第一節(jié)空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征及三視圖和直觀圖

1、 1.空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征 1.下列有關(guān)棱柱的命題中正確的是下列有關(guān)棱柱的命題中正確的是 () A.有兩個(gè)面平行，其余各面都是四邊形的幾何體叫棱柱有兩個(gè)面平行，其余各面都是四邊形的幾何體叫棱柱 B.有兩個(gè)面平行，其余各面都是平行四邊形的幾何體叫有兩個(gè)面平行，其余各面都是平行四邊形的幾何體叫 棱柱棱柱 C.一個(gè)棱柱至少有五個(gè)面、六個(gè)頂點(diǎn)、九條棱一個(gè)棱柱至少有五個(gè)面、六個(gè)頂點(diǎn)、九條棱 D.棱柱的側(cè)棱長(zhǎng)有的都相等，有的不都相等棱柱的側(cè)棱長(zhǎng)有的都相等，有的不都相等 解析：解析：A、B都不能保證側(cè)棱平行這個(gè)結(jié)構(gòu)特征，對(duì)于都不能保證側(cè)棱平行這個(gè)結(jié)構(gòu)特征，對(duì)于D， 由棱柱的結(jié)構(gòu)特征知側(cè)棱

2、都相等，一個(gè)最簡(jiǎn)單的棱柱是由棱柱的結(jié)構(gòu)特征知側(cè)棱都相等，一個(gè)最簡(jiǎn)單的棱柱是 三棱柱，有五個(gè)面、六個(gè)頂點(diǎn)、九條棱三棱柱，有五個(gè)面、六個(gè)頂點(diǎn)、九條棱. 答案：答案：C 2.用任意一個(gè)平面截一個(gè)幾何體，各個(gè)截面都是圓，則這用任意一個(gè)平面截一個(gè)幾何體，各個(gè)截面都是圓，則這 個(gè)幾何體一定是個(gè)幾何體一定是 () A.圓柱圓柱 B.圓錐圓錐 C.球體球體 D.圓柱，圓錐，球體的組合體圓柱，圓錐，球體的組合體 解析：解析：由球的性質(zhì)可知用平面截球所得的截面都是圓面由球的性質(zhì)可知用平面截球所得的截面都是圓面. 答案：答案：C 3.下圖是由哪個(gè)平面圖形旋轉(zhuǎn)得到的下圖是由哪個(gè)平面圖形旋轉(zhuǎn)得到的 () 1.幾種常見(jiàn)的

3、多面體的結(jié)構(gòu)特征幾種常見(jiàn)的多面體的結(jié)構(gòu)特征 (1)直棱柱：側(cè)棱垂直于底面的棱柱直棱柱：側(cè)棱垂直于底面的棱柱.特別地，當(dāng)?shù)酌媸钦貏e地，當(dāng)?shù)酌媸钦?多邊形時(shí)，叫正棱柱多邊形時(shí)，叫正棱柱(如正三棱柱，正四棱柱如正三棱柱，正四棱柱). (2)正棱錐：指的是底面是正多邊形，且頂點(diǎn)在底面的正棱錐：指的是底面是正多邊形，且頂點(diǎn)在底面的 射影是底面中心的棱錐射影是底面中心的棱錐.特別地，各條棱均相等的正特別地，各條棱均相等的正 三棱錐又叫正四面體三棱錐又叫正四面體. 2.理解并掌握空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征，對(duì)培養(yǎng)空間想象理解并掌握空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征，對(duì)培養(yǎng)空間想象 能力，進(jìn)一步研究幾何體中的線面位置關(guān)系或數(shù)量

4、關(guān)能力，進(jìn)一步研究幾何體中的線面位置關(guān)系或數(shù)量關(guān) 系非常重要，每種幾何體的定義都是非常嚴(yán)謹(jǐn)?shù)?，注系非常重要，每種幾何體的定義都是非常嚴(yán)謹(jǐn)?shù)?，?意對(duì)比記憶意對(duì)比記憶. 下面有四個(gè)命題：下面有四個(gè)命題： (1)各個(gè)側(cè)面都是等腰三角形的棱錐是正棱錐；各個(gè)側(cè)面都是等腰三角形的棱錐是正棱錐； (2)三條側(cè)棱都相等的棱錐是正三棱錐；三條側(cè)棱都相等的棱錐是正三棱錐； (3)底面是正三角形的棱錐是正三棱錐；底面是正三角形的棱錐是正三棱錐； (4)頂點(diǎn)在底面上的射影是底面多邊形的內(nèi)心，又是外心頂點(diǎn)在底面上的射影是底面多邊形的內(nèi)心，又是外心 的棱錐必是正棱錐的棱錐必是正棱錐.其中正確命題的個(gè)數(shù)是其中正確命題的個(gè)

