第四章——流體動(dòng)力學(xué)分析基礎(chǔ)

1、1 1. 1. 基本物理定律基本物理定律 u質(zhì)量守恒定律質(zhì)量守恒定律 u能量守恒定律（熱力學(xué)第一定律）能量守恒定律（熱力學(xué)第一定律） u動(dòng)量守恒定律（牛頓運(yùn)動(dòng)定律）動(dòng)量守恒定律（牛頓運(yùn)動(dòng)定律） 連續(xù)性方程連續(xù)性方程 動(dòng)量方程和動(dòng)量矩方程動(dòng)量方程和動(dòng)量矩方程 內(nèi)維爾內(nèi)維爾斯托克斯方程斯托克斯方程 伯努利方程伯努利方程 能量方程能量方程 2 2. 2. 微分方法和積分方法微分方法和積分方法 微分方法：微分方法：將基本物理定律應(yīng)用到流體微元或?qū)⒒疚锢矶蓱?yīng)用到流體微元或微元控制體微元控制體上上, 可得到可得到微分形式的基本方程微分形式的基本方程，求解方程可得到物，求解方程可得到物 理理 量的空間分

2、布規(guī)律。量的空間分布規(guī)律。 積分方法：積分方法：將基本物理定律應(yīng)用到有限體積將基本物理定律應(yīng)用到有限體積控制體控制體上，可得上，可得 積分形式的基本方程積分形式的基本方程。求解方程可得到物理量在。求解方程可得到物理量在 有限體積區(qū)域上的總體量的變化規(guī)律。有限體積區(qū)域上的總體量的變化規(guī)律。 3 系統(tǒng)：系統(tǒng)：一定質(zhì)量的流體質(zhì)點(diǎn)的集合一定質(zhì)量的流體質(zhì)點(diǎn)的集合, , 相當(dāng)于熱力學(xué)中的相當(dāng)于熱力學(xué)中的閉口系閉口系 3. 3. 系統(tǒng)和控制體系統(tǒng)和控制體 控制體：控制體：流場(chǎng)中確定的空間區(qū)域流場(chǎng)中確定的空間區(qū)域 。相當(dāng)于熱力學(xué)中的。相當(dāng)于熱力學(xué)中的開(kāi)口系開(kāi)口系, , 其其邊界面稱(chēng)為邊界面稱(chēng)為控制面控制面.

3、4 1. 1. 雷諾輸運(yùn)方程雷諾輸運(yùn)方程 描述了描述了系統(tǒng)內(nèi)系統(tǒng)內(nèi)流體參數(shù)變化與流體參數(shù)變化與控制體內(nèi)控制體內(nèi)流體參數(shù)的變化之流體參數(shù)的變化之 間的關(guān)系。間的關(guān)系。 定義定義B B為系統(tǒng)內(nèi)任一物理量，為系統(tǒng)內(nèi)任一物理量，為單位質(zhì)量的該物理量，則為單位質(zhì)量的該物理量，則 dB dm 或者或者BdmdV t u CV S tt u 5 0 lim ss ttt t s BB dB dtt 系統(tǒng)內(nèi)物理量隨時(shí)間變化可以表示為：系統(tǒng)內(nèi)物理量隨時(shí)間變化可以表示為： u CV S I II III 其中其中 ,sIIIIIc vIIII tttt tt BBBBBB ,sc v t t BB 6 , 0 l

4、im c vIIIIc v ttt t s BBBB dB dtt 所以：所以： u CV S 展開(kāi)后有：展開(kāi)后有： , 000 limlimlim c vc v IIII ttttttt ttt s BBBB dB dtttt 控制體內(nèi)控制體內(nèi)B B的變化率的變化率 B B通過(guò)控制面通過(guò)控制面 凈流出率凈流出率 B B通過(guò)控制面通過(guò)控制面 凈流入率凈流入率 I II III 7 , ,0 , lim c vc v ttt c vt c v BB dBd dV tdtdt 控制體內(nèi)物理量控制體內(nèi)物理量B B隨時(shí)間變化率：隨時(shí)間變化率： 由于控制體相對(duì)靜止且固定不變由于控制體相對(duì)靜止且固定不變

5、,c vc vc v d dVdVdV dttt u CV S I II III 8 單位時(shí)間內(nèi)通過(guò)微元控制面的流出的體積通量為：?jiǎn)挝粫r(shí)間內(nèi)通過(guò)微元控制面的流出的體積通量為： I II III in on i dA o dA t o V i V oooo dVVndA dt 單位時(shí)間內(nèi)通過(guò)微元控制面的流入的體積通量為：?jiǎn)挝粫r(shí)間內(nèi)通過(guò)微元控制面的流入的體積通量為： iiii dVV ndAdt 物理量物理量B B的凈流出率：的凈流出率： * , c s BdVV n dA 9 得到雷諾輸運(yùn)方程得到雷諾輸運(yùn)方程 .c vc s s dB dV n dA dtt 4-8 雷諾輸運(yùn)方程雷諾輸運(yùn)方程。表

6、示了系統(tǒng)內(nèi)物理量。表示了系統(tǒng)內(nèi)物理量B B隨時(shí)間的變化率，隨時(shí)間的變化率， 等于控制體內(nèi)該物理量隨時(shí)間的變化率加上通過(guò)控制面該物等于控制體內(nèi)該物理量隨時(shí)間的變化率加上通過(guò)控制面該物 理量的靜流出率。理量的靜流出率。 式中式中B B是系統(tǒng)內(nèi)任一物理量，是系統(tǒng)內(nèi)任一物理量，是單位質(zhì)量的該物理量，即是單位質(zhì)量的該物理量，即 =dB/dm；s系統(tǒng)，系統(tǒng)，c.v 控制體控制體，c.s 控制面，控制面， V 速度速度，n 控制面的外法線方向控制面的外法線方向 10 2. 2. 雷諾輸運(yùn)方程的物理意義雷諾輸運(yùn)方程的物理意義 流體流體質(zhì)點(diǎn)質(zhì)點(diǎn)參數(shù)參數(shù)B B的隨體導(dǎo)數(shù)的隨體導(dǎo)數(shù) = = 當(dāng)?shù)貙?dǎo)數(shù)當(dāng)?shù)貙?dǎo)數(shù) + +

7、 遷移導(dǎo)數(shù)遷移導(dǎo)數(shù) 流體流體系統(tǒng)系統(tǒng)參數(shù)參數(shù)B B的隨體導(dǎo)數(shù)的隨體導(dǎo)數(shù) = B= Bc.v c.v對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù) 對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù) + B+ B的凈流出率的凈流出率 以流體質(zhì)點(diǎn)和空間坐標(biāo)點(diǎn)為研究對(duì)象，適用于微分分析以流體質(zhì)點(diǎn)和空間坐標(biāo)點(diǎn)為研究對(duì)象，適用于微分分析 以系統(tǒng)和控制體為研究對(duì)象，適用于控制體分析以系統(tǒng)和控制體為研究對(duì)象，適用于控制體分析 定常條件下定常條件下 . c s s dB V n dA dt 4-9 定常條件下系統(tǒng)內(nèi)物理量定常條件下系統(tǒng)內(nèi)物理量B B的變化僅與通過(guò)控制面的流動(dòng)有關(guān)，的變化僅與通過(guò)控制面的流動(dòng)有關(guān)， 與其內(nèi)部狀態(tài)無(wú)關(guān)，可以得到積分形式的控制方程與其內(nèi)部狀態(tài)無(wú)關(guān)，可以得

