高等數(shù)學(xué)-第七版-課件-12-7 傅里葉級(jí)數(shù)

1、第七講 傅里葉級(jí)數(shù) 傅里葉級(jí)數(shù)傅里葉級(jí)數(shù) 一、三角級(jí)數(shù) 二、函數(shù)展開成傅里葉級(jí)數(shù) 三、正弦級(jí)數(shù)和余弦級(jí)數(shù) 傅里葉級(jí)數(shù)傅里葉級(jí)數(shù) 一、三角級(jí)數(shù) 二、函數(shù)展開成傅里葉級(jí)數(shù) 三、正弦級(jí)數(shù)和余弦級(jí)數(shù) 簡(jiǎn)單的周期運(yùn)動(dòng)簡(jiǎn)單的周期運(yùn)動(dòng) )sin(tAy 復(fù)雜的周期運(yùn)動(dòng)復(fù)雜的周期運(yùn)動(dòng))sin( 1 0n n n tnAAy tnAtnA nnnn sincoscossin 令令, 2 0 0 A a ,sin nnn Aa,cos nnn Abxt )sincos( 2 1 0 xnbxna a nn k 三角級(jí)數(shù)三角級(jí)數(shù) 引言引言 ( A：振幅：振幅 ：角頻率：角頻率：初相：初相 ) 傅里葉級(jí)數(shù)傅里葉級(jí)數(shù)

2、一、三角級(jí)數(shù) 二、函數(shù)展開成傅里葉級(jí)數(shù) 三、正弦級(jí)數(shù)和余弦級(jí)數(shù) 傅里葉級(jí)數(shù)傅里葉級(jí)數(shù) 一、三角級(jí)數(shù) 二、函數(shù)展開成傅里葉級(jí)數(shù) 三、正弦級(jí)數(shù)和余弦級(jí)數(shù) 簡(jiǎn)單的周期運(yùn)動(dòng)簡(jiǎn)單的周期運(yùn)動(dòng) )sin(tAy 復(fù)雜的周期運(yùn)動(dòng)復(fù)雜的周期運(yùn)動(dòng))sin( 1 0n n n tnAAy )sincos( 2 1 0 xnbxna a nn k 引言引言 ？ ( )f x周期函數(shù)周期函數(shù) 研究問(wèn)題研究問(wèn)題 )(xf在什么條件下能展開為三角級(jí)數(shù)在什么條件下能展開為三角級(jí)數(shù); )(xf的展開式在什么范圍內(nèi)成立的展開式在什么范圍內(nèi)成立; )(xf的展開式是否唯一的展開式是否唯一; )(xf的展開式如何確定的展開式如何確定

3、. ？ ？ ( A：振幅：振幅 ：角頻率：角頻率：初相：初相 ) 簡(jiǎn)單的周期運(yùn)動(dòng)簡(jiǎn)單的周期運(yùn)動(dòng) )sin(tAy 復(fù)雜的周期運(yùn)動(dòng)復(fù)雜的周期運(yùn)動(dòng))sin( 1 0n n n tnAAy )sincos( 2 1 0 xnbxna a nn k 引言引言 ？ ( )f x周期函數(shù)周期函數(shù) 研究問(wèn)題研究問(wèn)題 )(xf在什么條件下能展開為三角級(jí)數(shù)在什么條件下能展開為三角級(jí)數(shù); )(xf的展開式在什么范圍內(nèi)成立的展開式在什么范圍內(nèi)成立; )(xf的展開式是否唯一的展開式是否唯一; )(xf的展開式如何確定的展開式如何確定. ？ ？ ( A：振幅：振幅 ：角頻率：角頻率：初相：初相 ) 設(shè)設(shè) f (x)

4、是周期為是周期為 2 的周期函數(shù)的周期函數(shù) , 且且 )sincos( 2 )( 1 0 nxbnxa a xf nn n 右端級(jí)數(shù)可逐項(xiàng)積分右端級(jí)數(shù)可逐項(xiàng)積分, 則有則有 ),1,0(dcos)( 1 nxnxxfan ),2,1(dsin)( 1 nxnxxfbn 定理定理 l注注 ,1,cosx,sin x,2cos x,2sin x,cos,nx,sinnx 在在-,上正交上正交 , 上的積分等于上的積分等于 0 . 即其中任意兩個(gè)不同的函數(shù)之積在即其中任意兩個(gè)不同的函數(shù)之積在-, 組成三角級(jí)數(shù)的三角函數(shù)系組成三角級(jí)數(shù)的三角函數(shù)系 簡(jiǎn)單的周期運(yùn)動(dòng)簡(jiǎn)單的周期運(yùn)動(dòng) )sin(tAy 復(fù)雜的