5、數(shù)是 () A.1B.2 C.3 D.4 思路點(diǎn)撥思路點(diǎn)撥 課堂筆記課堂筆記命題命題(1)不正確；正棱錐必須具備兩點(diǎn)，一不正確；正棱錐必須具備兩點(diǎn)，一 是：底面為正多邊形，二是：頂點(diǎn)在底面內(nèi)的射影是底是：底面為正多邊形，二是：頂點(diǎn)在底面內(nèi)的射影是底 面的中心；命題面的中心；命題(2)缺少第一個(gè)條件；命題缺少第一個(gè)條件；命題(3)缺少第二缺少第二 個(gè)條件；而命題個(gè)條件；而命題(4)可推出以上兩個(gè)條件都具備可推出以上兩個(gè)條件都具備. 答案答案A 2.空間幾何體的三視圖空間幾何體的三視圖 三視圖：用三視圖：用 得到，這種投影下與投影面得到，這種投影下與投影面 的的 平面圖形留下的影子與平面圖形的形狀

6、和大小是平面圖形留下的影子與平面圖形的形狀和大小是 的的.三視圖包括三視圖包括 、 、 . 正投影正投影平行平行 相同相同 完全完全 正視圖正視圖側(cè)視圖側(cè)視圖俯視圖俯視圖 3.空間幾何體的直觀圖空間幾何體的直觀圖 空間幾何體的直觀圖常用空間幾何體的直觀圖常用 畫(huà)法來(lái)畫(huà)，基本規(guī)則是：畫(huà)法來(lái)畫(huà)，基本規(guī)則是： (1)原圖形中原圖形中x軸、軸、y軸、軸、z軸兩兩垂直，直觀圖中，軸兩兩垂直，直觀圖中，x軸、軸、 y 軸的夾角為軸的夾角為 ，z軸與軸與x軸和軸和y軸所軸所 在平面在平面 . 斜二測(cè)斜二測(cè) 45(或或135)垂直垂直 (2)原圖形中平行于坐標(biāo)軸的線段，直觀圖中原圖形中平行于坐標(biāo)軸的線段，直觀

7、圖中 . 平行于平行于x軸和軸和z軸的線段長(zhǎng)度在直觀圖中軸的線段長(zhǎng)度在直觀圖中 ，平，平 行行 于于y軸的線段長(zhǎng)度在直觀圖中軸的線段長(zhǎng)度在直觀圖中 . 還是線段還是線段 保持不變保持不變 變?yōu)樵瓉?lái)的一半變?yōu)樵瓉?lái)的一半 3.如圖所示，下列幾何體各自的三視圖中，有且僅有兩如圖所示，下列幾何體各自的三視圖中，有且僅有兩 個(gè)視圖相同的是個(gè)視圖相同的是 () A. B. C. D. 解析：解析：正方體的正視、側(cè)視、俯視圖都是正方形；圓錐正方體的正視、側(cè)視、俯視圖都是正方形；圓錐 的正視、側(cè)視、俯視圖依次為：三角形、三角形、圓及的正視、側(cè)視、俯視圖依次為：三角形、三角形、圓及 圓心；圓心； 三棱臺(tái)的正視、

8、側(cè)視、俯視圖依次為：梯形、梯形三棱臺(tái)的正視、側(cè)視、俯視圖依次為：梯形、梯形(與正與正 視圖可能不相同視圖可能不相同)、三角形、三角形(內(nèi)外兩個(gè)三角形且對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)內(nèi)外兩個(gè)三角形且對(duì)應(yīng)頂點(diǎn) 相連相連)； 正四棱錐的正視、側(cè)視、俯視圖依次為：三角形、三角正四棱錐的正視、側(cè)視、俯視圖依次為：三角形、三角 形、正方形形、正方形. 答案：答案：D 4.一個(gè)平面四邊形的斜二測(cè)畫(huà)法的直觀圖是一個(gè)邊長(zhǎng)一個(gè)平面四邊形的斜二測(cè)畫(huà)法的直觀圖是一個(gè)邊長(zhǎng) 為為a的正方形，則原平面四邊形的面積等于的正方形，則原平面四邊形的面積等于. 解析：解析：如圖所示如圖所示. 原平面四邊形面積為原平面四邊形面積為a2 2 . 答案：答案