8、到積分形式的控制方程 11 1. 1. 連續(xù)性方程連續(xù)性方程 質(zhì)量守恒定律質(zhì)量守恒定律系統(tǒng)內(nèi)的流體在流動(dòng)過(guò)程中質(zhì)量不發(fā)生變化。系統(tǒng)內(nèi)的流體在流動(dòng)過(guò)程中質(zhì)量不發(fā)生變化。 令雷諾輸運(yùn)方程中的物理量令雷諾輸運(yùn)方程中的物理量B B為系統(tǒng)的為系統(tǒng)的質(zhì)量質(zhì)量m m, , 則單位則單位 質(zhì)量的物理量質(zhì)量的物理量=dB/dm=1=dB/dm=1，雷諾輸運(yùn)方程為：，雷諾輸運(yùn)方程為： .c vc s s dm dV n dA dtt 4-10 由質(zhì)量守恒定律知，系統(tǒng)內(nèi)的質(zhì)量不變，（由質(zhì)量守恒定律知，系統(tǒng)內(nèi)的質(zhì)量不變，（dm/dtdm/dt）s s=0=0，所以，所以 . 0 c vc s dV n dA t 4-

9、11 積分形式的連續(xù)性方程積分形式的連續(xù)性方程，表示通過(guò)控制面的，表示通過(guò)控制面的凈質(zhì)量流出率凈質(zhì)量流出率 等于控制體內(nèi)部等于控制體內(nèi)部質(zhì)量的減少率。質(zhì)量的減少率。 適用于任何流體的定常和不定常流動(dòng)。適用于任何流體的定常和不定常流動(dòng)。 12 2. 2. 不可壓縮流體的連續(xù)性方程不可壓縮流體的連續(xù)性方程 對(duì)于定常流動(dòng)或者不可壓縮流體，式（對(duì)于定常流動(dòng)或者不可壓縮流體，式（4-114-11）可以簡(jiǎn)化為：）可以簡(jiǎn)化為： . 0 c s V n dA 4-12 考慮圖考慮圖4-44-4所示的微元所示的微元流管流管內(nèi)內(nèi) 不可壓縮流體的流動(dòng)，在流管不可壓縮流體的流動(dòng)，在流管 壁面上壁面上（Vn）=0, ,

10、截面截面1 1上上 （V1n1）=-V1，截面，截面2上上 （V2n2）=V2，因此，因此 2211 0V dAV dA4-13 對(duì)不可壓縮流體的流動(dòng)，通過(guò)控制面凈流出的對(duì)不可壓縮流體的流動(dòng)，通過(guò)控制面凈流出的體積流量體積流量 恒為零恒為零 13 對(duì)于任意有限截面的流管，如果對(duì)于任意有限截面的流管，如果 和和 為為A A1 1、A A2 2兩個(gè)兩個(gè) 有效截面上的平均流速，則有有效截面上的平均流速，則有 1 V 2 V 1122 V AV A 4-13 不可壓縮流體不可壓縮流體一維流動(dòng)的連續(xù)性方程一維流動(dòng)的連續(xù)性方程。 【例【例4-14-1】已知油的密度為】已知油的密度為850kg/m850kg

11、/m3 3，在內(nèi)徑為，在內(nèi)徑為0.2m 0.2m 的輸油管的輸油管 道截面上的流速為道截面上的流速為2m/s2m/s，求另一內(nèi)徑為，求另一內(nèi)徑為0.05m 0.05m 的截面上的流速的截面上的流速 及管道內(nèi)的質(zhì)量流量。及管道內(nèi)的質(zhì)量流量。 【解】由不可壓縮流體連續(xù)性方程【解】由不可壓縮流體連續(xù)性方程 有有 1122 V AV A 22 2112 /20.2/0.0532(/ )VV ddm s 其質(zhì)量流量其質(zhì)量流量 2 11 ( /4)53.4(/ )GVAd Vkg s 14 3. 3. 可壓縮流體定常流動(dòng)的連續(xù)性方程可壓縮流體定常流動(dòng)的連續(xù)性方程 . 0 c s V n dA 4-14 對(duì)

12、于可壓縮的定常流動(dòng)，由式對(duì)于可壓縮的定常流動(dòng)，由式4-11: 4-11: 對(duì)可壓縮流體定常流動(dòng)，通過(guò)控制面凈流出的對(duì)可壓縮流體定常流動(dòng)，通過(guò)控制面凈流出的質(zhì)量流量質(zhì)量流量 恒為零恒為零 對(duì)于任意有限截面的流管，如果對(duì)于任意有限截面的流管，如果 和和 為為A A1 1、A A2 2兩個(gè)有兩個(gè)有 效截面上的平均流速，效截面上的平均流速， 1 1 2 2為兩個(gè)有效截面上的密度，為兩個(gè)有效截面上的密度，有有 1 V 2 V 1 11222 V AV A 4-14a 12mm QQ 4-14b 或者或者 15 能量守恒定律能量守恒定律熱力學(xué)第一定律熱力學(xué)第一定律：系統(tǒng)內(nèi)的：系統(tǒng)內(nèi)的能量變化率能量變化率等

13、于等于 單位時(shí)間內(nèi)外界對(duì)系統(tǒng)所做的單位時(shí)間內(nèi)外界對(duì)系統(tǒng)所做的功功加上單位時(shí)加上單位時(shí) 間內(nèi)外界傳遞給系統(tǒng)的間內(nèi)外界傳遞給系統(tǒng)的熱量熱量 dE QW dt 4-15 dE dt 系統(tǒng)能量對(duì)時(shí)間的變化率，是空間和時(shí)間的函數(shù)（系統(tǒng)能量對(duì)時(shí)間的變化率，是空間和時(shí)間的函數(shù)（狀態(tài)量狀態(tài)量） Q 系統(tǒng)熱量隨時(shí)間的變化率，是時(shí)間的函數(shù)（系統(tǒng)熱量隨時(shí)間的變化率，是時(shí)間的函數(shù)（過(guò)程量過(guò)程量） 系統(tǒng)吸熱，系統(tǒng)吸熱，Q Q為正值；系統(tǒng)放熱，為正值；系統(tǒng)放熱，Q Q為負(fù)值。為負(fù)值。 W 系統(tǒng)與外界系統(tǒng)與外界作功作功隨時(shí)間的變化率，是時(shí)間的函數(shù)（隨時(shí)間的變化率，是時(shí)間的函數(shù)（過(guò)程量過(guò)程量） 環(huán)境對(duì)系統(tǒng)作功，環(huán)境對(duì)系統(tǒng)作功

14、，W W為正值；系統(tǒng)對(duì)環(huán)境作功，為正值；系統(tǒng)對(duì)環(huán)境作功，W W為負(fù)值。為負(fù)值。 16 對(duì)式中對(duì)式中4-154-15系統(tǒng)能量變化率應(yīng)用雷諾輸運(yùn)方程，則系統(tǒng)能量變化率應(yīng)用雷諾輸運(yùn)方程，則B=EB=E， =dE=dE/dm=e/dm=e .c vc s s dE e deV n dA dtt 聯(lián)立式（聯(lián)立式（4-154-15）得）得 .c vc s e deV n dAQW t 單位時(shí)間內(nèi)輸入系統(tǒng)的單位時(shí)間內(nèi)輸入系統(tǒng)的熱量熱量與環(huán)境對(duì)系統(tǒng)與環(huán)境對(duì)系統(tǒng)作功之和作功之和，等于控，等于控 制體內(nèi)制體內(nèi)能量對(duì)時(shí)間變化率能量對(duì)時(shí)間變化率加上通過(guò)控制體表面的加上通過(guò)控制體表面的能量流率能量流率。 通常條件下，不

