第五章剛體的轉(zhuǎn)動(dòng) (2)

1、 （課后練習(xí)）（課后練習(xí)）一條質(zhì)量為一條質(zhì)量為 M 長(zhǎng)為長(zhǎng)為 L 的均勻鏈條，放在的均勻鏈條，放在 一光滑的水平桌面上，鏈子的一端有極小的一段長(zhǎng)度被推一光滑的水平桌面上，鏈子的一端有極小的一段長(zhǎng)度被推 出桌子的邊緣在重力作用下開始下落，試求鏈條剛剛離開出桌子的邊緣在重力作用下開始下落，試求鏈條剛剛離開 桌面時(shí)的桌面時(shí)的速度速度. 鐵鏈自由下落鐵鏈自由下落.swf 應(yīng)用應(yīng)用：計(jì)算計(jì)算1010米米高臺(tái)跳水游泳池的深度高臺(tái)跳水游泳池的深度 2 Fc Av 阻 233 (0.25,0.08,1.0 10)cAmkg m F x 研究對(duì)象：整條鏈條研究對(duì)象：整條鏈條 建立坐標(biāo)：如圖建立坐標(biāo)：如圖 受力分

2、析：受力分析： F () M x g L 運(yùn)動(dòng)方程：運(yùn)動(dòng)方程： dt dv Mxg L M 解：解：（1）鏈條在運(yùn)動(dòng)過程中，各部分的速度、）鏈條在運(yùn)動(dòng)過程中，各部分的速度、 加速度都相同。加速度都相同。 dt dv x L g o X ML （課后練習(xí)）（課后練習(xí)）一條質(zhì)量為一條質(zhì)量為 M 長(zhǎng)為長(zhǎng)為 L 的均勻鏈條，放在的均勻鏈條，放在 一光滑的水平桌面上，鏈子的一端有極小的一段長(zhǎng)度被推一光滑的水平桌面上，鏈子的一端有極小的一段長(zhǎng)度被推 出桌子的邊緣在重力作用下開始下落，試求鏈條剛剛離開出桌子的邊緣在重力作用下開始下落，試求鏈條剛剛離開 桌面時(shí)的桌面時(shí)的速度速度. 動(dòng)畫動(dòng)畫 dt dx dx

3、dv x L g dx dv vx L g vL vdvxdx L g 00 2 2 2 1 2 v L L g gLv dt dv x L g 應(yīng)用應(yīng)用：計(jì)算計(jì)算1010米米高臺(tái)跳水游泳池的深度高臺(tái)跳水游泳池的深度 smghV/0 .142 0 解：落到水面速度解：落到水面速度 水中水中maAVcF 2 合 V dx dV mAVc 2 V dV Ac m dx V V x 0 0 V V Ac m x 0 ln （取m=50kg，v=2m/s,得x=4.9m。 第五章第五章 剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的轉(zhuǎn)動(dòng) 1. 剛體：剛體：在外力作用下，形狀和大小都不在外力作用下，形狀和大小都不 發(fā)生變化的物體（任

4、意兩質(zhì)點(diǎn)間距離保持發(fā)生變化的物體（任意兩質(zhì)點(diǎn)間距離保持 不變的特殊質(zhì)點(diǎn)組）不變的特殊質(zhì)點(diǎn)組） 剛體是理想模型剛體是理想模型 剛體模型是為簡(jiǎn)化問題引進(jìn)的剛體模型是為簡(jiǎn)化問題引進(jìn)的 說明：說明： 一、基本概念一、基本概念 剛體平動(dòng)剛體平動(dòng) 質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng) 平動(dòng)：平動(dòng)：若剛體中若剛體中 所有點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡都所有點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡都 保持完全相同保持完全相同 特點(diǎn)：特點(diǎn)：各點(diǎn)運(yùn)動(dòng)各點(diǎn)運(yùn)動(dòng) 狀態(tài)一樣，如：狀態(tài)一樣，如： 等都相同等都相同 a 、 v 2.剛體的運(yùn)動(dòng)形式：剛體的運(yùn)動(dòng)形式：平動(dòng)、轉(zhuǎn)動(dòng)平動(dòng)、轉(zhuǎn)動(dòng) 定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定軸轉(zhuǎn)動(dòng) 轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)動(dòng)：剛體上各質(zhì)點(diǎn)都繞同一軸作圓周運(yùn)動(dòng)剛體上各質(zhì)點(diǎn)都繞同一軸作圓周運(yùn)動(dòng) 非定軸轉(zhuǎn)動(dòng)

