高等數(shù)學(xué)(2017高教五版)課件傅里葉級(jí)數(shù)第一課時(shí)(工科類)

1、第七講 傅里葉級(jí)數(shù) 傅里葉級(jí)數(shù) 一、三角級(jí)數(shù) 二、函數(shù)展開成傅里葉級(jí)數(shù) 三、正弦級(jí)數(shù)和余弦級(jí)數(shù) 傅里葉級(jí)數(shù) 一、三角級(jí)數(shù) 二、函數(shù)展開成傅里葉級(jí)數(shù) 三、正弦級(jí)數(shù)和余弦級(jí)數(shù) 簡(jiǎn)單的周期運(yùn)動(dòng))sin(tAy 復(fù)雜的周期運(yùn)動(dòng))sin( 1 0n n n tnAAy tnAtnA nnnn sincoscossin 令 , 2 0 0 A a ,sin nnn Aa,cos nnn Abxt )sincos( 2 1 0 xnbxna a nn k 三角級(jí)數(shù) 引言 ( A：振幅 ：角頻率：初相 ) 傅里葉級(jí)數(shù) 一、三角級(jí)數(shù) 二、函數(shù)展開成傅里葉級(jí)數(shù) 三、正弦級(jí)數(shù)和余弦級(jí)數(shù) 傅里葉級(jí)數(shù) 一、三角級(jí)數(shù) 二

2、、函數(shù)展開成傅里葉級(jí)數(shù) 三、正弦級(jí)數(shù)和余弦級(jí)數(shù) 簡(jiǎn)單的周期運(yùn)動(dòng))sin(tAy 復(fù)雜的周期運(yùn)動(dòng))sin( 1 0n n n tnAAy )sincos( 2 1 0 xnbxna a nn k 引言 ？ ( )f x周期函數(shù) 研究問題 )(xf在什么條件下能展開為三角級(jí)數(shù); )(xf 的展開式在什么范圍內(nèi)成立; )(xf 的展開式是否唯一; )(xf 的展開式如何確定. ？ ？ ( A：振幅 ：角頻率：初相 ) 簡(jiǎn)單的周期運(yùn)動(dòng))sin(tAy 復(fù)雜的周期運(yùn)動(dòng))sin( 1 0n n n tnAAy )sincos( 2 1 0 xnbxna a nn k 引言 ？ ( )f x周期函數(shù) 研究問

3、題 )(xf在什么條件下能展開為三角級(jí)數(shù); )(xf 的展開式在什么范圍內(nèi)成立; )(xf 的展開式是否唯一; )(xf 的展開式如何確定. ？ ？ ( A：振幅 ：角頻率：初相 ) 設(shè) f (x) 是周期為 2 的周期函數(shù) , 且 )sincos( 2 )( 1 0 nxbnxa a xf nn n 右端級(jí)數(shù)可逐項(xiàng)積分, 則有 ),1,0(dcos)( 1 nxnxxfan ),2,1(dsin)( 1 nxnxxfbn 定理 l注 ,1,cos x,sin x,2cos x,2sin x,cos,nx,sinnx 在-,上正交 , 上的積分等于 0 . 即其中任意兩個(gè)不同的函數(shù)之積在-,

4、組成三角級(jí)數(shù)的三角函數(shù)系 簡(jiǎn)單的周期運(yùn)動(dòng))sin(tAy 復(fù)雜的周期運(yùn)動(dòng))sin( 1 0n n n tnAAy )sincos( 2 1 0 xnbxna a nn k 引言 ？ ( )f x周期函數(shù) 研究問題 )(xf在什么條件下能展開為三角級(jí)數(shù); )(xf 的展開式在什么范圍內(nèi)成立; )(xf 的展開式是否唯一; )(xf 的展開式如何確定. ？ ？ ( A：振幅 ：角頻率：初相 ) 簡(jiǎn)單的周期運(yùn)動(dòng))sin(tAy 復(fù)雜的周期運(yùn)動(dòng))sin( 1 0n n n tnAAy )sincos( 2 1 0 xnbxna a nn k 引言 ？ ( )f x周期函數(shù) 研究問題 )(xf在什么條件

5、下能展開為三角級(jí)數(shù); )(xf 的展開式在什么范圍內(nèi)成立; )(xf 的展開式是否唯一; )(xf 的展開式如何確定. ？ ？ ( A：振幅 ：角頻率：初相 ) 簡(jiǎn)單的周期運(yùn)動(dòng))sin(tAy 復(fù)雜的周期運(yùn)動(dòng))sin( 1 0n n n tnAAy )sincos( 2 1 0 xnbxna a nn k 引言 ？ ( )f x周期函數(shù) 研究問題 )(xf在什么條件下能展開為三角級(jí)數(shù); )(xf 的展開式在什么范圍內(nèi)成立; )(xf 的展開式是否唯一; )(xf 的展開式如何確定. ？ ？ ( A：振幅 ：角頻率：初相 ) 1 0 sincos 2 )( n nn xnbxna a xf 的傅