15、考慮系統(tǒng)與外界的熱交換，即認(rèn)為通常條件下，不考慮系統(tǒng)與外界的熱交換，即認(rèn)為Q=0Q=0 4-16 4-17 通過(guò)控制面的作功通過(guò)控制面的作功 . n c s WV dA 17 其中表面應(yīng)力其中表面應(yīng)力 ，對(duì)于理想無(wú)粘流體，切應(yīng)力為，對(duì)于理想無(wú)粘流體，切應(yīng)力為 零，且法向應(yīng)力零，且法向應(yīng)力 ，所以，所以 nn p n ppn . c s Wp V n dA 代入代入4-174-17，對(duì)于定常流動(dòng)有，對(duì)于定常流動(dòng)有 . 0 c s epV n dA 重力場(chǎng)中重力場(chǎng)中 2 2 u V eegz 所以：所以： 2 . 0 2 un c s Vp egzV dA 重力場(chǎng)中重力場(chǎng)中理想理想流體流體定常絕熱

16、定常絕熱流動(dòng)的能量方程流動(dòng)的能量方程 4-24 18 1. 1. 伯努利方程伯努利方程 將重力場(chǎng)中理想流體定常絕熱流動(dòng)的能量方程（將重力場(chǎng)中理想流體定常絕熱流動(dòng)的能量方程（4-244-24）應(yīng)用到微）應(yīng)用到微 元流管中，在微元流管壁面上元流管中，在微元流管壁面上V Vn n=0=0， 在流入截面在流入截面A A1 1上，上，V Vn n=-V=-V1 1， 在流出截面上在流出截面上V Vn n=V=V2 2，則，則 21 22 2211 222111 0 22 uu AA VpVp VegzdAVegzdA 在在被積函數(shù)在微元面上被積函數(shù)在微元面上積分，積分， 22 2211 2211 0 2

17、2 uu VpVp egzegz 不可壓理想流體與外界無(wú)熱交換的條件，內(nèi)能、密度為常數(shù)不可壓理想流體與外界無(wú)熱交換的條件，內(nèi)能、密度為常數(shù) 4-26 22 2211 21 22 VpVp gzgz 4-27 19 2 2 Vp gzconst 伯努利方程伯努利方程。表示了不可壓縮理想流體在重力場(chǎng)中作定常。表示了不可壓縮理想流體在重力場(chǎng)中作定常 流動(dòng)時(shí)，沿流線流動(dòng)時(shí)，沿流線單位質(zhì)量單位質(zhì)量流體的動(dòng)能、位置勢(shì)能和壓強(qiáng)勢(shì)能之流體的動(dòng)能、位置勢(shì)能和壓強(qiáng)勢(shì)能之 和和守恒的規(guī)律。式中各項(xiàng)的單位為守恒的規(guī)律。式中各項(xiàng)的單位為J/kg J/kg 4-28即即 伯努利方程的伯努利方程的限制條件限制條件為：為：

18、定常流動(dòng)；定常流動(dòng)； 無(wú)粘流體（忽略粘性影響）；無(wú)粘流體（忽略粘性影響）； 不可壓縮流體；不可壓縮流體； 沿流線沿流線 伯努利方程的條件雖然苛刻，但應(yīng)用廣泛伯努利方程的條件雖然苛刻，但應(yīng)用廣泛 20 對(duì)對(duì)4-284-28式除以重力加速度式除以重力加速度g g，可以得到，可以得到單位重量單位重量流體的伯努利方程流體的伯努利方程 2 2 Vp zconst gg 4-29 式式4-29中，各項(xiàng)的單位為中，各項(xiàng)的單位為J/N，即米（，即米（m）。）。 2. 2. 伯努利方程的物理意義伯努利方程的物理意義 V2/(2g) 為單位重量流體具有的動(dòng)能為單位重量流體具有的動(dòng)能速度水頭速度水頭； z 為單位重

19、量流體所具有的位勢(shì)能為單位重量流體所具有的位勢(shì)能位置水頭位置水頭； p/(g)為單位重量流體的壓強(qiáng)勢(shì)能為單位重量流體的壓強(qiáng)勢(shì)能壓強(qiáng)水頭壓強(qiáng)水頭。 因此伯努利方程描述了理想不可壓縮流體在重力作用下作定常因此伯努利方程描述了理想不可壓縮流體在重力作用下作定常 流動(dòng)時(shí)，沿同一流線上各點(diǎn)的單位重量流體所具有的位勢(shì)能、壓強(qiáng)流動(dòng)時(shí)，沿同一流線上各點(diǎn)的單位重量流體所具有的位勢(shì)能、壓強(qiáng) 勢(shì)能和動(dòng)能之和守恒。勢(shì)能和動(dòng)能之和守恒。 21 位置水頭、壓強(qiáng)水頭和速度水頭之和稱(chēng)為位置水頭、壓強(qiáng)水頭和速度水頭之和稱(chēng)為總水頭總水頭H。因此伯努。因此伯努 利方程也可敘述為：理想不可壓縮流體在重力作用下作定常流利方程也可敘述為

20、：理想不可壓縮流體在重力作用下作定常流 動(dòng)時(shí)，沿同一流線動(dòng)時(shí)，沿同一流線(或微元流束或微元流束)上各點(diǎn)的單位重量流體所具有上各點(diǎn)的單位重量流體所具有 的位置水頭、壓強(qiáng)水頭和速度水頭之和為常數(shù)。的位置水頭、壓強(qiáng)水頭和速度水頭之和為常數(shù)。 22 3. 3. 總流伯努利方程總流伯努利方程 式式4-28描述單位質(zhì)量流體沿描述單位質(zhì)量流體沿流線流線流動(dòng)時(shí)總機(jī)械能守恒。在由流動(dòng)時(shí)總機(jī)械能守恒。在由 無(wú)數(shù)流線組成的流束中，將伯努利方程中三項(xiàng)機(jī)械能在無(wú)數(shù)流線組成的流束中，將伯努利方程中三項(xiàng)機(jī)械能在有效截面有效截面 A上按質(zhì)量流量積分，總機(jī)械能沿流束仍保持守恒，即上按質(zhì)量流量積分，總機(jī)械能沿流束仍保持守恒，即

21、2 2 A Vp gzdQconst 利用利用有效截面有效截面上的壓強(qiáng)分布滿足靜力學(xué)規(guī)律，得到上的壓強(qiáng)分布滿足靜力學(xué)規(guī)律，得到 2 2 A pV zQdQconst gg 用總流有效截面上的平均速度用總流有效截面上的平均速度 代替不均勻的速度分布，為代替不均勻的速度分布，為 此引入動(dòng)能修正因子此引入動(dòng)能修正因子， V 23 2 33 22 3 2 2 A AA A A V dQ V dAV dA g VV Q V dA dQ g 所以所以總流總流的伯努利方程為：的伯努利方程為： 2 2 Vp zconst gg 方程成立的限制條件是：方程成立的限制條件是： （1）忽略粘性摩擦；）忽略粘性摩擦；

22、 （2）不可壓縮流體；）不可壓縮流體； （3）定常流動(dòng)；）定常流動(dòng)； （4）無(wú)能量的輸入和輸出）無(wú)能量的輸入和輸出 4-30 24 4. 4. 伯努利方程的應(yīng)用伯努利方程的應(yīng)用 （）小孔出流（）小孔出流 如圖所示一敞口水箱，側(cè)壁下部開(kāi)一小孔，假定水箱內(nèi)水如圖所示一敞口水箱，側(cè)壁下部開(kāi)一小孔，假定水箱內(nèi)水 位保持不變，求水從小孔流出的速度與孔口到液面的垂直距離位保持不變，求水從小孔流出的速度與孔口到液面的垂直距離 之間的關(guān)系。之間的關(guān)系。 從自由液面上從自由液面上1和小孔和小孔2之間找一根流之間找一根流 線，建立線，建立1-2兩點(diǎn)之間的伯努利方程兩點(diǎn)之間的伯努利方程 22 2211 21 22