9、：2 5.如圖所示，圖如圖所示，圖、是圖是圖表示的幾何體的三視表示的幾何體的三視 圖，其中圖圖，其中圖是是，圖，圖是是，圖，圖是是 (說(shuō)出視圖名稱說(shuō)出視圖名稱). 解析：解析：結(jié)合三視圖的有關(guān)概念知，圖是正視圖，圖結(jié)合三視圖的有關(guān)概念知，圖是正視圖，圖 是側(cè)視圖，圖是俯視圖是側(cè)視圖，圖是俯視圖. 答案：答案：正視圖側(cè)視圖俯視圖正視圖側(cè)視圖俯視圖 1.幾何體的三視圖的排列規(guī)則：幾何體的三視圖的排列規(guī)則： 俯視圖放在正視圖的下面，長(zhǎng)度與正視圖一樣，側(cè)視圖俯視圖放在正視圖的下面，長(zhǎng)度與正視圖一樣，側(cè)視圖 放在正視圖右面，高度與正視圖一樣，寬度與俯視圖一放在正視圖右面，高度與正視圖一樣，寬度與俯視圖一

10、 一樣，即一樣，即“長(zhǎng)對(duì)正，高平齊，寬相等長(zhǎng)對(duì)正，高平齊，寬相等”，如圖所示，如圖所示(以長(zhǎng)以長(zhǎng) 方方 體三視圖為例體三視圖為例)： 特別警示特別警示畫(huà)幾何體的三視圖時(shí)，能看到的輪廓線畫(huà)成畫(huà)幾何體的三視圖時(shí)，能看到的輪廓線畫(huà)成 實(shí)線，看不到的輪廓線畫(huà)成虛線實(shí)線，看不到的輪廓線畫(huà)成虛線. 2.應(yīng)用：在解題的過(guò)程中，可以根據(jù)三視圖的形狀及圖應(yīng)用：在解題的過(guò)程中，可以根據(jù)三視圖的形狀及圖 中所涉及到的線段的長(zhǎng)度，推斷出原幾何圖形中的點(diǎn)、中所涉及到的線段的長(zhǎng)度，推斷出原幾何圖形中的點(diǎn)、 線、面之間的關(guān)系及圖中的一些線段的長(zhǎng)度，這樣我線、面之間的關(guān)系及圖中的一些線段的長(zhǎng)度，這樣我 們們 就可以解出有關(guān)的

11、問(wèn)題就可以解出有關(guān)的問(wèn)題. (2009山東高考山東高考)一空間幾何一空間幾何 體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體的三視圖如圖所示，則該幾何體的 體積為體積為 () A.22 B.42 C.2 D.4 思路點(diǎn)撥思路點(diǎn)撥 課堂筆記課堂筆記由幾何體的三視圖可知，該幾何體是由一由幾何體的三視圖可知，該幾何體是由一 個(gè)底面直徑和高都是個(gè)底面直徑和高都是2的圓柱和一個(gè)底面邊長(zhǎng)為的圓柱和一個(gè)底面邊長(zhǎng)為 ，側(cè)，側(cè) 棱長(zhǎng)為棱長(zhǎng)為2的正四棱錐疊放而成的正四棱錐疊放而成.故該幾何體的體積為故該幾何體的體積為 V122 ( )2 2 . 答案答案C 3 1.注意原圖與直觀圖中的注意原圖與直觀圖中的“三變、三不變?nèi)儭?/p>

12、三不變”： “三變?nèi)儭?坐標(biāo)軸的夾角改變，坐標(biāo)軸的夾角改變， 與與y軸平行線段的長(zhǎng)度改變（減半），軸平行線段的長(zhǎng)度改變（減半）， 圖形改變圖形改變. “三不變?nèi)蛔儭?平行性不變平行性不變, 與與x軸平行的線段長(zhǎng)度不變軸平行的線段長(zhǎng)度不變, 相對(duì)位置不變相對(duì)位置不變. 2.按照斜二測(cè)畫(huà)法得到的平面圖形的直觀圖，其面積與按照斜二測(cè)畫(huà)法得到的平面圖形的直觀圖，其面積與 原圖形的面積有以下關(guān)系：原圖形的面積有以下關(guān)系： S直觀圖 直觀圖 S原圖形 原圖形， ，S原圖形 原圖形 2 直觀圖 直觀圖. 已知已知ABC的直觀圖的直觀圖ABC是邊長(zhǎng)為是邊長(zhǎng)為a的正三角形，的正三角形， 求原三角形求原三角形