5、非定軸轉(zhuǎn)動(dòng) 二、剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)二、剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng) )()(ttt角位移角位移 )(t 角坐標(biāo)角坐標(biāo) 沿沿順順向轉(zhuǎn)動(dòng)向轉(zhuǎn)動(dòng) 沿沿逆逆向轉(zhuǎn)動(dòng)向轉(zhuǎn)動(dòng) 約定約定 tt t d d lim 0 角速度矢量角速度矢量 方向方向: 右手右手螺旋方向螺旋方向 z 參考平面參考平面 )(t x 參考軸參考軸 剛體剛體定軸定軸轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)動(dòng) ( (一維轉(zhuǎn)動(dòng)一維轉(zhuǎn)動(dòng)) )的的轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)動(dòng) 方向方向可以用可以用角速度角速度 的正、負(fù)的正、負(fù)來表示來表示. . 00 zz 角加速度角加速度 角量與線量的關(guān)系角量與線量的關(guān)系 t rre v t e v 2 n t ra ra t a n a n 2 t erera tt 2 2

6、d d d d a r ( (1) ) 每一質(zhì)點(diǎn)均作圓周運(yùn)動(dòng)，圓面為轉(zhuǎn)動(dòng)每一質(zhì)點(diǎn)均作圓周運(yùn)動(dòng)，圓面為轉(zhuǎn)動(dòng) 平面；平面； ( (2) ) 任一質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)任一質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng) 均相同，但均相同，但 不同；不同； , a , v 定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的特點(diǎn)特點(diǎn) ( (3) ) 運(yùn)動(dòng)描述僅需一個(gè)坐標(biāo)運(yùn)動(dòng)描述僅需一個(gè)坐標(biāo) 勻變速轉(zhuǎn)動(dòng)公式勻變速轉(zhuǎn)動(dòng)公式 剛體剛體繞繞定軸作勻變速轉(zhuǎn)動(dòng)定軸作勻變速轉(zhuǎn)動(dòng)質(zhì)點(diǎn)質(zhì)點(diǎn)勻變速直線運(yùn)動(dòng)勻變速直線運(yùn)動(dòng) at 0 vv 2 2 1 00 attxxv )(2 0 2 0 2 xxa vv t 0 )(2 0 2 0 2 2 2 1 00 tt 當(dāng)剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的當(dāng)剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的=常量時(shí)

7、，剛體常量時(shí)，剛體 做做勻變速轉(zhuǎn)動(dòng)勻變速轉(zhuǎn)動(dòng) , oo i r i i F A 在在A點(diǎn)取質(zhì)量元點(diǎn)取質(zhì)量元 i m 的運(yùn)動(dòng)遵循牛頓第二定律的運(yùn)動(dòng)遵循牛頓第二定律 ( ) iii Fm a i m ( ) () tii iiin ma ta n 同時(shí)叉乘方程兩邊同時(shí)叉乘方程兩邊 i r () ()() iiiitiiinii r Fma r ta r n 2 () iiii r Fmr 0 二、剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律二、剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律 方程兩邊同時(shí)求和方程兩邊同時(shí)求和 M 合合外外力力矩矩 :J MJ 合合外外力力矩矩 2 () iiii rFmr 轉(zhuǎn)動(dòng)慣量轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 0M 合合外外 第一轉(zhuǎn)動(dòng)定律

8、：第一轉(zhuǎn)動(dòng)定律： 0 i F 類比有類比有: 時(shí)時(shí) 繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的剛體所受的合外力矩為零時(shí)，將保繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的剛體所受的合外力矩為零時(shí)，將保 持原有的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)不變。持原有的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)不變。 0va 恒恒量量由牛頓第一定律：由牛頓第一定律： 0 恒恒量量 剛體所受的對(duì)于某一固定轉(zhuǎn)軸的合外力矩等于剛體剛體所受的對(duì)于某一固定轉(zhuǎn)軸的合外力矩等于剛體 對(duì)此轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量與剛體在此合外力矩的作用下所對(duì)此轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量與剛體在此合外力矩的作用下所 獲得的角加速度的乘積。獲得的角加速度的乘積。 d MJJ dt 第二轉(zhuǎn)動(dòng)定律：第二轉(zhuǎn)動(dòng)定律： Fma 牛頓第二定律：牛頓第二定律： 類比有類比有: 三、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量三、轉(zhuǎn)動(dòng)

9、慣量 J 質(zhì)點(diǎn)質(zhì)點(diǎn) 質(zhì)點(diǎn)系質(zhì)點(diǎn)系 剛體剛體 轉(zhuǎn)動(dòng)慣量與（轉(zhuǎn)動(dòng)慣量與（a）剛體的質(zhì)量）剛體的質(zhì)量m有關(guān)；有關(guān)； （b）與）與m的分布有關(guān)；的分布有關(guān)； （c）與轉(zhuǎn)軸的位置有關(guān)）與轉(zhuǎn)軸的位置有關(guān) 常見均勻剛常見均勻剛 體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 見書見書P P261 2 Jmr 2 1 n i i Jm r 2 Jr dm 剛體剛體慣性描述量慣性描述量 幾種常見剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量：幾種常見剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量： L m 細(xì)棒細(xì)棒 2 3 1 mLJ 細(xì)棒細(xì)棒 2 12 1 mLJ 薄圓環(huán)薄圓環(huán) 或薄圓筒或薄圓筒 2 mRJ 圓盤或圓盤或 圓柱體圓柱體 薄球殼薄球殼 2 2 1 mRJ Rm 2 3 2 mRJ