23、VpVp gzgz 由邊界條件由邊界條件V1=0，Z1=h, P1=Pa，Z2=0, P2=Pa,得到得到 2 2Vgh 4-30 托里拆利公式托里拆利公式，液面上流體質(zhì)點(diǎn)的位能全部轉(zhuǎn)化為小孔出，液面上流體質(zhì)點(diǎn)的位能全部轉(zhuǎn)化為小孔出 流的動(dòng)能。流的動(dòng)能。 1 2 z h 25 （2）皮托管）皮托管 皮托管皮托管通過(guò)測(cè)量總壓與靜壓之差來(lái)測(cè)量流體速度的一種裝置通過(guò)測(cè)量總壓與靜壓之差來(lái)測(cè)量流體速度的一種裝置 26 當(dāng)液流流到測(cè)速管入口前的當(dāng)液流流到測(cè)速管入口前的0點(diǎn)處，液流受到阻擋，流速變點(diǎn)處，液流受到阻擋，流速變 為零，形成駐點(diǎn)。駐點(diǎn)的壓強(qiáng)稱(chēng)為為零，形成駐點(diǎn)。駐點(diǎn)的壓強(qiáng)稱(chēng)為總壓總壓，選擇過(guò)，選擇過(guò)

24、0點(diǎn)的一個(gè)流點(diǎn)的一個(gè)流 線上的另一點(diǎn)線上的另一點(diǎn)1，列伯努利方程，列伯努利方程 22 0011 01 22 VpVp zz gggg 其中，其中，V0=0，Z0=Z1，p0= gh0，p1= gh1，可以得到，可以得到 101 22Vg hhg h 4-31 工程上由于流體的粘性使流動(dòng)產(chǎn)生能量損失，以及皮托管本工程上由于流體的粘性使流動(dòng)產(chǎn)生能量損失，以及皮托管本 身對(duì)流動(dòng)的干擾，實(shí)際流速比用上式計(jì)算出的要小，因此引入校身對(duì)流動(dòng)的干擾，實(shí)際流速比用上式計(jì)算出的要小，因此引入校 正系數(shù)正系數(shù) 1 2Vg h 4-31b 27 如果測(cè)定氣體的流速，則無(wú)法直接用皮托管和靜壓管測(cè)量如果測(cè)定氣體的流速，則

25、無(wú)法直接用皮托管和靜壓管測(cè)量 出氣柱差來(lái)，必須把兩根管子連接到一個(gè)形差壓計(jì)上，從差壓出氣柱差來(lái)，必須把兩根管子連接到一個(gè)形差壓計(jì)上，從差壓 計(jì)上的液面差來(lái)求得流速，此時(shí)計(jì)上的液面差來(lái)求得流速，此時(shí) 1 21Vg h 液 在工程應(yīng)用中多將靜壓管和皮托管組合成一件，稱(chēng)為皮托在工程應(yīng)用中多將靜壓管和皮托管組合成一件，稱(chēng)為皮托 靜壓管，又稱(chēng)動(dòng)壓管，習(xí)慣上常簡(jiǎn)稱(chēng)它為皮托管靜壓管，又稱(chēng)動(dòng)壓管，習(xí)慣上常簡(jiǎn)稱(chēng)它為皮托管 28 比托管的應(yīng)用比托管的應(yīng)用空速管空速管 29 （3）文丘里管流量計(jì)）文丘里管流量計(jì) 文丘里流量計(jì)用于管道中流體的流量測(cè)量，主要是由收縮段、文丘里流量計(jì)用于管道中流體的流量測(cè)量，主要是由收縮

26、段、 喉部和擴(kuò)散段三部分組成，如圖所示。其原理是管道收縮，流速喉部和擴(kuò)散段三部分組成，如圖所示。其原理是管道收縮，流速 增加，壓強(qiáng)降低；通過(guò)測(cè)量壓強(qiáng)的變化來(lái)求出管道中流體的體積增加，壓強(qiáng)降低；通過(guò)測(cè)量壓強(qiáng)的變化來(lái)求出管道中流體的體積 流量。流量。 30 在中心流線上列在中心流線上列1-2兩點(diǎn)間的伯兩點(diǎn)間的伯 努利方程努利方程 22 1122 12 22 VpVp zz gggg 當(dāng)管道水平放置時(shí)當(dāng)管道水平放置時(shí)z1=z2，根據(jù)不可壓流體的連續(xù)性方程，根據(jù)不可壓流體的連續(xù)性方程 V1A1=V2A2，即，即V1=V2A2/A1，可得，可得 1212 2 2 44 21 21 2()2() 1 (/

27、) 1/ pppp V AAdd 所以，流量為所以，流量為 2 212 44 21 2() 41/ dpp Q dd 4-32 31 得到流量表達(dá)式的另一種形式得到流量表達(dá)式的另一種形式 12 ppg h由流體靜力學(xué)壓強(qiáng)分布關(guān)系式由流體靜力學(xué)壓強(qiáng)分布關(guān)系式 2 2 44 21 2 41/ dg h Q dd 4-32a 工程上為了便于使用通常將兩測(cè)壓管做成工程上為了便于使用通常將兩測(cè)壓管做成 U型管的形式，同樣考慮粘性引起的能量型管的形式，同樣考慮粘性引起的能量 損失后，損失后， 2 2 44 21 2 () 41/ gh Qd dd m 32 【例【例4-2】如圖】如圖4-9所示，水沿漸縮管

28、道垂直向上流動(dòng)。已知所示，水沿漸縮管道垂直向上流動(dòng)。已知 d1=0.3m, d2=0.2m，壓力表顯示相對(duì)壓強(qiáng)為，壓力表顯示相對(duì)壓強(qiáng)為p1=196kPa, p2=98.1kPa, h=2m，不計(jì)摩擦損失，試計(jì)算流量。，不計(jì)摩擦損失，試計(jì)算流量。 【解】在漸縮管道的入口和出口建立伯努利方程【解】在漸縮管道的入口和出口建立伯努利方程 22 1122 12 22 VpVp zz gggg 利用利用z1=0，z2=2m，以及連續(xù)性方程，以及連續(xù)性方程 2 44 122 221 1/ 2 ppV gzdd 1/2 122 2 44 21 2 ()/ 13.97(/ ) 1/ ppgz Vm s dd 2

29、3 22 /40.439(/ )Qd Vms 33 1. 1. 定常流動(dòng)的動(dòng)量方程定常流動(dòng)的動(dòng)量方程 用于求解流體邊界上流體與固體的相互作用，是動(dòng)量定用于求解流體邊界上流體與固體的相互作用，是動(dòng)量定 理在流體流動(dòng)問(wèn)題上的應(yīng)用。理在流體流動(dòng)問(wèn)題上的應(yīng)用。 動(dòng)量定理動(dòng)量定理 ：系統(tǒng)內(nèi)流體動(dòng)量對(duì)時(shí)間變化率等于作用在系統(tǒng)上的系統(tǒng)內(nèi)流體動(dòng)量對(duì)時(shí)間變化率等于作用在系統(tǒng)上的 外力矢量和。外力矢量和。 s d mVF dt 通過(guò)雷諾輸運(yùn)方程通過(guò)雷諾輸運(yùn)方程B=mV，則，則 =V，帶入雷諾輸運(yùn)方程，帶入雷諾輸運(yùn)方程 .c vc ss d mVVdV V n dA dtt 對(duì)于定常流動(dòng)有對(duì)于定常流動(dòng)有 . c s

30、 FV V n dA 4-35 34 式式4-35表示了作用在控制體上的合力等于流出、流入控制體的表示了作用在控制體上的合力等于流出、流入控制體的 凈動(dòng)量流率。上式是凈動(dòng)量流率。上式是 一個(gè)矢量方程，通常進(jìn)行分解后求解一個(gè)矢量方程，通常進(jìn)行分解后求解 . x c s Fu V n dA . y c s Fv V n dA . z c s Fw V n dA 式式4-36表明定常流條件下，作用于控制體上表明定常流條件下，作用于控制體上合力合力沿三個(gè)坐沿三個(gè)坐 標(biāo)軸的標(biāo)軸的分量分量與流出、流入控制面的與流出、流入控制面的凈動(dòng)量流率凈動(dòng)量流率在三個(gè)坐標(biāo)軸的在三個(gè)坐標(biāo)軸的 分量分量相等。相等。 4-3