13、ABC的面積的面積. 思路點(diǎn)撥思路點(diǎn)撥 課堂筆記課堂筆記建立如圖所示的建立如圖所示的xOy 坐標(biāo)系，坐標(biāo)系，ABC的頂點(diǎn)的頂點(diǎn)C在在y軸上，軸上， AB邊在邊在x軸上，軸上，OC為為ABC的高的高. 把把y軸繞原點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)軸繞原點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45得得y 軸，則點(diǎn)軸，則點(diǎn)C變?yōu)辄c(diǎn)變?yōu)辄c(diǎn)C，且，且OC2OC， A、B點(diǎn)即為點(diǎn)即為A、B點(diǎn)，長(zhǎng)度不變點(diǎn)，長(zhǎng)度不變. 已知已知ABACa，在，在OAC中，中， 由正弦定理得由正弦定理得 ， 所以所以O(shè)C a a， 所以原三角形所以原三角形ABC的高的高OC ， 所以所以S ABC a a a2. 若若ABC是邊長(zhǎng)為是邊長(zhǎng)為a的正三角形，則其直觀圖的正三角形

14、，則其直觀圖 ABC的面積是多少？的面積是多少？ 解：法一：解：法一：由于直觀圖的面積由于直觀圖的面積S與原圖形的面積與原圖形的面積S 間滿足間滿足 )，易知易知ABC的面積為的面積為 . 法二：法二：如圖如圖(1)(2)所示的實(shí)際圖形和直觀圖所示的實(shí)際圖形和直觀圖. 由由(2)可知：可知：ABABa，OC OC a， 在圖在圖(2)中作中作CDAB于于D， 則則CD OC a， S ABC ABCD 三視圖是新課標(biāo)新增的內(nèi)容，是一個(gè)知識(shí)交匯三視圖是新課標(biāo)新增的內(nèi)容，是一個(gè)知識(shí)交匯 的載體，因而是高考的重點(diǎn)內(nèi)容之一的載體，因而是高考的重點(diǎn)內(nèi)容之一.但新課標(biāo)對(duì)這但新課標(biāo)對(duì)這 部分內(nèi)容的要求較低，

15、經(jīng)常與立體幾何中有關(guān)的計(jì)部分內(nèi)容的要求較低，經(jīng)常與立體幾何中有關(guān)的計(jì) 算問(wèn)題融合在一起考查算問(wèn)題融合在一起考查.2009年廣東高考將三視圖與年廣東高考將三視圖與 幾何體的體積計(jì)算、空間位置關(guān)系融為一體，考查幾何體的體積計(jì)算、空間位置關(guān)系融為一體，考查 了學(xué)生的空間想象能力，是一個(gè)新的考查方向了學(xué)生的空間想象能力，是一個(gè)新的考查方向. 考題印證考題印證 (2009廣東高考廣東高考)(12分分)某高速公路收費(fèi)站入口處的某高速公路收費(fèi)站入口處的 安全標(biāo)識(shí)墩如圖安全標(biāo)識(shí)墩如圖1所示所示.墩的上半部分是正四棱錐墩的上半部分是正四棱錐P EFGH，下半部分是長(zhǎng)方體，下半部分是長(zhǎng)方體ABCDEFGH.圖圖2

16、、圖、圖3分別是分別是 該標(biāo)識(shí)墩的正視圖和俯視圖該標(biāo)識(shí)墩的正視圖和俯視圖. (1)請(qǐng)畫(huà)出該安全標(biāo)識(shí)墩的側(cè)視圖；請(qǐng)畫(huà)出該安全標(biāo)識(shí)墩的側(cè)視圖； (2)求該安全標(biāo)識(shí)墩的體積；求該安全標(biāo)識(shí)墩的體積； (3)證明：直線證明：直線BD平面平面PEG. 【解解】(1)該安全標(biāo)識(shí)墩側(cè)視圖如下圖所示該安全標(biāo)識(shí)墩側(cè)視圖如下圖所示. (4分分) (2)該安全標(biāo)識(shí)墩的體積該安全標(biāo)識(shí)墩的體積 VVP EFGH VABCD EFGH 40406040402064 000(cm3).(6分分) (3)由題設(shè)知四邊形由題設(shè)知四邊形ABCD和四邊和四邊 形形EFGH均為正方形，均為正方形， FHEG， 又又ABCDEFGH為長(zhǎng)