10、 球體球體 2 5 2 mRJ m L R m Rm R m * 平行軸定理平行軸定理 以以 m 表示剛體的質(zhì)量，表示剛體的質(zhì)量，Jc 表示它通過其質(zhì)心表示它通過其質(zhì)心 c 的軸的軸 的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。若另一軸與此軸平行并且相距為的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。若另一軸與此軸平行并且相距為d，則此剛則此剛 體對(duì)于后一軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為：體對(duì)于后一軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為： 2 mdJJ c m L 2 12 1 mLJc L m *垂直軸定理垂直軸定理 例：例： 22 ) 2 () 12 1 ( L mmLJ 2 3 1 mL x y z yxz JJJ c 質(zhì)量為質(zhì)量為m，長(zhǎng)為，長(zhǎng)為L(zhǎng)的細(xì)棒繞其一端的的細(xì)棒繞其一端的J P 22

11、2 1 mRmRJ P 圓盤對(duì)圓盤對(duì)P 軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 RmO 22 3 1 ) 2 (mL L mJJ c 2 mdJJ c 2 12 1 mLJ c d=L/2 O1O1 O2 O2 竿子長(zhǎng)些還是短些較安全？竿子長(zhǎng)些還是短些較安全？ 飛輪的質(zhì)量為什么飛輪的質(zhì)量為什么 大都分布于外輪緣？大都分布于外輪緣？ 如圖所示的大圓盤，質(zhì)量為如圖所示的大圓盤，質(zhì)量為M，半徑為，半徑為R，對(duì)于，對(duì)于 過圓心過圓心o o點(diǎn)且垂直于盤面的轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為點(diǎn)且垂直于盤面的轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為 。如如 果在大圓盤中挖去圖示的一個(gè)小圓盤，其質(zhì)量為果在大圓盤中挖去圖示的一個(gè)小圓盤，其質(zhì)量為m，半徑，半徑 為為

12、，且，且 。已知挖去的小圓盤相對(duì)于過。已知挖去的小圓盤相對(duì)于過o點(diǎn)且垂直點(diǎn)且垂直 于盤面的轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為于盤面的轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為 ，則挖去小圓盤后剩余，則挖去小圓盤后剩余 部分對(duì)于過部分對(duì)于過o點(diǎn)且垂直于盤面的轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為多少？點(diǎn)且垂直于盤面的轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為多少？ r2rR 答案： 2 1 (43) 2 JMm r 2 3 2 mr 2 1 2 MR o R r 填補(bǔ)法求轉(zhuǎn)動(dòng)慣量填補(bǔ)法求轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 四、四、 轉(zhuǎn)動(dòng)定律的應(yīng)用轉(zhuǎn)動(dòng)定律的應(yīng)用 ( )( )( )tttM J 用求導(dǎo)的方法用求導(dǎo)的方法 積分加初始條件積分加初始條件 d MJJ dt ( )( )( )Mttt 剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的兩類

13、問題：剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的兩類問題： ( (2) ) 為瞬時(shí)關(guān)系為瞬時(shí)關(guān)系 ( (3) ) 轉(zhuǎn)動(dòng)中轉(zhuǎn)動(dòng)中 與平動(dòng)中與平動(dòng)中 地位相同地位相同 maF JM ( (1) ) , 與與 方向相同方向相同 JM M 說明說明 例例1. 一根輕繩跨過一定滑輪（滑輪一根輕繩跨過一定滑輪（滑輪 視為圓盤），繩的兩端分別視為圓盤），繩的兩端分別 懸有質(zhì)量懸有質(zhì)量 為為 m1 和和 m2 的物體的物體， ，m1 m2 ，滑輪的 滑輪的 質(zhì)量為質(zhì)量為 m ，半徑為，半徑為 R，所受的摩擦阻，所受的摩擦阻 力矩為力矩為 Mr ，繩與滑輪間無相對(duì)滑動(dòng)。，繩與滑輪間無相對(duì)滑動(dòng)。 試求：物體的加速度和繩的張力。試求：物體的加

14、速度和繩的張力。 已知：已知： m1，m2 ，m， R ，Mr 求：求： 21 ,T T a . 1 m 2 m m R 動(dòng)畫動(dòng)畫 解解: 研究對(duì)象研究對(duì)象 m1 ，m2 ，m 建立坐標(biāo)，受力分析建立坐標(biāo)，受力分析 如圖如圖 y gm1 1 T gm2 2 T m 1 T 2 T 0 . 1 m 2 m m R r M 對(duì)各隔離體寫出運(yùn)動(dòng)方程：對(duì)各隔離體寫出運(yùn)動(dòng)方程： 對(duì)對(duì)m1 ： 1111 Tm gm a 對(duì)對(duì)m2：2222 m gTm a 對(duì)對(duì)m： 2 1 122 1122 , , , aaRJmR TTTT 21r T RT RMJ 1 a 2 a 又：又： 21 12 () 1 2 r