31、6 注注：（：（1）Fx, Fy, Fz, u, v, w 可正可負(fù)，取決于坐標(biāo)軸的方向可正可負(fù)，取決于坐標(biāo)軸的方向 （2）（）（Vn） 當(dāng)流進(jìn)控制體為負(fù)，流出控制體為正當(dāng)流進(jìn)控制體為負(fù)，流出控制體為正 35 （1）合力項(xiàng)）合力項(xiàng) 作用在系統(tǒng)上的作用在系統(tǒng)上的合力合力包括作用在控制體上的包括作用在控制體上的質(zhì)量力質(zhì)量力和控制面上和控制面上 的的面積力面積力 ms FFF 若流體僅處于重力場(chǎng)中，則質(zhì)量力為若流體僅處于重力場(chǎng)中，則質(zhì)量力為 m Fmgk 面積力包括（面積力包括（1）與固體接觸的控制面受到固體的作用力）與固體接觸的控制面受到固體的作用力 （2）周?chē)黧w接觸作用產(chǎn)生的面積力）周?chē)黧w接

32、觸作用產(chǎn)生的面積力 其中質(zhì)量力其中質(zhì)量力 , m c v Ffd , s c s Fpn dA 其中其中-n表示流體在控制面上受到的作用力指向控制面內(nèi)部表示流體在控制面上受到的作用力指向控制面內(nèi)部 36 （2）凈動(dòng)量流率項(xiàng)）凈動(dòng)量流率項(xiàng) 當(dāng)選擇合適的控制體使當(dāng)選擇合適的控制體使V和和在控制面上均勻分布時(shí)，凈動(dòng)量流率為在控制面上均勻分布時(shí)，凈動(dòng)量流率為 . nn c soutin V V n dAVV AVV A 其中其中Vn= Vn是控制面上的法向速度的是控制面上的法向速度的值值 ， Vn A表示通過(guò)控制面表示通過(guò)控制面 的體積流量的體積流量Q，所以，所以 . c soutin V V n d

33、AQVQV 分解到三個(gè)坐標(biāo)軸上為分解到三個(gè)坐標(biāo)軸上為 4-38a . x outin c s Fu V n dAQuQu . y outin c s Fv V n dAQvQv . z outin c s Fw V n dAQwQw 4-38b 4-38 37 2. 2. 動(dòng)量方程的應(yīng)用動(dòng)量方程的應(yīng)用 動(dòng)量方程應(yīng)用要點(diǎn)：動(dòng)量方程應(yīng)用要點(diǎn)： （1）選擇合適的控制體，包含盡可能多的已知條件）選擇合適的控制體，包含盡可能多的已知條件 （2）選擇確定的坐標(biāo)系以簡(jiǎn)化條件）選擇確定的坐標(biāo)系以簡(jiǎn)化條件 （3）將外力、動(dòng)量流率向確定的坐標(biāo)軸投影，求該坐標(biāo)方向上）將外力、動(dòng)量流率向確定的坐標(biāo)軸投影，求該坐標(biāo)方向

34、上 的分量的分量 （4）假定待求力的方向與所選坐標(biāo)方向一致，若結(jié)果為負(fù)，則）假定待求力的方向與所選坐標(biāo)方向一致，若結(jié)果為負(fù)，則 說(shuō)明力的實(shí)際方向與假定方向相反說(shuō)明力的實(shí)際方向與假定方向相反 38 【例【例4-3】如圖】如圖4-10所示，水從固定噴嘴定常流出，垂直沖擊一所示，水從固定噴嘴定常流出，垂直沖擊一 平板。水離開(kāi)噴嘴的速度平板。水離開(kāi)噴嘴的速度V1=20m/s, 噴嘴出口面積噴嘴出口面積A1=0.005m2。 假定水沖擊平板后沿平板流動(dòng)。水的密度為假定水沖擊平板后沿平板流動(dòng)。水的密度為1000kg/m3,試確定試確定 支撐這塊平板所需的水平力。支撐這塊平板所需的水平力。 【解】選擇包圍平

35、板并切割【解】選擇包圍平板并切割 水流和支撐架的矩形為控制水流和支撐架的矩形為控制 體，沿水射流方向建立體，沿水射流方向建立x軸，軸， 垂直方向?yàn)榇怪狈较驗(yàn)閥軸。支撐架對(duì)軸。支撐架對(duì) 控制體有作用力控制體有作用力Rx，假定其，假定其 沿沿x正向，列正向，列x方向上的動(dòng)量方向上的動(dòng)量 方程：方程： 39 支撐該平板的水平力大小為支撐該平板的水平力大小為2000（N) ，方向與，方向與x軸反向軸反向 11 1 2000( ) x RVVAN 所以所以 . mxsx c s FFu V n dA 重力場(chǎng)中重力場(chǎng)中0 mx F sxx FR 而面積力而面積力 動(dòng)量流率項(xiàng)有一個(gè)流入項(xiàng)和兩個(gè)流出項(xiàng)，其中流

36、出項(xiàng)與動(dòng)量流率項(xiàng)有一個(gè)流入項(xiàng)和兩個(gè)流出項(xiàng)，其中流出項(xiàng)與x軸軸 垂直，在垂直，在x軸分量為零軸分量為零 11 1 . outin c s u V n dAQuQuVVA 40 【例】【例】 水平放置在混凝土支座上的變直徑彎管，彎管兩端與等水平放置在混凝土支座上的變直徑彎管，彎管兩端與等 直徑管相連接處的斷面直徑管相連接處的斷面1-1上壓力表讀數(shù)上壓力表讀數(shù)p1=17.6104Pa，管中，管中 流量流量Qv=0.1m3/s，若直徑，若直徑d1=300，d2=200，轉(zhuǎn)角，轉(zhuǎn)角=600， 如圖所示。求水對(duì)彎管作用力如圖所示。求水對(duì)彎管作用力F的大小的大小 41 【解】【解】 水流經(jīng)彎管，動(dòng)量發(fā)生變化

37、，必然產(chǎn)生作用力水流經(jīng)彎管，動(dòng)量發(fā)生變化，必然產(chǎn)生作用力F。而。而F與與 管壁對(duì)水的反作用力管壁對(duì)水的反作用力R平衡。管道水平放置在平衡。管道水平放置在xoy面上，將面上，將R分解分解 成成Rx和和Ry兩個(gè)分力。取管道進(jìn)、出兩個(gè)截面和管內(nèi)壁為控制面，兩個(gè)分力。取管道進(jìn)、出兩個(gè)截面和管內(nèi)壁為控制面， 如圖所示，坐標(biāo)按圖示方向設(shè)置。如圖所示，坐標(biāo)按圖示方向設(shè)置。 （1）根據(jù)連續(xù)性方程可求得：）根據(jù)連續(xù)性方程可求得： 1 22 1 0.1 4 1.42(/ ) /40.3 V Q vm s d 2 22 2 0.1 4 3.18(/ ) /40.2 V Q vm s d 42 得得2-2面上壓強(qiáng)面上

38、壓強(qiáng) ： 223 2112 ()/217.2 10 ()ppvvPa （3）寫(xiě)出動(dòng)量方程）寫(xiě)出動(dòng)量方程 假定壁面對(duì)控制體內(nèi)水的作用力為假定壁面對(duì)控制體內(nèi)水的作用力為Rx、Ry， 其方向如圖，其方向如圖，沿沿x軸方向列動(dòng)量方程軸方向列動(dòng)量方程 1122 cos xVoutVin p Ap ARQ uQ u 212211 (cos )cos568( ) xV RQvvp Ap AN （2） 列管道進(jìn)、出口的伯努利方程列管道進(jìn)、出口的伯努利方程 g v g p g v g p 22 2 22 2 11 43 沿沿y軸方向列動(dòng)量方程軸方向列動(dòng)量方程 111 sin(0sin ) yV p ARQv 1