5、周期運(yùn)動(dòng)復(fù)雜的周期運(yùn)動(dòng))sin( 1 0n n n tnAAy )sincos( 2 1 0 xnbxna a nn k 引言引言 ？ ( )f x周期函數(shù)周期函數(shù) 研究問(wèn)題研究問(wèn)題 )(xf在什么條件下能展開為三角級(jí)數(shù)在什么條件下能展開為三角級(jí)數(shù); )(xf的展開式在什么范圍內(nèi)成立的展開式在什么范圍內(nèi)成立; )(xf的展開式是否唯一的展開式是否唯一; )(xf的展開式如何確定的展開式如何確定. ？ ？ ( A：振幅：振幅 ：角頻率：角頻率：初相：初相 ) 簡(jiǎn)單的周期運(yùn)動(dòng)簡(jiǎn)單的周期運(yùn)動(dòng) )sin(tAy 復(fù)雜的周期運(yùn)動(dòng)復(fù)雜的周期運(yùn)動(dòng))sin( 1 0n n n tnAAy )sincos( 2

6、 1 0 xnbxna a nn k 引言引言 ？ ( )f x周期函數(shù)周期函數(shù) 研究問(wèn)題研究問(wèn)題 )(xf在什么條件下能展開為三角級(jí)數(shù)在什么條件下能展開為三角級(jí)數(shù); )(xf的展開式在什么范圍內(nèi)成立的展開式在什么范圍內(nèi)成立; )(xf的展開式是否唯一的展開式是否唯一; )(xf的展開式如何確定的展開式如何確定. ？ ？ ( A：振幅：振幅 ：角頻率：角頻率：初相：初相 ) 簡(jiǎn)單的周期運(yùn)動(dòng)簡(jiǎn)單的周期運(yùn)動(dòng) )sin(tAy 復(fù)雜的周期運(yùn)動(dòng)復(fù)雜的周期運(yùn)動(dòng))sin( 1 0n n n tnAAy )sincos( 2 1 0 xnbxna a nn k 引言引言 ？ ( )f x周期函數(shù)周期函數(shù) 研

7、究問(wèn)題研究問(wèn)題 )(xf在什么條件下能展開為三角級(jí)數(shù)在什么條件下能展開為三角級(jí)數(shù); )(xf的展開式在什么范圍內(nèi)成立的展開式在什么范圍內(nèi)成立; )(xf的展開式是否唯一的展開式是否唯一; )(xf的展開式如何確定的展開式如何確定. ？ ？ ( A：振幅：振幅 ：角頻率：角頻率：初相：初相 ) 1 0 sincos 2 )( n nn xnbxna a xf 的傅的傅里里葉系數(shù)葉系數(shù) ; 由公式由公式 確定的確定的 nn ba ,稱為函數(shù)稱為函數(shù)f(x) ),1,0(dcos)( 1 nxnxxfan ),2,1(dsin)( 1 nxnxxfbn 定義定義 以以f (x)的傅里葉系數(shù)為系數(shù)的三

8、角級(jí)數(shù)的傅里葉系數(shù)為系數(shù)的三角級(jí)數(shù) 稱為稱為f(x)的的傅傅里里葉級(jí)數(shù)葉級(jí)數(shù) . cossin nn n a anxbnx 0 1 2 記作：記作： ( )cossin nn n a f xanx bnx 0 1 2 若等式若等式成立，則稱成立，則稱式為式為f(x)的的傅里葉展開式傅里葉展開式 定理定理 (收斂定理收斂定理, 狄利克雷狄利克雷(Dirichlet)充分條件充分條件) 設(shè)設(shè) f (x) 是周期為是周期為2 的周期函數(shù)，的周期函數(shù)， 如果它滿足如果它滿足: 1) 在一個(gè)周期內(nèi)連續(xù)或只有有限個(gè)第一類間斷點(diǎn)在一個(gè)周期內(nèi)連續(xù)或只有有限個(gè)第一類間斷點(diǎn); 2) 在一個(gè)周期內(nèi)至多只有有限個(gè)極值

9、點(diǎn)在一個(gè)周期內(nèi)至多只有有限個(gè)極值點(diǎn), 則則 f (x) 的傅的傅里里葉級(jí)數(shù)收斂葉級(jí)數(shù)收斂 , 并且并且 當(dāng)當(dāng)x 為為f (x)的間斷點(diǎn)時(shí)的間斷點(diǎn)時(shí),級(jí)數(shù)收斂于級(jí)數(shù)收斂于 當(dāng)當(dāng)x 為為f (x)的連續(xù)點(diǎn)時(shí)的連續(xù)點(diǎn)時(shí),級(jí)數(shù)收斂于級(jí)數(shù)收斂于 );(xf ).()( 2 1 xfxf 設(shè)設(shè) f (x) 是周期為是周期為 2 的周期函數(shù)的周期函數(shù) , 它在它在 上的表達(dá)式為上的表達(dá)式為 ), 0,1 0,1 )( x x xf 將將 f (x) 展成傅展成傅里里葉級(jí)數(shù)葉級(jí)數(shù). o y x 1 1 u例例1 1 ( )cosd(0,1,) n af xnx xn ),2,1(dsin)( 1 nxnxxf