15、 M mm g R a mmm 聯(lián)立求得：聯(lián)立求得： 12 1 12 1 (2) 2 1 2 r M mmm g R T mmm 21 2 12 1 (2) 2 1 2 r M mmm g R T mmm 注意：注意：當(dāng)不計(jì)滑輪的質(zhì)量當(dāng)不計(jì)滑輪的質(zhì)量 及摩擦阻力時(shí)：及摩擦阻力時(shí)： 0, 0 r mM g mm mm a 21 12 )( g mm mm TT 21 21 21 2 這便是中學(xué)所熟知的結(jié)果這便是中學(xué)所熟知的結(jié)果 問：如何求角加速度？問：如何求角加速度？ 根據(jù)根據(jù) 可求得可求得 t aR 例例2 2（01580158）電風(fēng)扇在開啟電源后，經(jīng)過電風(fēng)扇在開啟電源后，經(jīng)過 時(shí)間達(dá)到了額定

16、轉(zhuǎn)速，此時(shí)相應(yīng)時(shí)間達(dá)到了額定轉(zhuǎn)速，此時(shí)相應(yīng) 的角速度為的角速度為 。當(dāng)關(guān)閉電源后，經(jīng)。當(dāng)關(guān)閉電源后，經(jīng) 過過 時(shí)間風(fēng)扇停轉(zhuǎn)。已知風(fēng)扇轉(zhuǎn)子時(shí)間風(fēng)扇停轉(zhuǎn)。已知風(fēng)扇轉(zhuǎn)子 的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為J，并假定摩擦阻力矩，并假定摩擦阻力矩 和電機(jī)的電磁力矩均為常量，試根據(jù)和電機(jī)的電磁力矩均為常量，試根據(jù) 已知量推算電機(jī)的電磁力矩。已知量推算電機(jī)的電磁力矩。 1 t 0 2 t 在在 內(nèi)內(nèi) 解： 關(guān)閉電源后，關(guān)閉電源后， 經(jīng)過經(jīng)過 時(shí)間時(shí)間 ) 11 ( 21 0 tt JM 電磁 結(jié)果：結(jié)果： 1 0 t 1 MMJ 電磁電磁摩擦摩擦 2 t 2 MJ 摩摩擦擦 01 1 0t 02 2 0t 例例3 3

17、（50315031）轉(zhuǎn)動(dòng)著的飛輪的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為轉(zhuǎn)動(dòng)著的飛輪的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為J， 在在 時(shí)角速度為時(shí)角速度為 。此后飛輪經(jīng)。此后飛輪經(jīng) 歷制動(dòng)過程。阻力矩的大小與角速度歷制動(dòng)過程。阻力矩的大小與角速度 的平方成正比，比例系數(shù)為的平方成正比，比例系數(shù)為 （ 為為 大于零的常數(shù)）。當(dāng)大于零的常數(shù)）。當(dāng) 時(shí)，時(shí)， 飛輪的角加速度飛輪的角加速度 。從開始制。從開始制 動(dòng)到動(dòng)到 所經(jīng)歷的時(shí)間所經(jīng)歷的時(shí)間 0t 0 k k 1 03 ? 1 03 ?t 解：（1）當(dāng)）當(dāng) 時(shí)，飛輪的角加速時(shí)，飛輪的角加速 度度 1 03 ? 2 Mk 阻阻力力 J 1 03 ， ， 2 0 9 k J 時(shí)時(shí) 設(shè)開始制動(dòng)的時(shí)刻為設(shè)開

18、始制動(dòng)的時(shí)刻為 （2）從開始制動(dòng)到）從開始制動(dòng)到 所經(jīng)歷的時(shí)間所經(jīng)歷的時(shí)間 1 03 2 Mk 阻阻力力 J d J dt 2 d kdtJ 0t 0 0 1 3 2 0 t d kdtJ 0 2J t k （課后練習(xí)）（課后練習(xí)）一長(zhǎng)為一長(zhǎng)為 l 、質(zhì)量為質(zhì)量為 m 勻質(zhì)細(xì)桿豎直勻質(zhì)細(xì)桿豎直 放置，其下端與一固定鉸鏈放置，其下端與一固定鉸鏈O相接，并可繞其轉(zhuǎn)相接，并可繞其轉(zhuǎn) 動(dòng)由于此豎直放置的細(xì)桿處于非動(dòng)由于此豎直放置的細(xì)桿處于非穩(wěn)定平衡狀態(tài)，穩(wěn)定平衡狀態(tài)， 當(dāng)其受到微小擾動(dòng)時(shí)，細(xì)桿將在重力作用下由靜當(dāng)其受到微小擾動(dòng)時(shí)，細(xì)桿將在重力作用下由靜 止開始繞鉸鏈止開始繞鉸鏈 O 轉(zhuǎn)動(dòng)試計(jì)算細(xì)桿轉(zhuǎn)動(dòng)