39、11 sinsin10880() yV Rp AQ vN 管壁對(duì)水的作用力合力管壁對(duì)水的作用力合力 2222 ( 0.568)10.8810.89() xy RRRkN 水流對(duì)彎管的作用力水流對(duì)彎管的作用力F與與R大小相等，方向相反大小相等，方向相反 44 1. 1. 定常流動(dòng)的角動(dòng)量方程（動(dòng)量矩方程）定常流動(dòng)的角動(dòng)量方程（動(dòng)量矩方程） 角動(dòng)量方程角動(dòng)量方程描述了作用于流體系統(tǒng)上的描述了作用于流體系統(tǒng)上的力矩力矩與與角動(dòng)量角動(dòng)量隨時(shí)間的隨時(shí)間的 變化關(guān)系。可以確定流體和外界之間作用力的變化關(guān)系?？梢源_定流體和外界之間作用力的位置位置。 動(dòng)量矩定理：動(dòng)量矩定理：?jiǎn)挝粫r(shí)間內(nèi)流體單位時(shí)間內(nèi)流體 系統(tǒng)

40、對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)軸的動(dòng)量矩（系統(tǒng)對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)軸的動(dòng)量矩（角動(dòng)角動(dòng) 量量）的變化率，等于作用于系）的變化率，等于作用于系 統(tǒng)上所有外力對(duì)同一軸的力矩統(tǒng)上所有外力對(duì)同一軸的力矩 之和。之和。 ooo d MrFrmV dt 4-44 45 . ooo c s MrFrVV n dA 4-47 表示定常流動(dòng)時(shí)作用在控制體（系統(tǒng)）上所有力的表示定常流動(dòng)時(shí)作用在控制體（系統(tǒng)）上所有力的力矩矢力矩矢 量和量和，等于流入、流出控制面的，等于流入、流出控制面的凈角動(dòng)量流率。凈角動(dòng)量流率。 BrmV 令雷諾輸運(yùn)方程中令雷諾輸運(yùn)方程中 ，則，則 rV . ooo c vc s s d rmVrV drVV n dA dtt 將上

41、式代入將上式代入4-44得得 在定常條件下在定常條件下 . oooo c vc s MrFrV drVV n dA t 46 2. 2. 角動(dòng)量方程的應(yīng)用角動(dòng)量方程的應(yīng)用 【例【例4-6】一草坪灑水器在水平】一草坪灑水器在水平 面（面（xy平面）內(nèi)繞平面）內(nèi)繞z軸等角速度軸等角速度 旋轉(zhuǎn)，轉(zhuǎn)速為旋轉(zhuǎn)，轉(zhuǎn)速為120r/min。如圖。如圖 所示，水從中心垂直管進(jìn)入，所示，水從中心垂直管進(jìn)入， 經(jīng)過(guò)轉(zhuǎn)臂兩端的噴嘴噴出，進(jìn)經(jīng)過(guò)轉(zhuǎn)臂兩端的噴嘴噴出，進(jìn) 水流量水流量Qi=0.006m3/s，噴嘴出，噴嘴出 口截面積口截面積A0=0.001m2，撒水臂，撒水臂 長(zhǎng)長(zhǎng)R=0.2m。（。（1）為使灑水器）為使灑

42、水器 維持該等角速度旋轉(zhuǎn)，外界需維持該等角速度旋轉(zhuǎn)，外界需 加的阻力矩為多少？（加的阻力矩為多少？（2）如果）如果 阻力矩為零，則灑水器的旋轉(zhuǎn)阻力矩為零，則灑水器的旋轉(zhuǎn) 角速度將為多少？角速度將為多少？ 47 【解】建立如圖所示坐標(biāo)系，【解】建立如圖所示坐標(biāo)系，z軸為軸為 旋轉(zhuǎn)軸，選擇灑水器旋轉(zhuǎn)臂與旋轉(zhuǎn)軸，選擇灑水器旋轉(zhuǎn)臂與x軸重軸重 合時(shí)圍繞灑水器建立控制體。合時(shí)圍繞灑水器建立控制體。 （1）設(shè)維持）設(shè)維持120r/min需要的力矩為需要的力矩為T(mén) oosom MrFrFT 其中控制體周?chē)髿鈮寒a(chǎn)生的壓力對(duì)其中控制體周?chē)髿鈮寒a(chǎn)生的壓力對(duì)O點(diǎn)力矩為零，控制體內(nèi)點(diǎn)力矩為零，控制體內(nèi) 質(zhì)量力對(duì)質(zhì)

43、量力對(duì)O點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，其力矩也為零。假設(shè)外力矩點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，其力矩也為零。假設(shè)外力矩T沿沿z軸正向，軸正向， 所以所以 . oo c s MTrVV n dV 而而 1122 . ()()() ooooooooii c s rVV n dArVQrVQrVQ 48 其中其中o1，o2表示兩個(gè)出口，表示兩個(gè)出口，i表示進(jìn)口。對(duì)于進(jìn)口處表示進(jìn)口。對(duì)于進(jìn)口處ri=0(速度平速度平 行于行于)z軸，兩個(gè)出口的動(dòng)量矩大小相等，方向相同，所以有軸，兩個(gè)出口的動(dòng)量矩大小相等，方向相同，所以有 2()() oooooi TkrVQrVQ Vo為灑水器出口的為灑水器出口的絕對(duì)速度絕對(duì)速度（相對(duì)于靜止的坐標(biāo)系的速度），（相對(duì)

44、于靜止的坐標(biāo)系的速度）， 等于出口的等于出口的相對(duì)速度相對(duì)速度減去噴嘴運(yùn)動(dòng)的減去噴嘴運(yùn)動(dòng)的牽連速度。牽連速度。 ()()(3.02.51)0.49 2 i oout o Q VVRjRjjj A 其中其中0.2 o rRii 所以所以 ()(0.20.49 ) iooi TkQ rVQij 3 1000 6 10 (0.2 0.49) 0.588 k k 49 （2）阻力矩為零時(shí)的轉(zhuǎn)速）阻力矩為零時(shí)的轉(zhuǎn)速 ()0 ioo TkQ rV ()0 2 i o Q RiRj A 所以所以 15(/ ) 2 i o Q rad s A R 轉(zhuǎn)速轉(zhuǎn)速 60143.24( /min) 2 nr 50 1.