6、里葉系數(shù) ; 由公式 確定的 nn ba , 稱為函數(shù)f(x) ),1,0(dcos)( 1 nxnxxfan ),2,1(dsin)( 1 nxnxxfbn 定義 以f (x)的傅里葉系數(shù)為系數(shù)的三角級(jí)數(shù) 稱為f(x)的傅里葉級(jí)數(shù) . cossin nn n a anxbnx 0 1 2 記作： ( ) cossin nn n a f xanxbnx 0 1 2 若等式成立，則稱式為f(x)的傅里葉展開式 定理定理 (收斂定理收斂定理, 狄利克雷狄利克雷(Dirichlet)充分條件充分條件) 設(shè) f (x) 是周期為2的周期函數(shù)， 如果它滿足: 1) 在一個(gè)周期內(nèi)連續(xù)或只有有限個(gè)第一類間斷

7、點(diǎn); 2) 在一個(gè)周期內(nèi)至多只有有限個(gè)極值點(diǎn), 則 f (x) 的傅里葉級(jí)數(shù)收斂 , 并且 當(dāng)x 為f (x)的間斷點(diǎn)時(shí),級(jí)數(shù)收斂于 當(dāng)x 為f (x)的連續(xù)點(diǎn)時(shí),級(jí)數(shù)收斂于 );(xf ).()( 2 1 xfxf 設(shè) f (x) 是周期為 2 的周期函數(shù) , 它在 上的表達(dá)式為 ), 0,1 0,1 )( x x xf 將 f (x) 展成傅里葉級(jí)數(shù). o y x 1 1 u例1 1 ( )cosd(0,1,) n af xnx xn ),2,1(dsin)( 1 nxnxxfbn 和函數(shù)的圖形 o y x 1 1 傅氏級(jí)數(shù)的部分和逼近f (x)的情況 ),2,0,( xx 7 7sin

8、x 9 9sin x 3 3sin sin 4 )( x xxf 5 5sin x f (x)的傅里葉展開式 x o y 0,0 0, )( x xx xf 將 f (x) 展成傅里葉級(jí)數(shù). 2332 上的表達(dá)式為 ), 設(shè) f (x) 是周期為 2 的周期函數(shù) , 它在 u例2 )(xf 周期延拓 傅里葉展開 將定義在將定義在 , 上的函數(shù)上的函數(shù) f (x)展開為傅里葉級(jí)數(shù)展開為傅里葉級(jí)數(shù) 在, 上有定義 )(xF周期為2 在 ),( 內(nèi))()(xfxF )(xf在, 上的傅里葉展開式 展開思路 u例3 展開成傅里葉級(jí)數(shù), 其中E 是正的常數(shù) . 將函數(shù), 2 sin)( t t Etu

9、t O u 22 E 傅里葉級(jí)數(shù) 一、三角級(jí)數(shù) 二、函數(shù)展開成傅里葉級(jí)數(shù) 三、正弦級(jí)數(shù)和余弦級(jí)數(shù) 傅里葉級(jí)數(shù) 一、三角級(jí)數(shù) 二、函數(shù)展開成傅里葉級(jí)數(shù) 三、正弦級(jí)數(shù)和余弦級(jí)數(shù) 周期為2 的奇、偶函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù) 對(duì)周期為 2 的奇函數(shù) f (x) , 對(duì)周期為2的偶函數(shù) f (x) , ),2,1,0( dcos)( 2 0 nxnxxfan ),3,2,1( 0 nbn ),2,1,0( 0 nan 0 ),3,2,1(dsin)( 2 nxnxxfbn 其傅里葉系數(shù)為 其傅里葉系數(shù)為 此時(shí)其傅里葉級(jí)數(shù)為只含有正弦項(xiàng)的正弦級(jí)數(shù). 此時(shí)其傅里葉級(jí)數(shù)為只含有常數(shù)項(xiàng)和余弦項(xiàng)的余弦級(jí)數(shù). u例4 y

10、x o 將 f (x) 展成傅里葉級(jí)數(shù). 是周期為2 的周期函數(shù), )(xf 它在), 上的表達(dá)式為 xxf )( 設(shè) u例5 將 f (x) 展成傅里葉級(jí)數(shù). 是周期為2 的周期函數(shù), )(xf 它在), 上的表達(dá)式為 |)(xxf 設(shè) o y x22 將定義在將定義在0, 上的函數(shù)展開成正弦級(jí)數(shù)與余弦級(jí)數(shù)上的函數(shù)展開成正弦級(jí)數(shù)與余弦級(jí)數(shù) )(xf 奇延拓 傅里葉展開 在, 0上有定義 )(xF 在, 0(上 )()(xfxF 展開思路 定義在,( 上, 在),( 上為奇函數(shù) )(xf的正弦級(jí)數(shù) 展開式 (偶延拓) (偶函數(shù)) (余弦函數(shù)) u例6 分別展開成正弦級(jí)數(shù)和余弦級(jí)數(shù). 將函數(shù) )(xf xcos 2 0 x 0 2 xx y O 2 2 將定義在將定義在0, 上的函數(shù)展開成正弦級(jí)數(shù)與余弦級(jí)數(shù)上的函數(shù)展開成正弦級(jí)數(shù)與余