bc 3 22 EI paL B 3 2 21ccc yyy 21ccc 2B 2B 2B EI pa yc 3 3 1 EI pa c 2 2 1 21 解：解： v qa EI C 52 384 4 () Paa EI

13、()2 16 2 0 Pqa 5 6 例例：欲使：欲使 AD 梁梁 C 點(diǎn)點(diǎn)撓度撓度為零，為零，求求 ：P 與與 q 的關(guān)系。的關(guān)系。 c y 22 解：解： EI qa EI aq yy DC 24 5 384 )2(5 ,0 44 例：例：求：求：圖示圖示梁梁 C、D 兩點(diǎn)的兩點(diǎn)的撓度撓度 yC、 yD 。 23 解：解： EI qa EI aqa EI aq yB 3 14 3 )2( 8 )2( 434 EI qa EI aqay y B D 3 8 48 )2(2 2 43 例：例：求：求：圖示圖示梁梁 B、D 兩處的兩處的撓度撓度 yB 、 yD 。 B y 24 解：解： 例：例

14、：求：求：圖示圖示梁梁 C 點(diǎn)的點(diǎn)的撓度撓度 yC 。 25 解：解： )2(2)2(3 y 23 EI aPa EI Pa B EI Pa ayy BBC 3 3 5 12 3 Pa EI B Pa EI Pa a EI 2 2 22() 3 4 2 Pa EI 順時(shí)針 3 2 3 Pa EI 例：例：用用疊加法疊加法求圖示求圖示變截面梁變截面梁 B、C 截面截面的的撓度撓度 yB 、yC 。 26 解：解： CB qa EI qa EI 33 64 順時(shí)針 B qa a EI qaa EI 2 2 2 2 3 2 16 () qa EI 3 12 順時(shí)針 EI qa EI qa ay BC

15、 24 5 8 44 例：例： 用用疊加法疊加法求圖示求圖示梁梁 端的端的轉(zhuǎn)角轉(zhuǎn)角和和撓度撓度。 27 解：解：彈簧縮短量彈簧縮短量 B q k q l EI ql EI 8 2 24 22 24 3 3 q k qa EI8 7 384 3 順時(shí)針 EI ql k ql yC 768 5 16 4 ql k8 例：例： 用用疊加法疊加法求圖示求圖示梁梁跨中的跨中的撓度撓度 yC 和和 B 點(diǎn)點(diǎn)的的轉(zhuǎn)角轉(zhuǎn)角B （為為彈簧系數(shù)彈簧系數(shù)）。）。 28 例：例： 梁梁 AB , 橫截面橫截面是是邊長邊長為為a 的的正方形正方形, 彈性模量彈性模量為為 E1 ； 桿桿BC, 橫截面橫截面為為直徑直徑是

16、是 d 的的圓形圓形, 彈性模量彈性模量為為 E2。 試求：試求：BC 桿桿的的伸長伸長及及 AB 梁梁中點(diǎn)的中點(diǎn)的撓度撓度。 k ql k F 2 1 k F EA F EA F NNN 1 EI k 2 1 2 q x yy 29 二二. 梁的剛度計(jì)算梁的剛度計(jì)算 剛度條件：剛度條件： maxmax fy f、 是是構(gòu)件構(gòu)件的的許可許可撓度撓度和和轉(zhuǎn)角轉(zhuǎn)角， 它們決定于它們決定于構(gòu)件構(gòu)件正常正常工作時(shí)工作時(shí)的的要求要求。 土建工程：土建工程：以以強(qiáng)度強(qiáng)度為主為主, 一般一般強(qiáng)度條件強(qiáng)度條件滿足了滿足了, 剛度剛度要求要求 也就滿足了也就滿足了, 因此因此剛度校核剛度校核在在土建工程土建工程

17、中處于中處于從屬地位從屬地位。 機(jī)械工程：機(jī)械工程：對對二者二者的的要求要求一般是一般是相同的相同的，在，在剛度方面剛度方面對對 撓度撓度和和轉(zhuǎn)角轉(zhuǎn)角都有一定的都有一定的限制限制, 如如機(jī)床機(jī)床中的中的主軸主軸, 撓度撓度過大過大 影響影響加工精度加工精度, 軸端轉(zhuǎn)角軸端轉(zhuǎn)角過大過大, 會使會使軸承軸承嚴(yán)重磨損。嚴(yán)重磨損。 橋梁工程：橋梁工程：撓度撓度過大過大, 機(jī)車機(jī)車通過時(shí)將會通過時(shí)將會產(chǎn)生產(chǎn)生很大的很大的振動振動。 30 解：解：由由剛度條件剛度條件 500 48 3 max l f EI Pl y 2 500 48 l EI P 所以 .P 711kN max max M Wz Pl

18、Wz4 60MPa 711.kN I 20a 例：例：圖示圖示工字鋼梁工字鋼梁, l =8m , Iz=2370cm4, Wz=237cm3 , f = l500 , E=200GPa , =100MPa。 試：試：根據(jù)根據(jù)梁梁的的剛度條件剛度條件, 確定確定梁梁的的許可載荷許可載荷 P， 并并校核強(qiáng)度校核強(qiáng)度。 滿足滿足強(qiáng)度條件強(qiáng)度條件 31 7-5 提高彎曲剛度的措施提高彎曲剛度的措施 影響影響梁梁彎曲變形彎曲變形的的因素因素不僅與不僅與梁梁的的支承支承和和載荷情況載荷情況有關(guān)有關(guān), 而且還與而且還與梁梁的的材料材料、截面尺寸截面尺寸、形狀形狀和和梁梁的的跨度跨度有關(guān)。有關(guān)。 所以所以,

19、要想要想提高提高彎曲剛度彎曲剛度, 就應(yīng)從上述就應(yīng)從上述各種因素各種因素入手。入手。 一一. 增大梁的抗彎剛度增大梁的抗彎剛度 EI； 二二. 減小跨度或增加支承；減小跨度或增加支承； 三三. 改變加載方式和支座位置。改變加載方式和支座位置。 32 解除解除多余約束多余約束, 以代以代多余約束反多余約束反力力, 保持保持多余約束處多余約束處原有原有 的的變形條件變形條件, 就得到一個(gè)與就得到一個(gè)與原靜不定梁原靜不定梁完全等效完全等效的的靜定梁靜定梁, 該該梁梁稱為稱為原靜不定梁原靜不定梁的的靜定基本系統(tǒng)靜定基本系統(tǒng)。 7-6 用用變形比較法變形比較法解靜不定梁解靜不定梁 一一. 靜不定梁的靜不

20、定梁的基本解法基本解法 靜不定梁靜不定梁 靜定基本系統(tǒng)靜定基本系統(tǒng) 33 解解: 將將支座支座 B 看成看成多余約束多余約束， 變形協(xié)調(diào)條件變形協(xié)調(diào)條件為：為： ”“0 B BRBqB yyy 0 83 43 EI ql EI lR B Rql B 3 8 二二. 用用變形比較法變形比較法解靜不定梁解靜不定梁 例例: 求圖示求圖示靜不定梁靜不定梁的的支反力支反力。 解除解除多余約束多余約束, 以代以代多余約束反力多余約束反力, 根據(jù)根據(jù)疊加原理疊加原理, 把把多余約束處多余約束處的的變形變形看成由看成由載荷載荷和和多余約束反力多余約束反力共同共同 作用下作用下引起的引起的, 比較比較多余約束處多余約束處的的