45、 1. 連續(xù)性方程連續(xù)性方程 方程的導(dǎo)出：方程的導(dǎo)出： 積分形式的連續(xù)性方程的一般形式積分形式的連續(xù)性方程的一般形式 . 0 c vc s dVV n dA t . () c sc v V n dAV dV 高斯定理高斯定理: 物理量對(duì)控制面的面積分物理量對(duì)控制面的面積分,等于該物理量的等于該物理量的散度散度在在 控制面所包圍的控制體內(nèi)的體積分控制面所包圍的控制體內(nèi)的體積分 dSAdvA n 所以所以 . ()0 c v VdV t 對(duì)積分形式的連續(xù)性方程進(jìn)行數(shù)學(xué)變換對(duì)積分形式的連續(xù)性方程進(jìn)行數(shù)學(xué)變換 51 由于控制體選擇的任意性，可知被積函數(shù)必為零由于控制體選擇的任意性，可知被積函數(shù)必為零

46、()0V t 4-54 微分形式的微分形式的連續(xù)性方程連續(xù)性方程一般形式一般形式 在直角坐標(biāo)系中可以分解為在直角坐標(biāo)系中可以分解為 ()()() 0 uvw txyz 4-56 展開(kāi)后并利用隨體導(dǎo)數(shù)的概念，可得展開(kāi)后并利用隨體導(dǎo)數(shù)的概念，可得 0 D V Dt 4-57 方程的適用條件：滿足連續(xù)介質(zhì)假設(shè)的方程的適用條件：滿足連續(xù)介質(zhì)假設(shè)的任何流動(dòng)任何流動(dòng) 52 微元六面體的質(zhì)量守恒分析微元六面體的質(zhì)量守恒分析 如圖所示，設(shè)流體流過(guò)以如圖所示，設(shè)流體流過(guò)以 M(x,y,z)為基點(diǎn)，以為基點(diǎn)，以dx,dy,dz為為 邊長(zhǎng)的微元控制體。邊長(zhǎng)的微元控制體。 在在 t 時(shí)間內(nèi)沿時(shí)間內(nèi)沿x方向凈流出控制體

47、（流出質(zhì)量減去流入質(zhì)量）方向凈流出控制體（流出質(zhì)量減去流入質(zhì)量） 的質(zhì)量為的質(zhì)量為 ()u dxdydz t x 同理在同理在 t 時(shí)間內(nèi)沿時(shí)間內(nèi)沿y方向和方向和z方向凈流出控制體的質(zhì)量為方向凈流出控制體的質(zhì)量為 ()v dxdydz t y ()w dxdydz t z 53 在在t時(shí)間內(nèi)，微元六面體流體的質(zhì)量變化為時(shí)間內(nèi)，微元六面體流體的質(zhì)量變化為 t dxdydzdxdydzdxdydz t tt 按質(zhì)量守恒定律，在按質(zhì)量守恒定律，在t 時(shí)間內(nèi)沿三個(gè)方向凈時(shí)間內(nèi)沿三個(gè)方向凈流出流出控制體的控制體的 總質(zhì)量應(yīng)等于控制體內(nèi)總質(zhì)量應(yīng)等于控制體內(nèi)減少減少的質(zhì)量：的質(zhì)量： ()()()uvw dx

48、dydz tdxdydz t xyzt 化簡(jiǎn)后可化簡(jiǎn)后可 得得 0 z w y v x u t 或者或者 ()0V t 4-54 54 對(duì)于定常流動(dòng)，由式對(duì)于定常流動(dòng)，由式4-54可得連續(xù)性方程變?yōu)椋嚎傻眠B續(xù)性方程變?yōu)椋?()0V 4-58 對(duì)于不可壓縮流體的流動(dòng)（定?；蛘叻嵌ǔ＃墒綄?duì)于不可壓縮流體的流動(dòng)（定常或者非定常），由式 4-57可得微分形式的連續(xù)性方程為：可得微分形式的連續(xù)性方程為： 0V 4-60 表示了不可壓縮流體流動(dòng)時(shí)，速度的表示了不可壓縮流體流動(dòng)時(shí)，速度的散度散度為零。在直角為零。在直角 坐標(biāo)系中坐標(biāo)系中 0 uvw xyz 4-61 0 xxyyzz 或者或者 55 【

49、例【例4-8】不可壓縮二維平面流動(dòng)，】不可壓縮二維平面流動(dòng)，y方向上的速度分量為方向上的速度分量為v=y2- y-x，求，求x方向的速度分量方向的速度分量u，假定，假定x=0時(shí)時(shí)u=0 【解】將不可壓縮流體的連續(xù)性微分方程應(yīng)用到二維流動(dòng)【解】將不可壓縮流體的連續(xù)性微分方程應(yīng)用到二維流動(dòng) 0 uv xy 210 u y x 將將y方向上的速度分量方向上的速度分量v代入得代入得 積分后有積分后有(12 )( )uy xf y 利用邊界條件利用邊界條件x=0時(shí)時(shí)u=0，得得f(y)=0 所以所以u(píng)=(1-2y)x=x-2xy 56 2. 2. 內(nèi)維爾內(nèi)維爾斯托克斯方程斯托克斯方程 對(duì)圖示微元六面體應(yīng)

50、用對(duì)圖示微元六面體應(yīng)用 牛頓第二定律，有牛頓第二定律，有 DV Fdxdydz Dt 其中作用在微元六面體上的質(zhì)量力其中作用在微元六面體上的質(zhì)量力( ) mxx dFf dxdydz () yx xxzx sx p dFdxdydz xyz 作用在微元六面體上的面積力包括法向力和切向力作用在微元六面體上的面積力包括法向力和切向力 考慮考慮x方向上的動(dòng)量平衡方向上的動(dòng)量平衡 ()() xmxsx Du FdFdFdxdydz Dt 4-64 57 將質(zhì)量力和面積力代入到將質(zhì)量力和面積力代入到4-64并化簡(jiǎn)后得到運(yùn)動(dòng)微分方程：并化簡(jiǎn)后得到運(yùn)動(dòng)微分方程： yx xxzx x pDu f Dtxyz

51、其中應(yīng)力的第一個(gè)下標(biāo)表示應(yīng)力其中應(yīng)力的第一個(gè)下標(biāo)表示應(yīng)力作用面的法線方向，作用面的法線方向，第二第二 個(gè)下標(biāo)表示個(gè)下標(biāo)表示應(yīng)力的方向。應(yīng)力的方向。（注：這里的法向應(yīng)力不等于靜壓強(qiáng)）（注：這里的法向應(yīng)力不等于靜壓強(qiáng)） 4-68 同理可以得到同理可以得到y(tǒng)方向和方向和z方向上的運(yùn)動(dòng)微分方程方向上的運(yùn)動(dòng)微分方程 xyyyzy y p Dv f Dtxyz yz xzzz z pDw f Dtxyz 4-69 4-70 58 其中法向應(yīng)力其中法向應(yīng)力 xxxx pp yyyy pp zzzz pp 上式中上式中p為流體的靜壓強(qiáng)，為流體的靜壓強(qiáng)，xx xx、 、yy yy、 、zz zz，為流體的粘性

52、，為流體的粘性 變形引起的法向應(yīng)力。因此式（變形引起的法向應(yīng)力。因此式（4-684-68）式（式（4-704-70）變?yōu)椋┳優(yōu)?yx xxzx x Dup f Dtxxyz xyyyzy y Dvp f Dtyxyz yz xzzz z Dwp f Dtzxyz 4-68a 4-70a 4-69a 59 寫(xiě)成矢量形式為：寫(xiě)成矢量形式為： 而而ij ij為作用在微元六面體上的 為作用在微元六面體上的黏性應(yīng)力張量黏性應(yīng)力張量 xxxyxz ijyxyyyz zxzyzz ijij DV ffp Dt 4-71 以應(yīng)力形式表示的粘性流體的以應(yīng)力形式表示的粘性流體的運(yùn)動(dòng)微分方程運(yùn)動(dòng)微分方程 其中其中i

53、j ij為作用在微元六面體上的 為作用在微元六面體上的應(yīng)力張量應(yīng)力張量 xxxyxzxxxyxz ijyxyyyzyxyyyz zxzyzzzxzyzz pp pp pp 60 （1）理想流體的歐拉運(yùn)動(dòng)微分方程）理想流體的歐拉運(yùn)動(dòng)微分方程 對(duì)于理想流體對(duì)于理想流體ij ij=0 =0，式，式4-714-71簡(jiǎn)化為簡(jiǎn)化為 DV fp Dt 在笛卡爾坐標(biāo)系中可以分解為在笛卡爾坐標(biāo)系中可以分解為 4-72 x Dup f Dtx y Dvp f Dty z Dwp f Dtz 4-73 理想流體的理想流體的歐拉運(yùn)動(dòng)微分方程歐拉運(yùn)動(dòng)微分方程 61 （2）黏性流體的內(nèi)維）黏性流體的內(nèi)維-斯托克斯方程斯托