10、bn 和函數(shù)的圖形和函數(shù)的圖形 o y x 1 1 傅氏級(jí)數(shù)的部分和逼近傅氏級(jí)數(shù)的部分和逼近f (x)的情況的情況 ),2,0,( xx 7 7sin x 9 9sin x 3 3sin sin 4 )( x xxf 5 5sin x f (x)的傅里葉展開式的傅里葉展開式 x o y 0,0 0, )( x xx xf 將將 f (x) 展成傅展成傅里里葉級(jí)數(shù)葉級(jí)數(shù). 2332 上的表達(dá)式為上的表達(dá)式為 ), 設(shè)設(shè) f (x) 是周期為是周期為 2 的周期函數(shù)的周期函數(shù) , 它在它在 u例例2 )(xf 周期延拓周期延拓 傅傅里里葉展開葉展開 將定義在將定義在 , 上的函數(shù)上的函數(shù) f (x

11、)展開為傅里葉級(jí)數(shù)展開為傅里葉級(jí)數(shù) 在在, 上有定上有定 義義 )(xF周期為周期為2 在在 ),( 內(nèi)內(nèi))()(xfxF )(xf在在, 上的傅里葉展開式上的傅里葉展開式 展開思路展開思路 u例例3 展開成傅里葉級(jí)數(shù)展開成傅里葉級(jí)數(shù), 其中其中E 是正的常數(shù)是正的常數(shù) . 將函數(shù)將函數(shù), 2 sin)( t t Etu t O u 22 E 傅里葉級(jí)數(shù)傅里葉級(jí)數(shù) 一、三角級(jí)數(shù) 二、函數(shù)展開成傅里葉級(jí)數(shù) 三、正弦級(jí)數(shù)和余弦級(jí)數(shù) 傅里葉級(jí)數(shù)傅里葉級(jí)數(shù) 一、三角級(jí)數(shù) 二、函數(shù)展開成傅里葉級(jí)數(shù) 三、正弦級(jí)數(shù)和余弦級(jí)數(shù) 周期為周期為2 的的奇、偶函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)奇、偶函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù) 對(duì)周期為對(duì)周期為

12、 2 的奇函數(shù)的奇函數(shù) f (x) , 對(duì)周期為對(duì)周期為2 的偶函數(shù)的偶函數(shù) f (x) , ),2,1,0( dcos)( 2 0 nxnxxfan ),3,2,1( 0 nbn ),2,1,0( 0 nan 0 ),3,2,1(dsin)( 2 nxnxxfbn 其傅其傅里里葉系數(shù)為葉系數(shù)為 其傅其傅里里葉系數(shù)為葉系數(shù)為 此時(shí)其傅里葉此時(shí)其傅里葉級(jí)數(shù)為只含有正弦項(xiàng)的級(jí)數(shù)為只含有正弦項(xiàng)的正弦級(jí)數(shù)正弦級(jí)數(shù). 此時(shí)此時(shí)其傅里葉級(jí)數(shù)為只含有常數(shù)項(xiàng)和余弦項(xiàng)的其傅里葉級(jí)數(shù)為只含有常數(shù)項(xiàng)和余弦項(xiàng)的余弦級(jí)數(shù)余弦級(jí)數(shù). u例例4 y x o 將將 f (x) 展成傅展成傅里里葉級(jí)數(shù)葉級(jí)數(shù). 是是周期為周期為

13、2 的周期函數(shù)的周期函數(shù), )(xf 它在它在), 上的表達(dá)式為上的表達(dá)式為 xxf )( 設(shè)設(shè) u例例5 將將 f (x) 展成傅展成傅里里葉級(jí)數(shù)葉級(jí)數(shù). 是是周期為周期為2 的周期函數(shù)的周期函數(shù), )(xf 它在它在), 上的表達(dá)式為上的表達(dá)式為 |)(xxf 設(shè)設(shè) o y x22 將定義在將定義在0, 上的函數(shù)展開成正弦級(jí)數(shù)與余弦級(jí)數(shù)上的函數(shù)展開成正弦級(jí)數(shù)與余弦級(jí)數(shù) )(xf 奇延拓奇延拓 傅傅里里葉展開葉展開 在在, 0上有定義上有定義 )(xF 在在, 0(上上 )()(xfxF 展開思路展開思路 定義在定義在,( 上上, 在在),( 上為上為奇函數(shù)奇函數(shù) )(xf的正弦級(jí)數(shù)的正弦級(jí)數(shù) 展開式展開式 (偶延拓偶延拓) (偶函數(shù)偶函數(shù)) (余弦函數(shù)余弦函數(shù)) u例例6 分別展開成正弦級(jí)數(shù)和余弦級(jí)數(shù)分別展開成正弦級(jí)數(shù)和余弦級(jí)數(shù). 將函數(shù)將函數(shù) )(xf xcos 2 0 x 0 2 xx y O 2 2 將定義在將定義在0, 上的函數(shù)展開成正弦級(jí)數(shù)與余弦級(jí)數(shù)上的函數(shù)展開成正弦級(jí)數(shù)與余弦級(jí)數(shù) )(xf 奇延拓奇