19、到與豎轉(zhuǎn)動(dòng)試計(jì)算細(xì)桿轉(zhuǎn)動(dòng)到與豎 直線成直線成 角時(shí)的角加速度和角速度角時(shí)的角加速度和角速度 m,l O mg 解解 細(xì)桿受重細(xì)桿受重 力和鉸鏈對(duì)細(xì)桿的力和鉸鏈對(duì)細(xì)桿的 約束力約束力 作用，由作用，由 轉(zhuǎn)動(dòng)定律得轉(zhuǎn)動(dòng)定律得 N F Jmglsin 2 1 式中式中 2 3 1 mlJ 得得sin 2 3 l g m,l O mg N F ttd d d d d d 由角加速度的定義由角加速度的定義 dsin 2 3 d l g 代入初始條件積分得代入初始條件積分得)cos1 ( 3 l g d d m,l O mg N F 作業(yè)：P286 287 5.2 5.9 5.12 自學(xué)書中例題自學(xué)書中例

20、題P262266例例5.5 例例5.6 例例5.7 課后復(fù)習(xí)：課后復(fù)習(xí)：P251 266 創(chuàng)新班作業(yè)：P286 287 5.2 5.9 5.12 5.13 （課后練習(xí)）（課后練習(xí)）有一半徑為有一半徑為R的圓形平板平放的圓形平板平放 在水平桌面上，平板與水平桌面的在水平桌面上，平板與水平桌面的 摩擦系數(shù)為摩擦系數(shù)為 ，若平板繞通過其中，若平板繞通過其中 心且垂直板面的固定軸以角速度心且垂直板面的固定軸以角速度 開始旋轉(zhuǎn)，它將在旋轉(zhuǎn)幾圈后停止？開始旋轉(zhuǎn)，它將在旋轉(zhuǎn)幾圈后停止？ 0 當(dāng)剛體在力矩當(dāng)剛體在力矩 作用下從作用下從 轉(zhuǎn)到轉(zhuǎn)到 時(shí)，力矩所做的功為：時(shí)，力矩所做的功為： 2 1 AMd 六、六

21、、剛體轉(zhuǎn)動(dòng)的功和能剛體轉(zhuǎn)動(dòng)的功和能 1力矩做功力矩做功 r F o ds dr d M 合外力合外力 對(duì)對(duì) 剛體所作的元功：剛體所作的元功： F cosdAF drFds sin)(rdF（ 與與 互余）互余） sinFrM 合合 外外 力力 矩矩 而而 dAM d 1 2 2. 剛體轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能剛體轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能 考慮剛體上第考慮剛體上第 i 個(gè)質(zhì)元，質(zhì)量為個(gè)質(zhì)元，質(zhì)量為 的動(dòng)能的動(dòng)能 i m 整個(gè)剛體的動(dòng)能為整個(gè)剛體的動(dòng)能為 1 m i m 2 2 1 iiki vmE kik EE 22 2 1 ii Rm 22 1 2 ii m R i m ii vR 速度為速度為 J 2 1 2 k EJ 剛

22、體的轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能 2 1 2 k Emv 3.定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理 由質(zhì)點(diǎn)系：由質(zhì)點(diǎn)系： 類比：類比： kab Emvmv 22 2 1 2 1 0 AM d 合合外外力力矩矩 22 0 11 22 k JJE 合外力矩對(duì)定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的剛體所作的功，合外力矩對(duì)定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的剛體所作的功， 等于剛等于剛 體轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能的增量。體轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能的增量。 A內(nèi)力矩 內(nèi)力矩？ ？ b a AAF dr 外外力力 力 力內(nèi)內(nèi) 4. 剛體的勢(shì)能剛體的勢(shì)能 一個(gè)不太大的剛體的重力勢(shì)能一個(gè)不太大的剛體的重力勢(shì)能 = = 它的全部質(zhì)它的全部質(zhì) 量集中在質(zhì)心時(shí)所具有的勢(shì)能量集中在質(zhì)心時(shí)所具有的勢(shì)能 剛體重

23、力勢(shì)能剛體重力勢(shì)能 ：剛體：剛體質(zhì)心質(zhì)心與重力勢(shì)能零點(diǎn)（地面）與重力勢(shì)能零點(diǎn)（地面） 的的 高度差高度差 c h Pc Emgh 重重 注意注意：功能原理適應(yīng)于純質(zhì)點(diǎn)系統(tǒng)也適應(yīng)于純剛功能原理適應(yīng)于純質(zhì)點(diǎn)系統(tǒng)也適應(yīng)于純剛 體系統(tǒng)，同時(shí)也適應(yīng)于（體系統(tǒng)，同時(shí)也適應(yīng)于（質(zhì)點(diǎn)質(zhì)點(diǎn)+ +剛體剛體）的混）的混 合系統(tǒng)。但計(jì)算動(dòng)能時(shí)合系統(tǒng)。但計(jì)算動(dòng)能時(shí)必須注意必須注意 2 1 2 k EJ 剛體動(dòng)能剛體動(dòng)能 5.剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的功能原理剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的功能原理 21 11 nn ii AAEE 外外非非 內(nèi)內(nèi) 6. 剛體的機(jī)械能守恒定律剛體的機(jī)械能守恒定律 21 11 nn ii EE 常常量量 0AA 外外非