54、克斯方程 對(duì)于流體的三維流動(dòng)，斯托克斯提出了對(duì)于流體的三維流動(dòng)，斯托克斯提出了廣義牛頓內(nèi)摩擦廣義牛頓內(nèi)摩擦 定律，定律，給出了給出了應(yīng)力應(yīng)力和和應(yīng)變應(yīng)變之間的關(guān)系之間的關(guān)系 2 2() 3 ijijijij Vp 1 () 2 j i ij ji u u xx 1 0 ij ij ij 對(duì)于切向應(yīng)力對(duì)于切向應(yīng)力 2()2 xyxyyxyx uv yx 2()2 yzyzzyzy wv yz 4-74 2()2 xzzxxzzx uw zx 62 上式表明流體的法向應(yīng)力不僅與流體的靜壓強(qiáng)相關(guān)，而上式表明流體的法向應(yīng)力不僅與流體的靜壓強(qiáng)相關(guān)，而 且與流體的且與流體的線變形速率線變形速率和和速度的散

55、度速度的散度有關(guān)，而三項(xiàng)和為有關(guān)，而三項(xiàng)和為 2 2() 3 xx u pVp x 2 2() 3 yy v pVp y 2 2() 3 zz w pVp z 4-75 對(duì)于法向應(yīng)力對(duì)于法向應(yīng)力 1 () 3 xxyyzz pppp 式式4-76表明粘性流體三個(gè)相互垂直方向上的法向應(yīng)力的表明粘性流體三個(gè)相互垂直方向上的法向應(yīng)力的 平均值等于流體靜壓強(qiáng)的值平均值等于流體靜壓強(qiáng)的值 4-76 63 將以應(yīng)變形式表示出來(lái)的應(yīng)力（式將以應(yīng)變形式表示出來(lái)的應(yīng)力（式4-74式式4-75）代入）代入 粘性流體的運(yùn)動(dòng)微分方程（式粘性流體的運(yùn)動(dòng)微分方程（式4-68式式4-70）并整理后得：）并整理后得： 222

56、 222 11 () 3 x Dupuuu fV Dtxxyzx 222 222 11 () 3 y Dvpvvv fV Dtyxyzy 222 222 11 () 3 z Dwpwww fV Dtzxyzz 內(nèi)維內(nèi)維-斯托克斯斯托克斯（Navier-Stokes）方程的一般形式，期）方程的一般形式，期 中中為為拉普拉斯拉普拉斯算子算子 寫(xiě)成矢量形式為：寫(xiě)成矢量形式為： 11 () 3 dV fpVV dt 4-79 64 對(duì)于對(duì)于不可壓縮流體不可壓縮流體N-S方程簡(jiǎn)化為方程簡(jiǎn)化為 1dV fpV dt 對(duì)于對(duì)于理想無(wú)粘流體理想無(wú)粘流體N-S方程簡(jiǎn)化為方程簡(jiǎn)化為歐拉運(yùn)動(dòng)微分方程歐拉運(yùn)動(dòng)微分方程

57、4-72，對(duì)，對(duì) 于于靜止流體靜止流體N-S方程簡(jiǎn)化為靜止流體的方程簡(jiǎn)化為靜止流體的歐拉平衡微分方程歐拉平衡微分方程。 4-80 注：注： 理論上理論上N-S方程包含方程包含u,v,w和和p四個(gè)未知量，結(jié)合流體的連四個(gè)未知量，結(jié)合流體的連 續(xù)性方程可以構(gòu)成封閉的方程組，完成對(duì)流場(chǎng)的積分求解續(xù)性方程可以構(gòu)成封閉的方程組，完成對(duì)流場(chǎng)的積分求解 實(shí)踐中僅能對(duì)某些簡(jiǎn)單的流動(dòng)在適當(dāng)?shù)募僭O(shè)下進(jìn)行求解實(shí)踐中僅能對(duì)某些簡(jiǎn)單的流動(dòng)在適當(dāng)?shù)募僭O(shè)下進(jìn)行求解 對(duì)于可壓縮流體，還要結(jié)合對(duì)于可壓縮流體，還要結(jié)合狀態(tài)方程狀態(tài)方程求解求解 當(dāng)涉及到作功、傳熱和內(nèi)能變化時(shí)需要結(jié)合當(dāng)涉及到作功、傳熱和內(nèi)能變化時(shí)需要結(jié)合能量方程能

58、量方程求解求解 N-S方程在方程在柱坐標(biāo)柱坐標(biāo)和和球坐標(biāo)球坐標(biāo)下的形式見(jiàn)教材和參考書(shū)下的形式見(jiàn)教材和參考書(shū) 65 3. 3. 能量方程（簡(jiǎn)介）能量方程（簡(jiǎn)介） 類(lèi)似于連續(xù)性方程和運(yùn)動(dòng)方程的導(dǎo)出過(guò)程，將熱力學(xué)第類(lèi)似于連續(xù)性方程和運(yùn)動(dòng)方程的導(dǎo)出過(guò)程，將熱力學(xué)第 一定律應(yīng)用到微元控制體一定律應(yīng)用到微元控制體 DEDe QWdxdydz DtDt 對(duì)該微元體進(jìn)行傳熱、與外界作功和內(nèi)能變化進(jìn)行分析后對(duì)該微元體進(jìn)行傳熱、與外界作功和內(nèi)能變化進(jìn)行分析后 可以得到可以得到 與外界的與外界的 熱交換熱交換 內(nèi)熱源內(nèi)熱源表面力表面力 作功作功 系統(tǒng)內(nèi)能系統(tǒng)內(nèi)能 變化率變化率 ()() ijj iii DeT f

59、Vuq Dtxxx 質(zhì)量力質(zhì)量力 作功作功 66 4. 4. 基本微分方程組的定解條件基本微分方程組的定解條件 對(duì)于工程流體力學(xué)常見(jiàn)的流動(dòng)問(wèn)題利用連續(xù)性方程和運(yùn)動(dòng)方對(duì)于工程流體力學(xué)常見(jiàn)的流動(dòng)問(wèn)題利用連續(xù)性方程和運(yùn)動(dòng)方 程即可聯(lián)立積分求解，為了給出程即可聯(lián)立積分求解，為了給出特解特解需要給出需要給出定解條件定解條件以確定積以確定積 分常數(shù)。分常數(shù)。 （1）初始條件）初始條件 非定常流動(dòng)，待求變量在非定常流動(dòng)，待求變量在t=t0時(shí)刻的空間分布時(shí)刻的空間分布 00 ( , ,)( , )V x y z tVx y z 00 ( , ,)( , )p x y z tpx y z 00 ( , ,)(

60、, )x y z tx y z 00 ( , ,)( , )T x y z tTx y z 定常流動(dòng)不需要初始條件定常流動(dòng)不需要初始條件 67 （2 2）邊界條件）邊界條件 包圍流場(chǎng)的邊界上的流動(dòng)參量值。三種典型的邊界條件：包圍流場(chǎng)的邊界上的流動(dòng)參量值。三種典型的邊界條件： 壁面無(wú)滑移條壁面無(wú)滑移條 件件 粘性流體與固體壁面接觸時(shí)，在壁面上流體速度等于固體粘性流體與固體壁面接觸時(shí)，在壁面上流體速度等于固體 壁面的速度壁面的速度 w VV 對(duì)無(wú)粘性流體，無(wú)需滿足無(wú)滑移條件，但法向速度仍應(yīng)連續(xù)對(duì)無(wú)粘性流體，無(wú)需滿足無(wú)滑移條件，但法向速度仍應(yīng)連續(xù) 68 進(jìn)口與出口條件進(jìn)口與出口條件 對(duì)對(duì)內(nèi)流內(nèi)流問(wèn)題