17、方體，為長(zhǎng)方體， BDFH.(8分分) 設(shè)點(diǎn)設(shè)點(diǎn)O是是EFGH的對(duì)稱中心，的對(duì)稱中心， PEFGH是正四棱錐，是正四棱錐， PO平面平面EFGH，而，而FH平面平面EFGH， POFH.(9分分) FHPO，F(xiàn)HEG，POEGO， PO平面平面PEG，EG平面平面PEG， HF平面平面PEG.(11分分) 而而B(niǎo)DFH， 故故BD平面平面PEG.(12分分) 自主體驗(yàn)自主體驗(yàn) 一個(gè)多面體的直觀圖及正視圖、側(cè)視圖、俯視一個(gè)多面體的直觀圖及正視圖、側(cè)視圖、俯視 圖如圖所示，圖如圖所示，M、N分別為分別為A1B、B1C1的中點(diǎn)的中點(diǎn). (1)求證：求證：MN平面平面ACC1A1； (2)求證：求證：

18、MN平面平面A1BC. 證明：證明：由題意可知，這個(gè)幾何體是直三由題意可知，這個(gè)幾何體是直三 棱柱，且棱柱，且ACBC，ACBCCC1a. (1)連結(jié)連結(jié)AC1、AB1. 由直三棱柱的性質(zhì)得由直三棱柱的性質(zhì)得AA1平面平面A1B1C1， 所以所以AA1A1B1，則四邊形，則四邊形ABB1A1為矩形為矩形. 由矩形性質(zhì)得由矩形性質(zhì)得AB1過(guò)過(guò)A1B的中點(diǎn)的中點(diǎn)M. 在在AB1C1中，由中位線性質(zhì)得中，由中位線性質(zhì)得MNAC1. 又又AC1平面平面ACC1A1，MN 平面平面ACC1A1， 所以所以MN平面平面ACC1A1. (2)因?yàn)橐驗(yàn)锽C平面平面ACC1A1，AC1平面平面ACC1A1， 所

19、以所以BCAC1. 在正方形在正方形ACC1A1中，中，A1CAC1. 又因?yàn)橛忠驗(yàn)锽CA1CC， 所以所以AC1平面平面A1BC. 由由MNAC1，得，得MN平面平面A1BC. 1.對(duì)于斜二測(cè)畫(huà)法敘述正確的是對(duì)于斜二測(cè)畫(huà)法敘述正確的是 () A.三角形的直觀圖是三角形三角形的直觀圖是三角形 B.正方形的直觀圖是正方形正方形的直觀圖是正方形 C.矩形的直觀圖是矩形矩形的直觀圖是矩形 D.圓的直觀圖一定是圓圓的直觀圖一定是圓 解析：解析：正方形、矩形的直觀圖都是平行四邊形，正方形、矩形的直觀圖都是平行四邊形， 故故B、C錯(cuò)誤；圓的直觀圖是橢圓，故錯(cuò)誤；圓的直觀圖是橢圓，故D錯(cuò)誤錯(cuò)誤. 答案：答案

20、：A 2.將正三棱柱截去三個(gè)角將正三棱柱截去三個(gè)角(如圖如圖(1)所示所示A、B、C分別是分別是 GHI三邊的中點(diǎn)三邊的中點(diǎn))得到幾何體如圖得到幾何體如圖(2)，則該幾何體按，則該幾何體按 圖圖(2)所示方向的側(cè)視圖為所示方向的側(cè)視圖為 () 解析：解析：由正三棱柱的性質(zhì)得側(cè)面由正三棱柱的性質(zhì)得側(cè)面AED底面底面EFD，則，則 側(cè)視圖必為直角梯形，又線段側(cè)視圖必為直角梯形，又線段BE在梯形內(nèi)部在梯形內(nèi)部. 答案：答案：A 解析：解析：圖中給出的組合體是一個(gè)圓臺(tái)上接一個(gè)圓錐，圖中給出的組合體是一個(gè)圓臺(tái)上接一個(gè)圓錐， 因此平面圖形應(yīng)由一個(gè)直角三角形和一個(gè)直角梯形構(gòu)因此平面圖形應(yīng)由一個(gè)直角三角形和一個(gè)直角梯形構(gòu) 成，并且上面應(yīng)是直角三角形，下面應(yīng)是直角梯形成，并且上面應(yīng)是直角三角形，下面應(yīng)是直角梯形. 答案：答案：A 4.如圖是一個(gè)幾何體的三視圖，根據(jù)圖中的數(shù)據(jù)，可得如圖是一個(gè)幾何體的三視圖，根據(jù)圖中的數(shù)據(jù)，可得 該幾何體的表面積是該幾何體的表面積是. 解析：解析：由幾何體的三視圖可知此幾何體是圓柱與球體的組由幾何體的三視圖可知此幾何體是圓柱與球體的組 合體，合體，S表 表 4R22r22rh42612. 答案：答案：12 5.(2010廣州模擬廣州模擬)已知一幾何