24、非 內(nèi)內(nèi) 若：若： 則：則： c mgh 常數(shù)常數(shù) 2 2 1 J 若剛體轉(zhuǎn)動(dòng)過程中只有重力矩作功，則機(jī)械能若剛體轉(zhuǎn)動(dòng)過程中只有重力矩作功，則機(jī)械能 守恒。守恒。 例例4. 一質(zhì)量為一質(zhì)量為 m 長(zhǎng)為長(zhǎng)為 L 的均勻細(xì)棒的均勻細(xì)棒 OA 可繞通過其一端的光滑軸可繞通過其一端的光滑軸 O 在豎直平在豎直平 面內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng)，今使棒從水平位置開始自面內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng)，今使棒從水平位置開始自 由下擺，求細(xì)棒擺到豎直位置時(shí)由下擺，求細(xì)棒擺到豎直位置時(shí) （1）質(zhì)心）質(zhì)心 C 和端點(diǎn)和端點(diǎn) A 的線速度的線速度 （2）質(zhì)心）質(zhì)心 C 的線加速度的線加速度 解法一（解法一（1）研究對(duì)象：細(xì)棒研究對(duì)象：細(xì)棒 受力分析：受力分析

25、：mg （ 不考慮）不考慮） N 力矩力矩sin 2 L rFmg C mg O A 零勢(shì)面零勢(shì)面 C A r cos 2 mg L 動(dòng)能定理：動(dòng)能定理： 0 AM d 合合外外力力矩矩 )( 2 1 2 0 2 J 2 0 cos 2 L mgd 2 2 1 2 Jmg L = 0 2 ) 3 1 (mL mgL J mgL L g3 cc Rv 方向：向左方向：向左 O A C mg 零勢(shì)面零勢(shì)面 C A AA Rv c a tc aR 0 因豎直位置因豎直位置M=0 =0 g L L g Ra cn 2 3 2 3 2 （2） sincos 22 LL rFmgmg gL L 3 2 1

26、 2 gLL3 解法二解法二 用機(jī)械能守恒：（剛體只有重力矩作功）用機(jī)械能守恒：（剛體只有重力矩作功） mgL 2 2 1 J) 3 1 ( 2 mLJ 3mgLg JL 解法三解法三 用運(yùn)動(dòng)方程用運(yùn)動(dòng)方程 （轉(zhuǎn)動(dòng)定律）求解：（轉(zhuǎn)動(dòng)定律）求解： MJ 2 1 sin 23 L mgmL 研究對(duì)象：細(xì)棒研究對(duì)象：細(xì)棒 受力分析：受力分析：mg （不考慮（不考慮N） 運(yùn)動(dòng)方程：運(yùn)動(dòng)方程： 3 cos 2 g L cos 2 3 L g dt d 3 cos 2 dd dd g Lt O A C gm 零勢(shì)面零勢(shì)面 C A 2 00 cos 2 3 d L g d L g 2 3 2 1 2 Lg3

27、 2 L mg LJ 七、定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量定理七、定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量定理 1沖量矩沖量矩 2剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量 3剛體剛體系系定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量定理定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量定理 2 1 t t Mdt Pmv （） 2 1 2121 11 nn t ii t M dtLLJJ 外外 MdtdL 微分形式微分形式 積分形式積分形式 dL M dt 4剛體系剛體系角動(dòng)量守恒定律角動(dòng)量守恒定律 0M 合合外外力力矩矩 若若 21 LLL ，恒恒矢矢量量 21 JJJ ，恒恒量量 計(jì)算角動(dòng)量時(shí)計(jì)算角動(dòng)量時(shí)注意注意： 質(zhì)點(diǎn)質(zhì)點(diǎn)角動(dòng)量角動(dòng)量 Lrmv 剛體剛體角動(dòng)量角動(dòng)量 LJ 有剛體時(shí)有剛體時(shí)

28、切忌切忌用用動(dòng)量動(dòng)量守恒，守恒，只能只能用用角動(dòng)量角動(dòng)量守恒守恒 注意：剛體注意：剛體系系定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量定理定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量定理 和角動(dòng)量守恒定律適應(yīng)于純質(zhì)和角動(dòng)量守恒定律適應(yīng)于純質(zhì) 點(diǎn)系統(tǒng)也適應(yīng)于純剛體系統(tǒng)同點(diǎn)系統(tǒng)也適應(yīng)于純剛體系統(tǒng)同 時(shí)也適應(yīng)于（時(shí)也適應(yīng)于（質(zhì)點(diǎn)質(zhì)點(diǎn)+ +剛體剛體）的）的 混合系統(tǒng)?；旌舷到y(tǒng)。 例例5（0232）空心圓環(huán)可繞光滑的豎直空心圓環(huán)可繞光滑的豎直 固定軸固定軸AC自由轉(zhuǎn)動(dòng)，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為自由轉(zhuǎn)動(dòng)，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為J0， 環(huán)的半徑為環(huán)的半徑為R，初始時(shí)環(huán)的角速度，初始時(shí)環(huán)的角速度 為為 0。質(zhì)量為。質(zhì)量為m的小球靜止在環(huán)內(nèi)的小球靜止在環(huán)內(nèi) 最高處最高處A點(diǎn)，由于某種微小干擾

29、，小點(diǎn)，由于某種微小干擾，小 球沿環(huán)向下滑動(dòng)，問小球滑到與環(huán)球沿環(huán)向下滑動(dòng)，問小球滑到與環(huán) 心心O在同一高度的在同一高度的B點(diǎn)和環(huán)的最低處點(diǎn)和環(huán)的最低處 的的C點(diǎn)時(shí)，環(huán)的角速度及小球相對(duì)與點(diǎn)時(shí)，環(huán)的角速度及小球相對(duì)與 環(huán)的速度各為多少？環(huán)的速度各為多少？ （設(shè)環(huán)的內(nèi)壁和小球都是光滑的，小球可（設(shè)環(huán)的內(nèi)壁和小球都是光滑的，小球可 視為質(zhì)點(diǎn)，環(huán)截面半徑視為質(zhì)點(diǎn)，環(huán)截面半徑 ） 小球受力：小球受力： 環(huán)受力：環(huán)受力：重力、與軸、與小球 重力、與軸、與小球 之間作用力之間作用力 對(duì)所有力的力矩分析可知：對(duì)所有力的力矩分析可知： 兩物體所受力兩物體所受力關(guān)于關(guān)于 軸軸 的力矩的力矩均等于均等于零零。 o

30、o rR o o A mg B C o R N mgN 所以，所以，在在 軸方向軸方向角動(dòng)量守恒角動(dòng)量守恒 由于它們?cè)谶\(yùn)動(dòng)過程由于它們?cè)谶\(yùn)動(dòng)過程 中，中，在在 軸向軸向所受合所受合 外力矩為零，外力矩為零， 選小球和環(huán)為系統(tǒng)，選小球和環(huán)為系統(tǒng)， oo oo o o A mg B C o R N 對(duì)對(duì)A、B點(diǎn)有點(diǎn)有: 2 000 ()JJmR 選（小球選（小球+環(huán)環(huán)+地球）地球） 為系統(tǒng)，為系統(tǒng)， 則系統(tǒng)機(jī)械則系統(tǒng)機(jī)械 能守恒。能守恒。 取過環(huán)心的水取過環(huán)心的水 平面為勢(shì)能零點(diǎn)。平面為勢(shì)能零點(diǎn)。 o A mg B C o R mg N 22222 000 111 () 222 B JmgRJmR

31、V 22 00 2 0 2 B JR VgR JmR 對(duì)于對(duì)于A、C點(diǎn)有點(diǎn)有 000 JJ 222 000 111 (2 ) 222 C JmgRJmV 4 C VgR 例例6（0786）一質(zhì)量均勻分布的圓盤，質(zhì)一質(zhì)量均勻分布的圓盤，質(zhì) 量為量為M，半徑為，半徑為R，放在一粗糙水平，放在一粗糙水平 面上，圓盤可繞通過其中心面上，圓盤可繞通過其中心O的豎直的豎直 固定光滑軸轉(zhuǎn)動(dòng)。開始時(shí)，圓盤靜止，固定光滑軸轉(zhuǎn)動(dòng)。開始時(shí)，圓盤靜止， 一質(zhì)量為一質(zhì)量為m的子彈以水平速度的子彈以水平速度V0垂直垂直 于圓盤半徑打入圓盤邊緣并嵌在盤邊于圓盤半徑打入圓盤邊緣并嵌在盤邊 上，求（上，求（1）子彈擊中圓盤后，

32、盤所）子彈擊中圓盤后，盤所 獲得的角速度獲得的角速度 （2）經(jīng)過多少時(shí)間后，圓盤）經(jīng)過多少時(shí)間后，圓盤 停止轉(zhuǎn)動(dòng)停止轉(zhuǎn)動(dòng)（忽略子彈重力造（忽略子彈重力造 成的摩擦阻力矩）成的摩擦阻力矩） （1） 解：解： 子彈擊中圓盤后，圓盤子彈擊中圓盤后，圓盤 所獲得的角速度所獲得的角速度 R 0 v m 子彈和圓盤在碰撞前子彈和圓盤在碰撞前后后角動(dòng)量守恒角動(dòng)量守恒 22 0 1 () 2 mv RMRmR 0 1 2 () mv Mm R 2 3 d MmgRJ dt 摩摩擦擦 （2）經(jīng)過多少時(shí)間后，圓盤停止轉(zhuǎn)動(dòng)）經(jīng)過多少時(shí)間后，圓盤停止轉(zhuǎn)動(dòng) 解一：解一：根據(jù)定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律根據(jù)定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律 MJ d J d

33、t 0 0 0 2 3 t mgRdtJd 解二：解二：對(duì)（圓盤 對(duì)（圓盤+ +子彈）應(yīng)用角動(dòng)量定理子彈）應(yīng)用角動(dòng)量定理 2 1 0 t t M dtJ 摩摩 22 1 () 2 MRmR 0 f MtJ 0 mv R 0 3 2 mv t Mg 例例7 7（0141）一勻質(zhì)細(xì)棒長(zhǎng)為一勻質(zhì)細(xì)棒長(zhǎng)為2L，質(zhì)量，質(zhì)量 為為m。以與棒長(zhǎng)方向相垂直。以與棒長(zhǎng)方向相垂直 的速度的速度 V0在光滑水平面內(nèi)平動(dòng)時(shí)與前方一在光滑水平面內(nèi)平動(dòng)時(shí)與前方一 固定的光滑支點(diǎn)固定的光滑支點(diǎn)O發(fā)生完全非彈性發(fā)生完全非彈性 碰撞。碰撞點(diǎn)位于棒碰撞。碰撞點(diǎn)位于棒 中心的一方中心的一方L/2處，處， 如圖所示。如圖所示。 求棒

34、在碰撞后的瞬時(shí)繞求棒在碰撞后的瞬時(shí)繞 O點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)的角速度點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)的角速度 B A 0 V o L 2 L 2 L L 2 L 2 L o A B 0 V 解：解： 碰撞前后碰撞前后角動(dòng)量角動(dòng)量守恒守恒 。 計(jì)算碰撞計(jì)算碰撞前前瞬時(shí)，桿瞬時(shí)，桿 對(duì)點(diǎn)對(duì)點(diǎn)o的角動(dòng)量大小的角動(dòng)量大小 棒上所有點(diǎn)棒上所有點(diǎn)角速度不同角速度不同 但有相等的但有相等的平動(dòng)平動(dòng)速度。速度。 在棒上任意處取質(zhì)量在棒上任意處取質(zhì)量 元元dm r dr drdm 總長(zhǎng)度 總質(zhì)量 特點(diǎn)：特點(diǎn)： dm 質(zhì)量元質(zhì)量元 相對(duì)相對(duì)o點(diǎn)的點(diǎn)的角動(dòng)量角動(dòng)量大小大小 dm sin)( 0 dmVrdL dmrV0dr L m rV 2 0 3

35、22 00 00 LL LV rdrV rdr 前前 2 00 1 2 V LmV L L 2 L 2 L o A B 0 V r dr dm 棒上所有點(diǎn)棒上所有點(diǎn)平動(dòng)平動(dòng)速度速度不不 同同，但有相等的，但有相等的角速度角速度。 22 1 3311 ()() 3 4242 LJmLmL 后后 計(jì)算碰撞計(jì)算碰撞后后瞬時(shí)，桿對(duì)瞬時(shí)，桿對(duì) 點(diǎn)的角動(dòng)量大小點(diǎn)的角動(dòng)量大小 結(jié)論：結(jié)論： L V 7 6 0 特點(diǎn)：特點(diǎn)： L 2 L 2 L o A B 0 V r dr dm 課后看書中相關(guān)例題：例課后看書中相關(guān)例題：例5.8、例、例5.9、 例例5.10 例例5.11、例、例5.12、例、例5.14 剛

36、體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)與質(zhì)點(diǎn)一維運(yùn)動(dòng)的對(duì)比剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)與質(zhì)點(diǎn)一維運(yùn)動(dòng)的對(duì)比 位移位移x 角位移角位移 速度速度 dx dt v 角速度角速度 d dt 加速度加速度 2 2 dt xd dt dv a 角加速度角加速度 2 2 dd dtdt 質(zhì)點(diǎn)一維運(yùn)動(dòng)質(zhì)點(diǎn)一維運(yùn)動(dòng)剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng) 質(zhì)量質(zhì)量m轉(zhuǎn)動(dòng)慣量轉(zhuǎn)動(dòng)慣量dmrJ 2 力力 F 力矩力矩MrF 運(yùn)動(dòng)定律運(yùn)動(dòng)定律Fma 轉(zhuǎn)動(dòng)定律轉(zhuǎn)動(dòng)定律 MJ 角動(dòng)量角動(dòng)量 Lrp 角動(dòng)量角動(dòng)量 JLi 動(dòng)量定理動(dòng)量定理 2 1 21 t t Fdtmvmv 角動(dòng)量定理角動(dòng)量定理 2 1 21 t t MdtJJ 動(dòng)量守恒定律動(dòng)量守恒定律0 i F 恒量恒量 iiv m 角動(dòng)量守恒定律角動(dòng)量守恒定律0M ， 恒量恒量 J 動(dòng)量動(dòng)量pmv 動(dòng)量動(dòng)量 質(zhì)心質(zhì)心 vmp 質(zhì)點(diǎn)一維運(yùn)動(dòng)質(zhì)點(diǎn)一維運(yùn)動(dòng)剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng) 力的功力的功 AFdr 力矩的功力矩的功 AM d 動(dòng)能動(dòng)能 2 2 1 mvEk 轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能 2 2 1 JEk 動(dòng)能定理動(dòng)能定理 2 1 2 2 2 1 2 1 mvmvA 外外2 1 2 2 2 1